Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 73200 987222 986676 2026-10-10T17:34:53Z Phl7605 31541 987222 wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = physique | département = Mécanique classique | cours = [[Physique en classe préparatoire PCSI]] | niveau = 14 | 1 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel|4|14}} | 2 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|4|14}} | 3 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|4|14}} | 4 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments de force|4|14}} | 5 = {{C|Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|4|14}} | 6 = {{C|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|4|14}} | 7 = {{C|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|4|14}} | 8 = {{C|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|4|14}} | 9 = {{C|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|4|14}} | 10 = {{C|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|4|14}} | 11 = {{C|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|4|14}} | 12 = {{C|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|4|14}} | 12 = {{C|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|4|14}} | 13 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|4|14}} | 14 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion|4|14}} | 15 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler|4|14}} | 16 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes|4|14}} | 17 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires|4|14}} | 18 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne|4|14}} | 19 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques|4|14}} | exo1 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel|0|14}} | exo2 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|3|14}} | exo3 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|3|14}} | exo4 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments de force|0|14}} | exo5 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|3|14}} | exo6 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|3|14}} | exo7 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|0|14}} | exo8 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Pendule pesant|3|14}} | exo9 = {{Exo|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|3|14}} | exo10 = {{Exo|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|3|14}} | exo11 = {{Exo|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|3|14}} | exo12 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|3|14}} | exo13 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion|3|14}} | exo14 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler|3|14}} | exo15 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes|3|14}} | exo16 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires|0|14}} | exo17 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne|3|14}} | exo18 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques|0|14}} }} bmjjjj2eh60xbwg570dm2ug1m24eram 987223 987222 2026-10-10T17:36:30Z Phl7605 31541 987223 wikitext text/x-wiki {{Leçon | idfaculté = physique | département = Mécanique classique | cours = [[Physique en classe préparatoire PCSI]] | niveau = 14 | 1 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel|4|14}} | 2 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|4|14}} | 3 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|4|14}} | 4 = {{C|Loi du moment cinétique : Moments de force|4|14}} | 5 = {{C|Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|4|14}} | 6 = {{C|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|4|14}} | 7 = {{C|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|4|14}} | 8 = {{C|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 1ère partie|4|14}} | 9 = {{C|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|4|14}} | 10 = {{C|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|4|14}} | 11 = {{C|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|4|14}} | 12 = {{C|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|4|14}} | 13 = {{C|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|4|14}} | 14 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|4|14}} | 15 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion|4|14}} | 16 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler|4|14}} | 17 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes|4|14}} | 18 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires|4|14}} | 19 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne|4|14}} | 20 = {{C|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques|4|14}} | exo1 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un point matériel|0|14}} | exo2 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels|3|14}} | exo3 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|3|14}} | exo4 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Moments de force|0|14}} | exo5 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|3|14}} | exo6 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe|3|14}} | exo7 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|0|14}} | exo8 = {{Exo|Loi du moment cinétique : Pendule pesant|3|14}} | exo9 = {{Exo|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|3|14}} | exo10 = {{Exo|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|3|14}} | exo11 = {{Exo|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|3|14}} | exo12 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|3|14}} | exo13 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion|3|14}} | exo14 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler|3|14}} | exo15 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes|3|14}} | exo16 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires|0|14}} | exo17 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne|3|14}} | exo18 = {{Exo|Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques|0|14}} }} 9mgbtiohsxcdhv3p9rwwnk4h6mmaw3k 0 74151 987239 986700 2026-10-10T18:40:51Z Phl7605 31541 987239 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 4 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes/]] }} == Notion de vecteur moment d’une force par rapport à un point A (ou moment vectoriel d’une force) == === Définition === {{Définition|titre=Vecteur moment d'une force appliquée en M par rapport à un point A|contenu={{Al|5}}Le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F"> On se place dans le cas le plus fréquent où la force ne dépend pas explicitement du temps <math>\;t\;</math> mais la dépendance explicite de la force à <math>\;t\;</math> n'est pas a priori exclue <math>\;\big(</math>si cela doit l'être ce sera clairement précisé<math>\big)\;\ldots</math></ref> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est la grandeur vectorielle notée <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\;</math> définie par <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;</math>»<ref name="définition intronsèque du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}ses composantes et sa norme s’expriment dans le [[w:Système_international_d'unités|système international]] <math>\;\big(S.I.\big)\;</math> en «<math>\;N \cdot m\;</math>»<ref name="unité de moment de force"> C.-à-d. « Newton mètre » ; veuillez à ne pas omettre le point séparateur entre les symboles d'unité et éviter de permuter ces derniers car cumuler les deux <math>\;\big(</math>absence de point séparateur et «<math>\;m\;</math> avant <math>\;N\;</math>»<math>\big)\;</math> donnerait «<math>\;mN\;</math>» c.-à-d. « milliNewton » <math>\;\big(</math>sous multiple d'unité de force<math>\big)\;\ldots</math></ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;</math><ref name="moment et torseur statique"> C'est aussi le 2^ème vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|torseur glisseur]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{F}(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Notion_de_résultante_d'un_torseur|notion de résultante d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon <math>\;\vec{F}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;M\;</math> étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big)\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est le vecteur moment du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> et à l'instant <math>\;t\;</math><ref name="vecteur moment de champ vectoriel"> Le vecteur moment d'un champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M)\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> a été défini dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d’un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)</math>, c'est aussi le 2^ème vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> d'un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{C}(M)\;</math> dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon <math>\;\vec{C}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{C}(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;M\;</math> étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big)\big]</math>.</ref>. === Propriétés === [[File:Moment vectoriel de force.png|thumb|300px|Schéma de définition du vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée en <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;\notin\;</math> au support de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>]] {{Al|5}}Le moment vectoriel de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport à <math>\;A</math>, «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\,</math>» est <math>\bullet\;</math>nul si «<math>\;A\;</math> est sur le support de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> »<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 1"> Voir la 1^ère partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant alors colinéaires <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\bullet\;</math>non nul si « le support de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> ne passe pas par <math>\;A\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2"> Voir la 2^ème partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant alors coplanaires <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l’ensemble <math>\;\left\lbrace \vec{F}(M)\,,\, A \right\rbrace\;</math> formant un plan : dans ce cas, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]\,</math>» est <math>\succ\;</math>de direction <math>\;\perp\;</math> au plan <math>\;\left\lbrace \vec{F}(M)\,,\, A \right\rbrace\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2" /> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\succ\;</math>de sens tel que <math>\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace</math> direct si l'espace physique <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de sens tel que <math>\color{transparent}{\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace}</math> }}est orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> »<ref name="trièdre direct d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\big(</math>voir schéma ci-contre, sauf avis contraire, ce sera toujours le cas envisagé<math>\big)\;</math> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\succ\;</math>de sens tel que <math>\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \right\rbrace</math> indirect <math>\big(</math>au sens de la <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}physique<math>\big)\;</math><ref name="au sens de la physique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Base_directe_(au_sens_de_la_physique)_d'un_espace_orienté_à_gauche|base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche]] (préliminaire) » du même chap.<math>7</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour la justification de l'ajout « au sens de la physique ».</ref> si l'espace physique est orienté à gauche<ref name="orienté à gauche"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big(</math>cas pratiquement <br>{{Al|22}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>physique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> si l'espace physique est orienté à gauche }}jamais envisagé<math>\big)\;</math>»<ref name="trièdre indirect au sens de la physique d'un espace orienté à gauche"> Un trièdre est direct <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math> dans un espace orienté à gauche <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à gauche) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> s'il obéit à la règle de la main gauche, voir la description de la règle dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_gauche-19|¹⁹]] » de ce même chap.<math>7</math> de cette même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est }}<math>\succ\;</math>de norme «<math>\;\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \Big\Vert = \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\; \Vert \vec{F}(M) \Vert\; \Bigg\vert \sin\! \left[ \widehat{ \overrightarrow{AM}(t)\,,\,\vec{F}(M)} \right] \Bigg\vert = \Vert \vec{F}(M) \Vert\, \left\lbrace \Big\Vert \overrightarrow{AM}(t) \Big\Vert\;\vert \sin\! \left( \alpha \right) \vert \right\rbrace</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>de norme «<math>\;\color{transparent}{\Big\Vert \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] \Big\Vert}</math> }}<math>= \Vert \vec{F}(M) \Vert\;\mathsf{d}(t)\;</math>»<ref name="définition intrinsèque du produit vectoriel - 2" /> dans laquelle <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>}}<math>\mathsf{d}(t)\,</math> est la distance <math>\,\perp\,</math> entre le support de <math>\,\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> à l'instant <math>\,t\,</math> et le point origine <math>\,A\,</math> de définition de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]</math>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment vectoriel de <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par rapport à <math>\;\color{transparent}{A}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right]}\,</math>» est <math>\color{transparent}{\succ}\;</math><math>\color{transparent}{\mathsf{d}(t)}\,</math> est }}grandeur appelée « <u>bras de levier de la force</u><math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> <u>relativement à </u><math>\;A\;</math>»<ref> Cette notion de « bras de levier de force » est définie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#2ème_méthode_de_détermination_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ,_notion_de_bras_de_levier_de_la_force_relativement_à_l'axe|2^ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe]] » plus loin dans le chapitre car, dans l’intitulé du programme de physique de P.C.S.I., elle est introduite dans la définition du moment scalaire d’une force relativement à un axe mais personnellement <br>{{Al|3}}je conseille de prendre l’habitude de déterminer la direction et le sens du moment vectoriel de la force puis d'évaluer sa norme comme le produit de la norme de la force et du bras de levier de celle-ci relativement au point origine <math>\;A\;</math> de définition du vecteur moment de la force.</ref>. === Changement d’origine de calcul du moment vectoriel d’une force === {{Al|5}}Le « vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}étant le « vecteur moment du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="vecteur moment de champ vectoriel" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}la formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel s'y applique <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{C}(M) \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{C}(M)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel"> <math>\;\mathcal{E}\;</math> étant l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique tridimensionnel.</ref>{{,}}<ref name="formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Formule_de_changement_d’origine_du_calcul_de_vecteur_moment_d’un_champ_vectoriel|formule de changement d'origine du calcul de vecteur moment d'un champ vectoriel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> où le champ vectoriel <math>\;\vec{C}(M)\;</math> est la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, soit <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_O\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{F}(M)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />. == Définition du moment (scalaire) d’une force par rapport à un axe Δ, bras de levier de la force == === Équiprojectivité du « moment vectoriel d'une force » === {{Al|5}}Un champ de vecteurs <math>\;\vec{f}(M)\;</math> d'un [[w:Espace_affine|espace affine]] [[w:Espace_euclidien|euclidien]] tridimensionnel <math>\;\mathcal{E}\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> étant <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> ssi «<math>\;\forall\;\left( M\,,\,N \right) \in \mathcal{E}^2,\; \vec{f}(M) \cdot \overrightarrow{MN} = \vec{f}(N) \cdot \overrightarrow{MN}\;</math>»<ref name="définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_l'équiprojectivité_d'un_champ_de_vecteurs_d'un_espace_affine_euclidien_tridimensionnel|définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref>, nous savons que <br>{{Al|5}}le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque <math>\;\vec{C}(M)\;</math> défini par <math>\;\forall\;P \in \mathcal{E}\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />, <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] = \overrightarrow{PM} \wedge \vec{C}(M)\;</math><ref name="vecteur moment de champ vectoriel" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|le champ de vecteurs « moment d'un champ vectoriel quelconque <math>\;\color{transparent}{\vec{C}(M)}\;</math> }}est <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> c.-à-d. «<math>\;\forall\;\left( P\,,\,Q \right) \in \mathcal{E}^2\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />, <math>\;\;\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_P\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_Q\! \left[ \vec{C}(M) \right] \cdot \overrightarrow{PQ}\quad\forall\;\vec{C}(M)\;</math>»<ref name="équiporjectivité du vecteur moment d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Notion_d’«_équiprojectivité_»_du_«_champ_de_vecteurs_moment_d’un_champ_vectoriel_»|notion d'équiprojectivité du champ de vecteurs moment d'un champ vectoriel]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}Le « vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}étant le « vecteur moment du champ vectoriel <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="vecteur moment de champ vectoriel" />, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le « vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant }}on peut lui appliquer la propriété d'<u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectivité]]</u> soit «<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2\;</math><ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" />, <math>\;\;\; \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>»<ref name="équiporjectivité du vecteur moment d'un champ vectoriel" />. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> soit <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}étant aussi le « 2^ème vecteur des [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math> du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <ref name="définition d'un torseur glisseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définiyion_d'un_Torseur_statique|définiytion d'un torseur glisseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> de [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|résultante]] <math>\;\vec{F}(M)\;</math>»<ref name="moemnt et torseur glisseur - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_glisseur|propriétés d'un torseur glisseur]] (3^ème propriété) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », <math>\;M\;</math> étant un point central du [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] (du glisseur) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans lequel le [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|moment]] est défini selon <math>\;\vec{F}(M) \wedge \overrightarrow{MA}\;</math> ce qui est effectivement égal à <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{F}(M)</math>.</ref>, <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Remarque : le vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> étant aussi }}« [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]]<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat}}\;</math>d’[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A</math>, <math>\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}(M)\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M)\end{array}\right\rbrace_A</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « moment d'un [[w:Torseur|torseur]] au point <math>\;A\;</math>» étant <u>par définition</u> un « champ de vecteurs <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> »<ref name="définition d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur|définition d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\big(</math>sans autre développement<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}le « vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au point origine <math>\;A\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectif]]</u> ». === Définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ === {{Al|5}}Considérant un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque"> Au sens « fixe » ou « mobile ».</ref> et deux points quelconques <math>\;\big(</math>distincts<math>\big)\;</math> de cet axe <math>\;\left( A\,,\, A' \neq A \right) \in \Delta^2</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque }}l'[[w:Équiprojectivité_(en_physique)|équiprojectivité]] du vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \overrightarrow{AA'}\;</math>»<ref name="invariants de torseur"> Il s'agit aussi d'un invariant du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <math>\;\big[</math>voir la notion d'invariants de [[w:Torseur|torseur]] dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Invariants_d'un_torseur|invariants d'un torseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}soit, en orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AA'} = \overline{AA'}\;\vec{u}_\Delta\;</math> et en simplifiant par <math>\;\overline{AA'} \neq 0</math>, <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>»<ref> On peut le démontrer directement en utilisant la formule de changement d’origine «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] + \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{F}(M)\;</math>» <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_moment_vectoriel_d'une_force|changement d'origine de calcul du moment vectoriel d'une force]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et en multipliant scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on obtient alors, par distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, l'égalité cherchée car «<math>\;\left[ \overrightarrow{AA'} \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» dans la mesure où <math>\;\overrightarrow{AA'}\;</math> étant <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le produit mixte est nul <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, cette valeur constante sur <math>\;\Delta\;</math> définissant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}le moment <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Considérant un axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> quelconque l'équiprojectivité du vecteur moment de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}par rapport à l'axe <math>\;\Delta</math>. {{Définition|titre= Moment (scalaire) d'une force par rapport à un axe Δ|contenu = {{Al|5}}Le moment <math>\;\big(</math>scalaire<math>\big)\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est la grandeur scalaire, définie à l'instant <math>\;t</math>, par <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;\;\forall\; A \in \Delta\;</math>» avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par }}«<math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]\;</math> le vecteur moment de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> par « }}matériel <math>\;M\;</math> évalué en un point <math>\;A\;</math> quelconque de <math>\;\Delta\;</math> au même instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|8}}{{Transparent|Le moment <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>scalaire<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math>».}} === 1^ère méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ === {{Al|5}}Pour exprimer le moment scalaire d’une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> par rapport à un axe <math>\;\Delta\;</math> orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on peut * déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point <math>\;A\, \in\, \Delta\;</math> dans une base orthonormée « directe si l'espace est orienté à droite<ref name="orienté à droite" /> »<ref name="trièdre direct d'un espace orienté à droite" /> <math>\;\big(</math>pratiquement toujours le cas considéré<math>\big)\;</math> ou <br>{{Transparent| déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point <math>\;\color{transparent}{A\, \in\, \Delta}\;</math> dans une base orthonormée }}« indirecte <math>\;\big(</math>au sens de la physique<math>\big)\;</math><ref name="au sens de la physique" /> si l'espace est orienté à gauche<ref name="orienté à gauche" /> »<ref name="trièdre indirect au sens de la physique d'un espace orienté à gauche" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent| déterminer les composantes de son moment vectoriel en un point <math>\;\color{transparent}{A\, \in\, \Delta}\;</math> dans une base orthonormée « indirecte <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>au sens de la physique<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>}}<math>\big(</math>cas pratiquement jamais envisagé<math>\big)\;</math> et * multiplier scalairement par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math><ref name="choix de la base"> <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant usuellement le 3^ème vecteur de la base et dans ce cas, le produit scalaire avec <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> du moment vectoriel de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> par rapport à <math>\;A\;</math> est la 3^ème composante de ce dernier dans la base de calcul.</ref> pour obtenir le moment scalaire cherché<ref> Ce n’est toutefois pas la meilleure méthode de détermination et de très loin !.</ref>. === 2^ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe === {{Al|5}}Méthode à préférer car c'est, en général et de très loin, la plus rapide. {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : De «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta\;</math>», produit mixte des trois vecteurs «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math>»<ref name="définition d'un produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : De «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A \in \Delta}\;</math>», }}ce dernier est nul si ces trois vecteurs sont coplanaires<ref name="définition d'un produit mixte - 1"> Voir la 1<suo>ère</sup> partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}or «<math>\;A \in \Delta\;</math>» alors que «<math>\;M\;</math> a priori <math>\;\notin \Delta\;</math>»<ref name="cas où M sur Delta"> Si «<math>\;M \in \Delta\;</math>», <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> sont colinéaires <math>\Rightarrow</math> le produit mixte des trois vecteurs «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{F}(M)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math>» est nul <math>\Rightarrow</math> la nullité du moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> d'où : <br>{{Al|3}}« <u>si l’axe</u><math>\;\Delta\;</math><u>passe par le point</u><math>\;M</math>, <u>point d’application de la force</u><math>\;\vec{F}(M)</math>, <u>le moment scalaire de</u><math>\;\vec{F}(M)\;</math><u>par rapport à cet axe est nul</u> ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> ne sont pas colinéaires et forment un plan <math>\;( \Pi )\;</math>», on a deux cas de figures suivant que <math>\;\vec{F}(M) \subset ( \Pi )\;</math> ou <math>\;\cancel{\subset}\; ( \Pi )\;</math> : [[File:Moment scalaire de force.png|left|thumb|Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe coupant ce dernier]] [[File:Moment scalaire de force - bis.png|right|thumb|Schéma en perspective de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la force appliquée en un point extérieur à l'axe ne coupant pas ce dernier]] {{Al|5}}Ci-contre à gauche le cas de figure dans lequel la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> appartient au plan <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à gauche }}les trois vecteurs <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, <math>\;\overrightarrow{AM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> étant coplanaires le moment scalaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport à <math>\;\Delta\;</math> est nul<ref name="définition d'un produit mixte - 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à gauche }}soit mathématiquement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = 0\;</math>» ; {{Al|5}}Ci-contre à droite le cas de figure dans lequel la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> n'appartient pas au plan <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM}(t)\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}les trois vecteurs <math>\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" />, <math>\overrightarrow{AM}(t)</math> et <math>\vec{u}_\Delta</math> n'étant pas coplanaires le moment scalaire de <math>\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> par rapport à <math>\Delta</math> est <math>\neq 0\;</math><ref name="définition d'un produit mixte - 2"> Voir la 2<suo>ème</sup> partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}soit mathématiquement «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \neq 0\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}décomposant la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> en une composante <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\vec{F}_{\parallel}\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> en }}une composante <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> «<math>\;\vec{F}_{\perp}\;</math>» soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}«<math>\;\vec{F}(M) = \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M)\;</math>», on déduit de la distributivité de la multiplication mixte<ref name="définition d'un produit mixte" /> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M) = \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M)}\;</math>», on déduit de la distributivité }}par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributuvité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle"> Résulte de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> relativement à l'addition vectorielle.</ref> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \left\lbrace \overrightarrow{AM}(t) \wedge \left[ \vec{F}_{\parallel}(M) + \vec{F}_{\perp}(M) \right] \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]}</math> }}<math>= \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_{\parallel}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}_{\perp}(M) \right] \cdot \vec{u}_\Delta</math> <br>{{Al|2}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right]}</math> }}<math>= \cancel{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\parallel}(M)\,,\,t \right]\; +}\; \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]\;</math>», le 1^er terme étant nul<ref> Deux vecteurs <math>\;\left\lbrace \vec{F}_{\parallel}(M)\,,\,\vec{u}_\Delta \right\rbrace\;</math> sur les trois du produit mixte étant colinéaires, les trois sont donc coplanaires <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math></ref> ; [[File:Moment scalaire de force - ter.png|thumb|300px|Schéma en vue de dessus de définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe, le support de la composante de la force sur le plan perpendiculaire à l'axe appliquée en un point extérieur à l'axe ne passant pas par la trace de ce dernier sur le plan]] {{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite décomposant la force }}il reste donc à évaluer <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]</math> <math>\;\big[</math>schéma ci-contre à droite<math>\big]</math> : <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}<math>\succ\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\big[</math>le sens «<math>\;+\;</math>» de rotation dans le plan <math>\,\perp\,</math> à l’axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}passant par <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>c.-à-d. le plan de la figure ci-contre<math>\big)\,</math> étant <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}défini par le sens de <math>\,\vec{u}_\Delta</math> <math>\,\big(</math>sur l'exemple ci-contre sens <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord on cherche le signe du moment scalaire <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>défini par le sens de <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta}</math> <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>}}trigonométrique<ref name="sens trigonométrisue"> Ou sens direct ou sens prograde ou sens anti-horaire, les contaires étant sens anti-trigonométrique ou sens indirect ou sens rétrograde ou sens horaire.</ref><math>\big)\big]</math> : <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>» le moment scalaire est <math>\,> 0\,</math> et <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» le moment scalaire est <math>\,< 0</math>, <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>tout d'abord }}d'où, dans l’exemple ci-contre, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] < 0\;</math>», <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}<math>\succ\;</math>ensuite on détermine la valeur absolue du moment scalaire par «<math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] \Big\vert = \Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>»<ref name="justification de la norme du moment vectoriel d'une force"> Pour la justification, voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Propriétés|Propriétés]] (norme du moment vectoriel d'une force » plus haut dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> où <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite }}«<math>\;\mathsf{d}(t)\,</math> est le <u>'''bras de levier'''</u>, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>ensuite «<math>\;\color{transparent}{\mathsf{d}(t)}\,</math> est }}la « <u>'''distance orthogonale entre le support de</u><math>\;\mathbf{\vec{F}_{\perp}(M)}\;</math><u>et l’axe'''</u> »<ref name="précision sur bras de levier"> Le bras de levier d'une force relativement à un axe n'est donc défini que lorsque le support de la force est <math>\;\perp\;</math> à l'axe, le bras de levier étant une grandeur non algébrisée <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite }}<math>\succ\;</math>enfin on en déduit la valeur de «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right]\;</math>» : <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>enfin }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = +\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>» et <br>{{Al|49}}{{Transparent|Ci-contre à droite <math>\color{transparent}{\succ}\;</math>enfin }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\perp}(M)\,</math> tend à faire tourner <math>\,M\,</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = -\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>» <math>\,\big[</math>cas de la figure immédiatement au-dessus<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Si « le support de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> coupe <math>\;\big(</math>au sens large<ref name="coupe au sens large"> C.-à-d. coupe effectivement <math>\;\big(</math>c.-à-d. un seul point d'intersection<math>\big)</math>, ou est confondu avec <math>\;\big(</math>c.-à-d. une infinité de points d'intersection<math>\big)\;</math> ou est <math>\;\parallel\;</math> <math>\big(</math>c.-à-d. un seul point d'intersection à l'infini<math>\big)\;\ldots</math></ref><math>\big)\;</math> l'axe <math>\;\Delta\;</math> de définition du moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> », <br>{{Al|14}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> coupe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>au sens large<math>\color{transparent}{\big)}\;</math> l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}le moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> est nul «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}si « le support de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> et l’axe <math>\;\Delta\;</math> de définition du moment scalaire de cette force ne sont pas coplanaires », <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}le moment scalaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> est non nul «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] \neq 0\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition le moment scalaire de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}est égal au moment scalaire de la composante <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> sur le <br>{{Al|12}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition le moment scalaire de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> est égal au moment scalaire de la composante }}plan passant par <math>\;M\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe : <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> tend à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = +\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>» et <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}<math>\succ\;</math>si <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> tend à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>», «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}(M)\,,\,t \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\perp}(M)\,,\,t \right] = -\Vert \vec{F}_{\perp}(M) \Vert\; \mathsf{d}(t)\;</math>», <br>{{Al|8}}{{Transparent|Conclusion : Si « le support de la force <math>\;\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> et l'axe <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> de définition }}avec «<math>\;\mathsf{d}(t)\;</math> le <u>bras de levier</u>, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;\vec{F}_{\perp}(M)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» dans les deux cas. === Exemples de calcul de moment scalaire de force : moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide et moment scalaire du poids dans l’exemple du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Toujours préférer faire des schémas de situation avec des « paramètres de position positifs » de façon à raisonner sur le schéma sans avoir à « tenir compte du signe du paramètre »<ref> Intuitivement un paramètre de position est toujours considéré positif et par suite si on représente un schéma avec paramètre de position négatif, il y a risque d’erreur de signe <math>\;\ldots</math></ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S<ref name="P.P.S."> Pendule Pesant Simple.</ref>. à un degré de liberté <math>\,\big[</math>à <math>\,t = 0\,</math> le P.P.S<ref name="P.P.S." />. étant écarté de <math>\,\theta_0\,</math> de sa position d’équilibre stable <math>\,\theta_{\text{éq}} = 0\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}lâché sans vitesse initiale <math>\,\dot{\theta}_0 = 0</math>, le point matériel <math>\,M\,</math> décrit alors un mouvement circulaire <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. à un degré de liberté <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}de rayon <math>\,\mathit{l}\;</math><ref name="notation pour P.P.S."> <math>\;\mathit{l}\;</math> étant la longueur de la tige <math>\;\big(</math>ou du fil tendu<math>\big)\;</math> du P.P.S. <math>\;\ldots</math></ref> d'axe <math>\,\Delta\;\perp\,</math> au plan vertical de lancement<ref name="mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçcon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. }}en faisant deux schémas de situation avec un changement de signe du paramètre de position <br>{{Al|11}}{{Transparent|Préliminaire : ci-dessous l'exemple de calcul du moment scalaire du poids d'un P.P.S. en faisant deux schémas de situation }}pour y souligner l'intérêt de faire un schéma avec <math>\;\theta(t) > 0\;</math> <math>\ldots</math> {{Al|5}}<u>Schémas de situation à l'instant</u><math>\;t</math> avec <math>\;\theta(t) > 0\;</math> à gauche <math>\;\big(</math><u>schéma souhaitable</u><math>\big)\;</math> et <math>\;\theta(t) < 0\;</math> à droite <math>\;\big(</math><u>schéma à éviter</u> autant que possible<math>\big)</math> : [[File:Pendule pesant simple à un degré de liberté.png|left|thumb|300px|Schéma représentant un pendule pesant simple <math>\;\big(</math>P.P.S.<math>\big)\;</math> à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est positif]] [[File:Pendule pesant simple à un degré de liberté - bis.png|right|thumb|300px|Schéma représentant un pendule pesant simple <math>\;\big(</math>P.P.S.<math>\big)\;</math> à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur M à un instant où le paramètre de position est négatif]] {{Al|5}}Ci-contre à gauche schéma représentant un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur <math>\;M\;</math> à un instant où l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de ce dernier est <math>\;> 0</math>, <u>schéma souhaitable</u> n'induisant pas d'erreur potentielle de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de <math>\;M</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\;</math>» si on oublie le signe de <math>\;\theta</math> ; {{Al|5}}ci-contre à droite schéma représentant un P.P.S<ref name="P.P.S." />. à un degré de liberté ainsi que les deux forces agissant sur <math>\;M\;</math> à un instant où l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> de ce dernier est <math>\;< 0</math>, <u>schéma à éviter</u> car susceptible d'induire une erreur de signe sur l'évaluation du moment scalaire du poids de <math>\;M</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\;</math>» si on oublie le signe de <math>\;\theta</math>, en effet <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite }}on observe, sur le schéma de droite, que <math>\;m\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;+\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] > 0\;</math>»}} avec <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathsf{d}\;</math> dans laquelle le bras de levier de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> s'écrit «<math>\;\mathsf{d} = \mathit{l}\;\vert \sin(\theta) \vert\;</math>»<ref name="précision sur bras de levier - bis"> On rappelle que le bras de levier d'une force étant une grandeur non algébrisée est toujours <math>\;\geqslant 0\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="notation pour P.P.S." /> d'où l'erreur potentielle si on oublie le signe de <math>\;\theta\;</math> du schéma en écrivant «<math>\;\cancel{\mathsf{d} = \mathit{l}\;\sin(\theta)}\;</math>»<ref name="notation pour P.P.S." /> ce qui conduit à un bras de levier <math>\;< 0\;</math> contraire à la définition d'un bras de levier<ref name="précision sur bras de levier - bis" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|ci-contre à droite on observe, }}<math>\;\big[</math>en fait, comme <math>\;\theta\;</math> est <math>\;< 0\;</math> sur le schéma ci-contre à droite, on a «<math>\;\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\;</math>» et par suite «<math>\;\mathsf{d} = -\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta) > 0\;</math> conforme au signe du moment scalaire de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> observé sur le schéma, <math>\;\big(g\;</math> étant l'intensité de la pesanteur c.-à-d. <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\big)\big]</math>. {{Al|5}}<u>Évaluation du moment scalaire du poids du P.P.S<ref name="P.P.S." />. relativement à l'axe</u><math>\underline{\;\Delta}</math> <math>\;\big(</math>sur le schéma ci-contre à gauche<math>\big)</math> : on observe, sur ce schéma, que <math>\;m\;\vec{g}\;</math> tendant à faire tourner <math>\;M\;</math> dans le sens «<math>\;-\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] < 0\;</math>» avec <math>\;\big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \big\vert</math> <math>= \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathsf{d}\;</math> dans laquelle le bras de levier de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> s'écrit {{Nobr|«<math>\;\mathsf{d} = \mathit{l}\;\vert \sin(\theta) \vert</math>}} <math>= \mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math>»<ref name="notation pour P.P.S." /> <math>\;\big\{\theta > 0\;</math> sur le schéma<math>\big\}</math>, <br>{{Al|66}}soit <math>\;\big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \big\vert = \Vert m\;\vec{g} \Vert\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;</math><ref name="notation pour P.P.S." /> et, en posant <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math><ref name="intensité de la pesanteur"> <math>\;g\;</math> est donc l'intensité de la pesanteur <math>\;\ldots</math></ref>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ m\;\vec{g}\,,\, t \right] = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>»<ref> On trouve le même résultat en réalisant un schéma avec <math>\;\theta < 0\;</math> <u>à condition d'être très attentif aux signes</u> comme cela a été établi dans l'apparté entre crochets ci-dessus <math>\;\big[</math>toutefois je rappelle qu'il est <u>fortement conseillé</u> d'éviter de faire des schémas avec un paramètre de position négatif<math>\big]</math>.</ref> compte-tenu de son caractère négatif sur ce schéma. {{Al|5}}<u>Évaluation du moment scalaire de la tension de la tige idéale rigide du P.P.S<ref name="P.P.S." />. relativement à l'axe</u><math>\underline{\;\Delta}</math> <math>\;\big(</math>sur le schéma ci-dessus à gauche<math>\big)</math> : le support de la tension <math>\;\vec{T}(t)\;</math> de la tige idéale rigide coupant l’axe <math>\;\Delta</math>, son moment scalaire par rapport à cet axe est nul soit «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = 0\;</math>»<ref name="autre justification du moment scalaire de la tension nul"> On pouvait aussi justifier la nullité du moment scalaire de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> en disant que le bras de levier de <math>\;\vec{T}(t)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> est nul.</ref>{{,}}<ref> On aurait évidemment obtenu le même résultat en travaillant sur le schéma de droite avec <math>\;\theta < 0\;</math> et ceci sans possibilité d'erreur <math>\;\big[</math>toutefois je rappelle qu'il est <u>fortement conseillé</u> d'éviter de faire des schémas avec un paramètre de position négatif<math>\big]</math>.</ref>. == Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels, généralisation à un système continu fermé de matière == === Distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}La distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> dans lequel {{Nobr|«<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»}} introduite au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_et_système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures et système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » est rappelée ci-dessous : * le système des forces extérieures appliquées au système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> est l'ensemble des forces <math>\;\left\lbrace \vec{F}_{i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace} \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)\;</math> extérieur au système de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> exerce sur chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> de ce dernier ; * le système des forces intérieures agissant dans le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> est l'ensemble des forces <math>\;\left\lbrace \vec{F}_{i\, \leftarrow\, j} \right\rbrace_{\left( i\,,\, j\,\neq\,i \right)\, \in\, \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^{\,2}}\;</math> que chaque point matériel <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> exerce sur chaque point matériel <math>\;M_i\;</math> de ce dernier. === Généralisation à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle === {{Al|5}}Il existe deux types principaux de forces s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle qui seront vus plus en détail aux paragraphes « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champs_de_forces_volumique_ou_surfacique_dans_un_fluide,_exemples|champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples]] », « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champ_de_force_volumique_et_sa_densité_volumique_de_force,_retour_sur_les_exemples|champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples]] » et « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Forces_surfaciques_et_volumiques#Champ_de_force_surfacique_et_sa_densité_surfacique_de_force,_cas_de_la_densité_surfacique_de_force_pressante|champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Statique_des_fluides_(PCSI)|Statique des fluides (PCSI)]] » : * les <u>forces volumiques</u><math>\;\big(</math>forces de champ<math>\big)\;</math> s’exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\mu(M)\;</math> est la masse volumique du système continu en <math>\;M</math>, pseudo-point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo-point est appelé « particule de fluide »<math>\big]</math>.</ref>, forces volumiques notées <math>\;d\vec{F}_{\!V}(M) = \vec{f}_{\!V}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> avec <math>\;\vec{f}_{\!V}(M)\;</math> densité volumique de force de champ au point <math>\;M\;</math> et * les <u>forces surfaciques</u><math>\;\big(</math>forces de contact<math>\big)\;</math> s'exerçant sur chaque surface élémentaire de la surface fermée limitant un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, forces surfaciques notées <math>\;d^2\!\vec{F}_{\!S}(N_M) =</math> {{Nobr|<math>\vec{f}_{\!S}(N_M)\;d^2 S_{N_M}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux"> L'aire de la surface fermée limitant le pseudo-point étant comme le volume de ce dernier infiniment petite, une surface élémentaire de cette surface fermée est d'aire infiniment petite relativement à l'aire de la surface fermée, elle est donc infiniment petite d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref>}} avec <math>\;\vec{f}_{\!S}(N_M)\;</math> densité surfacique de force de contact au point <math>\;N_M</math> <math>\;\big[N_M\;</math> désignant un point de la surface fermée limitant le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /><math>\big]</math>. {{Al|5}}On fait également la distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en prolongeant celle faite dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Distinction_entre_forces_extérieures_et_intérieures_appliquées_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|distinction entre forces extérieures et intérieures appliquées à un système discret fermé de points matériels]] » ci-dessus selon : * les forces extérieures appliquées au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir <br><math>\succ\;</math>des forces volumiques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de champ<math>\big)</math> <math>\;d\vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> ou <br><math>\succ\;</math>des forces surfaciques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de contact<math>\big)</math> <math>\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N) = \vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N)\;d^2 S_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux" /> que l'extérieur du système exerce sur chaque point <math>\;N\;</math> de la surface fermée limitant <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> ; * les forces intérieures agissant dans le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> limitée par la surface fermée <math>\;\left( S \right)\;</math> sont <br><math>\succ\;</math>des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\big(</math>elles sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bivolumiques »<ref name="forces bivolumiques"> En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément de volume de l'expansion tridimensionnelle sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bivolumiques ».</ref><math>\big)\;</math> à savoir <math>\;d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - bis"> Les forces entre deux pseudo-points d'expansion tridimensionnelle étant proportionnelles aux deux éléments de volume de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément de volume, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> force que le pseudo-point centré en <math>\;M'\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> exerce sur le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> <math>\;\Bigg\{</math>le rapport <math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) =</math> <math>\dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathcal{V}_M\,d \mathcal{V}_{M'}}\;</math> pourrait être appelé densité bivolumique de force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\Bigg\}</math> ou <br><math>\succ\;</math>des forces de contact entre deux pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> voisins <math>\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^2S_N \right\rbrace}(N)</math> <math>= \vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^2 S_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Dans le cas où le système continu de matière devient d'<u>expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> parce que une des dimensions de l'expansion volumique initiale est infiniment petite, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des <u>forces surfaciques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion surfacique</u><math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\;d \mathcal{S}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\sigma(M)\;d \mathcal{S}_M</math>, dans lequel <math>\;\sigma(M)\;</math> est la masse surfacique du système continu en <math>\;M</math>, pseudo-point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide bidimensionnel, le pseudo-point est appelé « particule de fluide (bidimensionnel) »<math>\big]</math>.</ref> notées <math>\;d\vec{F}_{\!S}(M) =</math> <math>\vec{f}_{\!S}(M)\;d \mathcal{S}_M\;</math> avec <math>\;\vec{f}_{\!S}(M)\;</math> densité surfacique de force de champ au point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 :}}les forces surfaciques de contact initiales {{Transparent|sont à remplacer}} par des forces linéiques de contact s'exerçant sur chaque longueur élémentaire de la courbe fermée limitant un pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, notées <math>\;d^2\!\vec{F}_{\!\mathit{l}}(N_M) = \vec{f}_{\!\mathit{l}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - ter"> La longueur de la courbe fermée limitant le pseudo-point étant comme l'aire de ce dernier infiniment petite, une partie élémentaire de cette courbe fermée est de longueur infiniment petite relativement à la longueur de la courbe fermée, elle est donc infiniment petite d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> avec <math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(N_M)\;</math> densité linéique de force de contact au point <math>\;N_M</math> <math>\;\big[N_M\;</math> désignant un point de la courbe fermée limitant le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /><math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir <br><math>\succ\;</math>des forces surfaciques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de champ<math>\big)</math> <math>\;d\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{S}_M\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> ou <br><math>\succ\;</math>des forces linéiques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de contact<math>\big)</math> <math>\;d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N) = \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N)\;d^2 \mathit{l}_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - ter" /> que l'extérieur du système exerce sur chaque point <math>\;N\;</math> de la courbe fermée limitant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : on distingue : }}les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> limitée par la courbe fermée <math>\;\left( C \right)\;</math> sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> <math>\;\big(</math>sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bisurfaciques »<ref name="forces bisurfaciques"> En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément d'aire de l'expansion surfacique sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bisurfaciques ».</ref><math>\big)\;</math> à savoir <math>\;d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - tétra"> Les forces entre deux pseudo-points d'expansion surfacique étant proportionnelles aux deux éléments d'aire de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément d'aire, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> force que le pseudo-point centré en <math>\;M'\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> exerce sur le pseudo-point centré en <math>\;M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> <math>\;\Bigg\{</math>le rapport <math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathcal{S}_M\,d \mathcal{S}_{M'}}\;</math> pourrait être appelé densité bisurfacique de force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\Bigg\}</math> ou des forces de contact entre pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> voisins <math>\;d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin}},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N)= </math> <math>\vec{f}_{\!S,\,N\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N)\;d^2 \mathit{l}_{N}\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - ter" />. {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : Dans le cas où le système continu de matière devient d'<u>expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> parce que deux des dimensions de l'expansion volumique initiale sont infiniment petites, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}les forces volumiques de champ initiales sont à remplacer par des <u>forces linéiques de champ s'exerçant sur tous les pseudo-points de l'expansion linéique</u><math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M</math>, sa masse est donc <math>\;dm =</math> <math>\lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>, dans lequel <math>\;\lambda(M)\;</math> est la masse linéique du système continu en <math>\;M</math>, pseudo-point en translation dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> à la vitesse à l'instant <math>\;t</math> «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans le cas où le système continu de matière est un fluide monodimensionnel, le pseudo-point est appelé « particule de fluide (monodimensionnel) »<math>\big]</math>.</ref> notées <math>\;d\vec{F}_{\!\mathit{l}}(M) =</math> <math>\vec{f}_{\!\mathit{l}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math> avec <math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l}}(M)\;</math> densité linéique de force de champ au point <math>\;M\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 :}}les forces surfaciques de contact initiales {{Transparent|sont à remplacer}} par des forces de contact s'exerçant entre chaque pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> voisin, notées <math>\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\;</math> ou <math>\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M)\;</math> suivant que le pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> voisin du pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> centré en <math>\;M\;</math> est situé d'un côté ou de l'autre <math>\;\big\{</math>forces de contact exercées sur l'un ou l'autre des pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> extrêmes limitant l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}on distingue : les forces extérieures appliquées au système continu fermé d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, lesquelles sont des deux types principaux de forces rappelés ci-dessus à savoir <br><math>\succ\;</math>des forces linéiques <math>\;\big(</math>c.-à-d. de champ<math>\big)</math> <math>\;d\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M) = \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;d \mathcal{l}_M\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque pseudo-point centré en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> ou <br><math>\succ\;</math>les forces de contact exercées sur les pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> extrêmes limitant l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, <math>\;\vec{f}_{N_g\,\leftarrow\,\text{ext}_l}(N_g)\;</math> ou <math>\;\vec{f}_{N_d\,\leftarrow\,\text{ext}_{l'}}(N_d)\;</math> que l'extérieur du système exerce sur chaque point extrême limitant <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> suivant le côté considéré ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : on distingue : }}les forces intérieures agissant dans le système continu fermé d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> sont des forces de champ s'exerçant entre deux pseudo-points du système<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> <math>\,\big(</math>sont d'un autre type que les deux types principaux de forces rappelés ci-dessus, on pourrait les qualifier de « bilinéiques »<ref name="forces bilinéiques"> En effet ces forces s'exerçant entre deux pseudo-points sont proportionnelles à chaque élément de longueur de l'expansion linéique sur laquelle s'étend chaque pseudo-point et par suite peuvent être qualifiées de « bilinéiques ».</ref><math>\big)\,</math> à savoir <math>\,d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math><ref name="différentielle d'ordre deux - penta"> Les forces entre deux pseudo-points d'expansion linéique étant proportionnelles aux deux éléments de longueur de l'expansion de chaque pseudo-point sont donc infiniment petites relativement à chaque élément de longueur, elles sont donc infiniment petites d'ordre supérieur d'où la notation <math>\;d^2()</math>.</ref> force que le pseudo-point centré en <math>\,M'\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> exerce sur le pseudo-point centré en <math>\,M\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> <math>\,\Bigg\{</math>le rapport <math>\,\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M) = \dfrac{d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)}{d \mathit{l}_M\,d \mathit{l}_{M'}}\,</math> pourrait être appelé densité bilinéique de force que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\Bigg\}</math> ou des forces de contact entre pseudo-points<ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> voisins <math>\,\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\,</math> ou <math>\,\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M)\,</math> suivant que le pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> voisin du pseudo-point<ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> centré en <math>\,M\,</math> est situé d'un côté ou de l'autre. == Conséquence du principe des actions réciproques sur le système des forces intérieures == {{Al|5}}Le principe des actions réciproques <math>\;\big(</math>ou 3^ème loi de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] ([[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]) dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' pour qui l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] fut la contribution principale, dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment.</ref><math>\big)\;</math> a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques_et_commentaires|énoncé du principe des actions réciproques et commentaires]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », il ne s'agit donc que d'un rappel dans les deux 1^ers sous-paragraphes ci-dessous. === Rappel : énoncé du principe des actions réciproques === {{Théorème|titre=Principe des actions réciproques (ou 3^ème loi de Newton)|contenu={{Al|5}}Pour deux points matériels <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> en interaction telle que <math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2}\;</math> décrive l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points"> La force décrivant l'action de <math>\;M_2\;</math> sur <math>\;M_1\;</math> est encore notée <math>\;\vec{F}_{1\,,\,2}\;</math> et celle décrivant l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math> encore notée <math>\;\vec{F}_{2\,,\,1}\;</math> avec l'objet subissant l'action en 1^er indice et l'objet source de l'action en 2^nd.</ref> et <math>\;\vec{F}_{2\,\leftarrow\,1}\;</math> l'action de <math>\;M_1\;</math> sur <math>\;M_2\;</math><ref name="notation de l'action entre deux points" />, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2</math> : <center>«<math>\;\vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} + \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>» <br>et<br>«<math>\;\overrightarrow{M_1M_2} \wedge \vec{F}_{1\,\leftarrow\,2} = \vec{0}\;</math>»<ref> Ce qui est équivalent à «<math>\;\overrightarrow{M_2M_1} \wedge \vec{F}_{2\,\leftarrow\,1} = \vec{0}\;</math>».</ref>.</center>}} === Rappel : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}La résultante des forces intérieures <math>\,\vec{F}_{\text{int}}\,</math> s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\,</math> avec «<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» étant définie selon «<math>\,\vec{F}_{\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]</math> <math>= \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math>»<ref name="résultante des forces intérieures sur système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste"> En <u>dynamique relativiste</u>, <u>le principe des actions réciproques reste applicable</u> dans la mesure où les forces utilisées sont <u>invariantes par changement de référentiel</u> <math>\;\big(</math>et elles le sont toutes, même les forces électromagnétiques à condition de considérer le champ électromagnétique <math>\;\left\lbrace \vec{E}\,,\,\vec{B} \right\rbrace\;</math> dans sa globalité<math>\big)</math>.</ref> « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>»<ref name="démonstration de la nullité de la résultante des forces intérieures sur système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#1ère_conséquence_du_principe_des_actions_réciproques_en_dynamique_newtonienne,_la_nullité_de_la_résultante_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|1^ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système (discret) de points matériels fermé]] (démonstration) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Généralisation : résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière === {{Al|5}}La résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant définie selon «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bivolumique"> Il s'agit d'une intégrale bivolumique c.-à-d. de deux intégrales volumiques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales volumiques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bivolumique <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'}</math> en deux intégrales volumiques emboîtées, <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" /> et «<math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right]\;</math>»<ref name="intégrale quintuple"> On forme d'abord une intégrale surfacique pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;dS_M\;</math> la surface fermée limitant l'expansion volumique élémentaire <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{V}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale volumique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où la réécriture de l'intégrale quintuple <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right] =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux" />, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque résultante partielle <math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque résultante partielle et par suite « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> étant définie selon «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bisurfacique"> Il s'agit d'une intégrale bisurfacique c.-à-d. de deux intégrales surfaciques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales surfaciques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bisurfacique <math>\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math> en deux intégrales surfaciques emboîtées avec explicitation de l'argument <math>\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \!\!\!\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\;d \mathcal{S}_{M'} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - ter" /> et «<math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right]\;</math>»<ref name="intégrale triple"> On forme d'abord une intégrale curviligne pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;d\mathit{l}_M\;</math> le contour fermé limitant l'expansion surfacique élémentaire <math>\;d \mathcal{S}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{S}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale surfacique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où l'intégrale triple <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right] =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\; \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" />, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque résultante partielle <math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque résultante partielle et par suite « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}La résultante des forces intérieures <math>\;\vec{F}_{\text{int}}\;</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> étant définie selon «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{F}_{\text{int. de champ}} + \vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}</math>}} <math>= \displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bicurviligne"> Il s'agit d'une intégrale bicurviligne c.-à-d. de deux intégrales curvilignes emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales curvilignes dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bicurviligne <math>\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \!\!d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math> en deux intégrales curvilignes emboîtées avec explicitation de l'argument <math>\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \!\!\!\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\;d \mathit{l}_{M'} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - penta" /> et «<math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}} =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref name="signification Mg et Md" > Les points <math>\;M_g\;</math> et <math>\;M_d\;</math> étant les deux points de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> voisins de <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;\ldots</math></ref>, on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque résultante partielle <math>\;\vec{F}_{\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque résultante partielle et par suite « <u>la nullité de la résultante des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique <u>en dynamique newtonienne</u> » <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\;</math>». === Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un « point origine quelconque A », moment résultant scalaire de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ » === ==== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque ==== {{Al|5}}Le vecteur moment résultant, par rapport au point origine <math>\;A</math>, des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec «<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» est définie selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left( \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right) \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, N}^{j\, \neq\, i} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right] = \sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math>» ; {{Al|5}}on déduit du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> « <u>la nullité du moment résultant vectoriel des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration</u> : « en associant les termes de la somme <math>\;\sum\limits_{i\, =\, 1\, ..\,N} \left[ \sum\limits_{j\, =\, 1\, ..\, i - 1}^{j\, =\, i + 1\, ..\, N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right]\;</math> par couple <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\,,\, \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} \right\rbrace\;</math>» dont la somme vaut «<math>\;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} =</math> <math>\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \left( -\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} \right)</math> après avoir utilisé la 1^ère relation du principe des actions réciproques à savoir <math>\;\vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = -\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;</math>» ou encore, après « factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,j}\;</math>»<ref name="factorisation vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> et utilisation de la relation de Chasles<ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref> sur l’autre facteur «<math>\;\left[ \overrightarrow{AM_i} - \overrightarrow{AM_j} \right] \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} = \overrightarrow{M_jM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} = \vec{0}\;</math> par la 2^ème partie du principe des actions réciproques » d'où la nullité de chaque somme de couple «<math>\;\overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,j} + \overrightarrow{AM_j} \wedge \vec{F}_{j\,\leftarrow\,i} = \vec{0}\;</math>» et par suite, en faisant la somme sur tous les couples différents possibles «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\;</math>». ==== Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque ==== {{Al|5}}De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\;</math> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique"> <math>\;\mathcal{E}\;</math> étant l'[[w:Espace_affine|espace affine]] tridimensionnel [[w:Espace_euclidien|euclidien]] modélisant l'espace physique.</ref> et <br>{{Al|5}}de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> à partir du vecteur moment relativement à un point <math>\;A\;</math> de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on en tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|de }}la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} =</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> puis <br>{{Al|5}}on en déduit « <u>la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système de points matériels fermé <u>en dynamique newtonienne</u> <math>\;\big(</math>et aussi relativiste<math>\big)\;</math> par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = 0,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. === Généralisation : vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un « point origine quelconque A », moment scalaire résultant de ces forces intérieures par rapport à un « axe quelconque Δ » === ==== Vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque ==== {{Al|5}}Du vecteur moment résultant par rapport au point origine quelconque <math>\,A\;</math><ref name="quelconque" /> des forces intérieures <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}}\,</math> s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} =</math> <math>\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bivolumique - bis"> Il s'agit d'une intégrale bivolumique c.-à-d. de deux intégrales volumiques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales volumiques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bivolumique <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) \right]</math> en intégrales volumiques emboîtées selon <math>\;\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace}(M) =</math> <math>\;\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\;d \mathcal{V}_{M'} =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" /> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale quintuple - bis"> On forme d'abord une intégrale surfacique pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;dS_M\;</math> la surface fermée limitant l'expansion volumique élémentaire <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{V}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale volumique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où la réécriture de l'intégrale quintuple selon <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge d^2\vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace N_M,\,d^2S_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2S_N \right\rbrace}(N_M) \right\rbrace\;</math> en explicitant le moment vectoriel ou encore <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left[ \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M}\; \right] d \mathcal{V}_M\;</math> en détaillant la force à intégrer <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux" />, on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> <math>\;\big(</math>appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iiint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale bivolumique<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_{M'} \right] d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathcal{V}_M \right] d \mathcal{V}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés selon <math>\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\; d \mathcal{V}_{M'}\;</math> après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)</math> {{Nobr|<math>\big[</math>utilisation}} de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et, en utilisant la relation de Chasles, <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{V}_M\; d \mathcal{V}_{M'} = \vec{0}\;</math> par 2^ème partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;M\;</math> et de <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oiint\limits_{N_M\,\in\,d S_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale quintuple<math>\big)\;</math> avec <math>\;N_M = N_{M'}\;</math> point commun des deux expansions élémentaires voisines centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'</math>, de volume respectif <math>\;d \mathcal{V}_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{V}_{M'}\;</math> de même valeur, la surface commune centrée en <math>\;N_M = N_{M'}\;</math> est de même aire <math>\;d^2 S_{N_M}</math>, termes associés selon <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M + \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\!S,\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'}) =</math> <math>-\vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_M - \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!S,\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 S_{N_M} \right] d \mathcal{V}_{M'} = \vec{0}</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;N_{M'} =</math> <math>N_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{V}_{M'} = d \mathcal{V}_M\big]</math>, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;N_M\;</math> et de <math>\;N_M'\;</math> sur les surfaces limitant les expansions élémentaires centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> ainsi que celles résultant de la variation de <math>\;M\;</math> ou <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref> et par suite « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Ce qui vient d'être établi pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle est encore applicable pour un système continu fermé de matière d'expansion surfacique ou linéique, les seules modifications portant sur le type d'intégrales y intervenant : {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Le vecteur moment résultant relativement à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> étant défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bisurfacique - bis"> Il s'agit d'une intégrale bisurfacique c.-à-d. de deux intégrales surfaciques emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales surfaciques dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où en décomposant l'intégrale bisurfacique en intégrales surfaciques emboîtées selon <math>\;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathcal{S}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathcal{S}_{M'} \right\rbrace}(M) = \;\;\;\;\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\;d \mathcal{S}_{M'} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - ter" /> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="intégrale triple - bis"> On forme d'abord une intégrale curviligne pour ajouter toutes les contributions correspondant à <math>\;N_M\;</math> variant sur <math>\;d\mathit{l}_M\;</math> le contour fermé limitant l'expansion surfacique élémentaire <math>\;d \mathcal{S}_M\;</math> centrée en <math>\;M</math>, <math>\;N_{\text{voisin de }N_M}\;</math> étant le point immédiatement voisin de <math>\;N_M\;</math> hors de <math>\;d \mathcal{S}_M</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, puis on forme une intégrale surfacique pour faire varier <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, d'où la réécriture de l'intégrale triple en explicitant le moment vectoriel puis la force à intégrer <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge d^2\vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace N_M,\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace N_{\text{voisin de } N_M},\,d^2\mathit{l}_N \right\rbrace}(N_M) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left[ \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M}\; \right] d \mathcal{S}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - bis" />, on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>appliqué}} dans chaque vecteur moment résultant partiel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque vecteur moment résultant partiel<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu - bis"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\iint\limits_{M'\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale bisurfacique<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_{M'} \right] d \mathcal{S}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathcal{S}_M \right] d \mathcal{S}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés <math>\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\; d \mathcal{S}_{M'}\;</math> après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)</math> <math>\;\big[</math>utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> puis, en utilisant la relation de Chasles, <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathcal{S}_M\; d \mathcal{S}_{M'} = \vec{0}\;</math> par 2^ème partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;M\;</math> et de <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu - bis"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace \displaystyle\oint\limits_{N_M\,\in\,d \mathit{l}_M} \overrightarrow{AN_M} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{\text{voisin}}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right\rbrace d \mathcal{S}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale triple<math>\big)\;</math> avec <math>\;N_M</math> <math>= N_{M'}\;</math> point commun des deux expansions élémentaires voisines centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'</math>, d'aire respective <math>\;d \mathcal{S}_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{S}_{M'}\;</math> de même valeur, le contour commun centré en <math>\;N_M = N_{M'}\;</math> est de même longueur <math>\;d^2 \mathit{l}_{N_M}</math>, termes associés selon <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_M + \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'})\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_{M'}\,\leftarrow\,N_{M}}(N_{M'}) = -\vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{AN_M} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_M - \overrightarrow{AN_{M'}} \wedge \left[ \vec{f}_{\!\mathit{l},\,N_M\,\leftarrow\,N_{M'}}(N_M)\;d^2 \mathit{l}_{N_M} \right] d \mathcal{S}_{M'} = \vec{0}</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;N_{M'} = N_M\;</math> et <math>\;d \mathcal{S}_{M'} = d \mathcal{S}_M\big]</math>, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;N_M\;</math> et de <math>\;N_M'\;</math> sur les contours limitant les expansions élémentaires centrées en <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> ainsi que celles résultant de la variation de <math>\;M\;</math> ou <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref> et par suite « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion surfacique <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Le moment résultant <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> relativement à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> des forces intérieures s’exerçant sur le système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> étant défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math>» où «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M) \right] = \;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math>»<ref name="intégrale bicurviligne - bis"> Il s'agit d'une intégrale bicurviligne c.-à-d. de deux intégrales curvilignes emboîtées ou non <math>\;\big[</math>revoir les intégrales curvilignes dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> d'où, en décomposant l'intégrale bicurviligne <math>\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\left( M\,,\, M' \right)\,\in\,\left( \Gamma \right)^2} \overrightarrow{AM} \wedge d^2 \vec{F}_{\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\left\lbrace M',\, d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace}(M)\;</math> en deux intégrales curvilignes emboîtées avec explicitation de l'argument <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="différentielle d'ordre deux - penta" /> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" />{{,}}<ref name="signification Mg et Md" />, on déduit de l'utilisation successive de la 1^ère et 2^ème parties du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> <math>\big(</math>appliqué dans chaque vecteur moment résultant partiel <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}}\;</math> en regroupant les termes par couples<math>\big)\;</math> la nullité de chaque vecteur moment résultant {{Nobr|partiel<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de champ d'un système continu - ter"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de champ}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \displaystyle\int\limits_{M'\,\in\,\left( \mathit{l} \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale bicurviligne<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_{M'} \right] d \mathit{l}_M + \overrightarrow{AM'} \wedge \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M'\,\leftarrow\,M}(M')\;d \mathit{l}_M \right] d \mathit{l}_{M'}\;</math> dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M'\,\leftarrow\,M}(M') = -\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;</math> selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques d'où la réécriture de la somme des deux termes associés <math>\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM'} \right] \wedge \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\; d \mathit{l}_{M'}\;</math> après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)</math> <math>\;\big[</math>utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> puis, en utilisant la relation de Chasles, <math>\;\overrightarrow{M'M} \wedge \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}(M)\;d \mathit{l}_M\; d \mathit{l}_{M'} = \vec{0}\;</math> par 2^ème partie du principe des actions réciproques, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de <math>\;M\;</math> et de <math>\;M'\;</math> dans <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> et en divisant par <math>\;2</math> <math>\;\big[</math>en effet ajouter toutes les contributions après association par couple fait intervenir deux fois chaque terme<math>\big]\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="nullité du moment vectoriel des forces intérieures de contact d'un système continu - ter"> Pour établir la nullité de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int. de contact}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \left[ \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_d}(M) \right] d\mathit{l}_M\;</math> on associe les différents termes de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale curviligne<math>\big)\;</math> selon <math>\;\overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) + \overrightarrow{AM_g} \wedge \vec{f}_{\!M_g\,\leftarrow\,M}(M_g)\;</math> dans laquelle <math>\;\left( M_g\,,\, M \right)\;</math> du 2^ème produit vectoriel est un terme du type <math>\;\left( M\,,\, M_d \right)\;</math> de l'argument de la somme continue <math>\;\big(</math>par intégrale curviligne<math>\big)\;</math> avec, selon la 1^ère partie du principe des actions réciproques <math>\;\vec{f}_{\!M_g\,\leftarrow\,M}(M_g) = -\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)\;</math> d'où la réécriture de la somme des deux termes associés après factorisation vectorielle à droite par <math>\;\vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M)</math> <math>\;\big[</math>utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse », voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> selon <math>\;\left[ \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AM_g} \right] \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) = \overrightarrow{M_gM} \wedge \vec{f}_{\!M\,\leftarrow\,M_g}(M) \rightarrow \vec{0}</math> <math>\;\big[</math>car <math>\;M_g\;</math> étant un point voisin immédiat du point <math>\;M</math>, entités sans épaisseur, <math>\;M_g \rightarrow M\;</math> et par suite <math>\;\overrightarrow{M_gM} \rightarrow \vec{0}\big]</math>, d'où le résultat final en ajoutant les contributions résultant de la variation de de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( \Gamma \right)\;\ldots</math></ref>}} et par suite « <u>la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système continu fermé d'expansion linéique <u>en dynamique newtonienne</u> par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> <math>\;\big(</math>on établit de la même façon<ref name="3ème loi de Newton en dynamique relativiste" /> que la propriété reste applicable en dynamique relativiste<math>\big)\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. ==== Moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un axe Δ quelconque ==== {{Al|5}}De la propriété du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> et <br>{{Al|5}}de la définition d'un moment scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> à partir du vecteur moment relativement à un point <math>\;A\;</math> de l'axe, ce dernier étant orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, on en tire <br>{{Al|10}}la définition du moment scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique par rapport à un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> puis <br>{{Al|5}}on en déduit « <u>la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures</u> s’exerçant sur un système fermé discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique <u>en dynamique newtonienne</u> <math>\;\big(</math>et aussi relativiste<math>\big)\;</math> par rapport à un axe <math>\;\Delta\;</math> quelconque »<ref name="quelconque" /> soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{int}} = 0,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. === Commentaire sur la nullité de la résultante et du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système fermé de matière === {{Al|5}}Bien que <u>le système des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière</u> ait une résultante nulle et un moment résultant par rapport à un point origine quelconque<ref name="quelconque" /> également nul, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Bien que }}le système des forces intérieures <u>n’est pas, a priori, équivalent à un système de forces nulles</u><ref> En effet nous verrons dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] de la définition de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », que la puissance développée par les forces intérieures n'est pas nulle si le système de matière est déformable alors qu'un système de forces nulles ne développe évidemment aucune puissance<math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : en utilisant la notion <math>\,\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\,</math> de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rematque : }}l'ensemble de la résultante et du moment résultant <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> des forces intérieures s'exerçant sur un système fermé de matière, moment par rapport à un point origine quelconque <math>\;A\;</math><ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble }}constitue les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\;A\;</math><ref name="éléments de réduction d'un torseur"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Réduction_d'un_torseur_en_un_point_quelconque_de_l'espace_affine_euclidien_tridimensionnel_sur_lequel_il_est_défini|réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> du [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] <ref name="torseur statique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> des forces intérieures <math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. int}}\;</math> s'exerçant sur le système fermé de matière soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> du torseur statique des forces intérieures }}«<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. int}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{int}} = \vec{0}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{int}} = \vec{0}\end{array}\right\rbrace_A,\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Rematque : l'ensemble constitue les éléments de réduction en <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> }}<u>le [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]<ref name="torseur statique" /> des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est</u> donc <u>le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]</u><ref name="torseur nul"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Nullité_d'un_torseur|torseur nul]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}toutefois si le [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]<ref name="torseur statique" /> des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière est le [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]<ref name="torseur nul" />, <u>ce n'est pas le [[w:Torseur|torseur]] de forces nulles</u><ref> Seuls les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en tout point de l'espace affine euclidien tridimensionnel du [[w:Torseur#Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]] des forces intérieures s'exerçant sur le système fermé de matière <math>\;\big(</math>égal au [[w:Torseur#Torseur_nul|torseur nul]]<math>\big)\;</math> et du [[w:Torseur|torseur]] de forces nulles sont les mêmes, les forces agissant sur chaque point d'un système discret ou sur chaque pseudo-point d'un système continu <math>\;\big\{</math>un pseudo-point étant un élément de matière de dimension mésoscopique {{Nobr|<math>\;\big(</math>petite}} à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique<math>\big)\big\}\;</math> n'étant évidemment pas les mêmes et ce sont elles qui sont à prendre en compte quand un système isolé <math>\;\big(</math>c.-à-d. sans forces extérieures<math>\big)\;</math> se déforme <math>\;\ldots</math></ref>. == Résultante dynamique, moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire appliqués à un système de points matériels == {{Al|5}}Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les notions de résultante dynamique et de moments résultants dynamiques vectoriel et scalaire }}restent applicables en dynamique relativiste. === Rappel : résultante dynamique appliquée à un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}La résultante dynamique appliquée au système discret fermé de points matériels <math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}\;</math> avec {{Nobr|«<math>\;N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»}} <br>{{Al|5}}{{Transparent|La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}\;</math> s’exerçant sur ce système<ref name="résultante dynamique"> Voir 1^ère introduction du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Définition_de_la_résultante_dynamique_s'exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système (discret) de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\;</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}}\,</math> somme des forces }}sur chaque point matériel <math>\,M_i\,</math> du système ». === Complément : résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière === {{Al|5}}La définition de la résultante dynamique appliquée à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues <math>\;\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, surfacique<ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> d'où : {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\;\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\,</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités volumiques de forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion tridimensionnelle ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d S_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> du système » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités surfaciques de forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>La résultante dynamique appliquée au système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique }}est la résultante des forces extérieures <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des forces que chaque <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> du système » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. }}«<math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités linéiques de forces que <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>La résultante dynamique est la résultante des forces extérieures <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}}\,</math> s’exerçant sur ce système c.-à-d. « }}chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\;</math>». === Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine « quelconque A » === {{Définition|titre=Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système de points matériels fermé|contenu= {{Al|5}}Le <u>vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine</u><math>\;A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> appliqué à un système fermé de points matériels <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}<math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}\,</math> est le <u>vecteur moment résultant des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique <math>\color{transparent}{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}}\,</math> est le vecteur moment résultant }}points matériels <u>relativement au point</u><math>\;A\,</math> soit encore <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}}\,</math> somme des forces que }}chaque point matériel <math>\,M_i\;</math>».}} === Complément : Vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un point origine « quelconque A » === {{Al|5}}La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> est calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, les seules modifications consistant à remplacer les sommes discrètes par des sommes continues <math>\;\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, {{Nobr|surfacique<ref name="intégrale surfacique" />}} ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> d'où : {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à <math>\;A\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!V,\,\left\lbrace M,\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,</math> somme des forces que }}chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathcal{V}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> du système » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités volumiques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;</math> somme des densités volumiques de forces que }}chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion tridimensionnelle du système ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à <math>\;A\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d S_M\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!S,\,\left\lbrace M,\, d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,</math> somme des forces que }}chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d S_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" /> du système » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités surfaciques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;</math> somme des densités surfaciques de forces que }}chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion surfacique du système ». {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique }}est le vecteur moment résultant des forces extérieures s’exerçant sur ce système évalué par rapport à <math>\;A\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k d \vec{F}_{\!\mathit{l},\,\left\lbrace M,\, d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\,</math> somme des forces que }}chaque pseudo point <math>\,\left( M,\,d \mathit{l}_M \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" /> du système » ou <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est }}«<math>\;\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)\;</math> somme des densités linéiques de forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce en <br>{{Al|2}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Le vecteur moment résultant dynamique est «<math>\;\color{transparent}{\vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}(M) = \sum\limits_k \vec{f}_{\!\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}_k}(M)}\;</math> somme des densités linéiques de forces que }}chaque point <math>\;M\;</math> de l'expansion linéique du système ». === Complément : vecteurs résultante et moment résultant dynamiques s'exerçant sur un système discret (ou continu) fermé de matière, éléments de réduction du torseur dynamique de ce système === {{Al|5}}En utilisant la notion <math>\,\big(</math>hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\,</math> de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" />, <br>{{Al|6}}{{Transparent|En utilisant la notion }}<u>l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques, moment par rapport à un point origine quelconque</u><math>\;A\;</math><ref name="quelconque" />, s'exerçant sur un système fermé de matière <br>{{Al|6}}{{Transparent|En utilisant la notion l'ensemble }}constitue les <u>[[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]]</u> en <math>\,A\;</math><u>du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]</u><ref name="torseur statique" />{{,}}<ref name="éléments de réduction d'un torseur" />{{,}}<ref name="torseur statique et non dynamique"> Attention le qualificatif « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|dynamique]] » pour un [[w:Torseur|torseur]] a une signification particulière relative à la façon dont les « quantités de mouvement » des points <math>\,\big\{</math>ou des pseudo-points <math>\,\big[</math>éléments de matière de dimension mésoscopique <math>\,\big(</math>c.-à-d. petite à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique<math>\big)\big]\big\}\,</math> varient avec le temps, celui de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|statique]] » attribué à un [[w:Torseur|torseur]] fait toujours référence aux forces appliquées au système, que celles-ci soient intérieures ou extérieurs ; <br>{{Al|3}}même s'il y a un lien entre le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_dynamique|torseur dynamique]] d'un système et le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur statique]] des forces extérieures appliquées au système dans un référentiel galiléen cela résulte d'un théorème et non de la définition d'où la nécessité de faire a priori la différence <math>\;\ldots</math></ref> <u>des forces extérieures</u><math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. ext}}\;</math> s'exerçant sur ce système fermé de matière, d'où <br>{{Al|24}}{{Transparent|En utilisant la notion l'ensemble constitue les éléments de réduction en <math>\,\color{transparent}{A}\;</math>du torseur statique des forces extérieures}}«<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat. ext}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{F}_{\text{ext}}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \end{array}\right\rbrace_A,\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" />. === Moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe « quelconque Δ » === {{Al|5}}Le vecteur moment résultant dynamique s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\,\big[</math>avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,</math> par rapport à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique }}se définissant par «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\;\;\forall\;A\;\in\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le vecteur moment résultant dynamique se définissant par }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\,</math> somme des forces que chaque système <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieur exerce sur chaque point matériel <math>\,M_i\;</math>» et <br>{{Al|5}}le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\,\Delta\,</math> se définissant à partir du vecteur moment résultant dynamique relativement à un point <math>\,A\, \in\,\Delta</math>, axe orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le moment résultant scalaire dynamique relativement à un axe <math>\,\color{transparent}{\Delta}\,</math> se définissant }}par «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta,\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;\Delta\;\subset\;\mathcal{E}\;</math>»<ref name="espace physique" /> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}la définition du moment résultant dynamique scalaire s’exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]}</math> <math>\,\big[</math>avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,</math> par rapport à un axe <math>\,\Delta\,</math> quelconque<ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la définition du moment résultant dynamique scalaire }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right] \cdot \vec{u}_\Delta = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \left[ \left( \overrightarrow{AM_i} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right) \cdot \vec{u}_\Delta \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>». {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système de points matériels fermé|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système de points matériels fermé <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de points matériels fermé <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>» avec <br>«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M_i\;</math>».</center>}} === Complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe « quelconque Δ » === {{Al|5}}La définition du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique évalué relativement à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> étant calquée sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues <math>\;\big(</math>c.-à-d. mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> et <br>{{Al|17}}celle du moment résultant dynamique scalaire d'un système discret fermé de points matériels relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> s'obtenant par [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] du vecteur moment résultant dynamique appliqué à ce système en n'importe quel point <math>\;A\;\in\,\Delta\;</math> par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> orientant <math>\;\Delta\;</math> avec utilisation de la distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}on en déduit la définition du moment résultant dynamique scalaire d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> utilisant * d'une part la définition générale d'un moment scalaire relativement à un moment vectoriel et * d'autre part la propriété de « distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'intégration vectorielle »<ref name="intégration vectorielle"> L'intégration vectorielle étant une addition <math>\;\big(</math>continue<math>\big)\;</math> d'une fonction vectorielle dépendant du pseudo-point <math>\;\big[</math>élément de matière de dimension mésoscopique <math>\;\big(</math>c.-à-d. petite à l'échelle macroscopique et grande à l'échelle microscopique<math>\big)\big]\;</math> générique de l'expansion {{Nobr|<math>\;\big(</math>tridimensionnelle,}} surfacique ou linéique<math>\big)\;</math> sur lequel l'intégration est faite.</ref> : {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système continu fermé de matière <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> quelconque <math>\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}</math> appliqué à un }}d'expansion tridimensionnelle <math>\left( \mathcal{V} \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\iiint\limits_{M\, \in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="intégrale volumique" /> avec <br>«<math>\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M,\,\left( d\mathcal{V}_M \right)\;</math>».</center>}} {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion surfacique|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système continu fermé de matière <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> quelconque <math>\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}</math> appliqué à un }}d'expansion surfaciqye <math>\left( \mathcal{S} \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\iint\limits_{M\, \in\,\left( \mathcal{S} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="intégrale surfacique" /> avec <br>«<math>\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d S_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M,\,\left( dS_M \right)\;</math>».</center>}} {{Définition|titre=Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système continu fermé de matière d'expansion linéique|contenu= {{Al|5}}Le <u>moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe</u><math>\;\Delta</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}</math> appliqué à un système continu fermé de matière <br>{{Al|11}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire par rapport à un axe<math>\;\color{transparent}{\Delta}</math> quelconque <math>\,\color{transparent}{\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}}</math> appliqué à un }}d'expansion linéiqye <math>\left( \Gamma \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le moment résultant dynamique scalaire }}est le <u>moment résultant scalaire des forces extérieures</u> s'exerçant sur ce système de matière <u>relativement à l'axe</u><math>\;\Delta\,</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> soit, <math>\,A\,</math> étant un point quelconque de <math>\,\Delta</math>, <center>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta\; \overset{\cdots}{=}\; \displaystyle\int\limits_{M\, \in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="intégrale curviligne" /> avec <br>«<math>\;d \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{\left\lbrace M,\,d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math> la somme des forces <br>que chaque système <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieur exerce sur <math>\;M,\,\left( d\mathit{l}_M \right)\;</math>».</center>}} == Changement d’origine de calcul du moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système de points matériels == === Changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels === {{Al|5}}À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force <math>\,\vec{F}(M)\;</math><ref name="dépendance de F" /> appliquée à un point matériel <math>\,M\,</math> par rapport à un point origine <math>\,A\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math>»<ref name="changement d'origine du vecteur moment d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d’origine_de_calcul_du_moment_vectoriel_d’une_force|changement d'origine de calcul du moment vectoriel d'une force]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|8}}{{Transparent|À partir du « changement d'origine du vecteur moment d'une force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M)}\;</math> }}«<math>\;\forall\;\left( O\,,\,O' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O'}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O}\!\left[ \vec{F}(M),\,t \right] + \overrightarrow{O'O} \wedge \vec{F}(M),\;\;\left( \mathfrak{ch} \right)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir }}du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels <math>\,\left\lbrace M_i,\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}</math> <math>\,\big[</math>avec <math>\,N\,\in\,\mathbb{N}^*\, \backslash \left\lbrace 1 \right\rbrace\big]\,</math> par rapport à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du vecteur moment résultant dynamique }}défini selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{AM_i}(t) \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du vecteur moment résultant dynamique défini selon }}«<math>\;\vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum\limits_k \vec{F}_{i\,\leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math><ref name="dépendance de F" /> somme des forces que les systèmes <math>\;(\Sigma_k)\;</math> extérieurs exerce sur chaque point matériel <math>\,M_i\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du }}par addition vectorielle des relations <math>\,\left( \mathfrak{ch} \right)</math> <math>\,\big\{</math>dans lesquelles <math>\,M\,</math> est remplacée par <math>\,M_i,\;i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> ainsi que <math>\,\left( O\,,\, O' \right)\,</math> par <math>\,\left( A\,,\, A' \right)\big\}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] + \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}« en factorisant vectoriellement à gauche par <math>\;\overrightarrow{A'A}\;</math>»<ref name="factorisation vectorielle" /> dans le 2^ème terme du 2^ème membre <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] = \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\! \left[ \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}},\, t \right] + \overrightarrow{A'A} \wedge \left[ \sum\limits_{i = 1}^{i = N} \vec{F}_{i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle }}«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> avec «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_k \vec{F}_{\text{ext}_k}(t)\,</math> la somme des résultantes dynamiques <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du par addition vectorielle «<math>\;\color{transparent}{\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \sum \vec{F}_{\text{ext}_k}(t)}\,</math> la somme }}exercées par tous les systèmes <math>\,(\Sigma_k)\,</math> extérieurs ». === Complément : changement d’origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière === {{Al|5}}Les définitions des vecteurs résultante et moment résultant dynamiques appliqués à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des vecteurs résultante et }}moment évalué par rapport à un point origine <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" />, étant calquées sur celle d'un système discret fermé de points matériels, avec pour <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des }}seules modifications le remplacement des sommes discrètes par des sommes continues {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} mettant en œuvre une intégrale volumique<ref name="intégrale volumique" />, surfacique<ref name="intégrale surfacique" /> ou curviligne<ref name="intégrale curviligne" /><math>\big)</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Les définitions des seules modifications le remplacement }}de la factorisation vectorielle à gauche dans une somme discrète vectorielle »<ref name="factorisation vectorielle" /> par « celle dans une intégration vectorielle »<ref name="intégration vectorielle" />{{,}}<ref name="factorisation vectorielle - bis"> Utilisation de « la distributivité de la [[w:Produit_vectoriel#Définition|multiplication vectorielle]] par rapport à l’intégration vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir la signification d'« intégration vectorielle » dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-intégration_vectorielle-93|⁹³]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;\ldots</math></ref>, d'où <br>{{Al|5}}la formule de changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : <center>«<math>\;\forall\;\left( A\,,\,A' \right) \in \mathcal{E}^2,\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="espace affine euclidien tridimensionnel" /> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique exercée sur le système continu fermé <br>{{Al|15}}d'expansions tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math>».</center> === Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction === === Complément : changement d’axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système matériel quand les deux axes gardent une même direction === {{Al|5}}Soit <math>\,\left( \Delta\,,\, \Delta' \right)\,</math> un couple d'axes <math>\,\parallel\,</math> quelconques<ref name="quelconque" /> tous deux orientés par le même vecteur unitaire <math>\,\vec{u}_\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Soit }}<math>\,A\,</math> et <math>\,A'\,</math> deux points quelconques choisis respectivement sur <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\Delta'</math>, <br>{{Al|5}}le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique appliqué au système matériel fermé, qu'il soit discret ou continu d'expansions tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique }}s'écrivant «<math>\;\forall\;A\;\in\;\Delta,\;\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;\;( \mathfrak{a} )\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant }}«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d'expansions tridimensionnelle, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine du vecteur moment résultant dynamique s'écrivant «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;</math> la résultante dynamique exercée sur le système matériel fermé discret ou continu d’}}surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique appliqué au système s'obtient en multipliant scalairement chaque membre de la relation <math>\;( \mathfrak{a} )\;</math> par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_\Delta + \left[ \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{F}_{\text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}en utilisant la distributivité de la [[w:Produit_scalaire|multiplication scalaire]] relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>»<ref name="invariance du produit mixte"> En effet le produit mixte de trois vecteurs est invariant par permutation circulaire, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec «<math>\;\Delta'\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> de direction <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}notant <math>\,H'\,</math> le projeté orthogonal de <math>\,A'\,</math> sur <math>\,\Delta</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A} = \vec{u}_\Delta \wedge \left( \overrightarrow{A'H'} + \overrightarrow{H'A} \right) = \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} + \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H'A}\;</math><ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « notant <math>\,\color{transparent}{H'}\,</math> le projeté orthogonal de <math>\,\color{transparent}{A'}\,</math> sur <math>\,\color{transparent}{\Delta}</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'A}}</math> }}<math>= \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math><ref> Les points <math>\;H'\;</math> et <math>\;A\;</math> étant tous deux sur <math>\;\Delta</math>, <math>\;\overrightarrow{H'A}\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{H'A} = \vec{0}</math>, voir la 1^ère partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> dont nous déduisons <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math>» avec «<math>\;\Delta'\;\parallel\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> de direction <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\;\forall\;A'\;\in\;\Delta',\;\;\forall\;A\;\in\;\Delta\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) + \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)}\;</math>» avec «<math>\;\color{transparent}{\Delta'\;\parallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\Delta}\;</math> }}et <math>\,H'\,</math> projeté orthogonal de <math>\,A'\,</math> sur <math>\,\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « }}le vecteur «<math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math>» étant <math>\,\perp\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace</math>, selon la disposition de la résultante dynamique <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> du système <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique « le vecteur «<math>\;\color{transparent}{\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}}\;</math>» étant <math>\,\color{transparent}{\perp}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, selon la disposition de la }}à l'instant <math>\,t</math>, le changement d'axe se réécrit : <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> est <math>\,\parallel\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace</math>, <math>\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = 0\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit mixte - 1"> Voir la 1^ère partie de la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_mixte_de_trois_vecteurs|définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », <math>\;\vec{u}_\Delta</math>, <math>\;\overrightarrow{A'H'}\;</math> et <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> <math>\big\{</math>ou <math>\;\vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t)\big\}\;</math> étant alors coplanaires <math>\;\ldots</math></ref> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <math>\,\Delta'\,</math> étant <math>\,\parallel\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = 0}\,</math> d'où « }}avec «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\; \parallel\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique }}<math>\bullet\;</math>si <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t)\,</math> est <math>\,\not\parallel\,</math> au plan <math>\,\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace</math>, c.-à-d. si <math>\,\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t) + \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t)\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t) \neq \vec{0}\,</math> composante <math>\,\perp\,</math> au plan, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, }}<math>\,\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \left[ \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t) + \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t) \right]\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, }}par distributivité de la multiplication mixte<ref name="définition d'un produit mixte" /> par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributuvité de la multiplication mixte par rapport à l'addition vectorielle" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, <math>\,\color{transparent}{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t)}</math> }}<math>= \cancel{\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext},\, \parallel}(t)\; +} \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext},\, \perp}(t)\;</math><ref name="définition intrinsèque du produit mixte - 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>, }}ou, avec «<math>\;\mathit{d} = A'H'\;</math> la distance <math>\,\big(</math>non algébrisée<math>\big)\,</math> séparant les deux axes <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\Delta'\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,}}«<math>\;\left[ \vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'} \right] \cdot \vec{F}_{\text{ext}}(t) = \pm\, \Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}\;</math>»<ref name="plus ou moins"> Avec le signe «<math>\;+\;</math>» si «<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)\;</math> est de même sens que <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec le signe }}«<math>\;-\;</math>» si «<math>\;\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)\;</math> est de sens contraire à <math>\;\vec{u}_\Delta \wedge \overrightarrow{A'H'}\;</math>».</ref> d'où le changement d'axe se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,}}«<math>\;\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}\;</math>» où <math>\,\Delta'\;\parallel\,</math> à <math>\,\Delta\,</math> et <math>\,\mathit{d} = d \left( \Delta\,,\,\Delta' \right)\;</math><ref> C-à-d la plus courte distance séparant les deux axes.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;</math>» où }}<math>\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)</math> composante de <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;</math>» où <math>\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t)}</math> }}<math>\perp</math> au plan <math>\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'axe de calcul du moment résultant scalaire dynamique <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\vec{F}_{\text{ext}}(t)}\,</math> est <math>\,\color{transparent}{\not\parallel}\,</math> au plan <math>\,\color{transparent}{\left\lbrace \Delta\,,\,\Delta' \right\rbrace}</math>,«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{M}_{\Delta',\,\text{ext}}(t) = \mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) \pm\;\Big\Vert \vec{F}_{\text{ext},\,\perp}(t) \Big\Vert\;\mathit{d}}\;</math>» où }}<math>\,+\,</math> ou <math>\,-\,</math> suivant la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-plus_ou_moins-100|¹⁰⁰]] » == Définition d’un couple, propriété du moment vectoriel d’un couple == === Définition d'un couple en tant que système de forces === {{Définition|titre=Définition d'un couple parmi les systèmes de forces|contenu={{Al|5}}Un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\big(</math>en tant que système de forces<math>\big)\;</math> est un système de forces dont * la résultante est nulle à tout instant <math>\;t\;</math> soit : «<math>\;\overrightarrow{\text{résult}}_{\text{couple}}(t) = \vec{0}\;\;\forall\;t\;</math>» et * le moment résultant par rapport à un point <math>\;A\;</math> quelconque<ref name="quelconque" /> n'est pas identiquement nul soit : {{Nobr|«<math>\;\forall\;A</math>,}} <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{couple}}(t) \neq \vec{0}\;</math>»<ref> Cela signifiant qu'il existe au moins un instant <math>\;t'\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\text{couple}}(t')\;</math> soit <math>\;\neq \vec{0}\;</math> mais rien n'interdit que le moment résultant soit nul à certains instants.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\big(</math>en tant que système de forces<math>\big)\;</math> est un cas particulier de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" /> nommé « [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] »<ref name="définition d'un torseur couple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_couple|définiyion d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\ldots</math> [[File:Couples parmi les systèmes de forces.png|thumb|500px|Schémas représentant deux exemples de [[w:Couple_(physique)|couples]] en tant que systèmes de forces]] === Exemples de couple === {{Al|5}}Voir ci-contre : * exemple de gauche : système de forces de même norme également réparties sur un cercle du système de matière sur <br>{{Transparent|exemple de gauche : }}lequel le [[w:Couple_(physique)|couple]] s'exerce<ref> Par exemple l'action d'une [[w:Clé_(outil)#Clé_à_tube|clé à tube]].</ref>, * exemple de droite : deux forces opposées <math>\,\left\lbrace \vec{F}_1\,,\,\vec{F}_2 = -\vec{F}_1 \right\rbrace\,</math> appliquées respectivement en deux points <math>\,\left( M_1\,,\,M_2 \right)\,</math> <br>{{Transparent|exemple de droite : }}du système de matière sur lequel le [[w:Couple_(physique)|couple]] s'exerce, la direction commune de <math>\,\left\lbrace \vec{F}_1\,,\,\vec{F}_2 = -\vec{F}_1 \right\rbrace\,</math> <br>{{Transparent|exemple de droite : }}étant différente de celle de <math>\,\overrightarrow{M_1M_2}</math>. === Propriété du moment vectoriel d'un couple === {{Al|5}}La résultante d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] étant nulle et {{Al|5}}le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\vec{R}_{\text{syst. de forces}}\;</math> étant «<math>\;\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{syst. de forces}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{syst. de forces}} + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\text{syst. de forces}}\;</math>»<ref name="changement d'origine de calcul du moment résultant vecotirel d'un système de forces"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_sysème_continu_fermé_de_matière|complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre, la formule restant applicable même si le système de forces considéré ne contient qu'une partie des forces extérieures.</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante }}<math>\;\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Al|6}}«<math>\;\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{couple}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{couple}}\;</math>», le moment résultant vectoriel d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] est <br>{{Al|11}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{M}_{\!A',\,\text{couple}} = \overrightarrow{M}_{\!A,\,\text{couple}}}\;</math>», }}indépendant du point origine de calcul <math>\;\big\{</math>aussi <br>{{Al|12}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}pour le différencier des autres systèmes de forces de vecteur moment résultant <br>{{Al|12}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « }}dépendant du point origine, le vecteur moment <math>\,\big(</math>résultant<math>\big)\;</math><ref name="appellation simplifiée du vecteur moment résultant d'un couple"> Le qualificatif « résultant » est usuellement omis pour parler du moment <math>\,\big(</math>résultant<math>\big)\,</math> vectoriel d'un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\ldots</math></ref> d’un [[w:Couple_(physique)|couple]] est <br>{{Al|13}}{{Transparent|le changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel d'un système de forces de résultante <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_{\text{couple}} = \vec{0}}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> « dépendant du point origine, le vecteur moment }}usuellement noté «<math>\;\overrightarrow{\Gamma}\;</math>»<ref name="notation d'un couple"> Attention, une erreur fréquemment commise consiste à noter le [[w:Couple_(physique)|couple]] «<math>\;\overrightarrow{\Gamma}\;</math>» alors qu'il ne s'agit que du moment vectoriel <math>\,\big(</math>résultant<math>\big)\,</math> du [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-appellation_simplifiée_du_vecteur_moment_résultant_d'un_couple-106|¹⁰⁶]] » ci-dessus<math>\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Un [[w:Couple_(physique)|couple]] <math>\,\big(</math>en tant que système de forces<math>\big)\,</math> étant un cas particulier de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" /> nommé « [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] »<ref name="définition d'un torseur couple" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Un couple <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>en tant que système de forces<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> étant un cas particulier de « torseur » }}on peut donc lui attribuer, sans autre commentaire, les propriétés de ce dernier à savoir <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Un couple <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>en tant que système de forces<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> étant un cas particulier de « torseur » on peut donc lui attribuer, }}la constance du moment du [[w:Torseur#Torseur_couple|torseur couple]] en tout point de l'espace<ref name="constance du moment du torseur couple"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Propriétés_d'un_torseur_couple|propriétés d'un torseur couple]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\ldots</math> === Équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple === {{Al|5}}Considérant un solide<ref name="solide"> Système fermé indéformable.</ref> <math>\,\left( S \right)\,</math> et son système de forces exercées par son extérieur <math>\,\left( \Sigma \right)_k</math>, de résultante «<math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» et de moment résultant à un point origine <math>\,A\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et }}l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,A\,</math> d'un système de forces s'exerçant sur un système fermé de matière quelconque<ref> C.-à-d. déformable ou indéformable, le cas du solide <math>\,\left( S \right)\;</math> envisagé plus haut dans ce paragraphe correspodant à un système idéformbale.</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces }}constituant les [[w:Torseur#Résultante_et_réduction|éléments de réduction]] en <math>\,A\,</math> du [[w:Torseur_des_actions_mécaniques|torseur statique]]<ref name="torseur statique" />{{,}}<ref name="éléments de réduction d'un torseur" /> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces constituant }}associé aux forces précitées dans le cadre de la notion <math>\,\big(</math>hors <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces constituant }}programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)</math> de « [[w:Torseur|torseur]] »<ref name="définition d'un torseur" />, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Considérant un solide <math>\,\color{transparent}{\left( S \right)}\,</math> et l'ensemble des vecteurs résultante et moment résultant par rapport à <math>\,\color{transparent}{A}\,</math> d'un système de forces constituant }}«<math>\;\mathcal{T}_{\text{stat},\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\end{array}\right\rbrace_A\;</math>» et <br>{{Al|5}}l'évolution spatiale d'un solide<ref name="solide" /> ne dépendant que des forces extérieures<ref name="dépendance de l'évolution spatiale d'un solide"> En effet l'absence de déformation possible d'un solide entraîne que l'évolution spatiale de ce dernier est régie par le mouvement de son centre d'inertie <math>\,\big(</math>C.D.I.<math>\big)</math> <math>\;G</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de matière » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ainsi que par son mouvement de rotation autour de <math>\,G</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Applicabilité_du_théorème_du_moment_cinétique_vectoriel_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_au_centre_d'inertie_G_de_ce_dernier_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ces deux mouvements ne dépendant que des forces extérieures.</ref> plus précisément de la résultante «<math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» et du moment résultant au point origine <math>\,G\,</math> C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. du solide <br>{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures }}<math>\Rightarrow</math> le système des forces extérieures exercées par <math>\,\left( \Sigma \right)_k\,</math> sur <math>\,\left( S \right)\,</math> <br>{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant en <math>\,G\;</math> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|l'évolution spatiale d'un solide ne dépendant que des forces extérieures <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> peut être remplacé par un système équivalent ayant même résultante et même moment résultant }}en <math>\,A\;</math><ref name="passage de G à A"> Donc, compte-tenu de la formule de changement d'origine de calcul du moment résultant vectoriel <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels|changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_changement_d'origine_de_calcul_du_vecteur_moment_résultant_dynamique_appliqué_à_un_sysème_continu_fermé_de_matière|complément : changement d'origine de calcul du vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système continu fermé de matière]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> avec une même résultante, on a aussi même moment résultant en n'importe quel point origine <math>\;A</math>.</ref> quelconque. {{Al|5}}<u>Système équivalent au système de forces extérieures que</u><math>\;(\Sigma_k)\;</math><u>exerce sur le solide</u><math>\;(S)</math> : <math>\bullet\;</math>une « force unique <math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math> appliquée en <math>\;A\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : }}<math>\bullet\;</math>un couple de moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>justification</u> : le moment du système de forces exercées par <math>\,\left( \Sigma \right)_k\,</math> sur <math>\,\left( S \right)\,</math> au point origine <math>\,A'\,</math> quelconque<ref name="quelconque" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : }}<math>\neq\,</math> de <math>\,A\,</math> s'écrivant «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A',\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} =</math> <math>\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} + \overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>»<ref name="changement d'origine de calcul du moment résultant vecotirel d'un système de forces" /> s'identifie à <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : }}la somme du moment du couple «<math>\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A,\,\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>» <math>\,\big(</math>1^er terme du 2^ème membre<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : la somme }}du moment de la force <math>\;\vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math> appliquée en <math>\,A\,</math> <math>\,\big(</math>2^ème terme du 2^ème membre<ref> Celui-ci étant nul quand <math>\;A' = A</math>.</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Système équivalent au système de forces extérieures que<math>\;\color{transparent}{(\Sigma_k)}\;</math>exerce sur le solide<math>\;\color{transparent}{(S)}</math> : <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>justification : la somme du moment de la force }}«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A'}\!\left[ \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k} \right] =\overrightarrow{A'A} \wedge \vec{R}_{\left( S \right)\,\leftarrow\,\left( \Sigma \right)_k}\;</math>». == Notion de « liaison pivot », propriété de son moment == {{Al|5}}Une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » est mise en œuvre lors du mouvement d'un 1^er solide sur un 2^ème solide, pour restreindre le mouvement relatif à une rotation autour d'un axe fixe du référentiel lié au 2^ème solide. === Définition d'une « liaison pivot » === {{Al|5}}Une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » d'axe <math>\,Oz\,</math> restreint les possibilités de mouvement du « [[w:Rotor|rotor]] » <math>\,\big(</math>solide tournant<math>\big)\,</math> à une rotation d’axe <math>\,Oz\,</math> par rapport au « [[w:Stator|stator]] » <math>\,\big(</math>solide par rapport auquel se fait la rotation<math>\big)</math> ; {{Al|5}}dans ce paragraphe, la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est « géométriquement idéale » c.-à-d. qu'elle assure un guidage parfait en rotation autour de l'axe de liaison <math>\,Oz\,</math> en bloquant toute translation le long de cet axe ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce paragraphe }}la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est entièrement définie par la direction et la position de l'axe <math>\,Oz\,</math> qui doit être systématiquement représenté sur tout schéma ; {{Al|5}}{{Transparent|dans ce paragraphe }}la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] est la liaison la plus « commune »<ref> Dans une bicyclette on en compte plus d'une dizaine : <math>\,1\,</math> par roue, <math>\,1\,</math> sur le guidon, <math>\,1\,</math> sur le pédalier, <math>\,1\,</math> par manette de frein, <math>\,1\,</math> par mâchoire de frein, <math>\,1\,</math> par pédale lors de leur liaison au pédalier et une bonne demi-douzaine supplémentaire sur le dérailleur.</ref> des systèmes mécaniques. === Réalisation pratique d'une « liaison pivot » === [[File:Liaison pivot.png|center|thumb|900px|Schéma d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <math>\,\big(</math>idéale<math>\big)\,</math> d'axe <math>\,z'z\,</math> pour laquelle les translations sont bloquées ainsi que les rotations suivant les axes <math>\,\perp\,</math> à <math>\,z'z\,</math><ref name="Norme pour liaisons mécaniques"> Sur le schéma on utilise la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\;\ldots\big]\,</math> alors que <math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\;\ldots\big]</math>.</ref> ; <br>le cylindre sur lequel tourne le [[w:Rotor|rotor]] et qui matérialise l'axe de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] exerce un système de forces sur le [[w:Rotor|rotor]] équivalent<ref name="justification de l'équivalence à une force et un couple"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équivalence_d'un_système_de_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_solide_:_ensemble_d'une_force_appliquée_en_un_point_et_d'un_couple|équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple]] » plus haut dans le chapitre.</ref> à <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>une résultante <math>\,\vec{R}\; \left( R_x,\, R_y,\, R_z \right)\;</math><ref> Les composantes <math>\,\left( R_x,\, R_y,\, R_z \right)\,</math> n'ont évidemment aucun rapport avec les grandeurs utilisées dans la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » décrite dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#cite_note-Norme_pour_liaisons_mécaniques-90|⁹⁰]] » précédente.</ref>, appliquée en <math>\,A</math>, de direction quelconque, s'adaptant aux actions exercées sur le [[w:Rotor|rotor]] de façon à supprimer toute translation de ce dernier et <br>{{Al|5}}<math>\succ\;</math>un couple de moment <math>\,\overrightarrow{\Gamma}\; \left( \Gamma_x,\,\Gamma_y,\,\Gamma_z = 0 \right)\;</math><ref name="confusion entre couple et moment de couple"> Attention dans la légnde du schéma ci-dessus il faut remplacer "Couple : <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\,</math> à <math>\,Az\;</math>" par "Couple de moment : <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\,</math> à <math>\,Az\;</math>", il s'agit d'une confusion fréquemment faite.</ref>, de direction <math>\,\perp\,</math> à <math>\,z'z</math>, s'adaptant aux actions exercées sur le [[w:Rotor|rotor]] de façon à supprimer toute rotation de ce dernier autre que celle autour de <math>\,z'z\,</math> laquelle, en absence de frottements, se traduit par <math>\,\Gamma_z = 0</math>]] [[File:Rolling-element bearing (numbered).png|thumb|left|Éclaté d'un roulement à billes : <br>{{Al|5}} 1. bague extérieure <br>{{Al|5}} 2. bille <br>{{Al|5}} 3. cage <br>{{Al|5}} 4. chemin de la bille <br>{{Al|5}} 5. bague intérieure]] [[File:Jehlove lozisko.png|thumb|right|Roulement à aiguilles]] {{Al|5}}La solution technique la plus courante pour réaliser une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » consiste à emboîter deux cylindres coaxiaux <br>{{Al|1}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}et à réaliser des butées empêchant <br>{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}les cylindres de coulisser le long de <br>{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste }}leur axe commun <math>\big(</math>voir schéma <br>{{Al|5}}{{Transparent|La solution technique la plus courante pour réaliser une « liaison pivot » consiste leur axe commun <math>\color{transparent}{\big(}</math>voir }}ci-dessus<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides réductibles à l’aide <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides }}<math>\bullet\;</math>d'une « lubrification »<ref> Les frottements fluides étant toujours moins importants que les frottements solides et ceci, quelle que soit la vitesse des pièces mécaniques.</ref> ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides }}<math>\bullet\;</math>en utilisant <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}<math>\blacktriangleright\;</math>des roulements [[w:Roulement_mécanique#Roulement_à_billes|« à billes »]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\big(</math>voir éclaté à gauche<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en }}<math>\blacktriangleright\;</math>des roulements [[w:Roulement_mécanique#Roulement_à_aiguilles|« à aiguilles »]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>en <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\big(</math>voir photo à droite<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'utilisation de roulements étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|le contact entre les deux cylindres conduit à l'existence de frottements solides <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}toujours préférable. === Action d’une « liaison pivot », cas d’une « liaison pivot idéale » d’axe Az === {{Al|5}}Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du [[w:Rotor|rotor]] sur le cylindre d'axe <math>\;z'z\;</math> au niveau de la coupe <math>\;\left( BC \right)\;</math> du 1^er schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor sur le cylindre d'axe <math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> au niveau de la coupe <math>\;\color{transparent}{\left( BC \right)}\;</math> du 1^er schéma du paragraphe « }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor }}on constate qu'elles sont réparties tout au long de la surface de contact et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu'elles sont }}<math>\perp\;</math> à celle-ci dans la mesure où « les frottements solides <math>\;\big(</math>ou fluides<math>\big)\;</math> sont supposés négligeables », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’}}elles coupent donc l'axe de rotation <math>\;z'z\;</math> <math>\Rightarrow</math> le <u>moment scalaire relativement à l'axe</u><math>\;z'z\;</math><u>de ces forces de contact</u> {{Al|5}}{{Transparent|Si on étudie les forces de contact assurant le guidage en rotation du rotor on constate qu’elles coupent donc l'axe de rotation <math>\;\color{transparent}{z'z}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<u>assurant le guidage en rotation du [[w:Rotor|rotor]] sur le cylindre d'axe</u><math>\;z'z\;</math><u>est nul</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il y a d'autres forces de contact entre le [[w:Rotor|rotor]] et le cylindre d'axe <math>\;z'z\;</math> sur lequel le [[w:Rotor|rotor]] tourne : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces }}<math>\bullet\;</math>celles assurant l'absence de translation du [[w:Rotor|rotor]] le long des axes <math>\,\left( x'x\,,\,y'y\,,\,z'z \right)\,</math> du cylindre, de résultante s'adaptant à toute action pouvant entraîner une translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de translation du rotor le long des axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y\,,\,z'z \right)}\,</math> du cylindre, }}de moment <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> résultant nul en un point <math>\,A\,</math> de l'axe <math>\,z'z\,</math><ref> Ces forces forment donc un [[w:Torseur#Glisseur|torseur glisseur]] <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_d'un_torseur_glisseur|torseur glisseur]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>, avec <math>\;A\;</math> point central du [[w:Torseur#Glisseur|glisseur]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Définition_de_point_central_d'un_torseur|point central]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces }}<math>\bullet\;</math>celles assurant l'absence de basculement du [[w:Rotor|rotor]] autour des deux axes <math>\,\left( x'x\,,\,y'y \right)\,</math> du cylindre, de moment <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> résultant au point <math>\,A\,</math> de l'axe <math>\,z'z</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,</math> du cylindre, de moment <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe <math>\,z'z</math>, s'adaptant à toute <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,</math> du cylindre, de moment <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>vectoriel<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> }}action pouvant entraîner un basculement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque ! Il y a d'autres forces <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>celles assurant l'absence de basculement du rotor autour des deux axes <math>\,\color{transparent}{\left( x'x\,,\,y'y \right)}\,</math> du cylindre, }}de résultante <math>\,\big(</math>éventuelle<math>\big)\,</math> non nulle de direction quelconque ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du [[w:Rotor|rotor]] en rotation sur le cylindre d'axe <math>\,z'z</math>, avec absence de translation du [[w:Rotor|rotor]] relativement au cylindre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère le système de toutes les forces de contact assurant le guidage du rotor en rotation sur le cylindre d'axe <math>\,\color{transparent}{z'z}</math>, avec absence }}de basculement perpendiculairement au cylindre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère }}ce système de forces étant de résultante <math>\,\big(</math>vectorielle<math>\big)\,</math> «<math>\;\vec{R}\;\left( R_x,\,R_y,\,R_z \right)\;</math>»<ref> Composée de la résultante des forces empêchant la translation et d'éventuellement celle des forces empêchant le basculement ainsi que des forces assurant le guidage <math>\;\ldots</math></ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces étant }}de moment résultant <math>\,\big(</math>vectoriel<math>\big)\,</math> en un point <math>\,A\;\in\;z'z\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;</math> <math>\left( \mathcal{M}_{\!A,\,x}\,,\, \mathcal{M}_{\!A,\,y}\,,\,\mathcal{M}_{\!A,\,z} = 0 \right)\;</math>»<ref> Composé du moment résultant en <math>\,A\,</math> des forces empêchant le basculement, celui des forces empêchant la translation étant nul en <math>\,A\,</math> ainsi que celui des forces assurant le guidage <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces }}est équivalent au système composé <math>\bullet\;</math>d'une force unique «<math>\;\vec{R}\;\left( R_x,\,R_y,\,R_z \right)\;</math>» appliquée en <math>\,A\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé }}<math>\bullet\;</math>d'un couple de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\;\left( \Gamma_x = \mathcal{M}_{\!A,\,x}\,,\, \Gamma_y = \mathcal{M}_{\!A,\,y}\,,\,\Gamma_z = \mathcal{M}_{\!A,\,z} = 0 \right)\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Équivalence_d'un_système_de_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_solide_:_ensemble_d'une_force_appliquée_en_un_point_et_d'un_couple|équivalence d'un système de forces extérieures s'exerçant sur un solide : ensemble d'une force appliquée en un point et d'un couple]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un couple }}« la nullité de <math>\;\Gamma_z\;</math>» caractérisant une « <u>[[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : si on considère ce système de forces est équivalent au système composé <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>d'un couple }}« la présence de frottements » même faibles <math>\,\big(</math>[[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] « non idéale »<math>\big)\,</math> correspondant à «<math>\;\Gamma_z < 0\;</math>». == Notions simples sur les « moteurs ou freins » dans les dispositifs rotatifs, présence d’un « stator » exerçant un couple sur le « rotor » == === Généralités === {{Al|5}}<math>\succ\;</math>Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe <math>\,Oz\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, il y a <math>\bullet\;</math>un solide tournant autour de <math>\,Oz\,</math> appelé « <u>[[w:Rotor|rotor]]</u> » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{Oz}\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, il y a }}<math>\bullet\;</math>un solide fixe dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> appelé « <u>[[w:Stator|stator]]</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>Dans un dispositif rotatif autour d'un axe fixe <math>\,\color{transparent}{Oz}\,</math> du référentiel d'étude <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}</math>, }}le [[w:Rotor|rotor]] étant usuellement en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » relativement au [[w:Stator|stator]] ; {{Al|5}}<math>\succ\;</math>le dispositif rotatif peut être <math>\bullet\;</math>« moteur », dans ce cas le [[w:Stator|stator]] doit exercer un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]] pour que « celui-ci soit entraîné » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\color{transparent}{\succ}\;</math>le dispositif rotatif peut être }}<math>\bullet\;</math>« résistif » <math>\,\big(</math>il agit donc en « frein »<math>\big)</math>, dans ce cas le [[w:Stator|stator]] doit exercer un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif sur le [[w:Rotor|rotor]] pour que « celui-ci ne s'emballe pas » <math>\;\ldots</math> === Cas du moteur === {{Al|5}}Le dispositif rotatif est « moteur » si <u>le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]]</u> pour entraîner ce dernier lequel, à son tour, déploie une action motrice sur l'objet en interaction avec le [[w:Rotor|rotor]] ; {{Al|5}}si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] entre [[w:Stator|stator]] et [[w:Rotor|rotor]] est quasi-idéale <math>\,\big(</math>c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est en rotation libre</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre }}<u>le [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur que le [[w:Stator|stator]] doit exercer sur le [[w:Rotor|rotor]] est quasi nul</u> mais <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est « en charge »</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. tel qu'il déploie une action motrice sur une partie extérieure au système rotatif<math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}la partie soumise à l'action du [[w:Rotor|rotor]] exerçant un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant sur le [[w:Rotor|rotor]]<ref> En effet dans le cas où le moteur est utilisé pour entraîner une autre pièce mécanique en rotation, le [[w:Rotor|rotor]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur cette pièce et, d'après le principe des actions réciproques, cette pièce exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant sur le [[w:Rotor|rotor]].</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}<u>le [[w:Stator|stator]] doit appliquer sur le [[w:Rotor|rotor]] un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur</u> de compensation sinon le [[w:Rotor|rotor]] s’arrêtera<ref> En effet pour maintenir le [[w:Rotor|rotor]] en rotation <math>\,\big(</math>et si possible uniforme<math>\big)</math>, il est nécessaire que le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur de compensation sur le [[w:Rotor|rotor]], ce [[w:Couple_(physique)|couple]] s'adaptant au [[w:Couple_(physique)|couple]] résistant que la pièce mécanique en rotation exerce sur le [[w:Rotor|rotor]] <math>\,\big[</math>[[w:Couple_(physique)|couple]] moteur quasi nul en absence de pièce à entraîner <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement à vide du moteur<math>\big)\,</math> et de moment scalaire d’autant plus grand que l’inertie de la pièce à entraîner est grande <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement en charge du moteur<math>\big)\big]</math>.</ref>. === Cas du frein === {{Al|5}}Le dispositif rotatif est « résistif » si <u>le [[w:Stator|stator]] exerce un couple résistif sur le [[w:Rotor|rotor]]</u> pour que ce dernier « ne s'emballe pas », en conséquence de quoi <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le dispositif rotatif est « résistif » si le stator exerce un couple résistif sur }}le [[w:Rotor|rotor]] déploie une action résistive sur l'objet en interaction avec lui <math>\,\big(</math>but recherché pour que le [[w:Rotor|rotor]] ait une action de « frein »<math>\big)</math> ; {{Al|5}}si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] entre [[w:Stator|stator]] et [[w:Rotor|rotor]] est quasi-idéale <math>\,\big(</math>c.-à-d. telle que les frottements solides ou fluides soient négligeables<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est en rotation libre</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. sans interaction avec un objet sur lequel il est censé agir<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est en rotation libre }}<u>le couple résistif que le [[w:Stator|stator]] doit exercer sur le [[w:Rotor|rotor]] est quasi nul</u> mais <br>{{Al|6}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale }}si <u>le [[w:Rotor|rotor]] est « en charge »</u> <math>\,\big(</math>c.-à-d. tel qu'il déploie une action résistive sur une partie extérieure au système rotatif, but recherché par tout « frein »<math>\big)</math>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}la partie soumise à l'action du [[w:Rotor|rotor]] exerçant un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]]<ref> En effet dans le cas où le frein est utilisé pour ralentir une autre pièce mécanique en rotation, le [[w:Rotor|rotor]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif sur cette pièce et, d'après le principe des actions réciproques, cette pièce exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur sur le [[w:Rotor|rotor]].</ref>, <br>{{Al|7}}{{Transparent|si la liaison pivot entre stator et rotor est quasi-idéale si le rotor est « en charge » }}<u>le [[w:Stator|stator]] doit appliquer sur le [[w:Rotor|rotor]] un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif</u> de compensation sinon le [[w:Rotor|rotor]] s’emballera<ref> En effet pour maintenir le [[w:Rotor|rotor]] en rotation <math>\,\big(</math>et si possible uniforme<math>\big)</math>, il est nécessaire que le [[w:Stator|stator]] exerce un [[w:Couple_(physique)|couple]] résistif de compensation sur le [[w:Rotor|rotor]], ce [[w:Couple_(physique)|couple]] s'adaptant au [[w:Couple_(physique)|couple]] moteur que la pièce mécanique en rotation exerce sur le [[w:Rotor|rotor]] <math>\,\big[</math>[[w:Couple_(physique)|couple]] résistif quasi nul en absence de pièce à ralentir <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement à vide du frein<math>\big)\,</math> et de moment scalaire négatif de valeur absolue d’autant plus grande que l’inertie de la pièce à ralentir est grande <math>\,\big(</math>on parle alors de fonctionnement en charge du frein<math>\big)\big]</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemple du frein avant</u><math>\;\big(</math><u>ou arrière</u><math>\big)\;</math><u>d’une bicyclette entraînée dans une descente</u> : le [[w:Rotor|rotor]] étant la roue avant <math>\,\big(</math>ou arrière<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le [[w:Stator|stator]] le cadre de la bicyclette choisi comme référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le sol de la route <math>\,\searrow\,</math> défile dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> vers l’arrière de plus en plus vite en absence de freinage<ref> On peut dire que la vitesse de défilement de la route dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> s’emballe en absence de freinage.</ref>, pour l'éviter <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : le sol de la route <math>\,\color{transparent}{\searrow}\,</math> défile dans <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> vers l’arrière de plus en plus vite }}il faut ralentir le défilement de la route dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}la route <math>\,\searrow\,</math> exerçant un couple moteur sur la roue <math>\,\big(</math>[[w:Rotor|rotor]]<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : }}le cadre de la bicyclette <math>\,\big(</math>[[w:Stator|stator]]<math>\big)\,</math> doit exercer un couple résistant sur la roue <math>\,\big(</math>[[w:Rotor|rotor]]<math>\big)\,</math> ce qui est réalisé <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exemple du frein avant<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>ou arrière<math>\color{transparent}{\big)}\;</math>d’une bicyclette entraînée dans une descente : le cadre de la bicyclette <math>\,\color{transparent}{\big(}</math>stator<math>\color{transparent}{\big)}\,</math> doit exercer un couple résistant }}par l’action des patins du frein s’appuyant sur la roue. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe|Loi du moment cinét. : Moments cinét. d'un sol. en rot. autour de Δ]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes|Loi du moment cinét. : Th. des moments cinét. relativ. à A ou Δ fixes]] }} r94n6cqi7r0gcdr89fqfsv00snqa6ro 0 74333 987240 986906 2026-10-10T18:48:33Z Phl7605 31541 987240 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 8 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] }} <center>Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, <br>l'espace physique considéré étant <math>\,\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\,</math> « orienté à droite » <ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » == [[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|<center>Liaison sphérique <ref name="liaison sphérique"> Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation <math>\,\big[</math>deux permettant de définir la direction <math>\,\left( OG \right)\,</math> dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe <math>\,\left( OG \right)\big]</math>.</ref></center><br><br>]] {{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math>» et pouvant tourner autour d’un « point fixe <math>\;O\;</math> autre que son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\;</math>», le solide étant * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » <ref name="liaison sphérique" /> « idéale » <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> <math>\,\big(</math>voir ci-contre un schéma de principe en perspective<math>\big)</math>, <math>\,\big[</math>ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec précision des degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» bloqués et de ceux de rotation «<math>\;R_i\;</math>» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O\,</math> et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction de la rotule"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;</math>», <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math>.</ref><math>\big]</math> {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" ! width=20% | Rotule<br />de centre O | width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]] ! width=30% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres"> Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle <br>{{Al|3}}<math>\,T_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,T_y</math>, <math>\,T_z\big)\,</math> caractérise une translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de translation le long de l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,T_x = 0\,\ldots\big]\,</math> alors que <br>{{Al|3}}<math>\,R_x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,R_y</math>, <math>\,R_z\big)\,</math> caractérise une rotation autour de l'axe <math>\,x'x</math> <math>\,\big(</math>respectivement <math>\,y'y</math>, <math>\,z'z\big)</math> <math>\,\big[</math>le blocage de rotation suivant l'axe <math>\,x'x</math> étant noté <math>\,R_x = 0\,\ldots\big]</math>.</ref> ! width=30% | Libertés : <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} <center>ou</center> * en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point <math>\,O\,</math>» <ref name="liaison pivot"> Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, « idéale » <ref name="liaison idéale" /> <math>\,\big[</math>ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> avec précision des <math>\,5\,</math> degrés bloqués, les <math>\,3\,</math> degrés de translation «<math>\;T_i\;</math>» et <math>\,2\,</math> des <math>\,3\,</math> degrés de rotation «<math>\;R_k\;</math>», le 3^ème étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale <ref name="liaison idéale" />, par la composition d'une force <math>\,\vec{R}</math>, appliquée en <math>\,O</math>, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}\,</math> de direction <math>\,\perp\,</math> à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule <ref name="torseur de réaction du pivot"> Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.<math>1</math> dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en <math>\,O\;</math>» sont «<math>\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;</math>» si l'axe du pivot est <math>\,\left( x'x \right)</math>, <math>\,\vec{R}\,</math> étant la résultante du torseur et <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,</math> son moment au point <math>\,O</math> <math>\,\big[</math>ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en <math>\,O\;</math>» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>. {| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style="border-collapse: collapse;" width="80%" ! width=15% | Pivot<br />d'axe (O,x) | width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]] | width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]] | width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]] ! width=25% | Liaisons : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> ! width=20% | Libertés : <math>\; R_x \neq 0\;</math><ref name="translations ou rotations bloquées ou libres" /> |} {{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ; {{Al|5}}on note «<math>\;m\;</math>» la masse du pendule, <br>{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«<math>\;\mathfrak{a}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule de son point <math>\,O\,</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> «<math>\;G\;</math>» <math>\,\big[</math>le meilleur <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> serait le repérage sphérique de pôle <math>\,O\,</math> et d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2^ndes <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. <br>{{Al|10}}{{Transparent|on note «<math>\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;</math>» la distance séparant le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> du pendule de son point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\;\ldots\big]</math> ; {{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> de l'espace physique « orienté à droite » <ref name="orienté à droite" /> <math>\,\big[</math>il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation<math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>tout point <math>\,M\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\;\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite <math>\,\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|¹⁷]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}<math>\bullet\;</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «<math>\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;</math>» dans la base locale associée <math>\,\big(</math>orthonormée directe <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\big)\,</math> «<math>\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;</math>». == Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement == === C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté === {{Al|5}}Les C.I. <ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref> de lancement du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)"> [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).</ref> dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe <math>\,O</math> ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement sont les suivantes : <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\;G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche sans vitesse initiale <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» ou <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique }}<math>\blacktriangleright\;</math>« on écarte le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> de sa position d’équilibre stable <math>\,\big(</math>correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big)\,</math> et <br>{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison sphérique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> située dans le plan vertical contenant <math>\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» ; <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}<math>\bullet\;</math>s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement peuvent être quelconques <math>\,\big[</math>toutefois la liaison <br>{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement <math>\,\perp\,</math> à l'axe de la liaison<math>\big]</math>. === Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) === [[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe <math>\,\overrightarrow{Oz}\,</math> vertical <math>\,\downarrow\,</math> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du pendule]] {{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)"> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).</ref> lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b"> Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous : {{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;</math>» <ref name="déf de urG"> <math>\;\vec{u}_{r_G}(t)\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associé au point <math>\;G</math>.</ref> dans lequel <math>\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;</math> ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<math>= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» <ref> En effet la base <math>\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,</math> étant direct, <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}<math>\bullet\;</math>les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en <math>\,O\,</math> se réduisant à « la réaction <math>\,\vec{R}(t)\;</math>», appliquée en <math>\;O</math>, se décomposant <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}a priori selon <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="existence des trois composantes de la réaction"> Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.</ref> mais, avec les C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;1a\;</math>» ou «<math>\;1b\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, celle-ci se simplifie en <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;</math><ref name="réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I."> Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est nulle c.-à-d. <math>\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,</math> et par suite <math>\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, en effet <br>{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à <math>\,\big(</math>ou limiter<math>\big)\,</math> une action suivant la direction considérée <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante suivant</u><math>\;\vec{u}_z</math>, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\big\}\,</math> ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant <math>\,0</math>, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action <math>\,\big\{</math><u>ce qui est le cas de la composante de</u><math>\;\vec{R}\;</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\rho_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> et la vitesse initiale de lancement <math>\,\vec{V}_G(0) =</math> <math>\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,</math> ayant deux composantes suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,</math> et <math>\,\vec{u}_z</math> <math>\,\big(</math>à l'instant <math>\,0\,</math> les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement <math>\Rightarrow</math> le vecteur accélération initial de <math>\,G\,</math> y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de <math>\,G</math>, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de <math>\,G\,</math> à un instant légèrement postérieur <math>\,\delta t\,</math> est aussi contenu dans le plan vertical de lancement <math>\,\ldots\,</math> ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant <math>\,t\,</math> est dans le plan vertical de lancement<math>\big)\,</math> et <u>n'est pas le cas de la composante de</u><math>\,\vec{R}\,</math><u>suivant</u><math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur <math>\,\big[</math>dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant <math>\,\vec{u}_z\,</math> entraîne un mouvement suivant <math>\,\vec{u}_{\rho_G}\,</math> de façon à ce que la distance <math>\,OG\,</math> reste constante<math>\big]\big\}</math></ref> de vecteur moment par <br>{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane"> L'établissement de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> <math>\big[</math>ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,</math> a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; <br>{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » <math>\,\big[</math>remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|¹⁸]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de <math>\,G\,</math> reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste <math>\,\ldots\big]</math>.</ref> : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.</ref> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical"> Car <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> est <math>\,\perp\,</math> au plan vertical contenant <math>\,\overrightarrow{OG}(t)\,</math> donc <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{g}\,</math> et à <math>\,\vec{R}(t)</math>.</ref> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale <math>\,\theta\,</math> doit être remplacée par <math>\,\varphi_G</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable"> Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de <math>\,t\,</math> pour lesquelles <math>\,\rho_G(t) = 0</math>, <math>\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,</math> instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous<math>\big]</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration"> Constante d'intégration <math>\,cste_i\,</math> dépendant a priori de l'intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\,</math> sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|²⁷]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\ldots</math></ref> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs"> Si une longueur était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible <math>\;\ldots</math></ref> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses"> Si la vitesse angulaire <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\,</math> était discontinue de 1^ère espèce <math>\,\big(</math>correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité<math>\big)</math>, cela supposerait la vitesse orthoradiale <math>\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,</math> également discontinue de 1^ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité <math>\,\big[</math>attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1^ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici <math>\;\ldots</math></ref> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales"> Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots</math></ref> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence"> En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence <math>\,xOz\,</math> on en déduit <math>\,\varphi_G(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="traduction de l'absence de vitesse initiale"> Par absence de vitesse initiale on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Démonstration de la nature plane du mouvement de</u><math>\;G\;</math><u>dans les</u><math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math><u>de lancement</u> <ref name="commentaire sur la démonstration de la nature plane" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen <math>\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;</math><ref name="théorème du mouvement du C.D.I." /> projeté sur <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> nous conduit à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;</math>» ou, les composantes de <math>\,\vec{g}\,</math> et de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> sur <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,</math> étant nulles <ref name="nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical" /> on obtient, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après simplification par <math>\,m</math>, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» après simplification par <math>\,\color{transparent}{m}</math>, ou, en utilisant la forme }}«<math>\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;</math> pour <math>\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;</math>» après simplification par <math>\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math><ref name="suppression des instants de passage à l'équilibre stable" />, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps <math>\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,</math> ne contenant pas de valeurs <math>\,t_{\text{éq stable}}</math>, en <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;</math>» <ref name="constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration" /> dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes <math>\,t_{\text{éq stable}}\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs <math>\,\rho_G(t)\;</math><ref name="continuité des longueurs" /> et <math>\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="continuité des vitesses" /> pour tout <math>\,t \in \mathbb{R}</math>, <br>{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;</math>» }}ce qui entraîne la continuité de <math>\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;</math><ref name="constantes d'intégration toutes égales" /> soit finalement <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ; on détermine la constante <math>\,cste\,</math> par utilisation partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&\text{et }&\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&\text{et }&\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="demi-plan méridien de référence" />{{,}} <ref name="traduction d'une vitesse initiale V0"> La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a <math>\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,</math> <math>\big\{</math>en effet <math>\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,</math> et la vitesse initiale est <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\overrightarrow{OG_0}\,</math> dans le plan vertical <math>\,\downarrow\,</math> de lancement<math>\big\}\,</math> d'où <math>\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,</math> et <math>\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math> d'où <math>\,\dot{\varphi_G}(0) = 0</math>.</ref> soit, la réécriture partielle des C.I. <ref name="C.I." /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}<math>\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,</math> <math>\big\{</math>sachant que «<math>\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;</math>»<math>\big\}</math>, dont on déduit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» ; }}«<math>\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;</math>» d'où «<math>\;cste = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» ou, en simplifiant par <math>\,\rho_G^2(t)\,</math> non identiquement nul, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>» après intégration, avec <math>\,cste'\,</math> déterminée par C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\varphi_G(0) = 0\,</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «<math>\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }} d'où «<math>\;cste' = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la loi selon <br>{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«<math>\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;</math>», c.-à-d. la nature <u>plane</u> du mouvement de <math>\,G\,</math> dans le plan de lancement. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> dans les C.I. «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de <math>\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,</math> différait et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation <math>\,\ldots</math> === Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté === [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, la nature plane du mouvement de <math>\,G\,</math> ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance <math>\,[OG]\,</math> étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de <math>\,G</math>.</ref> et orienté par «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique"> Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> s'identifie à <math>\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans le plan vertical du mouvement <math>\,zOx</math> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}<math>\big\{</math>avec <math>\,\vec{u}_z\,</math> unitaire vertical <math>\,\downarrow</math>, <math>\,\vec{u}_x\,</math> unitaire horizontal <math>\,\perp\,</math> à <math>\,\vec{u}_y</math> <math>\,\big(</math>3^ème vecteur unitaire horizontal égal à <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math>}}<math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;</math> soit directe » <ref name="base directe d'un espace orienté à droite" />, l'espace physique étant <br>{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> <math>\color{transparent}{\big\{}</math><math>\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}</math> tels que la base cartésienne «<math>\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;</math> soit directe », }}orienté à droite <ref name="orienté à droite" /><math>\big\}</math>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> }}par ses coordonnées polaires de pôle <math>\,O\,</math> et d’axe <math>\,\Delta_O\,</math> orienté par <math>\,\vec{u}_{\Delta_O}\,</math> soit, avec la base polaire liée <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> dans ce plan <math>\,zOx</math>, «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;</math>» <ref name="simplification de notation de base polaire"> On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «<math>\;\vec{u}_r\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{r_G}\;</math>» et «<math>\;\vec{u}_\theta\,</math> à la place de <math>\,\vec{u}_{\theta_G}\;</math>».</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}«<math>\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,</math>» <ref name="expression du vecteur position de G"> En effet <math>\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r</math>.</ref>, <math>\,\theta_G\;</math><ref> Abscisse angulaire du C.D.I. <math>\,G\,</math> du P.P.(N.A.) noté «<math>\;\theta\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté <math>\,\ldots</math></ref> est aussi le <br>{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. <math>\,\color{transparent}{G}\,</math> par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.</ref> représentées sur le schéma ci-contre <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> avec C.I. <ref name="C.I." /> de lancement <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,</math> ou <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math>» <ref name="C.I. 1a ou 1b" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir<math>\;\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moment <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique" />{{,}} <ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}<math>\;\bullet\;</math>la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> <math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir<math>\;\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}appliquée en <math>\,O</math>, de moment vectoriel en <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>», mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot <ref name="représentation d'un couple sur un schéma"> Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,</math> à <math>\,\Delta_O\;</math><ref> Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; <br>{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <math>\;\ldots</math></ref>. == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire == {{Al|5}}Pour établir l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté, <math>\,\Delta_O\,</math> étant un axe fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe <math>\,\Delta_O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}les actions extérieures s'exerçant sur le pendule précisées au paragraphe précédent <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d'une_«_liaison_pivot_»_ou_d'une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>son poids «<math>\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;</math>» de moments <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» <ref name="actions extérieures s'exerçant sur un P.P.N.A." /> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <ref name="détermination directe du moment scalaire du poids"> On peut déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\,\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,-\,</math> avec un bras de levier <math>\,\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> du support de <math>\,m\,\vec{g}\big)\,</math> égal à <math>\,d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\,</math> d'où, <math>\,\theta\,> 0</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = - \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d =</math> <math>-m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>» <math>\,\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\,\theta\,</math> en effet si le schéma était fait avec <math>\,\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\,+\,</math> avec un bras de levier <math>\,d = \mathfrak{a}\, \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,</math> <math>\,\big[\theta\,</math> étant <math>\,< 0\big]\,</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\,\vec{g} \right] = + \Vert m\,\vec{g} \Vert\, d = m\,g\,\left[ -\mathfrak{a}\, \sin(\theta) \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\,\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\,\theta < 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vert \sin(\theta) \vert = -\sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}<math>\bullet\;</math>la réaction du point <math>\,O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)</math>, appliquée en <math>\,O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire"> En effet <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0</math> ; <br>{{Al|3}}on pouvait aussi justifier directment la nullité du moment scalaire en constatant que le support de <math>\,\vec{R}(t)\,</math> rencontre l'axe <math>\,\Delta_O</math>.</ref>, <br>{{Al|6}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. }}ou <math>\bullet\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I." /> compatibles avec la liaison, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction de l'axe <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}<math>\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;</math><ref name="forces extérieures pour une liaison sphérique" />, de moments vectoriel par rapport à <math>\,O\,</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> <math>\,\color{transparent}{\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta}\;</math>, de moments }}scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="justification de la nullité du moment scalaire" /> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> }}auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel <math>\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}<math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\,</math> de moment scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle on se propose d'appliquer au P.P.N.A. <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>la réaction du point <math>\,\color{transparent}{O}\,</math> auquel s'ajoute }}«<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de l'axe <math>\,\Delta_O</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_2|application au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» ainsi que <br>{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big]</math>, <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>,<br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} \sigma(M)\;r^2\;d S_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et d'aire <math>\;d S_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math> et <br>{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> : «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>«<math>\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;</math>»}} étant le moment d'inertie par rapport à <math>\;(\Delta)\;</math> du pseudo-point <math>\;M\;(dm)\;</math> c.-à-d. de l'élément de matière centré en <math>\;M\;</math> à la distance orthogonale <math>\;r\;</math> de l'axe <math>\;\left( \Delta \right)\;</math> et de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big]</math> <math>\;\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big\}</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» <ref name="théorème du moment cinétique scalaire pour un solide en rotation autour d'un axe fixe" /> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;</math>» où «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> est le moment d'inertie du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> relativement à <math>\,\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle le théorème du moment cinétique scalaire <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)}\;</math>» où }}«<math>\;\ddot{\theta}(t)\,</math> l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle }}d'où la même équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en rotation autour de <math>\,\Delta_O\,</math> pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> lié à <math>\,\Delta_O\,</math> par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour établir l'équation différentielle soit la même équation différentielle en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du mouvement du P.P.N.A. en rotation autour de <math>\,\color{transparent}{\Delta_O}\,</math> }}pour un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté en [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] à <math>\,O</math> ; <center>en normalisant l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nous obtenons <br>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A."> Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle * a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur <math>\,\vec{u}_\theta</math> <math>\,\big[</math>revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> et * sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à <math>\,\Delta_O\,</math> au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ; {{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, <math>\,\big[</math>le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe <math>\,\Delta_O\,</math> étant celui du point matériel <math>\,M\,</math> de masse <math>\,m\,</math> situé à la distance <math>\,\mathit{l}\,</math> de <math>\,O\,</math> soit «<math>\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;</math>» et le C.D.I. <math>\,G\,</math> confondu avec <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;</math>»<math>\big]\,</math> l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» ce qui donne bien, après simplification évidente, «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</ref> soit <br>une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme du 1^er ordre, <br>caractérisant un <u>oscillateur non linéaire</u> <ref name="définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1^ère définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.</center> == Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites == {{Al|5}}Comme l’équation différentielle en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » <ref name="même équation que celle d'un P.P.S.N.A." />, on peut faire les mêmes commentaires <ref name="absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, rappelés ci-après : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme }}l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,f(x)</math> <math>\,\big(</math>sans terme du 1^er ordre<math>\big)</math> <math>\,\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\,</math> n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\,\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\,</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\,\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection ainsi que certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> }}on conclut à l'<u>absence de résolution analytique <ref name="analytique" /> exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)</u> <ref name="P.P.(N.A.)" />, la seule possibilité étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à }}une résolution approchée <math>\bullet\;</math>analytique <ref name="analytique" /> dans le cas d’« élongations angulaires petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)"> On devrait dire « élongations angulaires petites <math>\,\big(</math>ou non<math>\big)\,</math> <u>en valeur absolue</u> » mais personne ne le fait par abus de langage.</ref> » <ref name="petites élongations angulaires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Comme l’équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\,\color{transparent}{f(x)}</math> on conclut à une résolution approchée }}<math>\bullet\;</math>numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » <ref> Résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. == Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » == {{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ». === Cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> est de lancer le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> avec les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math><ref name="C.I. 1a ou 1b" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}<math>\big(</math>que la liaison avec <math>\,O\,</math> soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] <ref name="liaison sphérique" /> ou avec <math>\,\Delta_O\,</math> [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]<math>\big)</math> : <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer }}« on écarte le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> de sa position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessous.</ref> et on le lâche sans vitesse initiale <ref name="(C.I.a)"> Conditions notées «<math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math>» dans le cas où la liaison avec <math>\,O\,</math> est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].</ref> » <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer « on écarte le P.P.N.A. }}avec une abscisse angulaire initiale <math>\,\theta_0\,</math> de valeur absolue petite c.-à-d. <math>\,\vert \theta_0 \vert \ll 1\,</math><ref name="en radians"> À condition que l'angle soit exprimé en <math>\,rad</math>.</ref>, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » }}l'absence de vitesse angulaire initiale <ref name="signification d'absence de vitesse initiale"> C.-à-d. «<math>\;\dot{\theta}_0 = 0\;</math>».</ref> assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire restera <math>\,\leqslant\,\vert \theta_0 \vert\;</math>» <ref name="nature oscillatoire de petite amplitude"> La démonstration de la nature oscillatoire entre <math>\,-\theta_0\,</math> et <math>\,+\theta_0\,</math> du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec <math>\,O\,</math> ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec <math>\,\Delta_O\,</math> lancé sans vitesse initiale <math>\,\big(</math>avec <math>\,\vert \theta_0 \vert\,</math> non nécessairement petit<math>\big)\,</math> est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale assurant que « la valeur absolue }}restera donc petite soit «<math>\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="en radians" />. === Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » === {{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> on a <math>\,\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;</math><ref name="en radians" /> permettant d'effectuer un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un en <math>\,\theta\,</math> de <math>\,\sin(\theta)\,</math> au voisinage de <math>\,0\,</math><ref name="D.L. à l'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> permettant d'effectuer }}selon «<math>\;\sin(\theta) \simeq \theta\;</math><ref name="en radians" /> à l'ordre un en <math>\,\theta\;</math>» et par suite <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> devient linéaire selon «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;</math>» soit <br>{{Al|16}}{{Transparent|Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a <math>\,\color{transparent}{\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t}\;</math> }}une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\,\theta(t)\,</math> sans terme d'amortissement et homogène. === P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation === {{Al|5}}Le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> est donc <u>linéarisable</u> dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> et dans cette hypothèse <br>{{Al|10}}{{Transparent|Le P.P.(N.A.) }}devient un « <u>oscillateur harmonique</u> (non amorti) » de « pulsation propre <math>\,\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\,g\,\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;</math>» appelée « <u>pulsation</u><math>\;\big(</math>propre<math>\big)\;</math><u>des petites élongations angulaires</u> » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. === Période des « petites oscillations » === {{Al|5}}On en déduit la « <u>période propre des petites élongations angulaires</u> <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à un degré de liberté » «<math>\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» <ref name="limite de validité de la période des petites élongations angulaires"> On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations <math>\,\theta_m\,</math> reste petite c.-à-d. <math>\,\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\,</math> si on travaille à <math>\,1\; \%\,</math> près.</ref> ; {{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> « bât plus vite » <ref name="bât plus vite"> C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.</ref>, en un lieu fixé, pour «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> plus petit » réalisé pour «<math>\;J_{\Delta_O}\,</math> plus petit » <ref> En effet, pour une répartition de masse globalement plus proche de l'axe <math>\,\Delta_O\,</math> <math>\Rightarrow</math> la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> mais aussi la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,\mathfrak{a}\,</math> séparant le C.D.I. du solide de <math>\,\Delta_O\,</math> d'où a priori une impossibilité de conclure, <br>{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la <math>\,\searrow\,</math> de <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> implique celle de <math>\,\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> <math>\big[</math>par exemple « si on divise toutes les distances par <math>\,2\;</math>», le « moment d’inertie <math>\,J_{\Delta_O}\,</math> est divisé par <math>\,4\;</math>» et la « distance <math>\,\mathfrak{a}\,</math> par <math>\,2\;</math>» c.-à-d. que «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\,</math> est divisé par <math>\,2\;</math>», dans ce cas la période des petites élongations dans un même lieu est divisée par <math>\,\sqrt{2}\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|17}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite », }}à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur <math>\,g\,</math> plus grande » <ref> Ainsi le P.P.N.A. sur Terre « bât un peu plus vite » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> un peu plus petite<math>\big)\,</math> aux pôles qu'à l'équateur <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant <math>\,g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\,</math> et <math>\,g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} = \sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\;1\;s\;</math> aux pôles battra à la période de <math>\;1,0026\;s\;</math> à l'équateur<math>\bigg]\,</math> et <br>{{Al|3}}le même P.P.N.A. « bât nettement plus rapidement » <math>\,\big(</math>c.-à-d. <math>\,\mathcal{T}_0\,</math> nettement plus petite<math>\big)\,</math> sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) <math>\,\bigg[</math>l'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit <math>\,\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =</math> <math>\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq \sqrt{6} \simeq 2,45\,</math> c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de <math>\,1\;s\,</math> sur Terre battra à la période de <math>\,2,45\;s\,</math> sur la Lune<math>\bigg]</math>. <br>{{Al|3}}Remarque : Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.</ref>. == Intégrale 1^ère du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites == === Introduction === {{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à un degré de liberté <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon }}est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies }}n’étant vues qu'aux chap.<math>10</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », <math>11</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.}}<math>12</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies n’étant vues qu'aux chap.<math>\color{transparent}{12}</math> }}de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, }}nous allons procéder autrement <math>\,\big\{</math>la détermination directe de l’intégrale 1^ère <ref> Selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <math>\ldots\;</math></ref> sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|La meilleure façon est de faire une étude énergétique, nous allons procéder autrement <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}[[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math>. === Détermination de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier === {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\theta(t)\,</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant «<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>» <ref name="équation différentielle du mouvement en theta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.N.A. (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, on multiplie celle-ci par «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» avec <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! \dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} \!\right\rbrace\;</math>» et <br>{{Al|16}}{{Transparent|L’équation différentielle du mouvement en <math>\,\color{transparent}{\theta(t)}\,</math> du P.P.N.A. étant «<math>\;\color{transparent}{\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0}\;</math>», on multiplie celle-ci par «<math>\;\color{transparent}{\dot{\theta}(t)}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = \dfrac{d}{dt}\! \left\lbrace\! -\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \!\right\rbrace\;</math>», {{Al|5}}puis, en intégrant entre «<math>\;t = 0\;</math>» et «<math>\;t > 0\;</math>» <math>\,\big[</math>les C.I. <ref name="C.I." /> étant «<math>\;\theta(0) = \theta_0\,</math> quelconque » et «<math>\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\,</math> également quelconque »<math>\big]\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|puis, en intégrant entre «<math>\;\color{transparent}{t = 0}\;</math>» et «<math>\;\color{transparent}{t > 0}\;</math>» }}«<math>\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;</math>» {{Al|5}}soit finalement, en multipliant par «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et en basculant les termes constants dans le membre de droite <br>{{Al|5}}{{Transparent|soit finalement, }}l’équation différentielle du 1^er ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;</math>» {{Al|5}}<u>Remarque</u> : nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1^er terme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\;t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}le 2^nd terme «<math>\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe le 2^nd terme «<math>\;\color{transparent}{- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» du membre de gauche définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle"> La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.</ref> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P."> C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> «<math>\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; <br>{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur <math>\,\big[</math>voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-66|⁶⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\,</math> est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit <math>\;\ldots</math></ref> au même instant <math>\,t\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membre de gauche «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]}\;</math>» définit }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\;</math>» définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe la somme des deux termes du membres de droite «<math>\;\color{transparent}{\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)}\;</math>» définissant }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en même position horizontale » <ref name="référence particulière de l'énergie potentielle du P.P." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : nous verrons au paragraphe }}l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />. {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour se ramener au choix usuel de la « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>» <ref name="équilibre stable" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}on ajoute de part et d’autre de l’équation <math>\,\left( \mathfrak{1} \right)\,</math> la quantité «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute }}pour reconnaître respectivement dans «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et «<math>\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l’instant <math>\,t\,</math> et à l’instant initial <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence on ajoute pour reconnaître respectivement dans }}avec « référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" /> d’où, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}en notant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence }}la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}«<math>\;E_m(t)\,</math> étant l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> à l'instant <math>\,t\,</math>» avec <br>{{Al|17}}{{Transparent|Remarque : Pour se ramener au choix usuel de la « référence la réécriture de l’intégrale 1^ère du mouvement du P.P.N.A. selon }}« référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> en la position d’équilibre stable » <ref name="équilibre stable" />. === Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique === {{Al|5}}Étude analogue à celle exposée au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> en remplaçant «<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;</math>» et «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;</math> par <math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous : <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>oscillatoire et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;</math>» avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période }}«<math>\;\theta_m\,</math> l'amplitude des oscillations <ref> C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens <math>\,+\,</math> des <math>\,\theta\;</math>», l’autre mur étant à la position repérée par «<math>\;-\theta_m\;</math>».</ref> selon <math>\,\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}\,</math> l'amplitude des oscillations selon <math>\,\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref> En effet <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]</math>, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.</ref>{{,}} <ref name="arccosinus"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_cosinus_:_fonction_arccosinus|fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif et</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>périodique</u> de période sous forme intégrale <math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié"> En effet <math>\,\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\,\dfrac{\theta}{2}\,</math> est <math>\,\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, « }}angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." />, <math>\,\mathcal{T}\,</math> s'obtenant encore par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 > 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\,\pi\,</math> et <math>\,\theta_0 + \pi\,</math> est la même que celle entre <math>\,0\,</math> et <math>\,\theta_0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\,\pi</math>-périodique et par suite <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,</math> soit finalement <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0"> On obtiendrait la même expression en supposant <math>\,\theta_0 < 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale }}<math>\blacktriangleright\;</math>si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0</math>, «<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math><ref name="passage par angle moitié" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T}}</math> }}<math>= \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer dépendant de <math>\,\dfrac{\theta}{2}\,</math> est <math>\,\pi</math>-périodique <math>\Rightarrow</math> <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref> avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des petites élongations <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, « }}angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." />, <math>\,\mathcal{T}\,</math> s'obtenant encore par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre <math>\,\theta_0 - \pi\,</math> et <math>\,- \pi\,</math> est la même que celle entre <math>\,\theta_0\,</math> et <math>\,0</math>, la fonction à intégrer étant <math>\,\pi</math>-périodique et par suite <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\,</math> soit finalement <math>\,\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" />, ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>périodique de période sous forme intégrale <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>si <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta}_0 < 0}</math>, }}«<math>\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;</math>» <ref> Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période <math>\,\pi\,</math> de la fonction à intégrer.</ref>{{,}} <ref name="expression indépendante du signe de theta0" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}ces expressions de période pour <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\,</math> ou <math>\,< 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> la « dépendance de la période par rapport à <math>\,E_{m,\,0}\;</math>» <ref> En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.</ref>{{,}} <ref> Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie <math>\,\big(</math>toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\bullet\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>» <math>\,\big(</math>nous supposons <math>\,\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)</math>, il y a mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> <u>jusqu'à l'une des</u> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}<u>positions d'équilibres instables</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;</math>» <ref name="équilibre instable"> Correspondant à <math>\,G\,</math> sur la verticale de <math>\,O\,</math> et au-dessus.</ref>{{,}} <ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» et «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>».</ref> <u>où le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> s'arrête définitivement</u> <br>{{Al|134}}{{Transparent|Étude analogue à celle exposée au chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}en absence de perturbations extérieures. == Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif == === Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}L’équation du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous [[w:Fonction_implicite|forme implicite]] étant l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;</math>» <ref name="intégrale 1ère du mouvement du P.P.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1^ère du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» est égale à «<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;</math>» <math>\,\big(</math>avec <math>\,\theta_0\,</math> ainsi que <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> quelconques<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}l'intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A."> [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.</ref> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\,</math> par <math>\,\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,</math> par <math>\,J_{\Delta_O}\;</math>», <br>{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, la présentation des [[w:Portrait_de_phase|portraits de phase]] du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="portraits de phase d'un P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\ldots</math> === Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> === « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif === {{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref> ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «<math>\;E_{m,\,0}\;</math>» <math>\big(</math>énergie mécanique initiale<math>\big)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons }}deux allures du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] nettement différentes suivant le type considéré : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}<math>\bullet\;</math>pour un mouvement <u>pendulaire</u>, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\,\dot{\theta}\,</math> est <math>\,> 0</math>, <math>\,\theta \nearrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \nearrow\,</math> puis <math>\,\searrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\,</math> est <math>\,< 0</math>, correspondant à <math>\,\theta \searrow\,</math> et <math>\,\dot{\theta} \searrow\,</math> puis <math>\,\nearrow\,</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\,</math> en <math>\,-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\,\big(</math>en fait antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «<math>\;\dot{\theta}\,</math> en <math>\,-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\,\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\,\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\,</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\,\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\,\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement pendulaire, le portrait de phase est fermé, décrit dans le « sens horaire », avec }}correspondant à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable" /> du P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures }}<math>\bullet\;</math>pour un mouvement <u>révolutif</u>, le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u><math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}<math>\blacktriangleright\;</math>« vers les <math>\,\theta \nearrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} > 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la }}<math>\blacktriangleright\;</math>« vers les <math>\,\theta \searrow\,</math> en restant dans le domaine des <math>\,\dot{\theta} < 0\,</math> si <math>\,\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement révolutif, le portrait de phase est ouvert, constitué de la <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>portrait de phase }}<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement révolutif, }}<u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\,</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0\,</math> et <math>\,\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\,\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Nous observons deux allures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>pour un mouvement révolutif, }}<u>minima</u> {{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire «<math>\;\color{transparent}{\vert \dot{\theta} \vert}\;</math>» }}<u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable" /> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\,\dot{\theta}_0\,</math> est <math>\,< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\,\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : La « <u>bifurcation</u> » entre les deux types de mouvement « pendulaire <ref name="pendulaire" /> et révolutif » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La « bifurcation » }}correspond à un <u>[[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible</u> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La « bifurcation » correspond à un portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible }}«<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;</math> pour <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : La « bifurcation » correspond à un portrait de phase particulier }}cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient <ref> Le point générique repartant dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} > 0\;</math>» jusqu'à l'arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de <math>\,2\,\pi\;</math>» ou <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le point générique repartant }}dans le domaine des «<math>\;\dot{\theta} < 0\;</math>» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de <math>\,2\,\pi\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|Le point générique repartant }}ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation <math>\;\ldots</math></ref>. == Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda == {{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> et l'intégrale 1^ère du mouvement de ce dernier étant identiques à celles d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> après substitution de «<math>\;\mathit{l}\,</math> par <math>\,\mathfrak{a}\;</math>» et de «<math>\;m\,\mathit{l}^{\,2}\,</math> par <math>\,J_{\Delta_O}\;</math>», <br>{{Al|5}}nous pouvons refaire, aux substitutions près, l'approche numérique présentée dans le chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <ref name="approche numérique d'un P.P.S.N.A."> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>. === Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe « résolution numérique }}les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe « résolution numérique }}la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe « résolution numérique }}<math>\Big[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab"> La version utilisée étant '''Scilab''' <math>\;5.41</math>, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.</ref> pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\,</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Revoir le paragraphe « résolution numérique <math>\color{transparent}{\Big[}</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » pour tracer }}le [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant<math>\Big]\,</math> puis {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe « }}[[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}<math>\Bigg[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> pour tracer, dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Revoir le paragraphe <math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » pour tracer, }}les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant<math>\Bigg]\,</math> ensuite {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe « }}[[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}<math>\Bigg[</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » <ref name="Scilab" /> pour tracer, dans les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} > \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Revoir le paragraphe <math>\color{transparent}{\Bigg[}</math>on y trouve les lignes du programme « Scilab » pour tracer, }}les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le tracé du [[w:Portrait_de_phase|portrait de phase]] correspondant<math>\Bigg]\,</math> et enfin {{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> par P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Revoir le paragraphe }}la donnée de la longueur «<math>\;\mathit{l} = 1,000\; m\;</math>» du P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> devant être remplacée par celle du rapport «<math>\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;</math>». === Non isochronisme des oscillations === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant_1ère_partie#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou {{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant « P.P.S.(N.A.) <ref name="P.P.S.(N.A.)" /> » par « P.P.(N.A.) <ref name="P.P.(N.A.)" /> », <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en remplaçant }}«<math>\;\mathit{l}\;</math> par <math>\;\mathfrak{a}\;</math>», «<math>\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;</math> par <math>\;J_{\Delta_O}\;</math>» et, pour généraliser, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}en adaptant les C.I. <ref name="C.I." /> <math>\,\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\,</math> pour un mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en adaptant les C.I. <math>\,\color{transparent}{\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)}\,</math> pour un }}d'amplitude <math>\,\theta_m</math>, c.-à-d. <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}en imposant «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right] < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » }}<math>\theta_m\,</math> associée à <math>\,\dot{\theta} = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right]</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>\color{transparent}{17}</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » <math>\color{transparent}{\theta_m}\,</math> associée à <math>\,\color{transparent}{\dot{\theta} = 0}\,</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\theta_m}</math> }}<math>= \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;</math>» <ref name="arccosinus" /> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » }}dans le résultat de la période sous forme intégrée «<math>\;\vert \theta_0 \vert\,</math> doit être substituée par <math>\,\theta_m\;</math>» <ref> La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité <math>\,\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\,</math> l'amplitude des oscillations est <math>\,\vert \theta_0 \vert</math> <math>\;\ldots</math></ref> d'où, avec <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » dans le résultat de la période }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» période des petites élongations angulaires <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." />{{,}} <ref name="période des petites élongations angulaires du P.P.N.A." /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » }}l'expression de la <u>période d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> sous forme intégrale</u> «<math>\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}</math> <br>{{Al|17}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » l'expression de la période d'un P.P.N.A. sous forme intégrale «<math>\;\mathcal{T}</math> }}<math>\overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;</math>» <ref name="changement de variable"> Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable <math>\,u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|17}}{{Transparent|Voir le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations d'un P.P.S.N.A. » l'expression de la période d'un P.P.N.A. sous forme intégrale }}prouvant le <u>non isochronisme de ce dernier</u> <ref name="justification du non isochronisme"> Cette dernière expression intégrale de <math>\,\mathcal{T}\,</math> justifiant l'<u>absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.</u>, «<math>\;\mathcal{T}\,</math> dépendant effectivement de <math>\theta_m\;</math>» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.</ref>. === Formule de de Borda === <center>La formule de de Borda <ref name="de Borda"> En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de <math>\;\simeq 1760</math>, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]''' <math>\,\big[</math>'''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés<math>\big]</math>, d’étudier la longueur du pendule battant la seconde <math>\,\big[</math>pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de <math>\,36\; mm</math>, de masse <math>\,526\; g</math>, et accrochée à un fil de fer de <math>\,12\; pieds\,</math> de long <math>\,\big(</math>un pied de l’époque valait <math>\,324,839\, mm\big)</math>, la période d'oscillations était de <math>\,2\, s\big]\;</math> puis, entre <math>\,1792\,</math> et <math>\,1799</math>, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Joseph Delambre]] (1749 - 1822)''' <math>\,\big(</math>également membres de l’Académie des Sciences<math>\big)\,</math> il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.</ref> n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.</center> {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'expression approchée de de Borda]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe « }}du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" />, ce qui donne <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir le paragraphe }}l’« expression approchée de de Borda <ref name="de Borda" /> de la période d’oscillations » «<math>\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;</math>» avec «<math>\;\theta_m\;</math> l'amplitude des oscillations <ref> A priori non petite.</ref> exprimée en <math>\;rad\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Voir le paragraphe l’« expression approchée de de Borda de la période d’oscillations » «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)}\;</math>» avec }}«<math>\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;</math>» la période des « petites élongations angulaires » <ref name="élongations angulaires petites (ou non)" />. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L'évaluation de la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée », <br>{{Al|11}}{{Transparent|Remarques : L'évaluation de la « période par formule de de Borda » donne un résultat en accord }}pour des valeurs de <math>\,\theta_m\,</math> non petites <math>\,\bigg[\lesssim\,</math> à <math>\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\,</math> <math>\Rightarrow</math> un résultat correct à <math>\,1\,\%\,</math> près<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'expression approchée de de Borda]] d'un P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> en mouvement oscillatoire » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir le paragraphe « }}du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour évaluer la « période explicitée sous forme intégrale » en l’adaptant à un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en mouvement pendulaire <ref name="pendulaire" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir le paragraphe }}<math>\,\big(</math>la C.I. <ref name="C.I." /> de vitesse angulaire du P.P.S.N.A. <ref name="P.P.S.N.A." /> dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant <math>\,\dot{\theta}_0 = 0</math>, l'amplitude des oscillations est alors <math>\,\vert \theta_0 \vert\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir le paragraphe }}la comparaison avec la « période par formule de de Borda <ref name="de Borda" /> » donnant : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir le paragraphe la comparaison }}<math>\bullet\;</math>pour <math>\,\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}</math>, écart relatif de <math>\,0,43\; \%\,</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda » <ref name="par défaut"> « l'expression approchée de de Borda » sous-estimant la période.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir le paragraphe la comparaison }}<math>\bullet\;</math>pour <math>\,\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}</math>, écart relatif de <math>\,7,19\; \%\,</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda » <ref name="par défaut" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : Voir le paragraphe la comparaison }}<math>\bullet\;</math>pour <math>\,\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}</math>, écart relatif de <math>\,18,94\; \%\,</math> entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda » <ref name="par défaut" />. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]] | suivant = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] }} k22m6xlg0n7lpm3k8mnisjge8nk6yh0 0 74477 987221 987185 2026-10-10T17:23:37Z Phl7605 31541 987221 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 10 | niveau = 14 | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique newtonienne avec un complément dans celui de la cinétique relativiste.</center> == Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière, cas d’un système en translation == === Définition de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}L'énergie cinétique «<math>\;K(t)\;</math>» du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système }}est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;K_{M_i}(t)\;</math>» de chaque point matériel du système dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme la somme de l'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K_{M_i}(t)}\;</math>» de chaque point matériel }}au même instant <math>\,t\,</math> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie cinétique «<math>\;\color{transparent}{K(t)}\;</math>» du système est définie comme }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert"> Cette définition est aussi applicable à un système ouvert de points matériels d'une expansion tridimensionnelle limitée par la surface de contrôle fermée fixe de cette expansion d'où le qualificatif « fermé » mis entre parenthèses mais, par la suite, nous ne considérerons que des systèmes fermés.</ref>. === Expression newtonienne de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> se réécrit, dans <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système }}le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2}{2\;m_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\,m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinétique_précédemment_introduite_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinétique précédemment introduite du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'éergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_réfé9rentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}<math>\,\vec{p}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur quantité de mouvement de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Transparent|En cinétique newtonienne l’énergie cinétique du système le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}}\,</math> à la date <math>\,\color{transparent}{t}</math>, }}et <math>\,\vec{V}_{M_i}(t)\,</math> le vecteur vitesse de <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> au même instant <math>\,t</math>. === En complément, expression relativiste de l’énergie cinétique d’un système discret de points matériels === {{Al|5}}En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" />{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2 \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \gamma_{M_i}(t)\;m_i\; c^2\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\;</math> le facteur de Lorentz <ref name="Lorentz"> '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1853 - 1928)''' physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations]] dites de Lorentz » <math>\,\big[</math>en fait les équations définitives des [[w:Transformations_de_Lorentz|transformations de Lorentz]] ont été formulées en <math>1905</math> par '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]]''' après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont '''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' dès <math>1892</math> pour ce dernier<math>\big]</math>, transformations utilisées dans la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] élaborée par '''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]]''' en <math>1905</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Hendrik_Lorentz|Hendrik Lorentz]]''' partagea, en <math>1902</math>, le prix Nobel de physique avec '''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]] (1865 - 1943)''' physicien néerlandais pour leurs recherches de l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs <math>\;\big[</math>'''[[w:Pieter_Zeeman|Pieter Zeeman]]''' ayant découvert [[w:Effet_Zeeman|l'effet qui porte son nom]] en <math>1886\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}'''[[w:Albert_Einstein|Albert Einstein]] (1879 - 1955)''', physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en <math>1896</math> puis suisse en <math>1901</math> ; on lui doit la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] publiée en <math>1905</math>, la [[w:Relativité_générale|relativité générale]] en <math>1916</math> ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]] et la [[w:Cosmologie|cosmologie]] ; il a reçu le prix Nobel de physique en <math>1921</math> pour son explication de l'[[w:Effet_photoélectrique|effet photoélectrique]].</ref> du point <math>\;M_i\;</math> de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} - m_i\;c^2 \right\rbrace\;</math>» <ref name="extension à un système ouvert" />{{,}} <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t)\,</math> du point matériel <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique relativiste, l’énergie cinétique d’un système discret }}le 2^nd <math>\,\big(</math>au signe près<math>\big)\,</math> «<math>\;m_i\;c^2\;</math>» l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math><ref name="énergie de masse"> L'énergie de masse d'un point matériel étant une constante caractéristique du point et indépendante du référentiel.</ref>{{,}} <ref> L'énergie cinétique du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est définie par «<math>\;K_{M_i}(t) = \left[ \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4} \right] - \left[ m_i\; c^2 \right]\;</math>» c.-à-d. à l'énergie totale <math>\,E_{M_i}(t) = \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\,</math> du point <math>\,M_i\,</math> à la date <math>\,t\,</math> à laquelle est ôtée l'énergie de masse <math>\,E^{\,0}_{M_i} = m_i\; c^2\,</math> du point.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Définissant l'énergie totale du système discret fermé de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système }}par «<math>\;E(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \sqrt{\left[ \vec{p}_{M_i}(t) \right]^2\;c^2 + m_i^2\;c^4}\;</math>» c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie totale du système par }}la somme des énergies totales de tous les points matériels du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, au même instant <math>\,t</math>, et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant }}l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système"> En effet, la présence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels entraîne une diminution de la masse du système relativement à la somme des masses de ses constituants considérés comme indépendants, cette diminution observée dans un noyau est appelée « [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse]] » <math>\;\ldots</math></ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, }}par «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} E^{\,0}_{M_i} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;c^2\;</math>», c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Définissant l'énergie de masse du système, par }}la somme des énergies masses de tous les points matériels du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique relativiste du système dans <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points matériels <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" />, est égale à «<math>\;K(t) = E(t) - E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». === Généralisation, énergie cinétique d’un système continu de matière === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, de masse volumiqque <math>\,\mu(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue volumique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration volumique sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement à un point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité volumique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{volum}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \mu(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité volumique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{volum}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|10}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{volum}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\mu(M)}\;d \mathcal{V}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" />, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} d K_M(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} K_{\text{volum}}(M,\,t)\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \mathcal{V}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \mu(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="intégrale volumique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, de masse surfaciqque <math>\,\sigma(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue surfacique"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration surfacique sur l'expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion surfacique <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique"> Un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M</math>, sa masse est donc «<math>\;dm = \sigma(M)\;d S_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité surfacique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{surfac}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité surfacique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{surfac}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{surfac}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\sigma(M)}\;d S_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion surfacique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} K_{\text{surfac}}(M,\,t)\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \mathcal{S}} \left[ \dfrac{1}{2}\; \sigma(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d S_M\;</math>» <ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> et {{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti }}celle d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, de masse linéiqque <math>\,\lambda(M)</math>, énergie cinétique notée «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu }}est définie en ajoutant <ref name="somme continue curviligne"> Il s'agit d'une addition « continue » c.-à-d. d'une intégration curviligne sur l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref> les énergies cinétiques de chaque pseudo-point de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion linéique"> Un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M</math>,, sa masse est donc «<math>\;dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M</math>», son vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> étant <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, son vecteur quantité de mouvement au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> est «<math>\;d \vec{p}_{M}(t) = dm\; \vec{V}_M(t) = \left[ \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]</math>, son vecteur moment cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, relativement au point origine <math>\,A</math>, est «<math>\;d \overrightarrow{\sigma}_{\!A}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge d \vec{p}_{M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \lambda(M)\;\vec{V}_M(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>le terme entre crochets définissant la densité linéique de vecteur moment cinétique relativement au point origine <math>\,A\,</math> en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,\overrightarrow{\sigma}_{\!A,\,\text{lin}}(M,\,t) = \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t)\Big]\,</math> et son énergie cinétique au même instant <math>\,t\,</math> dans le même référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;d K_M(t) =</math> <math>\dfrac{ \left[ d \vec{p}_{M}(t) \right]^2}{2\;dm} = \dfrac{ \left[ \sigma(M)\;\vec{V}_M(t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Bigg\{</math>le facteur fractionnaire définissant la densité linéique d'énergie cinétique en <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, notée <math>\,K_{\text{lin}}(M,\,t)</math> <math>= \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\Bigg\}</math>.</ref> <br>{{Al|7}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie en ajoutant }}«<math>\;d K_M(t) = K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \dfrac{ \left[ \vec{P}_{\text{lin}}(M,\,t) \right]^2}{2\;\lambda(M)}\;d \mathit{l}_M = \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="pseudo-point d'une expansion linéique" />, soit <br>{{Al|2}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinéti celle d'un système continu est définie }}selon «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} d K_M(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} K_{\text{lin}}(M,\,t)\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \Gamma} \left[ \dfrac{1}{2}\; \lambda(M)\; \vec{V}_M^2(t) \right]\,d \mathit{l}_M\;</math>» <ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>. === Cas d'un système en translation === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en translation » ne se déforme pas, il peut donc être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\,\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : Considérant le système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret }}en translation dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> de vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, égal à celui de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\,G\,</math> soit «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <ref name="tout point de même vecteur vitesse"> Tous les points <math>\,M_i\,</math> ont le même vecteur vitesse à l'instant <math>\,t\,</math> soit <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> est définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}<math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2 = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;m_i \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2\,</math> soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\;</math>» <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2}\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right]\,</math> puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» la masse du système «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>», la réécriture selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="valable pour système continu de matière"> Cette expression est encore valable, sans modification, pour un système continu de matière.</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}l'énergie cinétique newtonienne du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\;G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}sachant que la résultante cinétique d'un système discret de points matériels s’écrit, en cinétique newtonienne, «<math>\;\vec{P}_{\text{syst}}(t) = m_{\text{syst}}\;\vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}l'énergie cinétique newtonienne de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation l'énergie cinétique newtonienne }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{\left[ \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{2\;m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 1^ère expression de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> étant explicitée à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> du système et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}la 2^nde {{Transparent|expression de }}<math>\,\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.}}(t)}\,</math>{{Transparent| étant explicitée }}à l'aide des grandeurs d'inertie <math>\,m_{\text{syst. en transl.}}\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> de ce système, <br>{{Al|2}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation }}une 3^ème expression <ref> Très peu utilisée.</ref> de <math>\,K_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> est explicitable à l'aide des grandeurs cinématique <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> et cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en réécrivant la 2^nde expression selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\;</math>» et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Exposé : Considérant le système discret en translation une 3^ème expression }}en remplaçant <math>\,\dfrac{\vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t)}{m_{\text{syst. en transl.}}}\,</math> par <math>\,\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)</math>, «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2} \vec{P}_{\text{syst. en transl.}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Complément</u> : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, étant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique d’un système discret }}définie selon «<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{M_i}(t) - 1 \right] m_i\; c^2\;</math>» <ref name="expression relativiste d'un système discret"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#En_complément,_expression_relativiste_de_l'énergie_cinétique_d'un_système_discret_de_points_matériels|en complément, expression relativiste de l'énergie cinétique d'un système discret de points matériels]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{M_i}(t) \right]^2}{c^2}}}\,</math> facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> de <math>\,M_i\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le mouvement de translation du système <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{V}_{M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall\,i\,\in\,\left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\gamma_{M_i}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2}{c^2}}} = \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret }}se réécrit selon «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] m_i\; c^2 = \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right] \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i \right] c^2\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)}</math> }}<math>= \left[ \gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) - 1 \right]\, m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{c^2}}}\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du système en translation et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, l'énergie cinétique de ce système discret se réécrit selon }}«<math>\;m_{\text{syst. en transl.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;</math>» masse du système <math>\,\big(</math>en translation<math>\big)\;</math><ref> Terme entre parenthèses car la masse du système est indépendante du mouvement de ce dernier.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}le vecteur vitesse du système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> étant aussi celui du point fictif « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système <math>\,G\;\left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math>» dans <math>\,\mathcal{R}\;</math> à la date <math>\,t</math>, soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vitesse }}«<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\gamma_{\text{syst. en transl.}}(t) = \gamma_G(t)\;</math>» facteur de Lorentz <ref name="Lorentz" /> du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\,G\,</math> et, en choisissant «<math>\;m_G = m_{\text{syst. en transl.}}\;</math>»n, <br>{{Al|4}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit }}d'où «<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> c.-à-d. l'énergie cinétique de ce système en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> est aussi <br>{{Al|10}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, le vecteur vit d'où «<math>\;\color{transparent}{K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\;c^2}\;</math>» c.-à-d. }}l'énergie cinétique du « C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;\left( m_G \right)\,</math> du système » dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, }}une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> de points matériels en translation dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à l'instant <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret }}s'obtient en explicitant la grandeur cinématique <math>\,\gamma_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \gamma_G(t)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}en fonction de celle cinétique <math>\,\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \vec{P}_G(t)\,</math> selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression de l'énergie cinétique de ce système discret s'obtient en explicitant }}«<math>\;K_G(t) = \left[ \gamma_G(t) - 1 \right]\, m_G\,c^2 = \sqrt{\vec{P}_G^2\;c^2 + m_G^2\;c^4} - m_G\;c^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa quantité de mouvement" /> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}«<math>\;K_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t) = \sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4} - m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 1^er terme «<math>\;\sqrt{\vec{P}_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}^{\,2}\;c^2 + m_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}\;c^4}\;</math>» définissant l'énergie totale du système en translation <math>\,E_{\text{syst. en transl.},\,\text{relativ}}(t)\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Complément : En cinétique relativiste, une 2^nde expression }}le 2^nd «<math>\;m_{\text{syst. en transl.}}\;c^2\;</math>» l'énergie de masse du système, en absence d'énergie potentielle d'interaction entre points <ref name="précision sur l'énergie de masse d'un système" /> «<math>\;E^{\,0}_{\text{sans }e_p\,\text{entre }M_i}\;</math>». == Énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire d’axe Δ, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu == === Forme particulière de l’énergie cinétique newtonienne d’un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu === {{Al|5}}En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique d’un point matériel «<math>\;M, \left( m \right)\;</math>» étant définie à la date <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> par «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m \left[ \vec{V}_{M}(t) \right]^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un point en fonction de sa vitesse" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}le vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\;</math><ref name="vecteur rotation instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Définition_du_vecteur_rotation_instantanée|définition du vecteur rotation instantanée]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> s’écrivant selon «<math>\;\vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t)\;</math>» <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non##Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l’énergie cinétique du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, en y remplaçant un seul vecteur vitesse par son expression intrinsèque rappelée ci-dessus <ref name="vecteur vitesse d'un point en mouvement circulaire" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\,m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \!\cdot\! \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{CM}(t) \right] = \dfrac{1}{2}\, \vec{\Omega}(t) \!\cdot\!\! \left[ \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t) \right]\;</math><ref name="propriété du produit mixte"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] (du produit mixte) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » vérifiant l'invariance du produit mixte par permutation circulaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}dernière expression faisant apparaître le vecteur moment cinétique du point <math>\,M\,</math> par rapport à <math>\,C\;</math><ref name="applicable quel que soit le mouvement"> Définition applicable pour tout mouvement de <math>\,M</math>, que ce dernier soit circulaire ou non.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, dernière expression faisant apparaître }}<math>\,\vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t) = \overrightarrow{CM}(t) \wedge m\, \vec{V}_{M,\,\text{mouv circ}}(t)\;</math><ref name="vecteur moment cinétique de M par rapport à A"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#«_Vecteur_moment_cinétique_de_M_par_rapport_au_point_origine_A_»,_cas_particulier_de_«_vecteur_moment_d'un_champ_vectoriel_défini_en_M_par_rapport_au_point_origine_A_»|vecteur moment cinétique de M par rapport au point origine A, cas particulier de vecteur moment d'un champ vectoriel défini en M par rapport au point origine A]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="applicable quel que soit le mouvement" /> soit, au final, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \vec{\Omega}(t) \cdot \vec{\sigma}_C(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» ou encore, avec <math>\,\left\lbrace \begin{array}{r c l} \vec{\Omega}(t) \!\!&=&\!\! \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta} \\ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \!\!&=&\!\! \sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\vec{u}_{\Delta} \end{array} \right\rbrace\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#%Équiprojectivité_du_«_vecteur_champ_moment_cinétique_de_M_»_dans_le_référentiel_d'étude_et_conséquence,_notion_de_«_moment_cinétique_de_M_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_axe_Δ_»|équiprojectivité du vecteur champ moment cinétique de M dans le référentiel d'étude et conséquence, notion de moment cinétique de M dans le référentiel d'étude oar rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>«<math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math>» étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation <math>\,\Delta</math>, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la vitesse angulaire de rotation <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> et «<math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math>» le moment cinétique scalaire relativement à <math>\,\Delta\,</math> de <math>\,M\;</math><ref name="définition du moment cinétique scalaire d'un point" /><math>\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}«<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, }}<math>\,\big[</math>ces deux expressions, exposées ci-dessus, de l'énergie cinétique newtonienne de <math>\,M\,</math> en mouvement <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit, <math>\,\color{transparent}{\big[}</math>}}circulaire sont explicitées en fonction des grandeurs cinématique et cinétique du point <math>\,M\big]</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}sachant qu'une grandeur cinétique d'un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire peut être explicitée en fonction des grandeurs cinématique et d'inertie de ce point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, sachant }}que la grandeur d'inertie de ce point <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\,R\,</math> autour de l'axe <math>\,\Delta\,</math> est son moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» <ref name="moment d'inertie de M en mouvement circulaire autour d'un axe"> Voir le paragraphe » [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Notion_de_moment_d'inertie_de_M_relativement_à_un_axe_Δ|notion de moment d'inertie de M relativement à un axe Δ]] « du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, sachant que }}le moment cinétique scalaire de <math>\,M\;(m)\,</math> en mouvement circulaire autour de <math>\,\Delta\,</math> s'explicitant par «<math>\;\sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t) = J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un point en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_point_matériel#Évaluation_du_moment_cinétique_de_M_en_mouvement_circulaire_dans_le_référentiel_d’étude_par_rapport_à_l’axe_Δ_du_cercle|évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ du cercle]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, }}l'énergie cinétiqque du point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire se réécrit «<math>\;K_{M_{\text{mouv circ}}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> Obtenue à partir de «<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» en éliminant la grandeur cinétique <math>\,\sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\,</math> au profit des grandeurs cinématique <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> et d'inertie <math>\,J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})</math>.</ref> <math>\,\big(</math>expression la plus utilisée<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|En cinétique newtonienne, l'énergie cinétiqque du point <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> en mouvement circulaire se réécrit }}«<math>\;K_{M_{\text{mouv circ}}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})}\;</math>» <ref> Obtenue à partir de «<math>\;K_{M,\,\text{mouv circ}}(t) = \dfrac{1}{2}\; \overline{\Omega}(t)\; \sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\;</math>» en éliminant la grandeur cinématique <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> au profit des grandeurs cinétique <math>\,\sigma_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}},\,t)\,</math> et d'inertie <math>\,J_{\Delta}(M_{\text{mouv circ}})</math>.</ref> <math>\,\big(</math>expression moins utilisée que celle explicitée ci-dessus<math>\big)</math>. === Analogie formelle entre l’énergie cinétique newtonienne d’un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il existe une analogie formelle entre l'une quelconque des trois formes de l'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il existe une analogie formelle entre }}la forme associée de l'énergie cinétique newtonienne d’un point en mouvement circulaire selon la correspondance suivante <center><math>\;\begin{array}{|c| |c| |c| |c|}\hline \;\text{analogie formelle} & \text{grandeur cinétique vectorielle} & \text{grandeur cinématique vectorielle} & \text{grandeur d'inertie}\;\\ \text{mouvement quelconque} & \text{vecteur quantité de mouvement «}\;\vec{p}_M(t)\;\text{»} & \text{vecteur vitesse «}\;\vec{V}_M(t)\;\text{»} & \text{masse «}\;m\;\text{»}\\ \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow\\ \text{mouvement circulaire} & \text{moment cinétique vectoriel «}\;\vec{\sigma}_C(M,\,t)\;\text{»} & \text{vecteur rotation instantanée «}\;\vec{\Omega}(t)\;\text{»} & \text{moment d'inertie «}\;J_{\Delta}(M)\;\text{»}\\ \hline\end{array}\;</math></center> {{Al|5}}ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\overrightarrow{\text{grandeur cinétique}}\cdot\overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}}{2}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{p}_M(t)\cdot\vec{V}_M(t)}{2}\;</math>» pour un « mouvement quelconque » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme la moins utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_C(M,\,t)\cdot\vec{\Omega}(t)}{2}\;</math>» pour un « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{1}{2} \times \text{grandeur d'inertie} \times \left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}} \right]^2\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\, \left[ \vec{V}_M(t) \right]^2\;</math>» pour un « mouvement quelconque » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme la plus utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\, \left[ \vec{\Omega}(t) \right]^2\;</math>» <ref> Écrite préférentiellement avec la vitesse angulaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M)\; \overline{\Omega}^2(t)\;</math>».</ref> pour un « mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|ainsi }}pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point en « mouvement quelconque » et celle d’un point en mouvement circulaire l'analogie formelle correspond à <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;\text{énergie cinétique} = \dfrac{\left[ \overrightarrow{\text{grandeur cinétique}} \right]^2}{2 \times \text{grandeur d'inertie}}\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{p}_M(t) \right]^2}{2\;m}\;</math>» pour un « mouvement quelconque » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|ainsi pour la forme moyennement utilisée d'énergie cinétique newtonienne d'un point }}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \vec{\sigma}_C(M,\,t) \right]^2}{2\;J_\Delta(M)}\;</math>» <ref> Écrite préférentiellement avec le moment cinétique scalaire <math>\,\sigma_\Delta(M,\,t)\,</math> selon «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_\Delta(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math>».</ref> pour un « mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> et d'axe <math>\,\Delta\;</math>».> == Énergie cinétique newtonienne d’un « système de points en rotation » autour d’un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu == {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » peut, a priori, se déformer <ref> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe fixe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\,\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\,</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\,t\,</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant, avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> tels que la droite <math>\,M_iM_j\,</math> recoupe l'axe <math>\,\Delta\,</math> perpendiculairement en <math>\,H_{i,\,j}</math>, <math>\,\big[</math>les points <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\,\theta_{i,\,j}(t)\big]\,</math> on ait <math>\,\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\,\big[</math>donc indépendant de <math>\,\left( i\,,\, j \right)\big]\,</math> pour tout instant <math>\,t\,</math> et pour tout couple <math>\,\left( M_i\,,\,M_j \right)\,</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref>, toutefois, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}un « système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> en rotation autour d'un axe fixe » est, en pratique, indéformable, il est alors qualifié de « solide » au sens de la mécanique ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}l’exposé ci-dessous est fait à partir d’un système discret de points matériels mais les trois expressions exposées ci-après restent applicables à un système continu de matière. {{Al|5}}<u>Exposé</u> : En cinétique newtonienne, l’énergie cinétique du système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math>, définie selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}«<math>\;K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)\;</math>» se réécrit, quand ce système est en rotation autour d’un axe fixe <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret «<math>\;\color{transparent}{K(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} K_{M_i}(t)}\;</math>» se réécrit, quand ce système est en rotation }}de vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta}(M_i)\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}en factorisant par «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» «<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\,\overline{\Omega}^2(t)\, \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i) \right]\;</math>» et, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}en reconnaissant dans «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i)\;</math>» le moment d’inertie du système par rapport à <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret en reconnaissant dans «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_{\Delta}(M_i)}\;</math>» }}«<math>\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}} = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math>» avec <math>\,r_i\,</math> distance orthogonale entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,\Delta</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}l'énergie cinétique de ce système discret en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret l'énergie cinétique de ce système discret en rotation }}de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>, à la date <math>\,t</math>, se réécrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\,\big(</math>forme la plus utilisée <ref> À connaître sans hésitation.</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret }}<math>\big[</math>dans l'expression exposée ci-dessus, l'énergie cinétique du système discret en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, l'énergie cinétique du système discret <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}est explicitée en fonction des grandeurs cinématique et d'inertie du système respectivement «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» et «<math>\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, }}le moment cinétique scalaire de ce système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» à la date <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, le moment cinétique scalaire de ce système discret }}étant lié à la vitesse angulaire instantanée de ce système à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, le moment cinétique scalaire de ce système discret étant lié }}par «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) = J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_moment_cinétique_scalaire_évalué_par_rapport_à_l'axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, on peut réaliser l'explicitation de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, le moment cinétique scalaire de ce système discret }}«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t)\;</math>» à l'aide des grandeurs cinétique «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et d'inertie «<math>\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}\;</math>» du <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, le moment cinétique scalaire de ce système discret }}système en remplaçant <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> par <math>\,\dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}}\,</math> dans <math>\,K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{1}{2}\,J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}\,\overline{\Omega}^2(t)\,</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, le moment cinétique scalaire de ce système discret }}«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\,\big(</math>forme moyennement utilisée <ref> À connaître également, même si elle est moins utilisée que la forme utilisant « moment d'inertie et vitesse angulaire instantanée ».</ref><math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, }}une 3^ème expression de l'énergie cinétique de ce système discret de points matériels en rotation autour de l'axe fixe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> à la date <math>\,t\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, une 3^ème expression }}s'explicite à l'aide des grandeurs cinétique et cinématique du système, respectivement «<math>\;\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)\;</math>» et «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, une 3^ème expression s'explicite }}en remplaçant, dans <math>\,K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}}</math>, «<math>\;J_{\Delta,\,\text{syst. en rotat.}}\,</math> par <math>\,\dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t)}{\overline{\Omega}(t)}\;</math>» <ref name="lien entre moment cinétique scalaire et vitesse angulaire pour un système en rotation" />, d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Exposé : En cinétique newtonienne, une 3^ème expression de }}«<math>\;K_{\text{syst. en rotat.}}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(\text{syst. en rotat.},\,t) \; \overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <ref name="valable pour système continu de matière" /> <math>\,\big(</math>forme la moins utilisée<math>\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie|Loi du moment cinétique : Pendule pesant 2ème partie]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] }} t77xthopcls768m97atyzz0uers0j7c 0 74574 987217 987216 2026-10-10T12:42:30Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C */ 987217 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> soit «<math>\;\dot{\vec{\Omega}}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}On multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1^er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>», «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\;M\;</math>» soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\dot{K}_M(t)\;</math>» d'après l'une des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] <math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math>» établie dans le chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} 1zuctwbcznfzm9unnaamaxkes0ihd1a 987218 987217 2026-10-10T12:45:20Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C */ 987218 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}On multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1^er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>», «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\;M\;</math>» soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\dot{K}_M(t)\;</math>» d'après l'une des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] <math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math>» établie dans le chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} bi8sdjryd13i3hlu40qaaj5rlczqbza 987220 987218 2026-10-10T17:00:15Z Phl7605 31541 987220 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}On multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1^er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>», «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\;M\;</math>» soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\dot{K}_M(t)\;</math>» d'après l'une des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] <math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math>» établie dans le chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} aqpqr0xo2htk1oaj1q10gmkrh44trhb 987224 987220 2026-10-10T17:37:07Z Phl7605 31541 987224 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}On multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1^er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>», «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\;M\;</math>» soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\dot{K}_M(t)\;</math>» d'après l'une des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] <math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math>» établie dans le chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} jtzhgz95h4fk9fz6rc2zb9246ya227q 987225 987224 2026-10-10T17:39:05Z Phl7605 31541 Phl7605 a déplacé la page [[Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] vers [[Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] : diminution du contenu 987224 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}On multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1^er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>», «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\;M\;</math>» soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\dot{K}_M(t)\;</math>» d'après l'une des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] <math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math>» établie dans le chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} jtzhgz95h4fk9fz6rc2zb9246ya227q 987228 987225 2026-10-10T17:57:11Z Phl7605 31541 987228 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}On multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, après utilisation, dans le 1^er membre, de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, la puissance instantanée développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; {{Al|5}}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>», «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math> étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\;M\;</math>» soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) =</math> <math>\dot{K}_M(t)\;</math>» d'après l'une des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] <math>\;K_M(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math>» établie dans le chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} j67dewh2bztn4z8wcsyhg5vs8hokxqb 987242 987228 2026-10-10T22:48:04Z Phl7605 31541 /* « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C */ 987242 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} d6lkwyu24yc7rqan6ibwe3wbjavoa3m 987243 987242 2026-10-10T22:49:07Z Phl7605 31541 /* « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen */ 987243 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}soit «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} rg72edj9ybaq5x0672yz2ps4rpxoavl 987244 987243 2026-10-10T22:50:57Z Phl7605 31541 /* « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen */ 987244 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}dans le cadre de la dynamique newtonienne, l’expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant sous la forme {{Nobr|«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]</math>}} <math>= \dot{K}_M(t)\;</math>» nous retrouvons le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans son mouvement circulaire » <ref> Ce qui n’est pas une surprise puisque ce théorème est valable quel que soit le mouvement <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> lequel se réécrivant selon «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» vérifie que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\;\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\;</math> est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} larzwuob45r0heybosploxmtbaq1kyc 987246 987244 2026-10-11T04:25:35Z Phl7605 31541 /* « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen */ 987246 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} buqc87m9hisqv5s0hcur1wj1jq9mpob 987247 987246 2026-10-11T04:28:02Z Phl7605 31541 /* « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen */ 987247 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} lb4vlwd5dzjkefailyvbv0j4x04pa6u 987248 987247 2026-10-11T04:33:12Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque */ 987248 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}soit mathématiquement «<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 3694yh0kc1jsc00xpqaryywmnoeij3w 987249 987248 2026-10-11T04:34:04Z Phl7605 31541 /* Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque */ 987249 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\;M\;</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> prend la forme ci-dessous : :{{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> dans ce même référentiel, est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_M(t) =</math>}} <math>\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math> avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta</math>, on en déduit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t)\;</math> se réécrit <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\;J_\Delta(M) = m\;R^2\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> dans son mouvement circulaire de rayon <math>\;R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » à savoir «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\;</math> dans laquelle <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\;</math> ou «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\;\big(</math>pratiquement jamais {{Nobr|utilisée<math>\big)</math>}} <math>\;\big[</math>on rappelle la relation <math>\;\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 8slr6z6jnwclnyfku4pl8on2og4lqaz 987250 987249 2026-10-11T05:09:37Z Phl7605 31541 /* Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) */ 987250 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|215}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} tacv94l1ln1s2jfbcnt912hgk7kcje9 987251 987250 2026-10-11T05:16:03Z Phl7605 31541 /* Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) */ 987251 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 06cdr56h4fg30oguk0mkukj3yte88nd 987252 987251 2026-10-11T05:22:21Z Phl7605 31541 987252 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\;N\;</math> pourrait être égal à <math>\;1\;</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} 7584j5io2ug3mkdagl4hr6noe2t65hn 987253 987252 2026-10-11T08:56:32Z Phl7605 31541 /* Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide */ 987253 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur au système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force extérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\;M_i\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} jymxlw1ft65lxo9f11df42yelkmwqiw 987254 987253 2026-10-11T09:32:22Z Phl7605 31541 /* Définition */ 987254 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> au point <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> <br>soit encore <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> dans laquelle <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est <br>le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} d9lrugrsjbusmaxq2w0h8rnjv4n1iw7 987255 987254 2026-10-11T09:49:16Z Phl7605 31541 /* Définition */ 987255 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 11 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Puissance d’une force dans le cas où M décrit un mouvement circulaire d’axe Δ de vitesse angulaire instantanée Ω(t) == === Rappel de la définition de la puissance développée par une force appliquée à un point M en mouvement « quelconque » === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque"> Donc aussi applicable à un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta\,</math> et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)</math>.</ref> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}a été définie au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Puissance_d'une_force|puissance d'une force]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}s'écrit selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste"> Applicable sous cette forme en dynamique relativiste.</ref> avec <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> vecteur vitesse de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>. === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}La puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement « quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie par <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» <ref name="dynamique relativiste" /> se réécrit, dans le cas où <math>\,M\,</math> est en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> à l'instant <math>\,t</math>, pour lequel <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}le vecteur vitesse <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> a pour forme <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}intrinsèque «<math>\;\vec{V}_M(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t)\;</math>» <ref name="forme intrinsèque de la vitesse de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Mouvement_circulaire_uniforme_ou_non#Expression_intrinsèque_du_vecteur_vitesse_du_point_M_sur_sa_trajectoire_circulaire_à_l'instant_t|expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t]] (remarque) » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un <br>{{Al|9}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)}\;</math>» se réécrit, }}point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\big]\,</math> soit, en explicitant <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> dans la définition de <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \left[ \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{AM}(t) \right]\;</math>» ou, par « permutation circulaire du produit mixte » <math>\,\big(</math>ce qui laisse ce dernier invariant <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_3|propriétés]] du produit mixte » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref> La permutation circulaire est faite de façon à faire apparaître «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\;</math>».</ref> avec «<math>\;\overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{F}(M,\,t)\,</math> vecteur moment de <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> en <math>\,A\,</math> noté <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment vectoriel d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition|définition]] du moment vectoriel d'une force » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> d'où <br>{{Al|5}}la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée, à l'instant <math>\,t</math>, au point <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> et de vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> se réécrit selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{\Omega}(t) \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée"> Peu utilisée sous cette forme, même en remplaçant <math>\,A\,</math> par le centre <math>\,C\,</math> du cercle.</ref> <math>\,\big[A\,</math> étant un point fixe quelconque de l’axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation du point <math>\,M\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math>» avec <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]}\;</math>» avec }}<math>\big[\overline{\Omega}(t)\,</math> étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du point <math>\,M\,</math> autour de <math>\,\Delta\,</math> à l'instant <math>\,t\big]\,</math> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\,</math> le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace \overline{\Omega}(t)}\;</math>» dans laquelle in reconnaît dans « }}rapport à l’axe <math>\,\Delta\,</math> noté <math>\,\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire d'une force"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> soit au final <br>{{Al|6}}{{Transparent|la puissance développée par la force <math>\,\color{transparent}{\vec{F}(M,\,t)}\,</math> }}«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme nettement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!A}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref>. === Analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par une force à point d’application M en « mouvement quelconque » et celle à point d’application en mouvement circulaire === {{Al|5}}Il y a une analogie formelle entre l’expression de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\,M\,</math> de « mouvement quelconque » <ref name="mouvement quelconque" /> «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \vec{F}(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» et <br>{{Al|2}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre l'express }}celle de la puissance développée par la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> appliquée en <math>\;M\;</math> de « mouvement circulaire de centre <math>\;C\;</math>» «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression peu utilisée" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Il y a une analogie formelle entre }}toutes deux correspondant à la forme symbolique ci-dessous <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique}}(t) \cdot \overrightarrow{\text{grandeur cinématique}}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, avec <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque <math>\,\big(</math>c.-à-d. aussi de mouvement circulaire<math>\big)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, pour <math>\,M\,</math> de mouvement quelconque, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> est la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le 2^nd membre, }}pour <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire de centre <math>\,C</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique adaptée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> {{Transparent|est }}le moment vectoriel de la force <math>\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\,</math> en <math>\,C</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}dans le cas où le point <math>\,M\,</math> a un mouvement « circulaire d'axe <math>\,\Delta\;</math>» <ref> Donc à un degré de liberté pouvant être caractérisé par des grandeurs scalaires.</ref>, l'expression symbolique de la puissance développée par la force permettant ce mouvement circulaire peut se réécrire selon <center>«<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\text{cause de modification de la grandeur cinématique linéaire}} \right]\!(t) = \left\lbrace \begin{array}{c}\text{cause scalaire de modification de}\\ \text{la grandeur cinématique scalaire}\end{array}\right\rbrace\!(t) \times \text{grandeur cinématique scalaire}(t)\;</math>», <br>traduction symbolique de «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right] \times \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Le 1^er membre est la puissance de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)</math>, cause de modification de la grandeur cinématique linéaire <math>\,\vec{V}_M(t)</math>, <br>{{Al|3}}dans le 2^nd membre, avec <math>\,M\,</math> de mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, la cause de modification de la grandeur cinématique scalaire <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> est le moment scalaire de la force <math>\,\vec{F}(M,\,t)\,</math> par rapport à l'axe <math>\,\Delta\,</math> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}(M,\,t) \right]\;</math>».</ref>.</center> == « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre fixe C == === Rappel du théorème du moment cinétique vectoriel dans le cas où M décrit un mouvement circulaire de centre fixe C === {{Al|5}}Le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\;(m)\,</math> décrivant un mouvement circulaire de centre <math>\,C\,</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de rayon <math>\,R</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le théorème du moment cinétique vectoriel }}s'énonce, à l'instant <math>\,t</math>, dans le cadre de la dynamique newtonienne selon <ref name="théorème du moment cinétique vectoriel de M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Cas_où_M_décrit,_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen,_un_mouvement_circulaire_d’axe_«_Δ_»,_de_centre_«_C_»,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_donné|cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d'axe Δ, de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée donnée]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : {{Al|5}}“ la somme des vecteurs moments des forces appliquées à <math>\,M\;(m)\,</math> calculés, à l'instant <math>\,t</math>, par rapport au centre <math>\,C\,</math> du cercle de rayon <math>\,R\,</math> décrit par <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» est égal au produit du moment d’inertie de <math>\,M \,</math> par rapport à son axe <math>\,\Delta\,</math> de rotation <ref> C.-à-d. l'axe du cercle décrit par <math>\,M</math>.</ref> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme «<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\;</math>» est égal au produit }}de la dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée <math>\,\vec{\Omega}(t)\,</math> de <math>\,M\,</math> au même instant <math>\,t\,</math> c.-à-d. «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t)\;</math>» soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|“ la somme }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». ” === « Expression énergétique » du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à M en mouvement circulaire de centre fixe C dans le référentiel d’étude galiléen === {{Al|5}}Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta</math>, de centre <math>\,C\,</math> fixes dans le référentiel d’étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel <math>\,\color{transparent}{M}\,</math> }}de moment d'inertie par rapport à <math>\,\Delta\,</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;</math>» et de vecteur rotation instantanée à l'instant <math>\,t\,</math> «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» à savoir <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t),\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>», on multiplie scalairement les deux membres de la « relation <math>\,\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{\Omega}(t)\;</math>» soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t) = J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» dans le but de faire apparaître, dans le 1^er membre, après utilisation de la distributivité de <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] de la multiplication scalaire » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la puissance instantanée <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}développée par chaque force appliquée selon «<math>\;\left\lbrace \sum\limits_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \right\rbrace \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|109}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \sum\limits_k \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!C}\! \left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \cdot \vec{\Omega}(t) \right\rbrace = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\;</math>» <ref name="puissance d'une force appliquée à M en mouvement circulaire"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ; <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}on vérifie ensuite que le 2^nd membre «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» représente la puissance cinétique du point <math>\,M\,</math> à <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}la date <math>\,t\,</math> lors de son mouvement circulaire d'axe <math>\,\Delta\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> «<math>\;\dot{K}_M(t)\;</math>» en effet, «<math>\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)</math> <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \left[ \vec{\Omega} \right]^2}{dt}(t) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;J_{\!\Delta}(M)\;\vec{\Omega}^2 \right]}{dt}(t)\;</math>» <ref name="moment d'inertie constant"> «<math>\;J_{\!\Delta}(M) = m\;R^2\;</math>» étant une constante caractérisant la trajectoire de <math>\,M</math>.</ref> soit <br>{{Al|70}}{{Transparent|Partant du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;J_{\!\Delta}(M)\;\dfrac{d \vec{\Omega}}{dt}(t) \cdot \vec{\Omega}(t) = \dfrac{d K_M}{dt}(t) = \dot{K}_M(t)\;</math>» <ref name="expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|formes particulières de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire autour d’un axe <math>\,\Delta\,</math> fixe dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen s'écrivant, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}«<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dot{K}_M(t)\;</math>» <math>\,\big(</math>en dynamique newtonienne<math>\big)</math>, nous retrouvons <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}le « théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> dans un mouvement quelconque <ref name="mouvement quelconque" /> » «<math>\;\sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \dfrac{d K_M}{dt}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel }}c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » <math>\,\big(</math>grandeur cinétique énergétique<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|l'expression énergétique du théorème du moment cinétique vectoriel c.-à-d. que la cause de modification de l’« énergie cinétique » }}est la somme des « puissances développées par les forces appliquées » <math>\;\ldots</math> == Réécriture du théorème de la puissance cinétique dans le cas où M a un mouvement circulaire de centre C fixe == === Rappel du théorème de la puissance cinétique appliqué à M en mouvement quelconque === {{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », le théorème étant rappelé sous sa forme newtonienne ci-dessous : {{Al|5}}« Dans un référentiel galiléen, la puissance cinétique d’un point matériel est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Dans un référentiel galiléen, }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t)\,</math> et <math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \vec{F}_k(M,\,t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>». === Cas particulier où M est en mouvement circulaire d’axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t) === {{Al|5}}Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans un référentiel <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen, de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Quand le point matériel <math>\,M\,</math> a un mouvement circulaire }}le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\,M\,</math> prend la forme ci-dessous : {{Al|5}}« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire d’axe <math>\,\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen et de vitesse angulaire instantanée <math>\,\overline{\Omega}(t)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique d’un point matériel <math>\,M\,</math> en mouvement circulaire }}est égale à la somme des puissances développées par les forces qui lui sont appliquées » soit mathématiquement <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]\,</math> avec <math>\,K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math><ref> En effet, définissant <math>\,\vec{u}_\Delta\,</math> vecteur unitaire orientant <math>\,\Delta\,</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta\,</math> et «<math>\;\vec{\Omega}^2(t) = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;\vec{u}_\Delta^2 = \overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\vec{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}^{\,2}\!(t)\;</math>».</ref> où <math>\,J_\Delta(M) = m\;R^2\,</math> est le moment d'inertie de <math>\,M\;(m)\,</math> relativement à <math>\,\Delta\,</math> <br>{{Al|214}}{{Transparent|« La puissance cinétique }}dans son mouvement circulaire de rayon <math>\,R\;</math><reF> On peut aussi utiliser l'une des deux autres formes de l'énergie cinétique établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Forme_particulière_de_l’énergie_cinétique_newtonienne_d’un_point_matériel_M_en_mouvement_circulaire_de_centre_C,_de_rayon_R_et_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|forme particulière de l'énergie cinétique newtonienne d'un point matériel M en mouvement circulaire de centre C, de rayon R et de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à savoir <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\left[ \sigma_{\Delta}(M,\,t) \right]^2}{2\;J_{\Delta}(M)}\,</math> dans laquelle <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t)\,</math> est le moment cinétique scalaire de <math>\,M\,</math> relativement à <math>\,\Delta\;</math>» <math>\,\big(</math>utilisée moins fréquemment<math>\big)\,</math> ou <br>{{Al|3}}«<math>\;K_M(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta}(M,\,t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» <math>\,\big(</math>pratiquement jamais utilisée<math>\big)</math> <math>\,\big[</math>on rappelle la relation <math>\,\sigma_{\Delta}(M,\,t) = J_\Delta(M)\;\overline{\Omega}(t)\big]</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« La puissance cinétique «<math>\;\color{transparent}{\dot{K}_M(t) = \sum\limits_k \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right]}\,</math> avec }}<math>\,\mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] = \mathcal{M}_{\!\Delta}\!\left[ \vec{F}_k(M,\,t) \right] \, \overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation"> Voir le paragraphe « puissance développée par une force dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Cas_particulier_où_M_est_en_mouvement_circulaire_d’axe_Δ_et_de_vitesse_angulaire_instantanée_Ω(t)|cas particulier où M est en mouvement circulaire d'axe Δ et de vitesse angulaire instantanée Ω(t)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>. == Puissance du système de forces extérieures et du système de forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas particulier d’un solide == === Puissance (du système) des forces extérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> A priori <math>\,N\,</math> pourrait être égal à <math>\,1\,</math> mais ce ne serait plus un système de points matériels mais un simple point matériel.</ref> mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « système des forces extérieures s'exerçant sur le système discret fermé de points matériels <math>\,\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le « système des forces extérieures }}étant défini comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math> que chaque système <math>\;\left( \Sigma_k \right)</math>, extérieur à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\,M_i\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de forces extérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_extérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces extérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> », <br>{{Al|5}}la puissance développée par ce système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, à l'instant <math>\,t</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}se détermine comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par chaque force extérieure <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\,</math> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right] = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right],\;\;\left( \mathfrak{b} \right)\;</math><ref name="résultante des forces extérieures s'exerçant sur Mi"> En notant <math>\,\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\,</math> la résultante des forces extérieures s'exerçant sur le même point matériel <math>\,M_i\,</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|27}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> soit encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|la puissance développée par ce système de forces extérieures «}}<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>». ==== Cas d’un « système de matière en translation » ==== {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en translation » <ref name="système en translation"> Un « système de matière en translation » ne se déformant pas peut aussi être qualifié de « solide » au sens de la mécanique.</ref>, tous les points matériels <math>\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math> ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> <math>\;G\;</math> du système soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;\;\forall\;M_i\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», ce qui permet de factoriser « scalairement » <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> le 2^nd membre de la « relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math>» par «<math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>», l’autre facteur étant alors la résultante dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|21}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la résultante dynamique exercée, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des résultantes des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> d’où l'expression finale de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math>» ou encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <ref> Ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique.</ref>. ==== Cas d’un « système de matière (indéformable) en rotation » ==== {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe"> Par exemple, en se dilatant, c.-à-d. que chaque point du système, en plus de sa rotation autour d'un axe, s'éloigne radialement de cet axe <math>\;\big(</math>la vitesse d'éloignement pouvant être différente d'un point à un autre<math>\big)\;</math> mais dans ce cas il ne s'agit pas d'une rotation « pure » <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Pour maintenir une même vitesse angulaire à un instant <math>\;t\;</math> pour tous les points d'un « système déformable », il faut que le mouvement orthoradial de chacun des points soit corrélé au mouvement radial correspondant avec absence de mouvement axial, c.-à-d. que, pour deux points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> tels que la droite <math>\;M_iM_j\;</math> recoupe l'axe <math>\;\Delta\;</math> perpendiculairement en <math>\;H_{i,\,j}</math>, <math>\;\big[</math>les points <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> ayant donc même abscisse angulaire <math>\;\theta_{i,\,j}(t)\big]\;</math> on ait <math>\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t) = \overline{\Omega}(t)</math> <math>\;\big[</math>donc indépendant de <math>\;\left( i\,,\, j \right)\big]\;</math> pour tout instant <math>\;t\;</math> et pour tout couple <math>\;\left( M_i\,,\,M_j \right)\;</math> dont les éléments ont même abscisse angulaire, ces conditions étant très contraignantes sont quasiment jamais réalisées naturellement <math>\;\ldots</math></ref> et ce n'est que dans le cas où il est indéformable qu'il peut être qualifié de « solide » au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>et il est nécessairement fermé<math>\big)</math>, c'est pratiquement le seul cas envisageable. {{Al|5}}Dans le cas d'un « système discret fermé de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math><ref name="N différent de 1" /> en rotation autour d'un axe <math>\;\Delta\;</math> <ref> Indéformable dans la pratique <math>\Rightarrow</math> se comporte, dans ce cas <math>\;\big(</math>le seul que nous envisageons dans la suite<math>\big)</math>, comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big[</math>relire la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-syst%C3%A8me_en_rotation_autour_d'un_axe-28|²⁸]] », plus haut dans ce chapitre, commentant la difficulté pratique d'avoir un système déformable restant simultanément en rotation<math>\big]</math></ref> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> avec, à l'instant <math>\;t</math>, la même vitesse angulaire instantanée «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> pour tous les points <math>\;M_i\,\in\, \left( \mathcal{S} \right)\;</math>», la puissance de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrivant selon «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> avec un 2^nd facteur indépendant du point <math>\;M_i</math>, ce qui permet de factoriser par ce facteur <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math><ref name="expression de la puissance d'une force avec M en rotation" /> soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;\overline{\Omega}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» dans laquelle on constate que le 1^er facteur est le moment scalaire résultant dynamique «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math> <math>= \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire exercé sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathcal{V}_M = \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d S_M = \left\lbrace \displaystyle\iint_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d S_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique scalaire relativement à un axe <math>\;\Delta\;</math> exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants scalaires relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math> <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant scalaire relativement à <math>\;\Delta\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\mathcal{M}_{\!\Delta}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>» dans laquelle <math>\;A\,\in\,\Delta</math>, <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> est le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M =</math> <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \left[ \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] \cdot \vec{u}_\Delta \right\rbrace\, d \mathit{l}_M = \left\lbrace \displaystyle\int_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{AM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \; d \mathit{l}_M \right\rbrace \cdot \vec{u}_\Delta\;</math>».</ref> s'exerçant sur le système en rotation soit finalement la réécriture de la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le système en rotation selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme particulière applicable dans le cas d’une rotation autour d’un axe quelconque <math>\;\big(</math>axe mobile ou immobile dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen ou non, la nécessité d’être fixe ainsi que celle du caractère galiléen de <math>\;\mathcal{R}</math>, n’apparaissant que dans l’application du théorème du moment cinétique scalaire ou d’un théorème s’en déduisant<math>\big)</math>.</ref> c.-à-d. <br> le produit du moment scalaire résultant dynamique du système en rotation par rapport <math>\;\Delta\;</math> et de sa vitesse angulaire instantanée.</center> ==== En complément, « cas d’un solide en mouvement quelconque » ==== {{Al|5}}On admet qu'on peut toujours considérer le mouvement d’un point quelconque <math>\;M_i\;</math> d'un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la « composition d’une translation instantanée de vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> du solide<math>\big]\;</math> et d’une rotation instantanée autour d’un axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par <math>\;G\;</math> de vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\big[</math>ces deux grandeurs cinématiques étant définies au même instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math>» <ref name="inapplicable à un système déformable"> Cette composition devenant fausse pour un système déformable car ni la translation ni la rotation ne peuvent créer de déformation du système !</ref> soit «<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}on en déduit alors que la puissance instantanée développée par la résultante des forces extérieures s’appliquant sur <math>\;M_i</math>, à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>», s'écrit selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)</math>}} <math>= \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right]\;</math>» ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle" /> «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) =</math> <math>\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \left[ \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \wedge \overrightarrow{GM_i}(t) \right] = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \cdot \left[ \overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>», le 2^ème terme étant transformé par utilisation de l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire <ref name="invariance du produit mixte par permutation circulaire" /> de façon à reconnaître «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> dans <math>\;\overrightarrow{GM_i}(t) \wedge \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» soit finalement «<math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}en utilisant la « relation <math>\;\left( \mathfrak{b} \right),\;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" /> réécrite en remplaçant <math>\;\mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t)\;</math> par <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)\;</math> dans laquelle les deux termes ont chacun un 2^ème facteur indépendant de <math>\;M_i\;</math> puis, en regroupant les termes de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) \right\rbrace + \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) \cdot \vec{\Omega}_{\Delta_G}(t) \right\rbrace\;</math>» enfin, en factorisant « scalairement » <ref name="factorisation scalaire" /> le 1^er terme par <math>\;\vec{V}_{\!G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant alors «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. la résultante dynamique exercée sur le solide » <ref name="résultante dynamique exercée sur un système continu de matière" /><math>\Big\}\;</math> et le 2^nd par <math>\;\vec{\Omega}_{\Delta_G}(t)</math> <math>\;\Big\{</math>le 1^er facteur à l'issue de la factorisation « scalaire » <ref name="factorisation scalaire" /> étant «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}} \right]\!(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)\;</math> c.-à-d. le moment résultant dynamique vectoriel exercée sur le solide relativement au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> de ce dernier » <ref name="moment résultant dynamique vectoriel exercé sur un système continu de matière relativement à G"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathcal{V}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathcal{V}_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d S_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d S_M = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d S_M\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, exercé, à l'instant <math>\;t</math>, sur ce dernier dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue {{Nobr|<math>\;\big\{</math>correspondant}} à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des moments résultants vectoriels relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant, à l'instant <math>\;t</math>, sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t) \right]\;</math>» soit, mathématiquement, l'expression suivante «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de moment résultant vectoriel relativement à <math>\;G\;</math> des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G}\! \left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]}{d \mathit{l}_M}(t) = \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\;</math> est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M</math>, le moment résultant dynamique vectoriel relativement au C.D.I. <math>\;G\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> se réécrit selon {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)\; d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overrightarrow{GM}(t) \wedge \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right]\, d \mathit{l}_M\;</math>».</ref><math>\Big\}</math>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}en notant <math>\;\vec{u}_{\Delta_G}\;</math> le vecteur unitaire orientant <math>\;\Delta_G</math>, le vecteur rotation instantanée se réécrit <math>\;\vec{\Omega}(t) = \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G}</math> <math>\;\big[\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide autour de l'axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide<math>\big]</math>, le 2^ème terme de <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \left[ \overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta_G} \right] = \left\lbrace \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} \right\rbrace\,\overline{\Omega}(t)\;</math>» soit, en reconnaissant dans le 1^er terme entre accolades le moment résultant dynamique scalaire exercé sur le solide par rapport à l’axe <math>\;\Delta_G\;</math> passant par le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_G} = \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\,</math>» <ref name="moment résultant dynamique scalaire "> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_discret_fermé_de_points_matériels_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », cette définition étant encore applicable, sans modification, à un système continu fermé de matière.</ref>, la puissance des forces extérieures s’exerçant sur le solide en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref> Forme légèrement plus utilisée que la précédente «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t) + \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!G,\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{\Omega}(t)\;</math>».</ref> soit <br>un 1^er terme «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» définissant la puissance développée par translation instantanée des forces extérieures et <br>un 2^ème terme «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_G,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» la puissance développée par rotation instantanée des forces extérieures autour du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du solide.</center> === Puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un « système de matière » relativement à un référentiel d'étude === {{Al|5}}Cette notion est aussi présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. ==== Définition ==== {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>», on définit {{Al|5}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par ce système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> comme la somme des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par chaque force intérieure <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t),\;\;i \neq j\;</math> dans ce même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> soit mathématiquement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,i - 1}^{j\,=\,i + 1\,..\,N} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> ou encore <br> <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t),\;\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> dans laquelle <br> <math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math> est le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M_i\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center> ==== Autres expressions équivalentes ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On peut associer les forces par couple <math>\;\left( i\,,\, j \right)\;</math> dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{d} \right)\;</math> explicitant la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, à savoir «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) + \vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) \cdot \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>», puis <br>{{Al|11}}{{Transparent|On peut }}utiliser la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(t) = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» pour factoriser scalairement <ref name="factorisation scalaire" /> le terme entre crochets par {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>»,}} ce qui donne «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \left[ \vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) \right] \right\rbrace\,</math>» ou, {{Al|11}}en évaluant dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» on obtient «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{OM_i}}{dt}(t) - \dfrac{d \overrightarrow{OM_j}}{dt}(t) = \dfrac{d\, [\overrightarrow{OM_i} - \overrightarrow{OM_j}]}{dt}(t) = \dfrac{d\, \overrightarrow{M_jM_i}}{dt}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles <ref name="Chasles"> '''[[w:Michel_Chasles|Michel Chasles]] (1793 - 1880)''' mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en [[w:Géométrie_projective|géométrie projective]] ainsi qu'en [[w:Analyse_harmonique|analyse harmonique]] ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.</ref><math>\big)</math>, c.-à-d. la dérivée temporelle, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, du « vecteur position relative <math>\;\overrightarrow{M_jM_i}(t)\;</math> de <math>\;M_i\;</math> relativement à <math>\;M_j\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» ou, <br>{{Al|11}}en définissant le « référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», la grandeur vectorielle «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math> est encore égale à <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>» c.-à-d. le « vecteur vitesse relative à l'instant <math>\;t\;</math> de <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» <ref name="égalité des dérivées temporelles dans deux référentiels en translation"> En effet la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est effectuée pourvu que les référentiels considérés soient en translation les uns par rapport aux autres <math>\;\big[</math>voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Changement_de_référentiels#Énoncé_de_la_formule_de_Bour|énoncé de la formule de Bour]] du chap.<math>25</math> de la leçon Outils mathématiques pour la physique (PCSI)<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}'''Jacques Edmond Émile Bour (1832 -1866)''' est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de <math>\;33\;</math> ans.</ref> et par suite {{Al|11}}la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, se réécrit selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si on remplace la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j > i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» par une double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant dans <math>\;\left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]\;</math> avec la contrainte <math>\;j \neq i\;</math> «<math>\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>», on compte deux fois chaque terme de la 1^ère double somme <ref> En effet le terme générique «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, i_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, j_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, j_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = j_0 > i = i_0\;</math>» de la 1^ère double somme <math>\;\big(</math>aussi terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j > i\big)\;</math> étant égal au terme générique de la 2^ème double somme sous condition <math>\;j < i\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{\!M_{i\, =\, j_0}\, \leftarrow\, M_{j\, =\, i_0}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_{i\, =\, j_0} \,/\,\mathcal{R}_{j\, =\, i_0}}(t)\;</math> avec <math>\;j = i_0 < i = j_0\;</math>» car <math>\;\vec{F}_{\!M_{j_0}\, \leftarrow\, M_{i_0}}(t) = -\vec{F}_{\!M_{i_0}\, \leftarrow\, M_{j_0}}(t)\;</math> d'une part et <math>\;\vec{V}_{\!M_{j_0} \,/\,\mathcal{R}_{i_0}}(t) = \dfrac{d \overrightarrow{M_{i_0}M_{j_0}}}{dt}(t) = -\dfrac{d \overrightarrow{M_{j_0}M_{i_0}}}{dt}(t) = -\vec{V}_{\!M_{i_0} \,/\,\mathcal{R}_{j_0}}(t)\;</math> d'autre part, chaque terme de la 1^ère double somme se retrouve tel quel dans la 2^ème double somme avec <math>\;j > i\;</math> mais aussi sous une forme résultant de la permutation <math>\;i \leftrightarrow j\;</math> du terme précédent conduisant à <math>\;j < i\;</math> d'où la 2^ème double somme égale à deux fois la 1^ère double somme <math>\;\ldots</math></ref> d'où la réécriture de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|28}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> ou encore <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> c.-à-d. <br>la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_j \right\rbrace_{j\,=\,1\,..\,N}\;</math> <br>des forces que <math>\;M_j\;</math> exerce sur tous les autres points <math>\;M_i,\;i\,\in\,\left[\left[1\,,\,N\right]\right]\, \backslash\,\left\lbrace j \right\rbrace\;</math><ref> Ou, dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la demi-somme des puissances instantanées définies dans chaque référentiel <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\mathcal{V})}</math>, <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(S)}\;</math> ou <math>\;\left\lbrace \mathcal{R}_{M'} \right\rbrace_{M'\,\in\,(\Gamma)}\;</math> des forces bivolumiques, bisurfaciques ou bilinéiques que <math>\;M'\;</math> exerce sur tous les autres points «<math>\;M</math> <math>\;\in\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, <math>\;\in\,\left( S \right)\;</math> ou <math>\;\in\,\left( \Gamma \right)\;</math>».</ref>.</center> ==== Conséquences diverses ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est non nulle dans le cas général soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> dans le cas général » <ref name="Conséquence de la non nullité de la puissance développée par les forces intérieures"> Contrairement à la résultante et au moment résultant par rapport à n’importe quel point origine du système des forces intérieures qui sont toujours nuls, quel que soit le système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable ; <br>{{Al|3}}la puissance développée par la résultante des forces intérieures étant nulle par nullité de la résultante et celle développée par le moment résultant vectoriel étant également nulle par nullité du moment vectoriel, le fait que la puissance développée par le système de forces intérieures dont les éléments de réduction en n'importe quel point origine sont nuls puisse ne pas être nulle montre que <u>la résultante et le moment résultant par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système de forces intérieures</u>, <u>ni l'une, ni l'autre ne permettant de décrire la déformation du système</u> ; <br>{{Al|3}}ce qui vient d'être affirmer peut être généralisé au système global de forces extérieures et intérieures appliqué à un système de matière discret ou continu, indéformable ou déformable, <u>la résultante dynamique et le moment résultant dynamique par rapport à n’importe quel point origine ne sont pas suffisants pour décrire le système global des forces extérieures et intérieures</u>, la 1^ère permettant la détermination du mouvement de translation du C.D.I. <math>\;G\;</math> du système déformable ou non dans un référentiel galiléen, le 2^nd celle du mouvement de rotation autour de <math>\;G\;</math> dans le même référentiel galiléen mais ni l'une, ni l'autre, ne permettent de décrire la déformation du système d’où « <u>on ne peut pas substituer un système de forces par ses éléments de réduction pour décrire complètement l'évolution du système le subissant</u> <math>\;\big(</math>ceci ne devenant possible que si le système ne se déforme pas<math>\big)\;</math>».</ref>,</center> {{Al|11}}la raison étant que les relations «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> faisant intervenir les vecteurs vitesses relatives des points les uns par rapport aux autres <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)</math>, lesquels sont, en général, individuellement non nuls <math>\;\big(</math>même si le système de matière est indéformable<math>\big)\;</math> d'où « la non nullité de <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» sauf cas particuliers <math>\;\big(</math>à préciser<math>\big)</math>. <br>{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <br>{{Al|11}}la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques" /> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\,</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\,</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(\vec{r}_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» c.-à-d. une même expression par permutation de <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|11}}le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>», à savoir «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math>», s’écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon l'expression établie précédemment {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et on en déduit <br>{{Al|11}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>.</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Par l'une ou l'autre relation précédente on constate que si la distance séparant deux points quelconques du système reste constante <math>\;\big(</math>c.-à-d. si le système « ne se déforme pas » <ref name="solide au sens de la mécanique"> Le système se comporte donc comme un solide au sens de la mécanique.</ref><math>\big)</math>, on a {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t) =</math>}} <math>0,\;\;\forall \left( i,\, j \neq i \right) \in \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]^2\;</math>» <ref> Ou dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0,\;\;\forall \left( M,\, M' \neq M \right)</math> <math>\;\in \left( \mathcal{V} \right)^2</math>, <math>\;\in \left( S \right)^2\;</math> ou <math>\;\in \left( \Gamma \right)^2\;</math>».</ref> et on en déduit que la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />{{,}} <ref> Applicable pour un système fermé indéformable, discret ou continu de matière.</ref>.</center> == Théorème de la puissance cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ». ==== Énoncé ==== {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Voir le préliminaire du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. ==== Démonstration ==== {{Al|5}}La démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » est faite dans le cadre d'un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle est semblable <math>\;\big(</math>bien qu'un peu plus lourde d'exposition<math>\big)\;</math> dans le cadre d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Dans le référentiel d'étude galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel <math>\;M_i\;</math><ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Énoncé_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|énoncé du théorème de la puissance cinétique]] (appliqué à un point matériel) » du chap.<math>15</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, soit «<math>\;\dot{K}_{M_i}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel d'un système continu"> Pour <math>\;M\;\in\;</math> à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le théorème de la puissance cinétique appliqué à <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> s'écrit : * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{V,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathcal{V}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{S,\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d S_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\,\left( S \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d S_M \right]\;d S_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>» est la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;\dot{K}_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t) = \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\mathit{l},\,M\,\leftarrow\,\text{ext}}\;d \mathit{l}_M \right]\!(t) + \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\,\left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\,\leftarrow\,M'}\;d \mathit{l}_M \right]\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\!(t)\;</math>» pour <math>\;M\;\in\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> et «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste"> Applicable sous cette forme dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.</ref> et <br>{{Al|7}}{{Transparent|Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, }}on fait la somme, membre à membre, des <math>\;N\;</math> relations ainsi définies «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue"> La somme discrète étant remplacée par une somme continue dans le cas d'un système continu de matière c.-à-d. si ce système est d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> par une intégrale volumique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, si ce système est d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> par une intégrale surfacique sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou ce système est d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> par une intégrale curviligne sur l'expansion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> ou encore {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) + \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>» <ref name="somme continue" /> * le 1^er membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \dot{K}_{M_i}(t)\;</math>» se réécrivant «<math>\;\dfrac{d \left[ \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i} \right]}{dt}(t)\;</math>» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition <ref> Ou permutation de la dérivation temporelle et de l'intégration spatiale volumique, surfacique ou curviligne, dans le cas d'un système continu de matière.</ref> est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système {{Nobr|«<math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)</math>}} <math>= \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} {K}_{M_i}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie cinétique du système s'écrit : * «<math>\;K_{\left( \mathcal{V} \right)}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} K_{M\, \left\lbrace \mu(M)\, d \mathcal{V}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( d \mathcal{V}_M \right)\;</math>» d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, * «<math>\;K_{\left( S \right)}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( S \right)} K_{M\, \left\lbrace \sigma(M)\, d S_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point «<math>\;M\, \left( dS_M \right)\;</math>» d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> ou * «<math>\;K_{\left( \Gamma \right)}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} K_{M\, \left\lbrace \lambda(M)\, d \mathit{l}_M \right\rbrace}(t)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> {{Nobr|«<math>\;M\, \left( d \mathit{l}_M \right)\;</math>»}} est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. à la puissance cinétique du système «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math>, * le 1^er terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t)\;</math>» définit la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures appliquées au système «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et * le 2^ème terme du 2^nd membre «<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace\;</math>» la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures appliquées au système {{Nobr|«<math>\sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-37|³⁷]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, {{Al|5}}d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système discret fermé de points matériels <ref> Démonstration analogue pour un système continu de matière utilisant les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_puissance_cin%C3%A9tique_appliqu%C3%A9_%C3%A0_un_point_mat%C3%A9riel_d'un_syst%C3%A8me_continu-57|⁵⁷]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-somme_continue-59|⁵⁹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-61|⁶¹]] », « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-62|⁶²]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-63|⁶³]] » présentées plus haut dans ce chapitre.</ref>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> indéformable <math>\;\big(</math>ou solide au sens de la mécanique<math>\big)</math> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Justification</u> : Cela découle de la propriété établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème conséquence » plus haut dans ce chapitre, à savoir « la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur le système indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> est nulle c.-à-d. <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math>», utilisée dans le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math> est aussi « la puissance qui serait développée, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique"> Et donc de la puissance cinétique qui est la dérivée temporelle de l'énergie cinétique.</ref>, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2</math> <math>= \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation"> Dans cette 2^ème expression «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2\;</math>» est aussi « l'énergie cinétique newtonienne du point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», tous les points du système en translation ayant même vitesse que le C.D.I. <math>\;G\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de la puissance cinétique appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe"> Expression ne nécessitant pas que l'axe <math>\;\Delta\;</math> soit fixe, la fixité de l'axe dans un référentiel galiléen intervenant quand on utilise l'un des théorèmes fondamentaux de la dynamique de rotation des systèmes {{Nobr|<math>\;\big\{</math>c.-à-d.}} par exemple le théorème de la puissance cinétique établi dans ce paragraphe mais la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» ne nécessite pas que <math>\;\Delta\;</math> soit fixe<math>\big\}</math>.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, le moment scalaire étant évalué par rapport à <math>\;\Delta\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> et * de l'énergie cinétique <ref name="puissance cinétique dérivée temporelle de l'énergie cinétique" />, à l'instant <math>\;t</math>, du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe"> Voir la notion de moment d'inertie d'un système discret ou continu dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Application_à_un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe#Application_au_cas_d'un_«_système_fermé_de_matière_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|application d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étuide galiléen]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, {{Nobr|«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} est égale à la puissance développée par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>», <br>«<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} == Théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière, cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe == {{Al|5}}Le « théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière » n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais est évidemment à connaître comme forme intégrée de la forme locale « théorème de la puissance cinétique d'un système de matière » laquelle est inscrite explicitement dans le programme <math>\;\ldots</math> === Définition du travail du système des forces extérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le système discret ou continu étant déformable ou non. {{Al|5}}Le but étant de définir le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes"> C.-à-d. l’ensemble des paramètres de position et de vitesse de tous les points à l'instant de définition de l'état, tous ces paramètres permettant d’y décrire le système.</ref> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Expression_du_travail_élémentaire_de_la_force_dont_le_point_d’application_subit_le_vecteur_déplacement_élémentaire_correspondant_à_la_durée_élémentaire_de_développement_de_sa_puissance|expression du travail élémentaire de la force dont le point d'application subit le vecteur déplacement élémentaire correspondant à la durée élémentaire de développement de sa puissance]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math> <math>\left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - bis"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance volumique <math>\;\mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle la grandeur scalaire {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance surfacique <math>\;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right] dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des résultantes des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math>}} <math>\sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dM} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\;M\;</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>»}} est la puissance linéique <math>\;\mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math> développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> en <math>\;M</math> ; le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right] dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces extérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces extérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left[ \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right] dt\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière" />. === Définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un « système de matière » entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Cette notion est également présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Le « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Système_des_forces_intérieures_s’exerçant_sur_un_système_de_points_matériels_fermé|système des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé]] » défini dans le chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » comme « l'ensemble des forces <math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math> que chaque point <math>\;M_j\;</math> du système de points matériels <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>, exerce sur chaque point <math>\;M_i,\;\;i \neq j\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» et le but étant de définir le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math> du système » <ref name="états extrêmes" /> et l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math> du même système » <ref name="états extrêmes" />, on définit d’abord * le travail élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i} \right]\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel" /> lequel s'écrit encore «<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math> <math>\left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - ter"> C.-à-d. «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \mathcal{P}\! \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} \right]\!(t) \right\rbrace dt\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> dans lequel, chaque point <math>\;M_i\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M_i}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits^{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits^{M\,\in\, \left( S \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M \right\rbrace dt\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, le travail élémentaire du système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des travaux élémentaires des forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» que l'on peut encore écrire selon {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace\,dt\;</math>» dans lequel, chaque point <math>\;M\;</math> décrivant une trajectoire particulière <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big[</math>ainsi que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{M}(t)\big]\;</math> est tangent à <math>\;\left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace\,dt\;</math>» ; le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» se calcule par «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\int\limits^{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}_{\begin{array}{c} \vec{V}_M\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\end{array}} \left[ \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right] \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathit{l}_M \right\rbrace dt\;</math>».</ref> puis * le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> en « ajoutant tous les travaux élémentaires des forces intérieures pour <math>\;t\,\in\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» ce qui correspond à une intégration sur un intervalle soit «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{M_i}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}\!(t) \right] \right\rbrace dt\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière" />. {{Al|5}}<u>Remarque 1</u> : Le travail élémentaire élémentaire des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» peut aussi être défini à partir de l'expression de la puissance instantanée développée par les forces intérieures s’exerçant sur le même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="définition de la puissance développée par les forces intérieures"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>» <ref name="travail élémentaire d'une force appliquée à un point matériel - tetra"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissance développée à l'instant t et la durée élémentaire dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 1 : }}le travail des forces intérieures s’exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» s'obtenant en ajoutant tous les travaux élémentaires de <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> on en déduit son calcul à partir de la puissance des forces intérieures appliquées au système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> selon «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque 2</u> : À partir des « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » établies plus haut dans ce chapitre et de la façon d'en déduire le travail élémentaire ainsi que le travail entre les instants de l'« état initial <math>\;\mathcal{I}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> et de l’« état final <math>\;\mathcal{F}\;</math>» <ref name="états extrêmes" /> rappelée en « remarque 1 », on en déduit d'autres expressions équivalentes pour ces travaux : <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à {{Nobr|<math>\;\mathcal{R}\;</math>»,}} on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt = \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right]\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> puis «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,dt\;</math>» ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 2 : }}<math>\;\succ\;</math> de «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{R}_j\;</math> est le référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}\;</math>», on tire «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt =</math> <math>\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2} = \dfrac{1}{2} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j} \right] \right\rbrace\;</math>», le point <math>\;M_i\;</math> décrivant dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> une trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>», son vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM_i}_{/\,\mathcal{R}_j}</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que son vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\big]\;</math> étant tangent à <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j}\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ;<br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-43|⁴³]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, le vecteur vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\!M \,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\big]\;</math>» étant tangent à la trajectoire particulière <math>\;\left[ \left( \mathcal{T}_M \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\;</math> de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, on en tire le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \displaystyle\iint\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M \right]\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» et le travail de ces forces sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} =</math>}} <math>\displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>».</ref> puis {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \left\lbrace \sum\limits_{\begin{array}{c} \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}\, \text{tangent}\\ \text{à}\, \left[ \left( \mathcal{T}_i \right)_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} \right]_{/\,\mathcal{R}_j} \end{array}}^{i\,=\,1\,..\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right] \right\rbrace\,\dfrac{dt}{2}\;</math>» <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière - bis" />. {{Al|5}}<u>Remarque 3</u> : Ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette puissance est en général non nulle mais qu'elle le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu"> Système discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.</ref> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math> pour <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> » on en déduit que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail élémentaire des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} = 0\;\;\forall\;\left[ t\,,\,t + dt \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> »}} et que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque 3 : }}le travail des forces intérieures agissant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> est en général non nul mais il le devient si le système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> c.-à-d. {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\,t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> si le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="discret ou continu" /> est indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> ».}} === Théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Partant du théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis"> C.-à-d. un « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans lequel <math>\;K_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> et <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> la puissance développée par les forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math>, * on multiplie par <math>\;dt\;</math> pour obtenir la forme élémentaire du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>\delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math>» dans lequel <math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math> est la variation élémentaire d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> et <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> le travail élémentaire des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> puis * on intègre entre <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> pour obtenir le théorème de l’énergie cinétique appliqué au « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> quelconque » <ref name="système de matière quelconque - bis" /> entre «<math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> galiléen soit {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>= W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math> est la variation d'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, <math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> et <math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> le travail des forces respectivement extérieures et intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>. {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque - bis" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition_du_travail_du_système_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_entre_un_état_initial_et_un_état_final|définition du travail du système des forces intérieures appliquées à un système de matière entre un état initial et un état final]] (remarque 3) » plus haut dans ce chapitre que « le travail des forces intérieures appliquées à un système de matière <ref name="discret ou continu" /> indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est nul quel que soit le mouvement du système » on en déduit aisément l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide sous sa forme élémentaire ou sur une durée finie : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière indéformable <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="solide au sens de la mécanique" /> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière en translation » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> en translation » <ref name="système en translation" />, tous les points ont le même vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> égal à celui du C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système d’où les expressions * du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;dt =</math> <math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!G}(t)\;dt =</math> {{Nobr|<math>\vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>»}} dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> est la résultante dynamique s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <ref> Dans cette 2^ème expression «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math> est aussi « le travail élémentaire qui serait effectué, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au point fictif <math>\;G\, \left( m_{\text{syst. en transl.}} \right)\;</math> C.D.I. du système en translation dans <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big\{</math>ceci est en accord avec le fait que le mouvement d'un système en translation est déterminé par le mouvement du point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>», ce dernier s'obtenant par application du théorème du mouvement du C.D.I. <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] du mouvement du C.D.I. d'un système » du chap.<math>9</math> de la leçon Mécanique 1 (PCSI)<math>\big]\;</math> correspondant aussi à l'application de la r.f.d.n. <math>\;\big(</math>relation fondamentale de la dynamique newtonienne<math>\big)\;</math> au point fictif « C.D.I. <math>\;G\, \left( m_{\text{syst.}} \right)\;</math>» sur lequel s'exercerait la résultante dynamique<math>\big\}</math>.</ref> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_en_translation_»|cas d'un système de matière en translation]] » plus haut dans ce chapitre et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Puissance_et_travail_d'une_force#Définition_du_travail_élémentaire_d'une_force_connaissant_sa_puissance_développée_à_l'instant_t_et_la_durée_élémentaire_dt_du_développement_de_cette_dernière|définition du travail élémentaire d'une force connaissant sa puissancce développée à l'instant t et la durée dt du développement de cette dernière]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math> et * de la variation élémentaire de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en transl.}}\;</math>» avec «<math>\;K_{\text{syst. en transl.}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\text{syst. en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\text{syst. en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» <ref name="signification de l'énergie cinétique d'un système en translation" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « énergie cinétique dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Cas_d'un_système_en_translation|cas d'un système en translation]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation » se comportant comme un solide au sens de la mécanique, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi au paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;d K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière en translation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en translation dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par la résultante dynamique <math>\;\vec{F}_{\text{ext}}(t)\;</math> appliquée au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}}(t) \right]^2 = \dfrac{1}{2}\;m_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.}} \left[ \vec{V}_{\!G}(t) \right]^2</math>» et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en transl.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \vec{F}_{\text{ext}}(t) \cdot \overrightarrow{dG}(t)\;</math>» <math>\;\big[G\;</math> étant le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\big]</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Ce théorème <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il doit bien sûr être connu <math>\;\big[</math>selon moi ce n’est pas fait parce qu’on considère usuellement un système de matière en translation comme un point matériel <math>\;\big(</math>le C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> du système<math>\big)\;</math> sur lequel s'exerce la résultante dynamique du système et, selon ce point de vue, le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un système de matière en translation n'est rien d'autre que le théorème de l'énergie cinétique <math>\;\big(</math>sous forme élémentaire ou sur durée finie<math>\big)\;</math> appliqué à un point matériel, lequel est, quant à lui, au programme<math>\;\ldots\big]</math>. === Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe » dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Un « système en rotation autour d'un axe » peut, a priori, se déformer <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> mais pratiquement, seul le cas où il est indéformable <math>\;\big(</math>et fermé<math>\big)</math>, est envisageable, il peut alors être qualifié de « solide » au sens de la mécanique. {{Al|5}}Dans un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système fermé de matière" /> indéformable, en rotation <ref name="système en rotation autour d'un axe" /> autour d'un axe <math>\;\Delta</math>, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen », tous les points ont le même vecteur rotation instantanée <math>\;\vec{\Omega}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\vec{u}_{\Delta}\;</math> étant le vecteur unitaire orientant l'axe <math>\;\Delta\;</math> et <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> d’où les expressions * du travail élémentaire effectué par le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> est le moment résultant dynamique scalaire par rapport à <math>\;\Delta\;</math> s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « puissance développée par le système des forces extérieures dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Cas_d’un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_»|cas d'un système de matière (indéformable) en rotation]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ou encore, en introduisant « l'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\text{syst. en rot.}} =</math>}} <math>\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>» <ref name="axe non nécessairement fixe" /> et * de la variation de l'énergie cinétique du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans le cadre de la cinétique newtonienne, «<math>\;dK_{\text{syst. en rot.}}\;</math>» avec {{Nobr|«<math>\;K_{\text{syst. en rot.}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> ; {{Al|5}}un « système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour d'un axe » étant pratiquement indéformable se comporte pratiquement comme un solide au sens de la mécanique <math>\;\big(</math>seul cas considéré<math>\big)\;</math> et par suite, on peut lui appliquer le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel galiléen]] sous forme élémentaire » établi dans un paragraphe précédent, d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sous forme élémentaire) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} est égale au travail élémentaire effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;\delta W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;d \theta\;</math>», <br>«<math>\;\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans sa rotation à l'instant <math>\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s'obtient en intégrant les deux membres du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire sur la durée <math>\;\Delta t\;</math> d'où : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique (sur une durée finie) appliqué à un « système de matière (indéformable) en rotation »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système fermé de matière <ref name="système fermé de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]</math>, {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t_{\mathcal{I}})\;</math>»}} est égale au travail effectué par le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe de rotation <math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\;</math> appliqué au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}} = W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>» <ref name="théorème appliqué à un point ou un solide en dynamique newtonienne ou relativiste" /> avec, en dynamique newtonienne, <br>«<math>K_{\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\;\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» où «<math>\;J_\Delta\;</math> est le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> et <br>«<math>\;W_{\text{ext},\,\left( \mathcal{S} \right),\,\text{en rot.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{M}_{\!\Delta,\,\text{ext}}(t)\; d \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[\theta(t)\;</math> étant l'abscisse angulaire repérant <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>.</center>}} == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] }} puhvk2p0l2gyjqxret5h9gzzhgl7q4r 0 74760 987230 986685 2026-10-10T18:20:49Z Phl7605 31541 987230 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}Les diverses expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\;\big(</math>fermé<math>\big)\;</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous nous plaçons dans le cas d'un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque »<ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelées ci-après : {{Al|5}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est la somme continue <math>\;\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;</math> des puissances développées, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> s'explicitant selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>»<ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> représente le vecteur vitesse de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>, <math>\;\vec{V}_{M_i}\!(t)\;</math> étant le vecteur vitesse du point <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, ou encore, {{Al|5}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» en introduisant le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j,\;j \neq i</math> <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire le vecteur vitesse, à l'instant <math>\;t</math>, de <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\;M_j</math>, en translation par rapport à <math>\;\mathcal{R}</math>, noté <math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\;</math> et égal à <math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\Big]</math>, soit aussi, {{Al|5}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c'est-à-dire la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, s'écrivant encore «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. {{Al|5}}En repérant le point «<math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\;M_j\;</math> soit <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> pour base sphérique liée à <math>\;M_i\;</math>»<ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, * la « force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math>» s'écrit, dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> liée à <math>\;M_i\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques<ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> à savoir <math>\;\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)\;</math> avec «<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\;</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» (C.Q.F.D.) <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_i\;</math>» et simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>»<ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\;M_i\;</math> et <math>\;M_j\;</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}</math>}} <math>= \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, * le « vecteur vitesse relative de <math>\;M_i\;</math> par rapport à <math>\;M_j\;</math>» dans la « base sphérique de <math>\;\mathcal{R}_j\;</math>» s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math>}} <math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref>, {{Al|5}}on en déduit l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\;M_j\;</math> exerce sur <math>\;M_i\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math>, à savoir, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»<ref name="vecteur rij" />, la base <math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\;</math> étant orthonormée d'où finalement «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>»<ref name="vecteur rij" />{{,}}<ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( S \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( S \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> ayant été établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_ter-5|⁵]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\;M'\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> du référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\;M\,\in \left( \Gamma \right)\;</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable<ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle<ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (3^ème sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels indéformable sont nulles d’où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math> ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique indéformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et toutes les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du solide étant nulles, la conclusion reste inchangée.</ref> <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable<ref name="solide" /> »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^er sous paragraphe) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans lequel est rappelé que les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» entre deux points quelconques d'un système discret de points matériels déformable sont, a priori, individuellement non nulles d'où «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» par utilisation de l’une ou l’autre des relations <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> sauf cas très particulier ;<br>{{Al|3}}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique déformable, la 2^ème relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> prenant la forme trouvée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-11|¹¹]] » précédemment exposée dans ce chapitre et les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points génériques quelconques de l'expansion du système déformable étant, a priori, individuellement non nulles, la conclusion reste inchangée sauf cas très particulier.</ref> soit <center>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme au paragraphe précédent, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque »<ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\;t\;</math> et dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière<ref name="système de matière" /> « quelconque »<ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\;t</math>, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable<ref name="solide" /> ne fait pas intervenir la puissance développée, au même instant <math>\;t</math>, par les forces intérieures s'exerçant sur le système parce que cette dernière est identiquement nulle<ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math> pour un système indéformable<ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen »,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable n'étant, a priori pas, identiquement nulle <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable" /> d'où l'expression mathématique du théorème de la puissance cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math> pour un système déformable » <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Comme dans les deux paragraphes précédents, par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », ce système étant fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> « quelconque »<ref name="quelconque" />, sous une forme élémentaire ou sur une durée finie, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> {{Nobr|«<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>»}} soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière<ref name="système de matière" /> « quelconque »<ref name="quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}Si l'un ou l'autre des théorèmes de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable<ref name="solide" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie ne fait pas intervenir le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système sur une durée élémentaire ou finie parce que, dans les deux cas, ce dernier est identiquement nul<ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\;</math> pour un système indéformable<ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» ou <br />«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système indéformable<ref name="solide" /> dans un référentiel galiléen sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>»,</center> {{Al|5}}ceci devient, a priori, faux pour un système déformable, le travail développé par les forces intérieures s'exerçant sur le système déformable sur une durée élémentaire ou finie n'étant, a priori pas, identiquement nul <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable-15|¹⁵]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0\;</math>» ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \neq 0\;</math> si <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math> sans effet de compensation ».</ref> d'où l'expression mathématique des deux théorèmes de l'énergie cinétique dans un référentiel galiléen <center>«<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math> ou <br />«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} \left\lbrace = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}}) \right\rbrace = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> pour un système déformable sur <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <math>\;\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]</math>.</center> == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}Le « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière<ref name="système de matière" /> déformable ainsi que la notion d'« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelle_énergie_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_défini_dans_le_référentiel_d'étude_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans le référentiel d'étude ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»<ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces intérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>»<ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-puissance_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_-_penta-12|¹²]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\;M'\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\;</math> de l'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> exerce sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette même expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}\;</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}} =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br />la 1^ère expression étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes »<ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>{{,}}<ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math> à savoir <math>\;\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\;</math> ni des composantes sphériques dans <math>\;\mathcal{R}_l,\;l \neq j\;</math> de <math>\;\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\;\big[</math>c'est-à-dire une forme différentielle de la variable <math>\;r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\;dr_{M,\,M'}\;</math> étant une fonction des trois variables <math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou curvilignes sur <math>\;\left( \Gamma \right)^2\;</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\;i\;</math> et <math>\;j\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N\;</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'une variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math> différente, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> »<ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_d%C3%A9formable-20|²⁰]] » et « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-pseudo-forme_diff%C3%A9rentielle_r%C3%A9sultant_d'une_int%C3%A9gration_et_non_d'une_somme_discr%C3%A8te-23|²³]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)^2\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces intérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces intérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> est, a priori, uniquement fonction des trois variables indépendantes <math>\;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N<ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref>. pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\;dr_{i,\,j}\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{i,\,j}\;</math>»<ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;y\;</math>», * <math>\;\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\;</math> ne doit pas dépendre de <math>\;z\;</math>» et * <math>\;\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\;</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\;</math> ne dépende que de <math>\;x\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\;</math> ne dépende pas de <math>\;\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\;</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\;r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N<ref name="C.N." />. est une C.S<ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref>. dans la mesure où la forme différentielle est « fermée »<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\;\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert étoilé »<ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que, pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U</math>, le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> est inclus dans <math>\;U</math>, on dit alors que <math>\;U\;</math> est « étoilée par rapport à <math>\;P\;</math>» <math>\big\{U\;</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\;U\;</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré (1854 - 1912)]]''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N<ref name="C.N." />. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>»<ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»<ref name="N différent de 1" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>ou un de ses sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>»<ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> étant une différentielle de fonction s'écrit «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>».</ref> et on définit alors l'« énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» selon «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» selon <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\;</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » adapté au cas du point <math>\;M_i\;</math> repéré dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}_j</math> <math>\;\big[</math>référentiel lié à <math>\;M_j\;</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\big]\;</math> avec <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\;\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M_i\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\;\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>»<ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire choisir la valeur de <math>\;r_{i,\,j}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\;\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\;</math> <math>\;\searrow\;</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\;\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple de points génériques <math>\;\left( M,\, M' \right)</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la valeur de <math>\;r_{M,\,M'}\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> pour <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\;</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\;\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}}<ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c'est-à-dire l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, <br />après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br /> «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>.</ref>{{,}}<ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>.</ref> avec référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>»<ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\;\big[</math>c'est-à-dire l'endroit <math>\;\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\;</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\;</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|5}}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» utilisant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on en tire les deux expressions de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : <center>«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» dans lesquelles «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) =</math> <br /><math>-\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> est l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>»<ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\;\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> vue dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_que_le_syst%C3%A8me_des_forces_int%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re_soit_conservatif-33|³³]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-35|³⁵]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\;\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\;</math> du couple <math>\;\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>.</center> === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\;2\;</math> ou <math>\;3\;</math> points matériels. ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacun modélisés par un point matériel : * «<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\;T\;</math> représente la position de son C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. et <math>\;m_\text{♁} \;</math> sa masse, * «<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\;L\;</math> représente la position de son C.D.I<ref name="C.D.I." />. et <math>\;m_\text{☽} \;</math> sa masse ; {{Al|5}}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> est la distance séparant leur C.D.I<ref name="C.D.I." />., on en déduit aisément l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> du système selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = -\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» d’où, après intégration avec choix de la référence pour la grandeur trouvée<ref name="référence d'énergie potentielle" /> « la Lune infiniment éloignée de la Terre<ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> », l'expression de l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » <center>«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\;</math>» avec référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> : <math>\;r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ».</center> ==== Atome d’hélium ==== {{Al|5}}L'atome d'hélium étant composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», ces trois particules étant supposées « ponctuelles », nous nous proposons de déterminer l’énergie potentielle d’interaction électrique entre les trois constituants de l’atome d’hélium <math>\;\big(</math>voir ci-dessous un schéma descriptif du point de vue électrique<math>\big)</math> ; [[File:Atome d'Hélium - modélisation.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}il y a «<math>\;3\;</math>» intensités de force d’interaction électrique entre les couples de particules<ref name="nombre de couples"> Pour <math>\;N = 3\;</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> et à chaque intensité correspond un terme d’énergie potentielle d'interaction électrique entre couple : * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_1</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>»<ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\;M'\,\left( q' \right)\;</math> exerce sur <math>\;M\,\left( q \right)\;</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide » <math>\;\big\{</math>la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>plus}} généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\;</math> de valeur telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\;\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}'''Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_1} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>»<ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> avec « référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>»<ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;< 0</math>.</ref>, * entre l’électron <math>\;(2)\;</math> et le noyau <math>\;N\;</math> séparés de la distance <math>\;r_2</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>»<ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(2)\,\leftrightarrow\,N\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}}{dr_2} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N}</math> <math>= \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} =</math> <math>-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>»<ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(2)\;</math> infiniment éloigné du noyau <math>\;N\;</math>»<ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> et * entre l’électron <math>\;(1)\;</math> et l’électron <math>\;(2)\;</math> séparés de la distance <math>\;r_{1,\,2}</math>, l'intensité de force d'interaction électrique s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>»<ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" />, on en déduit l’énergie potentielle d’interaction électron <math>\;(1)\,\leftrightarrow\,(2)\;</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}</math> <math>= -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» d’où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} =</math> <math>\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>»<ref name="énergie potentielle électrostatique" /> avec « référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> : électron <math>\;(1)\;</math> infiniment éloigné de l'électron <math>\;(2)\;</math>»<ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\;> 0</math>.</ref> ; {{Al|5}}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» est alors la somme des trois énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples de particules précédemment définis «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,N} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>», <br />la référence étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres »,<br />les deux 1^ers termes correspondant à une attraction et le 3^ème à une répulsion.</center> == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}« Le théorème de la variation de l’énergie mécanique » ainsi que sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique », tous deux appliqués à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»<ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>»<ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br />«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br />le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels »<ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}}<ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c'est-à-dire une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> »<ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N<ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref>. pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>»<ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée »<ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}}<ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}}<ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N<ref name="C.N." />. est une C.S<ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref>. dans la mesure où la forme différentielle est « fermée »<ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé »<ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées<ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N<ref name="C.N." />. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>»<ref name="autre repérage possible" />{{,}}<ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>»<ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>»<ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}}<ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>»<ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière<ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br /> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br /> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas<ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas<ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière<ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière<ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière<ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u><ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives<ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière<ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière<ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c'est-à-dire en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] »<ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br /><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br /><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]]<ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>»<ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen »<ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c'est-à-dire « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen »<ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>»<ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant<ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas<ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système »<ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système »<ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c'est-à-dire, qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c'est-à-dire dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] »<ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]]<ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u><ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation »<ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br />soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>»<ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>»<ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier »<ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I<ref name="C.D.I." />. des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c'est-à-dire que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c'est-à-dire après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c'est-à-dire que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas<ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c'est-à-dire que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>»<ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>»<ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie<ref name="moment d'inertie" /> étant « additive »<ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br />«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br />«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>»<ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br />dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} bg5lf8e1vlxp6p3r9yq16hn8r3d0emg 0 74829 987231 986686 2026-10-10T18:22:07Z Phl7605 31541 987231 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 14 | niveau = 14 | précédent = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes, <br />l'espace physique étant <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Définition du mouvement d'un point à force centrale, exemples == === Définition d'une force centrale === {{Définition|titre=Force centrale|contenu={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}\;</math> appliquée à un point matériel <math>\;M\;</math> est <u>centrale dans un référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>si son support passe par un point</u> <math>\;O\;</math> <u>fixe dans le référentiel</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref> Une force est invariante par changement de référentiel mais son caractère « central » dépend du référentiel.</ref> ; {{Al|5}}dans la base locale sphérique de pôle <math>\;O\;</math> associée au point <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math>»<ref name="base et coordonnées sphériques"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> la force centrale s’écrit <center>«<math>\;\vec{F} = F\! \left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\, \vec{u}_r\;</math>» ;</center> * si «<math>\;F\! \left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>» est «<math>\;> 0\;</math>» la force est dite « <u>centrifuge</u> » et * si «<math>\;F\! \left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>» est «<math>\;< 0\;</math>» elle est dite {{Al|5}} « <u>centripète</u> ».}} === Définition du mouvement d'un point à force centrale === {{Définition|titre=Mouvement d'un point à force centrale|contenu={{Al|5}}Un point <math>\;M\;</math> a un « <u>mouvement à force centrale</u> » si « <u>la seule force</u> » à laquelle il est soumis <math>\;\big(</math>ou si « <u>la résultante de toutes les forces</u> » qui lui sont appliquées<math>\big)\;</math> est « <u>centrale</u> ».}} === Exemples === <center>Liste non exhaustive.</center> ==== Point matériel M qui n'est soumis qu'à une force de rappel linéaire relativement à un point fixe O ==== {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>1^er exemple</u> de « point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement à force centrale » : si <math>\;M\;</math> n'est soumis qu'à la force «<math>\;\vec{F}(M) = -k\;\overrightarrow{OM} = - k\;r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k = cste > 0\;</math>»<ref name="résultante de forces"> Ou si la résultante des forces appliquées à <math>\;M\;</math> s'écrit <math>\;\sum_\mathit{l} \vec{F}_\mathit{l}(M) = -k\;\overrightarrow{OM} = - k\;r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k = cste > 0\;</math>».</ref>, le signe «<math>\;-\;</math>» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action <math>\;O\;</math><ref name="résultante de forces - bis"> Ou le caractère « attractif » de la résultante des forces appliquées relativement au point <math>\;O</math>.</ref> <math>\;\big[</math>en effet le reste de la composante radiale de la force<ref name="résultante de forces - ter"> Ou de la résultante des forces appliquées.</ref>, à savoir «<math>\;k\;r\;</math>», étant toujours «<math>\;> 0\;</math> pour <math>\;M \neq O\;</math>» la force<ref name="résultante de forces - ter" /> est « centripète » relativement au point <math>\;O</math>, conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel <math>\;M\big]</math>. {{Al|12}}<u>Exemple de matérialisation</u> : Un point matériel <math>\;M\;</math> soumis à la force créé par un ressort de raideur «<math>\;k\;</math>» et de longueur à vide « nulle »<ref name="longueur à vide nulle"> Plus exactement de longueur à vide pouvant être négligée devant la longueur à charge.</ref> dont une extrémité est reliée à <math>\;M</math>, l'autre extrémité <math>\;O\;</math> étant fixe, les éventuelles autres forces appliquées à <math>\;M\;</math> se compensant à tout instant ; {{Al|12}}{{Transparent|Exemple de matérialisation : }}la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;r\;</math>» est égale à « la longueur du ressort » et, dans la mesure où sa longueur à vide est « nulle »<ref name="longueur à vide nulle" />, «<math>\;r\;</math>» s'identifie aussi à « l'allongement du ressort »<ref name="longueur à vide nulle - bis"> Ainsi la longueur à vide du ressort pourra être considérée comme « nulle » si elle est négligeable devant «<math>\;r = OM\;</math>».</ref> et par suite, l'expression de la force suit la loi de Hooke<ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII{{e}} siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref>. {{Al|12}}Le point matériel <math>\;M\;</math> dans un « champ de force de ce type » c'est-à-dire <math>\;\vec{F}(M) = -k\;\overrightarrow{OM} = - k\;r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k = cste > 0\;</math>»<ref> Non nécessairement créé par un ressort.</ref> sans autres forces<ref> Ou avec d'autres forces se compensant à tout instant.</ref> définit un « <u>oscillateur harmonique spatial</u> »<ref name="oscillateur harmonique spatial"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#En_complément,_oscillateur_harmonique_spatial_(non_amorti),_détermination_de_son_mouvement_par_r.f.d.n.,_de_ses_demi-grand_axe_et_demi-petit_axe_par_étude_énergétique_utilisant_l'énergie_potentielle_effective|en complément, oscillateur harmonique spatial (non amorti), détermination de son mouvement par r.f.d.n., de ses demi-grand axe et demi-petit axe par étude énergétique utilisant l'énergie potentielle effective]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. ==== Point matériel dans un champ newtonien et qui n'est soumis à aucune autre force ==== {{Al|5}}Deux principaux champs de forces newtoniennes sont connus : * celui que crée un astre de forme sphérique avec une répartition de masse à symétrie sphérique<ref> C.-à-d. telle que la masse volumique de l'astre en un de ses points <math>\;P\;</math> de coordonnées sphériques <math>\;\left( r\,,\,\theta\,,\,\varphi \right)\;</math> ne dépend pas des coordonnées angulaires <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math>.</ref> sur un point matériel <math>\;M\;</math> situé à l'extérieur de l'astre <math>\;\big[</math>la force exercée étant la force d'attraction gravitationnelle de Newton<ref name="Newton"> '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien et astronome britannique, surtout connu pour avoir fondé la mécanique classique et avoir développé le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec le philosophe, scientifique, mathématicien allemand '''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646 - 1716)''' pour qui l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] fut la contribution principale, dans le domaine mathématique, les deux mathématiciens l'ayant en fait développé plus ou moins indépendamment ; en optique '''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]]''' a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de [[w:Télescope_de_Newton|télescope de Newton]].</ref>{{,}}<ref name="interaction gravitationnelle de Newton"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Expression_de_la_force_de_gravitation_créée_par_un_«_astre_à_symétrie_sphérique_»_sur_un_point_matériel,_cas_particulier_de_la_Terre|expression de la force de gravitation créée par un astre à symétrie sphérique sur un point matériel, cas particulier de la Terre]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref><math>\big]\;</math> et * celui que crée un point matériel chargé, fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, sur un point matériel <math>\;M\;</math> également chargé, l'espace séparant les deux charges étant le vide <math>\;\big[</math>la force exercée étant la force d'action électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref>{{,}}<ref name="interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}si le point matériel <math>\;M\;</math> « n'est soumis qu'à cette force newtonienne » ou s'il est soumis à cette force newtonienne avec d'autres forces se compensant, « le mouvement de <math>\;M\;</math> est à force centrale ». {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>2^ème exemple</u> de « point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement à force centrale », <u>mouvement de la Terre dans le champ gravitationnel du Soleil</u><ref> On suppose négligeable tout autre champ gravitationnel <math>\;\big(</math>en particulier celui de la Lune qui est celui ayant le rôle le plus important après celui du Soleil<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}de plus la Terre est supposée ponctuelle car son rayon moyen <math>\;R_{(\text{♁})} \simeq 6,4\;10^3\;km\;</math> est très faible par rapport à la distance moyenne la séparant du Soleil <math>\;d\! \left( \text{♁}\,,\,\text{☉} \right) \simeq 1,5\;10^8\;km\;</math> correspondant à <math>\;\dfrac{R_{(\text{♁})}}{d\! \left( \text{♁}\,,\,\text{☉} \right)} \simeq 4\;10^{-5} \ll 1</math>.</ref> étudié dans le référentiel de Copernic<ref name="référentiel de Copernic"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#1er_exemple_de_référentiel_galiléen_«_le_référentiel_de_Copernic_»|1^er exemple de référentiel galiléen le “ référentiel de Copernic ”]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref name="Copernic"> '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrime » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>.</ref> : en 1^ère approximation la Terre « ♁ » assimilée à un point matériel <math>\;M_{\text{♁}}\;</math> de masse <math>\;m_{\text{♁}}\;</math> n'est soumis qu'à la force gravitationnelle créée par le Soleil « ☉ » assimilée à un point matériel <math>\;M_{\text{☉}}\;</math> de masse <math>\;m_{\text{☉}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\vec{F}_{\text{gravit},\, \text{♁}\,\leftarrow\,\text{☉}}(M_{\text{♁}})</math>}} <math>= -\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> dans laquelle <math>\;r\;</math> est la coordonnée radiale de <math>\;M_{\text{♁}}\;</math> dans le repérage sphérique de pôle <math>\;M_{\text{☉}}</math>, <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique lié à <math>\;M_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\mathcal{G}\;</math> la constante de gravitation universelle valant <math>\;\mathcal{G} = 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math>», le signe «<math>\;-\;</math>» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action <math>\;M_{\text{☉}}\;</math> <math>\;\bigg[</math>en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «<math>\;\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{r^2}\;</math>», étant toujours «<math>\;> 0</math>, la force est « centripète » relativement au point <math>\;M_{\text{☉}}</math>, conférant à ce dernier une action attractive sur <math>\;M_{\text{♁}}\bigg]</math>. {{Al|12}}Exemples analogues : <math>\;\blacktriangleright\;</math> l'une des sept autres planètes ou une comète dans le champ gravitationnel du Soleil étudié dans le référentiel de Copernic<ref name="référentiel de Copernic" />{{,}}<ref name="Copernic" />, {{Al|12}}{{Transparent|Exemples analogues : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math> satellite artificiel dans le champ gravitationnel de la Terre étudié dans le référentiel géocentrique<ref name="référentiel géocentrique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Caractère_quasi_galiléen_du_«_référentiel_géocentrique_»_si_la_durée_de_l’expérience_n'excède_pas_trois_jours_(terrestres)|caractère quasi-galiléen du “ référentiel géocentrique ” si la durée de l'expérience n'excède pas trois jours (terrestre)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou {{Al|12}}{{Transparent|Exemples analogues : <math>\;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math> satellite artificiel }}dans celui {{Transparent|champ gravitation }}d’une autre planète étudié dans le référentiel « planétocentrique »<ref name="référentiel planétocentrique"> Le référentiel « planétocentrique » est le « référentiel lié au C.D.I. <math>\;\big(</math>Centre D'Inertie<math>\big)\;</math> de la planète par rapport auquel les étoiles infiniment éloignées sont fixes », il est donc en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic.</ref>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math><u>3^ème exemple</u> de « point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement à force centrale », <u>mouvement d'un ion M dans le champ électrostatique d'un autre ion O</u> étudié dans le référentiel lié à l'ion source <math>\;O</math> : un ion assimilée à un point matériel <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> n'est soumis qu'à la force électrostatique créée par un autre ion assimilée à un point matériel <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> «<math>\;\vec{F}_{\text{électrostat},\, M\,\leftarrow\,O}(M) = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2}\;\vec{u}_r\;</math> dans laquelle <math>\;r\;</math> est la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> dans le repérage sphérique de pôle <math>\;O</math>, <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant le 1^er vecteur de base sphérique lié à <math>\;M\;</math> et <math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} =</math> <math>9\;10^9\;U.S.I.\;</math>», le signe «<math>\;+\;</math>» assurant le caractère « répulsif » de la force relativement au centre d'action <math>\;O\;</math> dans le cas où les charges <math>\;q\;</math> et <math>\;q_0\;</math> sont de même signe <math>\;\big[</math>la force étant alors « centrifuge »<math>\big]\;</math> et le caractère « attractif » de cette force relativement au centre d'action <math>\;O\;</math> dans le cas où les charges <math>\;q\;</math> et <math>\;q_0\;</math> sont de signe contraire <math>\;\big[</math>la force étant alors « centripète »<math>\big].</math> == 1^ère intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force == [[File:Mouvement à force centrale.png|thumb|Schéma de description d'un mouvement à force centrale]] {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> repéré, à l'instant <math>\;t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, par ses coordonnées sphériques <math>\;\left( r\,,\,\theta\,,\,\varphi \right)</math>, acquiert, relativement à <math>\;\mathcal{R}</math>, un « mouvement à force centrale » dans la mesure où <math>\;M\;</math> n'est soumis qu'à l'action d'« une seule force centrale » <math>\;\big(</math>le centre d'action de la force, fixe dans <math>\;\mathcal{R}</math>, étant noté <math>\;O\;</math> et choisi comme pôle du repérage sphérique de <math>\;M\big)</math> «<math>\;\vec{F}(M) = \overline{F}\! \left( r,\,\theta,\,\varphi \right)\;\vec{u}_r\;</math>» ; {{Al|5}}appliquant le théorème du moment cinétique vectoriel à <math>\;M\;</math> par rapport au point <math>\;O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, on obtient «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\! \left[ \vec{F}(M) \right] =</math> <math>\dfrac{d \vec{\sigma}_O(M,\,t)}{dt},\;\;\forall\;t\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \overrightarrow{OM} \wedge \vec{F}(M) = r\;\vec{u}_r \wedge \overline{F}\! \left( r,\,\theta,\,\varphi \right)\;\vec{u}_r = \vec{0}\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_O(M,\,t)}{dt} = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» et par suite, en intégrant relativement au temps, «<math>\;\vec{\sigma}_O(M,\,t) = \overrightarrow{cste}\;</math>» avec «<math>\;\overrightarrow{cste}\;</math> déterminé par C.I<ref name="C.I."> Condition(s) Initiale(s).</ref>. » soit «<math>\;\vec{\sigma}_O(M,\,t) = \vec{\sigma}_O(M,\,0)\;</math>» c'est-à-dire la « <u>conservation du moment cinétique vectoriel de</u> <math>\;M\;</math> <u>par rapport au centre de force</u> <math>\;O\;</math>» <math>\;\big[</math>pour la suite nous noterons «<math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math> pour <math>\;\vec{\sigma}_O(M,\,t)\;</math>» et «<math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> pour <math>\;\vec{\sigma}_O(M,\,0)\;</math>»<math>\big]</math>. {{Proposition|titre=Intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale (non nécessairement conservative)|contenu={{Al|5}}Il existe une intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> à force centrale <math>\;\big(</math>conservative ou non<math>\big)\;</math><ref> Dans le cas où la force centrale n'est pas conservative c'est la seule intégrale 1^ère du mouvement.</ref> correspondant à la <u>conservation du moment cinétique vectoriel du point matériel</u> <math>\;M\;</math> <u>par rapport au centre de force</u> <math>\;O\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen {{Nobr|c'est-à-dire}} « conservation de <math>\;\vec{\sigma}_O(t) =</math> <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math> relativement à la variation du temps <math>\;t\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0),\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0)\;</math>» ou, <br />après simplification par <math>\;m</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0),\;\;\forall\;t\;</math>».</center>}} == 1^ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : « nature plane (ou rectiligne) du mouvement » == [[File:Mouvement à force centrale - vecteurs position et vitesse initiales colinéaires.png|thumb|300px|Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires]] === Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point sont colinéaires === {{Al|5}}Si «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math> étant nul c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0) = \vec{0}\;</math>», de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» ou encore, après simplification par <math>\;m</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» ;</center> {{Al|103}}«<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant colinéaires pour tout <math>\;t\;</math>», on déduit que <u>le mouvement du point</u> <math>\;M\;</math> <u>est rectiligne selon</u> <math>\;\left( OM_0 \right)</math> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)</math> <math>\;\big\{</math>pour le justifier on peut procéder par récurrence<ref> <math>\;\succ\;</math>Considérer un instant légèrement postérieur à l'instant initial soit <math>\;t_1 = \delta t\;</math> avec <math>\;\delta t\;</math> intervalle de temps petit à l'échelle macroscopique, de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;O</math>, on en déduit «<math>\;\vec{\sigma}_O(t_1) = \overrightarrow{OM}(t_1) \wedge m\;\vec{V}_M(t_1) = \vec{0}\;</math>» c'est-à-dire * soit <math>\;\overrightarrow{OM}(t_1)\;</math> ou <math>\;\vec{V}_M(t_1)\;</math> sont nuls <math>\;\bigg[</math>ce qui est à exclure dans le cas où <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> est une grandeur finie non nulle car, <math>\;\overline{F}(0)\;</math> étant une grandeur finie non nulle, il en est de même que <math>\;\overline{a}_0 =</math> <math>\dfrac{\overline{F}(0)}{m}\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t_1) \simeq \vec{a}_0\;\delta t + \vec{V}_0\;</math> ne peut être de norme nulle, de même si <math>\;\Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert\;</math> est une grandeur finie non nulle, <math>\;\overrightarrow{OM}(t_1) \simeq \dfrac{1}{2}\;\vec{a}_0\, \left( \delta t \right)^{\!2} + \vec{V}_0\;\delta t + \overrightarrow{OM_0}\;</math> est de norme non nulle <math>\;\big(</math>la raison, dans les deux cas, étant « aucune grandeur petite ne peut compenser une grandeur finie »<math>\big)\bigg]\;</math> * soit <math>\;\overrightarrow{OM}(t_1)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t_1)\;</math> sont colinéaires de direction commune à <math>\;\vec{a}_0 = \dfrac{\vec{F}_0}{m}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> c'est-à-dire <math>\;\left( OM_0 \right)</math> <math>\;\big[</math>en effet, de <math>\;\vec{V}_M(t_1) \simeq \vec{a}_0\;\delta t + \vec{V}_0\;</math> on en déduit que <math>\;\vec{V}_M(t_1)\;</math> est de direction <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> et par suite <math>\;\overrightarrow{OM}(t_1)\;</math> aussi<math>\big]</math>, ce qui est donc la seule alternative d'où {{Al|10}}la propriété « mouvement de <math>\;M\;</math> rectiligne suivant <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math>» établie pour <math>\;n = 1</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>supposons la validité de la propriété « mouvement de <math>\;M\;</math> rectiligne suivant <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math>» pour <math>\;n\;</math> tel que <math>\;t_n = n\;\delta t\;</math> et déduisons en la propriété pour <math>\;n + 1</math> ; de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;O</math>, on en déduit «<math>\;\vec{\sigma}_O(t_{n + 1}) = \overrightarrow{OM}(t_{n + 1}) \wedge m\;\vec{V}_M(t_{n + 1}) = \vec{\sigma}_O(t_n) = \vec{0}\;</math>» c'est-à-dire * soit <math>\;\overrightarrow{OM}(t_{n + 1})\;</math> ou <math>\;\vec{V}_M(t_{n + 1})\;</math> sont nuls <math>\;\bigg\{</math>ce qui est à exclure dans le cas où <math>\;\Vert \vec{V}(t_n) \Vert\;</math> est une grandeur finie non nulle <math>\;\Big[</math>en effet <math>\;\vec{V}(t_n)\;</math> s'obtenant à partir de <math>\;\vec{V}_0\;</math> en lui ajoutant un nombre fini de termes de normes petites, somme qui reste nécessairement de norme petite, si <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> est une grandeur finie non nulle il en est de même de <math>\;\Vert \vec{V}(t_n) \Vert\Big]\;</math> car, <math>\;\overline{F}(t_n)\;</math> étant une grandeur finie non nulle, il en est de même que <math>\;\overline{a}(t_n) =</math> <math>\dfrac{\overline{F}(t_n)}{m}\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t_{n + 1}) \simeq \vec{a}(t_n)\;\delta t + \vec{V}(t_n)\;</math> ne peut être de norme nulle, de même si <math>\;\Vert \overrightarrow{OM}(t_n) \Vert\;</math> est une grandeur finie non nulle <math>\;\Big[</math>l'explication à partir de <math>\;\Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert\;</math> de grandeur finie non nulle étant la même que celle fournie précédemment à partir de <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> de grandeur finie non nulle<math>\Big]</math>, <math>\;\overrightarrow{OM}(t_{n + 1}) \simeq \dfrac{1}{2}\;\vec{a}(t_n)\, \left( \delta t \right)^{\!2} + \vec{V}(t_n)\;\delta t + \overrightarrow{OM}(t_n)\;</math> est de norme non nulle <math>\;\big(</math>la raison, dans les deux cas, étant « aucune grandeur petite ne peut compenser une grandeur finie »<math>\big)\bigg\}\;</math> * soit <math>\;\overrightarrow{OM}(t_{n + 1})\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t_{n + 1})\;</math> sont colinéaires de direction commune à <math>\;\vec{a}(t_n) = \dfrac{\vec{F}(t_n)}{m}\;</math> et <math>\;\vec{V}(t_n)\;</math> c'est-à-dire <math>\;\left( OM_0 \right)</math> <math>\;\big[</math>en effet, de <math>\;\vec{V}_M(t_{n + 1}) \simeq \vec{a}(t_n)\;\delta t + \vec{V}(t_n)\;</math> on en déduit que <math>\;\vec{V}_M(t_{n + 1})\;</math> est de direction <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> et par suite <math>\;\overrightarrow{OM}(t_{n + 1})\;</math> aussi<math>\big]</math>, ce qui est donc la seule alternative d'où {{Al|10}}la propriété « mouvement de <math>\;M\;</math> rectiligne suivant <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math>» établie pour <math>\;n + 1</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la propriété <math>\;\mathcal{P}_n\;</math> « mouvement de <math>\;M\;</math> rectiligne suivant <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math>» étant vraie pour <math>\;n = 1\;</math> et «<math>\;\mathcal{P}_n\;</math> impliquant <math>\;\mathcal{P}_{n + 1}\;</math>» est établie par récurrence.</ref><math>\big\}</math>. [[File:Mouvement à force centrale - vecteurs position et vitesse initiales non colinéaires.png|thumb|450px|Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales ne sont pas colinéaires, l'espace physique étant « orienté à droite »<ref name="orienté à droite" />]] === Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point ne sont pas colinéaires === {{Al|5}}Si «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math> étant non nul c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0) \neq \vec{0}\;</math>», de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> c'est-à-dire de <center>«<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0),\;\;\forall\;t\;</math>», on en déduit</center> {{Al|5}}{{Transparent|Si «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\nparallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}}\;</math>» }}la non nullité de «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) =</math> <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> de direction constante <math>\;\forall\;t\;</math>»<ref name="direction constante"> En fait il y a aussi le sens et la norme du vecteur qui sont constants mais ce qu'on va utiliser dans ce paragraphe est la constance de sa direction.</ref> <math>\;\big(</math>voir ci-contre<math>\big)\;</math> ou encore, après simplification par <math>\;m</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> de direction constante <math>\;\forall\;t\;</math>»<ref name="direction constante" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Si «<math>\;\color{transparent}{\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}}\;</math> est <math>\;\color{transparent}{\nparallel}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}}\;</math>» }}en utilisant la définition du produit vectoriel<ref name="définition du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit que «<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> sont toujours <math>\;\perp\;</math> à cette direction fixe » et par suite « <u>le mouvement du point</u> <math>\;M\;</math> <u>se fait dans le plan passant par</u> <math>\;O\;</math> <u>et</u> <math>\;\perp\;</math> <u>à</u> <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math>» c'est-à-dire « le plan contenant <math>\;O</math>, <math>\;M_0\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math>». == 2^ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la « loi des aires » == <center>L'applicabilité de la « loi des aires » pour le « mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> à force centrale » doit être connue sans hésitation <math>\;\big(</math>ainsi que sa justification<math>\big)</math>.</center> === Choix du repère cartésien lié au référentiel d’étude dans lequel O est fixe === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», le mouvement étant rectiligne suivant <math>\;\left( OM_0 \right)</math>, on choisit pour « axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» la « droite passant par <math>\;O\;</math> contenant <math>\;M_0\;</math> et orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0\;</math>» ; <u>le mouvement de</u> <math>\;M\;</math> <u>se fait alors le long de</u> <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», le mouvement étant plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{\sigma}_O(0)</math>, on choisit pour « axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» la « droite passant par <math>\;O\;</math> contenant <math>\;M_0\;</math> et orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0\;</math>» et pour « axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math>» un « axe <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit contenu dans le plan <math>\;xOy\;</math>», l'« axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math>» étant «<math>\;\perp\;</math> aux deux autres axes tel que «<math>\;\left( \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz} \right)\;</math> soit direct <math>\;\big(</math>l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Une base directe, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; le vecteur moment cinétique initial de <math>\;M\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math> «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0)\;</math>» est alors colinéaire à <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et <u>le mouvement de</u> <math>\;M \;</math> se faisant dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{\sigma}_O(0)</math>, <u>se fait alors dans le plan</u> <math>\;xOy</math>. === Définition de la constante des aires « C » === {{Al|5}}Dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», le vecteur moment cinétique initial de <math>\;M\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math> «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0) \neq \vec{0}\;</math>» étant colinéaire à <math>\;\overrightarrow{Oz}</math>, il en est de même de «<math>\;\dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} = \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) \neq \vec{0}\;</math>». {{Définition|titre=Définition de la constante des aires « C »|contenu={{Al|5}}Dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point <math>\;M\;</math> décrivant un mouvement à force centrale ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire dans le cas où <math>\;M\;</math> a un mouvement plan passant par le centre de force <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z</math>, on définit la <u>constante des aires</u> <math>\;C\;</math> selon «<math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z = \left[ \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) \right] \cdot \vec{u}_z \neq 0\;</math>»<ref name="justification du nom constante des aires"> La justification du nom « constante des aires » sera donnée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Aspect_«_vitesse_aréolaire_constante_»_de_la_loi_des_aires|aspect “ vitesse aréolaire constante ” de la loi des aires]] » plus bas dans le chapitre mais on peut dès à présent vérifier que le nom est adapté à son unité car «<math>\;\dfrac{\Vert \vec{\sigma}_O(0) \Vert}{m} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) \Big\Vert\;</math> s’exprime en «<math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math>» unité d'une vitesse aréolaire.</ref>.}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», on a alors «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0) = \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} = \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) = \vec{0}\;</math>» ; [[File:Mouvement à force centrale - rectiligne ou plan.png|thumb|500px|Schémas de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires <math>\;\big(</math>schéma de gauche<math>\big)\;</math> ou non colinéaires {{Nobr|<math>\;\big(</math>schéma}} de droite<math>\big)</math>]] {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}seul l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> ayant été défini car les deux autres axes <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> ne jouent aucun rôle, on choisit alors ces derniers quelconques dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>voir schéma de gauche ci-contre<math>\big)\;</math> et on peut encore définir la <u>constante des aires</u> <math>\;C\;</math> par «<math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z = \left[ \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) \right] \cdot \vec{u}_z = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle</u> <math>\;\Big[</math>c'est-à-dire dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>»<math>\Big]</math> <math>\;\big(</math>voir schéma de droite ci-contre<math>\big)</math> : avec «<math>\;\overrightarrow{OM_0} = r_0\;\vec{u}_x</math>, <math>\;r_0\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_0 =</math> <math>v_0\; \cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + v_0\; \sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y</math>, <math>\;v_0\;</math> étant égal à <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert > 0\;</math> et <math>\;\alpha_0\;</math> algébrisé par <math>\;\vec{u}_z\;</math> égal à <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{V}_0 \right)}\;</math>» on en déduit «<math>\;C\; \vec{u}_z = \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 = r_0\;\vec{u}_x \wedge \left[ v_0\; \cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + v_0\; \sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y \right] = r_0\;v_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_z\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;C = r_0\;v_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>»<ref name="valeur de C à retenir"> Résultat qu'il serait souhaitable de retenir même s'il doit être justifié à chaque utilisation.</ref> <math>\;\big(</math>sur le schéma de droite ci-dessus, <math>\;\alpha_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;C > 0\;</math>»<math>\big)</math> ;</center> {{Al|15}}<u>autre façon</u> pour déterminer «<math>\;C\;</math>» dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» <math>\;\big(</math>voir schéma de droite ci-dessus<math>\big)</math> : {{Al|15}}<math>\;\succ\;</math>chercher le signe de <math>\;C\;</math> en regardant dans quel sens le mouvement de <math>\;M\;</math> commence initialement, « ici <math>\;\vec{V}_0\;</math> est disposé de tel façon que le mouvement de <math>\;M\;</math> commence initialement dans le sens <math>\;+\;</math>»<ref> En effet la composante de <math>\;\vec{V}_0\;</math> sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> est <math>\;> 0</math>.</ref> d’où «<math>\;C > 0\;</math>» puis {{Al|15}}<math>\;\succ\;</math>chercher sa valeur absolue selon «<math>\;\vert C \vert = \Vert \vec{V}_0 \Vert\; d\;</math>» où «<math>\;d\;</math> est le bras de levier de <math>\;\vec{V}_0\;</math>» <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la distance orthogonale séparant <math>\;O\;</math> du support de <math>\;\vec{V}_0\;</math><ref name="analogue du bras de levier d'une force"> Notion analogue à celle introduite pour une force <math>\;\Big[</math>la raison étant que le bras de levier de la force <math>\;\vec{F}\;</math> intervient pour déterminer la valeur absolue du moment scalaire de la force relativement à un axe orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et <math>\;\perp\;</math> au support de <math>\;\vec{F}\;</math> soit <math>\;\Big\vert \mathcal{M}_{O}\! \left( \vec{F} \right) \cdot \vec{u}_\Delta \Big\vert = \bigg\vert \left( \overrightarrow{OM} \wedge \vec{F} \right) \cdot \vec{u}_\Delta \bigg\vert = \big\Vert \vec{F} \big\Vert\;d\;</math> alors qu'ici on cherche à déterminer <math>\;\vert C \vert = \bigg\vert \left( \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right) \cdot \vec{u}_z \bigg\vert\;</math> avec <math>\;\vec{u}_z \perp\;</math> au support de <math>\;\vec{V}_0\;</math> d'où l'introduction du bras de levier de <math>\;\vec{V}_0\;</math> pour déterminer <math>\;\vert C \vert\;</math> selon <math>\;\vert C \vert = \big\Vert \vec{V}_0 \big\Vert\;d\Big]</math>.</ref><math>\big)\;</math> soit «<math>\;d = r_0\; \vert \sin(\alpha_0) \vert\;</math>» dont on déduit «<math>\;\vert C \vert = v_0\; r_0\; \vert \sin(\alpha_0) \vert\;</math>» et enfin {{Al|15}}<math>\;\succ\;</math>on en tire la valeur algébrique de <math>\;C\;</math> en rassemblant les deux informations soit <center>«<math>\;C = r_0\;v_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>»<ref name="valeur de C à retenir" />.</center> === Établissement de la « loi des aires » === {{Al|5}}Supposant « plan » le mouvement à force centrale du point matériel <math>\;M\;</math> et repérant ce dernier dans le plan <math>\;xOy\;</math> de son mouvement par ses coordonnées polaires de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;\left( r\,,\, \theta \right)\;</math>»,}} la base polaire liée à <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;</math>» d’où, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\; \vec{u}_r(t)\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\; \vec{u}_r(t) + r(t)\; \dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\theta(t)\;</math>» dont on déduit, au même instant <math>\;t</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t)</math> <math>= r(t)\; \vec{u}_r(t) \wedge \left[ \dot{r}(t)\; \vec{u}_r(t) + r(t)\; \dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\theta(t) \right] = r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» ; {{Al|5}}de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;O</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0)\;</math>», ou de la relation de conservation obtenue en divisant par la masse de <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m}\;</math>» ou encore «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = C\;\vec{u}_z\;</math>»<ref name="définition de C"> En effet la constante des aires <math>\;C\;</math> étant définie par «<math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z\;</math>» et <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> étant colinéaire à <math>\;\vec{u}_z\;</math> on en déduit «<math>\;\dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} = C\;\vec{u}_z</math>».</ref>, on en déduit <math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_z = C\;\vec{u}_z\;</math> soit «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>». {{Théorème|titre=Énoncé de la « loi des aires »|contenu={{Al|5}}L'intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un mouvement à force centrale « plan » dans le plan <math>\;xOy\;</math> avec le centre de force <math>\;O\;</math> choisi comme pôle du repérage polaire de <math>\;M</math>, ce dernier y ayant «<math>\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta(t) \right\rbrace\;</math>» comme coordonnées polaires à l'instant <math>\;t</math>, à savoir « <u>la conservation du moment cinétique vectoriel</u> de <math>\;M\;</math> par rapport au point <math>\;O\;</math>» <u>prend la forme</u>, projetée sur l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz} \perp\;</math> au plan <math>\;xOy\;</math> et orientant ce dernier, <u>de</u> « <u>la loi des aires</u> »<ref name="justification du nom loi des aires"> La justification du nom « loi des aires » sera donnée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Aspect_«_vitesse_aréolaire_constante_»_de_la_loi_des_aires|aspect “ vitesse aréolaire constante ” de la loi des aires]] » plus bas dans le chapitre mais on peut dès à présent vérifier que le nom est adapté à son unité car «<math>\;\dfrac{\Vert \vec{\sigma}_O(t) \Vert}{m} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) \Big\Vert = r^2\!(t)\;\big\vert \dot{\theta}(t) \big\vert\;</math> s’exprime en «<math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math>» unité d'une vitesse aréolaire.</ref> s'écrivant selon <center>«<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>» dans laquelle «<math>\;C\;</math> est la constante des aires »<ref name="justification du nom constante des aires" />{{,}}<ref name="définition de la constante des aires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_de_la_constante_des_aires_«_C_»|définition de la constante des aires “ C ”]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : <math>\;\succ\;</math>Dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», nous avons établi, par récurrence, la nature « rectiligne » du mouvement de <math>\;M\;</math> le long de <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math><ref name="nature rectiligne du mouvement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Cas_où_les_vecteurs_position_et_vitesse_initiales_du_point_sont_colinéaires|cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires]] » ainsi que la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#cite_note-26|²⁶]] » plus haut dans le chapitre.</ref> et introduit la notion de constante des aires <math>\;C\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_de_la_constante_des_aires_«_C_»|définition de la constante des aires “ C ”]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre, obtenant ainsi «<math>\;C = 0\;</math>» mais, pour que cette introduction ait un sens, il reste à établir la « validité de la loi des aires dans le cas où <math>\;C = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>plus précisément nous allons établir la validité de la loi des aires dans le cas où <math>\;C = 0\;</math> sans tenir compte du caractère rectiligne du mouvement de <math>\;M</math>, ce qui permettra de démontrer d'une autre façon la nature rectiligne de son mouvement<math>\big]</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarques : }}choisissant de repérer le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées sphériques de pôle <math>\;O\;</math> à savoir <math>\;\left( r\,,\,\theta\,,\,\varphi \right)</math>, la base sphérique liée à <math>\;M\;</math> étant <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math> d'où, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) =</math> <math>r(t)\;\vec{u}_r(t)\;</math>» et «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r(t) + r(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\theta(t) + r(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi(t)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r(t)\; \vec{u}_r(t) \wedge \left\lbrace \dot{r}(t)\; \vec{u}_r(t) + r(t)\; \dot{\theta}(t)\; \vec{u}_\theta(t) + r(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\varphi(t) \right\rbrace =</math> <math>r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\varphi(t) - r^2\!(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» au même instant <math>\;t</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarques : }}de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;O</math>, «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0) = \vec{0}\;</math>», on en déduit «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;\vec{u}_\varphi(t) - r^2\!(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t)\;\vec{u}_\theta(t) = \vec{0}\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math>}} <math>= 0\;</math>» d'une part et «<math>\;r^2\!(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t) = 0\;</math>» d'autre part ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarques : }}de «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» on tire «<math>\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» qui s'intègre par rapport à <math>\;t\;</math> en «<math>\;\theta(t) = cste = \theta(0)\;</math>» et, en choisissant de repérer l'angle <math>\;\theta\;</math> par rapport à la direction <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta(0) = 0\;</math> d'où «<math>\;\theta(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» c'est-à-dire <u>la nature rectiligne du mouvement</u> de <math>\;M\;</math> <u>le long de</u> <math>\;\left( OM_0 \right)</math> <math>\;\big[</math>de «<math>\;\theta(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» on déduit que la 2^ème équation «<math>\;r^2\!(t)\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\varphi}(t) = 0\;</math>» étant automatiquement réalisée n'a aucun intérêt<math>\big]</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarques : }}en conclusion si, dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», on choisit l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> porté par <math>\;\left( OM_0 \right)</math>, <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> orthogonaux entre eux, étant choisis dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}</math>, et si on définit la <u>constante des aires</u> <math>\;C\;</math> par «<math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z = \left[ \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) \right] \cdot \vec{u}_z = 0\;</math>», on vérifie que « <u>la loi des aires est applicable quand</u> <math>\;C = 0\;</math>» sous la forme «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = C = 0\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>De l'expression du rapport du moment cinétique scalaire du point <math>\;M\;</math> relativement à l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> divisé par la masse du point, rapport exprimé en repérage polaire «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>», on en déduit une 3^ème façon de déterminer la constante des aires <math>\;C\;</math> selon «<math>\;C = r^2\!(0)\;\dot{\theta}(0) = r(0)\;\left[ r(0)\;\dot{\theta}(0) \right] = r_0\;V_{0,\,\theta}\;</math>» consistant à « multiplier la distance séparant <math>\;M_0\;</math> de <math>\;O\;</math> par la vitesse orthoradiale initiale <math>\;V_{0,\,\theta} = v_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>». === Quelques conséquences de la loi des aires === ==== Utilisation dans le cas où « C = 0 » ==== {{Al|5}}Ayant établi « l'applicabilité de la loi des aires pour un point matériel ayant un mouvement à force centrale quelles que soient les C.I<ref name="C.I." />. », que «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> soit <math>\;\nparallel\;</math> ou <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>», on peut l'utiliser pour établir que « le mouvement de <math>\;M\;</math> est rectiligne le long de <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> dans le cas où la constante des aires <math>\;C\;</math> est nulle » en effet de «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = C = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» avec <math>\;r(t)\;</math> non identiquement nul on tire «<math>\;\dot{\theta}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» qui s'intègre en «<math>\;\theta(t) = cste = \theta(0)\;</math>» soit «<math>\;\theta(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» par choix de l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passant par <math>\;M_0\;</math> d'où <u>la nature rectiligne du mouvement</u> de <math>\;M\;</math> <u>le long de</u> <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math><ref> La démonstration est identique à celle exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Établissement_de_la_«_loi_des_aires_»|établissement de la “ loi des aires ”]] (1^ère remarque) » plus haut dans le chapitre, mais au lieu de raisonner en repérage sphérique de pôle <math>\;O</math> <math>\;\Big(</math>ce qui était indispensable pour démontrer simultanément la loi des aires quand «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» et la nature rectiligne du mouvement de <math>\;M\Big)\;</math> on raisonne en repérage polaire de pôle <math>\;O</math> du plan choisi comme plan <math>\;xOy</math> <math>\;\big(</math>ce qui est alors possible dans la mesure où la loi des aires a été établie précédemment pour toutes C.I.<math>\big)</math>.</ref>. ==== Mouvement s’effectuant toujours dans le même sens dans le cas où « C ≠ 0 » ==== {{Al|5}}Dans le cas où «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;C \neq 0\;</math>» <u>le mouvement</u> de <math>\;M\;</math> <u>se fait toujours dans le même sens dans le plan</u> <math>\;xOy</math>, en effet, la loi des aires s’écrivant {{Nobr|«<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t)</math>}} <math>= C \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math>» avec «<math>\;r^2\!(t) > 0\;</math>» on en déduit que «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> et <math>\;C\;</math>» sont toujours de même signe, * le mouvement se faisant dans le sens «<math>\;+\;</math>» si «<math>\;C\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» et * {{Transparent|le mouvement se faisant }}dans le sens «<math>\;-\;</math>» si «<math>\;C\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» ; {{Al|5}}parallèlement «<math>\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ne s’annule jamais. ==== Commentaire sur la forme « semi-intégrée » de l’accélération orthoradiale ==== {{Al|5}}Nous avons établi au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale “ forme semi-intégrée ”) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <u>la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale</u> «<math>\;a_\theta(t) = \dfrac{1}{r(t)}\;\dfrac{d \left( r^2\;\dot{\theta} \right)}{dt}(t)\;</math> si <math>\;r(t) \neq 0\;</math>»<ref> La coordonnée radiale, notée <math>\;\rho\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale “ forme semi-intégrée ”) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », est notée <math>\;r\;</math> dans ce chapitre.</ref> <u>dans laquelle</u> nous remarquons que <u>la quantité à dériver temporellement est la grandeur conservée dans la loi des aires</u>, cela ne doit pas nous étonner car, {{Al|5}}dans le cas d’un mouvement à force centrale, la composante orthoradiale de la force étant nulle, l’accélération orthoradiale doit aussi l’être comme conséquence de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. et effectivement, <center>«<math>\;\left( r^2\; \dot{\theta} \right)(t) = C,\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;r(t) \neq 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;a_\theta(t) = \dfrac{1}{r(t)}\;\dfrac{d \left( r^2\;\dot{\theta} \right)}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;r(t) \neq 0\;</math>»<ref> Les deux propositions sont effectivement équivalentes ; <br>{{Al|3}}dans l'exposé du corps de texte nous sommes partis de la loi des aires établies pour un mouvement à force centrale dans le but de vérifier que l’expression semi-intégrée de l’accélération orthoradiale redonne une valeur nulle à cette dernière ; <br>{{Al|3}}nous pouvons également nous servir de la valeur nulle de l’accélération orthoradiale d’un mouvement à force centrale, accélération prise sous forme semi-intégrée pour en déduire la loi des aires car {{Nobr|«<math>\;a_\theta(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{r(t)}\;\dfrac{d \left( r^2\;\dot{\theta} \right)}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;r(t) \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( r^2\;\dot{\theta} \right)(t) = cste,\;\;\forall\;t\;</math>» c'est-à-dire l'applicabilité de la loi des aires.</ref> <math>\;\ldots</math></center> == Aspect « vitesse aréolaire constante » de la loi des aires == [[File:Aire balayée par le rayon vecteur de M pendant dt.png|thumb|300px|Schéma de description de «<math>\;d \mathcal{A}\;</math>» l'aire balayée par le rayon vecteur du point matériel <math>\;M</math> <math>\;\Big(</math>c'est-à-dire par son vecteur position <math>\;\overrightarrow{OM}\Big)\;</math> lorsque <math>\;M\;</math> se déplace dans le plan <math>\;xOy\;</math> à partir de l'instant <math>\;t\;</math> sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>]] {{Al|5}}Soit «<math>\;d \mathcal{A}\;</math>» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math>» lorsque ce dernier se déplace dans le plan <math>\;xOy\;</math> à partir de l'instant <math>\;t\;</math> sur une durée élémentaire <math>\;dt</math> <math>\;\big(</math>voir schéma descriptif ci-contre, l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}l'aire est algébrisée, elle est <math>\;> 0\;</math> si <math>\;M\;</math> tourne dans le sens <math>\;+</math> <math>\big(</math>cas de la figure<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|l'aire est algébrisée, elle est }}<math>\;< 0\;</math> si <math>\;M\;</math> tourne dans le sens <math>\;-</math> <math>\big(</math>cas de figure non représenté<math>\big)</math> ; {{Al|5}}sachant que l'aire <math>\;\big(</math>non algébrisée<math>\big)\;</math> d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une de ses bases par la hauteur correspondante <math>\;\Big[</math>la base considérée étant <math>\;OM_t = r(t)</math> <math>\;\big(</math>coordonnée radiale du point <math>\;M_t\big)\;</math> et la hauteur correspondante <math>\;dh\;</math> c'est-à-dire la valeur absolue du projeté du vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM} = \overrightarrow{M_tM_{t + dt}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big(</math>le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire liée au point <math>\;M_t\;</math> dans le plan <math>\;xOy\big)\;</math> soit <math>\;dh = \vert dM_\theta \vert =</math> <math>\vert V_\theta(t) \vert\;dt = r(t)\;\vert \dot{\theta}(t) \vert\;dt</math> <math>\;\big(\theta\;</math> étant l'abscisse angulaire du point <math>\;M_t\big)\Big]\;</math> on en tire «<math>\;\Big\vert d \mathcal{A} \Big\vert = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\vert \dot{\theta}(t) \vert\;dt\;</math>» et, {{Al|5}}comme «<math>\;d \mathcal{A}\;</math>» est <math>\;> 0\;</math> si <math>\;M\;</math> tourne dans le sens <math>\;+\;</math> et <math>\;< 0\;</math> si <math>\;M\;</math> tourne dans le sens <math>\;-\;</math> c'est-à-dire du signe de <math>\;\dot{\theta}(t)</math>, on en déduit <center>«<math>\;d \mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt\;</math>» ;</center> {{Al|5}}la <u>vitesse aréolaire</u> du mouvement du point <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> étant définie, à l'instant <math>\;t</math>, par «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t)\;</math>» est encore égale à <center>«<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>»<ref> Pour déterminer «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» nous avons supposé une composante orthoradiale du mouvement de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;dh \neq 0\big)\;</math> mais, comme en l'absence de cette composante, il n'y a pas d'aire balayée par le rayon vecteur, il est loisible de considérer cette dernière comme nulle et par suite de prolonger la validité de «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» au cas où <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> est nulle.</ref></center> {{Al|5}}soit, quand le point matériel <math>\;M\;</math> décrit un <u>mouvement à force centrale</u>, lequel suit « la loi des aires <math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> avec <math>\;C</math>, la constante des aires » <math>\;\big[</math>restant valable pour <math>\;C = 0\big]</math>, l'expression de « la <u>vitesse aréolaire du mouvement à force centrale du point</u> <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>» <center>«<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{C}{2}\;</math> avec <math>\;C</math>, la constante des aires » <math>\;\big[</math>restant valable pour <math>\;C = 0\big]\;</math><ref> En effet nous avons vu que l'expression «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» est encore applicable si <math>\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math> et comme la loi des aires que suit un point ayant un mouvement à force centrale est encore valable si <math>\;C = 0</math>, nous en déduisons que «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{C}{2}\;</math> est encore applicable si <math>\;C = 0</math> <math>\;\big[</math>la vitesse aréolaire est alors nulle en accord avec le fait que le point <math>\;M\;</math> a un mouvement rectiligne le long de <math>\;\left( OM_0 \right)\big]</math>.</ref> ;</center> {{Proposition|titre=Signification géométrique de la loi des aires : vitesse aréolaire constante|contenu={{Al|5}} Lorsqu'un point matériel <math>\;M\;</math> décrit un mouvement à force centrale de centre de force <math>\;O</math>, on peut appliquer au point <math>\;M\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> la « loi des aires avec une constante des aires <math>\;C\;</math>», <u>la signification géométrique de la loi des aires appliquée au point</u> <math>\;M\;</math> étant « <u>la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de</u> <math>\;M\;</math>», plus précisément «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{C}{2}\;</math>».}} {{Corollaire|titre=Conséquence de la constance de la vitesse aréolaire|contenu= {{Al|5}} Lorsqu'un point matériel <math>\;M\;</math> décrit un mouvement à force centrale de centre de force <math>\;O</math>, on peut appliquer au point <math>\;M\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> la « loi des aires avec une constante des aires <math>\;C\;</math>» et de « <u>la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de</u> <math>\;M\;</math>» on en déduit que « <u>l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur du point</u> <math>\;M\;</math> <u>à partir de l'instant initial</u> <math>\;t = 0</math> <u>vaut</u>, à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\mathcal{A}(t) = \dfrac{C}{2}\;t\;</math>»<ref> Si le rayon vecteur du point <math>\;M\;</math> décrit plus d’un tour, l’aire algébrique balayée doit, bien sûr, en tenir compte.</ref> ; {{Al|5}}de « <u>la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de</u> <math>\;M\;</math>» on déduit encore que « <u>l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur du point</u> <math>\;M\;</math> <u>pendant deux durées identiques à partir d’instants différents est la même</u> ».}} == « En complément » : variables et formules de Binet d’un mouvement à force centrale et leur intérêt == === Introduction === {{Al|5}}Tout d'abord <u>le mouvement d'un point matériel à force centrale</u> est « <u>rectiligne ou plan</u> », conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel <math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math>» ; {{Al|5}}dans les deux cas, <u>la loi des aires est applicable</u> au mouvement du point sous la forme «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> avec <math>\;C\;</math> constante des aires », autre conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel <math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math>» et on a la propriété suivante : * «<math>\;C = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> mouvement rectiligne » et * «<math>\;C \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> mouvement plan ». {{Al|5}}<u>Les variables et formules de Binet</u><ref name="Binet"> '''[[w:Jacques_Philippe_Marie_Binet|Jacques Philippe Marie Binet]] (1786 - 1856)''' mathématicien et astronome français, on lui doit, dans le domaine des mathématiques, entre autres, une étude assez détaillée des fonctions eulériennes <math>\;\big[</math>[[w:Fonction_gamma|fonction gamma]] et [[w:Fonction_bêta|fonction bêta]]<math>\big]\;</math> ainsi que le calcul du n^ième terme de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] et, dans le domaine de l'astronomie, ces formules connues sous le nom de « formules de Binet » permettant d'exprimer les composantes polaires de la vitesse et de l'accélération quand cette dernière est centrale ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonardo__Fibonacci|Leonardo Fibonacci]] (vers 1175 - vers 1250)''' mathématicien italien connu pour son introduction de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] mais a aussi joué un rôle essentiel pour insérer le [[w:Mathématiques_arabes|savoir mathématique des musulmans]], notamment des [[w:Chiffres_arabes|chiffres indo-arabes]], dans le monde de l'Occident.</ref> <u>peuvent s’employer dès lors que la loi des aires</u> sous la forme «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> avec <math>\;C\;</math> constante des aires » <u>s’applique</u> c'est-à-dire pour tous les mouvements à force centrale <math>\;\bigg[</math>toutefois leur utilisation n'est intéressante que dans le cas «<math>\;C \neq 0\;</math>», elle permet alors d’exprimer la vitesse angulaire «<math>\;\dot{\theta}\;</math>» en fonction de la coordonnée radiale «<math>\;r\;</math>» par «<math>\;\dot{\theta} = \dfrac{C}{r^2}\;</math>»<math>\bigg]</math>. === Définition des variables de Binet === {{Al|5}}Le principe soutendant l'utilisation des variables de Binet<ref name="Binet" /> est de supprimer la dépendance directe au temps <math>\;t\;</math> des variables radiale <math>\;r</math> <math>\;\big[</math>ou d'une fonction <math>\;\big(</math>à définir<math>\big)\;</math> de la variable radiale<math>\big]\;</math> et angulaire <math>\;\theta</math>, la dépendance au temps <math>\;t\;</math> restant localisée uniquement dans la constante des aires <math>\;C</math>, laquelle s'exprime en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math><ref name="puissance de C associée à une grandeur"> Ainsi une grandeur homogène à une accélération s'exprimant en <math>\;m^2 \cdot s^{-2}\;</math> doit être <math>\;\propto\;</math> à <math>\;C^2\;</math> donnant des <math>\;m^4 \cdot s^{-2}</math>, le facteur restant devant être homogène à l'inverse d'un carré de longueur ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|Ainsi}}une grandeur homogène à une vitesse s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-1}\;</math> doit être <math>\;\propto\;</math> à <math>\;C\;</math> donnant des <math>\;m^2 \cdot s^{-1}</math>, le facteur restant devant être homogène à l'inverse d'une longueur <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}Ainsi on définit d’abord la <u>1^ère variable de Binet</u><ref name="Binet" /> «<math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math>» considérée comme « fonction de <math>\;\theta\;</math>», s’exprimant en «<math>\;m^{-1}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Ainsi on définit d’abord }}la <u>2^nde variable de Binet</u><ref name="Binet" /> étant la dérivée de <math>\;u\;</math> par rapport à <math>\;\theta\;</math> soit «<math>\;u' = \dfrac{du}{d \theta}\;</math>» également « fonction de <math>\;\theta\;</math>», s’exprimant en «<math>\;m^{-1}\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Ainsi on définit d’abord }}la <u>3^ème variable de Binet</u><ref name="Binet" /> étant la dérivée seconde de <math>\;u\;</math> par rapport à <math>\;\theta\;</math> soit «<math>\;u'' = \dfrac{d^2u}{d \theta^2}\;</math>» également « fonction de <math>\;\theta\;</math>», s’exprimant en «<math>\;m^{-1}\;</math>». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Si la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> peut être définie dans le cas où la constante des aires <math>\;C\;</math> est nulle <math>\;\big(</math>bien que son introduction n'ait alors aucun intérêt, le mouvement de <math>\;M\;</math> étant rectiligne<math>\big)</math>, les 2^ème et 3^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> n'y auraient aucun sens <math>\;\big(</math>plus exactement elles seraient infinies<ref> Le mouvement étant rectiligne on aurait <math>\;d \theta = 0\;</math> puisque <math>\;\theta\;</math> reste constante et par suite <math>\;u' = \dfrac{du}{d \theta}\;</math> avec <math>\;du \neq 0\;</math> donnerait <math>\;u' = \infty</math>, de même pour <math>\;u'' = \dfrac{du'}{d \theta}\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>, aussi leur introduction nécessite «<math>\;C \neq 0\;</math>». === Préliminaire : « expressions de Binet » des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M === {{Al|5}}Le nom des expressions, en fonction des variables de Binet<ref name="Binet" /> et de la constante des aires, des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> dont le mouvement est à force centrale, n'est pas codifié, l'appellation « expressions de Binet »<ref name="Binet" /> est donc personnelle ; {{Al|5}}ces expressions sont utiles pour démontrer les « formules de Binet »<ref name="Binet" /> <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_au_carré_de_la_vitesse)|1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale)|2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale)]] » plus bas dans le chapitre <math>\;\big(</math>attention l'appellation « formules de Binet »<ref name="Binet" /> devant être réservée à ces deux formules<math>\big)\big]</math>, <br />{{Al|23}}elles peuvent aussi être utilisées pour déterminer les constantes d’intégration par conditions initiales. ==== Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M ==== {{Al|5}}La composante radiale de <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy\;</math> s'exprimant selon «<math>\;V_r(t) = \vec{V}_M(t) \cdot \vec{u}_r(t) = \dot{r}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_r(t)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire lié à <math>\;M\;</math> du plan <math>\;xOy</math>, <math>\;r(t)\;</math> étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de <math>\;M\;</math> dans <math>\;xOy</math>, nous transformons cette expression par utilisation de la formule de dérivation de fonction composée «<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = \dfrac{dr}{dt}(t) = \dfrac{dr}{d \theta}\! \left[ \theta(t) \right]\; \dfrac{d \theta}{dt}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;\dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dot{\theta}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire du point <math>\;M\;</math> peut s'exprimer en fonction de sa coordonnée radiale <math>\;r(t)\;</math> ainsi que de la constante des aires <math>\;C\;</math> par utilisation de la loi des aires selon <math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{C}{r^2(t)}\;</math>» d'où la réécriture de la composante radiale de <math>\;\vec{V}_M(t)</math> : «<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = \dfrac{dr}{d \theta}\! \left[ \theta(t) \right]\; \dfrac{C}{r^2(t)} = C\, \left[ \dfrac{1}{r^2(\theta)}\;\dfrac{dr}{d \theta}(\theta) \right]\;</math>»<ref name="abus de notation"> Comme il est d'usage en physique on utilise la même notation pour appeler une fonction ou son image ainsi la notation utilisée en mathématiques «<math>\;y = f(x)\;</math>» avec <math>\;f\;</math> décrivant la fonction et <math>\;y\;</math> l'image s'écrit usuellement en physique «<math>\;y = y(x)\;</math>» le 1^er <math>\;y\;</math> décrivant l'image et le 2^ème la fonction ; <br>{{Al|20}}dans le cas d'une fonction composée <math>\;f \circ g</math>, son application à la variable <math>\;x\;</math> correspond à la succession <math>\;\big(</math>notations mathématiques<math>\big)</math> de «<math>\;y = g(x)\;</math> suivi de <math>\;z = f(y)\;</math>» s'écrivant en physique «<math>\;y =</math> <math>y(x)\;</math> suivi de <math>\;z = z(y)\;</math>» alors que la fonction composée s'écrit en mathématiques «<math>\;z = f \left[ g(x) \right]\;</math>» et en physique «<math>\;z = z(x)\;</math>» d'où <u>un abus usuel d'écriture en physique</u> puisque la notation physique de la fonction <math>\;f \circ g</math>, fonction de <math>\;x</math>, est confondue avec son image notée <math>\;z</math> <math>\;\big[</math>correspondant à <math>\;z = z(x)\big]\;</math> alors que la notation physique de la fonction <math>\;f</math>, fonction de <math>\;y</math>, est confondue avec son image notée <math>\;z</math> <math>\;\big[</math>correspondant à <math>\;z = z(y)\big]\;\ldots</math></ref> ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets « l'opposé de la dérivée de <math>\;\dfrac{1}{r}\;</math> par rapport à <math>\;\theta\;</math> selon <math>\;\dfrac{1}{r^2(\theta)}\;\dfrac{dr}{d \theta}(\theta) = r^{-2}(\theta)\;\dfrac{dr}{d \theta}(\theta) = \dfrac{1}{-1}\;\dfrac{d \left( r^{-1} \right)}{d \theta}(\theta) = -\dfrac{d \left( \dfrac{1}{r} \right)}{d \theta}(\theta)\;</math> c'est-à-dire l'opposé de <math>\;u'</math>, la 2^ème variable de Binet<ref name="Binet" /> soit finalement <math>\;\dfrac{1}{r^2(\theta)}\;\dfrac{dr}{d \theta}(\theta) = -u'\;</math>» et par suite «<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = -C\;u'\;</math>». {{Proposition|titre=Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M à mouvement à force centrale|contenu={{Al|5}}La composante radiale du vecteur vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un mouvement à force centrale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy\;</math> s'exprime simplement en fonction de la 2^ème variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u' = \dfrac{d \left( \dfrac{1}{r} \right)}{d \theta}\;</math> fonction de <math>\;\theta\;</math>» <math>\;\big(r\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M</math>, <math>\;\theta\;</math> son abscisse angulaire<math>\big)\;</math> et de la constante des aires selon <center>«<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = -C\;u'\;</math> fonction de <math>\;\theta\;</math>» <br />la dépendance par rapport à <math>\;t\;</math> restant localisée dans la constante des aires <br />selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c} V_r(t) & = &-C &\times & u'\\ m \cdot s^{-1} &=& m^2 \cdot s^{-1} & \times & m^{-1}\end{array}\right\rbrace</math>.</center>}} ==== Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M ==== {{Al|5}}La composante orthoradiale de <math>\;\vec{V}_M(t)</math>, le vecteur vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy\;</math> s'exprimant selon «<math>\;V_\theta(t) = \vec{V}_M(t) \cdot \vec{u}_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_\theta(t)\;</math> le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire lié à <math>\;M\;</math> du plan <math>\;xOy</math>, <math>\;r(t)\;</math> étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de <math>\;M\;</math> dans <math>\;xOy\;</math> et <math>\;\theta(t)\;</math> la loi horaire scalaire de variation de l'abscisse angulaire de <math>\;M\;</math> dans ce même plan, nous transformons cette expression par utilisation de la loi des aires selon <math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\dot{\theta}(t)</math>}} <math>= \dfrac{C}{r^2(t)}\;</math>» d'où la réécriture de la composante orthoradiale de <math>\;\vec{V}_M(t)</math> : «<math>\;V_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t) = r(t)\; \dfrac{C}{r^2(t)} = C\, \left[ \dfrac{1}{r(\theta)} \right]\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets, la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{1}{r(\theta)} = u\;</math>», nous en déduisons «<math>\;V_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;u\;</math>». {{Proposition|titre=Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M à mouvement à force centrale|contenu={{Al|5}}La composante orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un mouvement à force centrale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy\;</math> s'exprime simplement en fonction de la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math> fonction de <math>\;\theta\;</math>» <math>\;\big(r\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M</math>, <math>\;\theta\;</math> son abscisse angulaire<math>\big)\;</math> et de la constante des aires selon <center>«<math>\;V_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;u\;</math> fonction de <math>\;\theta\;</math>» <br />la dépendance par rapport à <math>\;t\;</math> restant localisée dans la constante des aires <br />selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c} V_\theta(t) & = &C &\times & u\\ m \cdot s^{-1} &=& m^2 \cdot s^{-1} & \times & m^{-1}\end{array}\right\rbrace</math>.</center>}} === 1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) === {{Al|5}}Pour établir la 1^ère formule de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>celle relative au carré de la vitesse<math>\big)\;</math> du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy</math>, il suffit d’évaluer «<math>\;V_M^2(t)\;</math>» dans lequel <math>\;V_M(t) = \Vert \vec{V}_M(t) \Vert</math>, <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant le vecteur vitesse du point <math>\;M</math>, c'est-à-dire «<math>\;\vec{V}_M(t) = V_r(t)\;\vec{u}_r(t) + V_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>avec}} <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r(t)\,,\, \vec{u}_\theta(t) \right\rbrace\;</math> base polaire lié au point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>, par «<math>\;V_M^2(t) = V_r^2(t) + V_\theta^2(t)\;</math>» en y injectant les 1^ère et 2^ème expressions de Binet<ref name="Binet" /> des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « expression des composantes [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_radiale_du_vecteur_vitesse_de_M|radiale]] et [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_orthoradiale_du_vecteur_vitesse_de_M|orthoradiale]] du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> à savoir «<math>\;V_r(t) = -C\;u'\;</math> et <math>\;V_\theta(t) = C\;u\;</math> toutes deux fonction de <math>\;\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_M^2(t) = \left( -C\;u' \right)^2 + \left( -C\;u \right)^2 = C^2 \left( {u'}^2 + u^2 \right)\;</math>», cette dernière expression constituant la 1^ère formule de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>ou formule de Binet<ref name="Binet" /> relative au carré de la vitesse<math>\big)</math>. {{Proposition|titre=1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) d'un mouvement à force centrale|contenu={{Al|5}}Le carré de la vitesse du point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un mouvement à force centrale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy\;</math> s'exprime simplement en fonction des 1^ère et 2^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> respectivement «<math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math> et <math>\;u' =</math> <math>\dfrac{d \left( \dfrac{1}{r} \right)}{d \theta}\;</math> toutes deux fonction de <math>\;\theta\;</math>» <math>\;\big(r\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M</math>, <math>\;\theta\;</math> son abscisse angulaire<math>\big)\;</math> ainsi que de la constante des aires selon la <u>1^ère formule de Binet</u><ref name="Binet" /> suivante <center>«<math>\;V_M^2(t) = V_r^2(t) + V_\theta^2(t) = C^2 \left( {u'}^2 + u^2 \right)\;</math><ref name="à retenir"> Formule qu'il est souhaitable de retenir et de savoir retrouver <math>\;\big(</math>en rétablissant aussi les expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse<math>\big)</math>.</ref> fonction de <math>\;\theta\;</math>» <br />la dépendance par rapport à <math>\;t\;</math> restant localisée dans le carré de la constante des aires <br />selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c} V_M^2(t) & = &C^2 &\times & \left( {u'}^2 + u^2 \right)\\ m^2 \cdot s^{-2} &=& m^4 \cdot s^{-2} & \times & m^{-2}\end{array}\right\rbrace</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 1^ère formule de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>celle relative au carré de la vitesse<math>\big)\;</math> d'un mouvement à force centrale : en effet «<math>\;V_M^2(t)\;</math> s'exprimant en <math>\;m^2 \cdot s^{-2}\;</math>» et « la dépendance relativement au temps <math>\;t\;</math> se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet<ref name="Binet" />, exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math>» il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1^er facteur correspondant à «<math>\;C^2\;</math> en <math>\;m^4 \cdot s^{-2}\;</math>», le 2^ème facteur devant s'exprimer en <math>\;m^{-2}\;</math> pouvant être, par exemple, représenté par un carré <math>\;\big(</math>ou une somme de {{Nobr|carré<math>\big)\;</math>}} de variables de {{Nobr|Binet<ref name="Binet" />}} c'est en fait «<math>\;\left( {u'}^2 + u^2 \right)\;</math>» <math>\;\ldots</math> === 2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération radiale) === {{Al|5}}Pour établir la 2^ème formule de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>celle relative à l'accélération radiale<math>\big)\;</math> du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy</math>, il suffit d’évaluer «<math>\;a_r(t) = \vec{a}_M(t) \cdot \vec{u}_r(t)\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{a}_M(t)\;</math> est le vecteur accélération du point <math>\;M</math>, encore égal à «<math>\;\vec{a}_M(t) = a_r(t)\;\vec{u}_r(t) + a_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>avec}} <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r(t)\,,\, \vec{u}_\theta(t) \right\rbrace\;</math> base polaire lié au point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\big]</math>, par «<math>\;a_r(t) = \ddot{r}(t) - r(t)\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>»<ref name="accélération radiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (accélération radiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> notée <math>\;\rho\;</math> dans ce paragraphe doit être remplacée par <math>\;r</math>.</ref> dans laquelle il faut expliciter les deux termes «<math>\;\ddot{r}(t)\;</math>» et «<math>\;-r(t)\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» à l'aide des variables de Binet<ref name="Binet" /> ainsi que de la constante des aires en utilisant éventuellement les 1^ère et 2^ème expressions de Binet<ref name="Binet" /> des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « expression des composantes [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_radiale_du_vecteur_vitesse_de_M|radiale]] et [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_orthoradiale_du_vecteur_vitesse_de_M|orthoradiale]] du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> à savoir «<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = -C\;u'\;</math> et <math>\;V_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;u\;</math> toutes deux fonction de <math>\;\theta\;</math>» : * «<math>\;\ddot{r}(t) = \dfrac{d \dot{r}}{dt}(t) = \dfrac{d V_r}{d \theta}(\theta)\; \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{d \left( -C\;u' \right)}{d \theta}(\theta)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» dans laquelle on remplace <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> par son expression tirée de la loi des aires <math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{C}{r^2(t)}</math>, vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1^ère variable de Binet <math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math> selon «<math>\;\dot{\theta}(t) = C\;u^2\;</math> considérée comme fonction de <math>\;\theta\;</math>» soit finalement «<math>\;\ddot{r}(t) = -C\;u''\;C\;u^2 = -C^2\;u^2\;u''\;</math> fonction de <math>\;\theta\;</math>» puis * «<math>\;-r(t)\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle on remplace <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> par son expression tirée de la loi des aires <math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{C}{r^2(t)}</math>, vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1^ère variable de Binet <math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math> selon «<math>\;\dot{\theta}(t) = C\;u^2\;</math> considérée comme fonction de <math>\;\theta\;</math>» soit encore «<math>\;-r(t)\;\dot{\theta}^2\!(t) = -\dfrac{1}{u} \left( C\;u^2 \right)^2 = -C^2\;u^3\;</math> fonction de <math>\;\theta\;</math>» ; {{Al|5}}en conclusion «<math>\;a_r(t) = \ddot{r}(t) - r(t)\;\dot{\theta}^2\!(t) = \left( -C^2\;u^2\;u'' \right) + \left( -C^2\;u^3 \right) = -C^2\;u^2 \left( u'' + u \right)\;</math>», cette dernière expression constituant la 2^ème formule de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>ou formule de Binet<ref name="Binet" /> relative à l'accélération radiale<math>\big)</math>. {{Proposition|titre=2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) d'un mouvement à force centrale|contenu={{Al|5}}L'accélération radiale du point matériel <math>\;M\;</math> décrivant un mouvement à force centrale <math>\;\big(</math>de centre de force <math>\;O\big)</math>, de constante des aires <math>\;C \neq 0</math>, dans le plan <math>\;xOy\;</math> s'exprime simplement en fonction des 1^ère et 3^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> respectivement «<math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math> et <math>\;u'' =</math> <math>\dfrac{d^2 \left( \dfrac{1}{r} \right)}{d \theta^2}\;</math> toutes deux fonction de <math>\;\theta\;</math>» <math>\;\big(r\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M</math>, <math>\;\theta\;</math> son abscisse angulaire<math>\big)\;</math> ainsi que de la constante des aires selon la <u>2^ème formule de Binet</u><ref name="Binet" /> suivante <center>«<math>\;a_r(t) = \ddot{r}(t) - r(t)\;\dot{\theta}^2\!(t) = -C^2\;u^2 \left( u'' + u \right)\;</math><ref name="à retenir" /> fonction de <math>\;\theta\;</math>» <br />la dépendance par rapport à <math>\;t\;</math> restant localisée dans le carré de la constante des aires <br />selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c c c} a_r(t) & = &-C^2 &\times & u^2 & \times &\left( u'' + u \right)\\ m \cdot s^{-2} &=& m^4 \cdot s^{-2} & \times & m^{-2} & \times & m^{-1}\end{array}\right\rbrace</math>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 2^ème formule de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>celle relative à l'accélération radiale<math>\big)\;</math> d'un mouvement à force centrale : en effet «<math>\;a_r(t)\;</math> s'exprimant en <math>\;m \cdot s^{-2}\;</math>» et « la dépendance relativement au temps <math>\;t\;</math> se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet<ref name="Binet" />, exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math>» il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1^er facteur correspondant à «<math>\;C^2\;</math> en <math>\;m^4 \cdot s^{-2}\;</math>», le 2^ème facteur devant s'exprimer en <math>\;m^{-3}\;</math> pouvant être, par exemple, représenté par un cube <math>\;\big(</math>ou un carré multiplié par une somme<math>\big)\;</math> de variables de {{Nobr|Binet<ref name="Binet" />}} c'est en fait «<math>\;-u^2 \left(u'' + u \right)\;</math>» <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}On rappelle que l’accélération orthoradiale est toujours nulle dans un mouvement à force centrale ; on pourra se souvenir de cela pour retenir la forme semi-intégrée de l’accélération orthoradiale «<math>\;a_\theta(t) = \dfrac{1}{r(t)}\; \dfrac{d \left( r^2\;\dot{\theta} \right)}{dt}(t)\;</math>» dont le 2^ème facteur est la dérivée temporelle de l'expression intervenant dans la loi des aires «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>laquelle étant constante dans un mouvement à force centrale entraîne une dérivée temporelle nulle<math>\big)\;</math> expression en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math> conduisant à une dérivée temporelle en «<math>\;\dfrac{m^2 \cdot s^{-1}}{s} = m^2 \cdot s^{-2}\;</math>» d'où la nécessité d'un 1^er facteur devant assurer le bon dimensionnement du produit en accélération c'est-à-dire en <math>\;m \cdot s^{-2}</math>, « ce 1^er facteur devant s’exprimer en <math>\;m^{-1}\;</math>» <math>\Leftarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{r(t)}\;</math>» est un candidat satisfaisant en dimension<ref> Ce n’est évidemment pas une démonstration mais un moyen mnémotechnique pour retenir le résultat.</ref>. === Exemple d’utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale === {{Al|5}}Soit un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement à force centrale, de centre de force <math>\;O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de constante des aires <math>\;C \neq 0\;</math> assurant que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fait dans un plan fixe du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> ; ayant choisi ce plan comme plan <math>\;xOy\;</math> et y adoptant le repérage polaire de <math>\;M</math> <math>\;\Big[\left\lbrace \vec{u}_r(t)\,,\, \vec{u}_\theta(t) \right\rbrace\;</math> étant la base polaire lié au point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t) \right\rbrace\;</math> ses coordonnées polaires au même instant <math>\;t\Big]</math>, nous appliquons la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sachant que la force centrale appliquée à <math>\;M\;</math> s'exprime selon «<math>\;\vec{F}(M) =</math> <math>F(r,\,\theta)\; \vec{u}_r\;</math>», ce qui nous donne, en projetant cette relation sur <math>\;\vec{u}_r</math>, «<math>\;F(r,\,\theta) = m\;a_r(t)\;</math>», <math>\;m\;</math> étant la masse de <math>\;M\;</math> et <math>\;a_r(t)\;</math> son accélération radiale à l'instant <math>\;t</math> ; {{Al|5}}le mouvement étant à force centrale nous pouvons utiliser les variables de Binet<ref name="Binet" /> permettant d'expliciter l'accélération radiale de <math>\;M\;</math> selon la 2^ème formule de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;a_r(t) = -C^2\;u^2 \left( u'' + u \right)\;</math>», la composante de la force s'exprimant en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> et de la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math>» selon «<math>\;F(r,\,\theta) = F\! \left( \dfrac{1}{u},\,\theta \right)\;</math>» soit finalement <center>l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> «<math>\;F\! \left( \dfrac{1}{u},\,\theta \right) = -m\;C^2\;u^2 \left( u'' + u \right)\;</math>»<ref> Ceci n’est pas toujours facile à intégrer <math>\;\big[</math>tout dépend de la forme de «<math>\;F(r,\, \theta)\;</math>»<math>\big]</math> ; parmi les deux exemples que nous traiterons en cours « force newtonienne et force attractive <math>\;\propto\;</math> à <math>\;r\;</math>», seul le 1^er donne une équation différentielle intégrable facilement <math>\;\big[</math>traitement évoqué dans ce paragraphe et exposé en détail dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#En_complément_:_détermination_de_la_nature_de_la_trajectoire_par_application_de_la_r.f.d.n._et_utilisation_de_la_formule_de_Binet_relative_à_l'accélération_radiale,_discussion_de_la_nature_suivant_les_conditions_de_lancement|en complément : détermination de la nature de la trajectoire par application de la r.f.d.n. et utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale, discussion de la nature suivant les conditions de lancement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le 2^nd sera vu en complément dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#En_complément_:_oscillateur_harmonique_spatial_(non_amorti),_détermination_de_son_mouvement_par_r.f.d.n.,_de_ses_demi-grand_axe_et_demi-petit_axe_par_étude_énergétique_utilisant_l'énergie_potentielle_effective|en complément : oscillateur harmonique spatial (non amorti), détermination de son mouvement par r.f.d.n., de ses demi-grand axe et demi-petit axe par étude énergétique utilisant l'énergie potentielle effective]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous y verrons que l'équation différentielle en <math>\;u(\theta)\;</math> n'est guère intégrable facilement, la méthode pour déterminer le mouvement nécessitant de passer en cartésien <math>\;\ldots</math></ref></center> {{Al|5}}<u>Un exemple aboutissant à une résolution simplifiée par utilisation de la 2^ème formule de Binet</u><ref name="Binet" /> <math>\;\rightsquigarrow\;</math> mouvement à force centrale d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonienne <math>\;\vec{F}(M) =</math> <math>\dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle non nulle <math>\;\big[</math>si <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math> le centre de force <math>\;O\;</math> est attractif et si <math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math> il est répulsif<math>\big]</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Un exemple }}la composante radiale de la force s'écrivant, en utilisant la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math>», «<math>\;F(r \cancel{,\,\theta}) = \dfrac{k}{r^2} = k\;u^2\;</math>» conduit à l'équation différentielle du 2^ème ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le champ de force newtonienne «<math>\;k\;u^2 = -m\;C^2\;u^2 \left( u'' + u \right)\;</math>» soit encore, après simplification par <math>\;u^2\;</math> et normalisation, <center>«<math>\;u''(\theta) + u(\theta) = -\dfrac{k}{m\;C^2}\;</math>» c'est-à-dire <br />une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante<ref> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Un exemple }}la résolution ne présentant aucune difficulté nous obtenons la solution de cette équation selon <math>\;u(\theta) = u_f + u_\mathit{l}(\theta)\;</math> avec la solution forcée de même forme que l'excitation <math>\;u_f = -\dfrac{k}{m\;C^2}\;</math> et la solution libre <math>\;u_\mathit{l}(\theta) = A\;\cos(\theta + \psi)\;</math><ref> La solution de l'équation homogène «<math>\;{u_\mathit{l}}''(\theta) + u_\mathit{l}(\theta) = 0\;</math>» étant purement sinusoïdale de « pulsation angulaire propre égale à <math>\;1\;</math>» <math>\;\big[</math>l'équation caractéristique étant «<math>\;s^2 + 1 = 0\;</math>» de solutions purement imaginaires «<math>\;\pm i\;</math>»<math>\big]</math>.</ref> avec <math>\;A\;</math> et <math>\;\psi\;</math> constantes réelles d'intégration soit finalement <center>«<math>\;u(\theta) = -\dfrac{k}{m\;C^2} + A\;\cos(\theta + \psi)\;</math>» avec <math>\;A\;</math> et <math>\;\psi\;</math> constantes à déterminer à l'aide des C.I<ref name="C.I." />.{{,}}<ref name="C.I. - bis"> Les conditions initiales portent sur les valeurs de <math>\;u\;</math> et <math>\;u'\;</math> pour <math>\;\theta = 0\;</math> mais si on choisit <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passant par <math>\;M_0\;</math> et orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0</math>, la valeur de <math>\;\theta\;</math> pour <math>\;t = 0\;</math> est nulle et les conditions pour <math>\;\theta = 0\;</math> sont aussi celles pour <math>\;t = 0</math> ;<br>{{Al|20}}les deux C.I. à utiliser, dans le cas où <math>\;\theta(t = 0) = 0</math>, sont «<math>\;u(\theta = 0) = \dfrac{1}{r_0}\;</math>» <math>\;\Rightarrow</math> <math>\;-\dfrac{k}{m\;C^2} + A\;\cos(\psi) = \dfrac{1}{r_0}\;</math> soit encore «<math>\;A\;\cos(\psi) = \dfrac{1}{r_0} + \dfrac{k}{m\;C^2}\;</math>» et «<math>\;u'(\theta = 0) =</math> <math>\dfrac{V_r(t = 0)}{-C}\;</math>» <math>\;\Rightarrow</math> <math>\;-A\;\sin(\psi) = -\dfrac{V_r(t = 0)}{C}\;</math> soit encore «<math>\;A\;\sin(\psi) = \dfrac{V_r(t = 0)}{C}\;</math>» permettant de déterminer <math>\;A\;</math> et <math>\;\psi</math> <math>\;\bigg[</math>ou <math>\;A' = -A\;\dfrac{m\;C^2}{k}\;</math> et <math>\;\psi\bigg]\;\ldots</math></ref> <br />d'où, en revenant à la coordonnée polaire «<math>\;r\;</math>» du point <math>\;M\;</math> par «<math>\;r(\theta) = \dfrac{1}{u(\theta)}\;</math>», <br /><math>\;r(\theta) = \dfrac{1}{-\dfrac{k}{m\;C^2} + A\;\cos(\theta + \psi)} = \dfrac{-\dfrac{m\;C^2}{k}}{1 + A'\;\cos(\theta + \psi)}\;</math><ref> On a posé «<math>\;A' = -A\;\dfrac{m\;C^2}{k}\;</math>».</ref> avec <math>\;A'\;</math> et <math>\;\psi\;</math> constantes à déterminer à l'aide des C.I<ref name="C.I." />.{{,}}<ref name="C.I. - bis" />{{,}}<ref> La nature de la trajectoire sera précisée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#En_complément_:_détermination_de_la_nature_de_la_trajectoire_par_application_de_la_r.f.d.n._et_utilisation_de_la_formule_de_Binet_relative_à_l'accélération_radiale,_discussion_de_la_nature_suivant_les_conditions_de_lancement|en complément : détermination de la nature de la trajectoire par application de la r.f.d.n. et utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale, discussion de la nature suivant les conditions de lancement]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>.</center> == 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique == === Condition pour que la force centrale soit conservative === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Nous nous plaçons d'abord dans le cas où la force centrale agissant sur le point matériel <math>\;M\;</math> est la seule <math>\Rightarrow</math> le point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement à force centrale de centre de force <math>\;O</math>, décrit une trajectoire plane <math>\;\big(</math>ou rectiligne<math>\big)</math> ; {{Al|10}}avec le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Choix_du_repère_cartésien_lié_au_référentiel_d’étude_dans_lequel_O_est_fixe|choix du repère cartésien lié au référentiel d'étude dans lequel O est fixe]] » précisé plus haut dans le chapitre, la force centrale s'exerçant sur <math>\;M\;</math> s’écrit «<math>\;\vec{F}(M) = F(r,\, \theta)\; \vec{u}_r\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{u}_r\;</math> est le vecteur unitaire radial lié à <math>\;M\;</math> dans son repérage polaire de pôle <math>\;O</math>, <math>\;\left( r\,,_,\theta \right)\;</math> les coordonnées polaires de <math>\;M</math> ; {{Al|10}}on en déduit le travail élémentaire de la force «<math>\;\vec{F}(M)\;</math>» lors d'un déplacement élémentaire quelconque de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> «<math>\;\delta W(\vec{F}) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = F(r,\, \theta)\; dr\;</math>» et cette forme différentielle est une différentielle de fonction si «<math>\;F(r,\, \theta)\;</math> est indépendant de <math>\;\theta\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\delta W(\vec{F}) = F(r,\, \theta)\; dr\;</math>» s'écrivant encore «<math>\;\delta W(\vec{F}) = F(r,\, \theta)\; dr + 0\;d \theta\;</math>» et la condition nécessaire pour que cette forme différentielle soit une différentielle de fonction étant l’égalité des dérivées croisées <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\left( \dfrac{\partial F}{\partial \theta} \right)_{\!r}\!\left( r,\,\theta \right) = \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial r} \right)_{\!\theta}\!\left( r,\,\theta \right) = 0\;</math>» nous en déduisons que «<math>\;F(r,\, \theta)\;</math> doit être indépendant de <math>\;\theta\;</math>» C.Q.F.V. <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Vérifier<math>\big)</math> <math>\;\Big\{</math>cette condition nécessaire est suffisante pour les fonctions utilisées en physique car, pour celles-ci, l'égalité des dérivées croisées est vérifiée sur tout ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de leur domaine de définition <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}</math>.</ref>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Dans le cas où la force centrale agissant sur le point matériel <math>\;M\;</math> n'est pas la seule, le point matériel <math>\;M\;</math> n'ayant pas, a priori, un mouvement à force centrale, ce dernier n'est pas nécessairement plan et il convient de maintenir le repérage sphérique de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» lié à <math>\;M\;</math> d'où l'expression de la force centrale «<math>\;\vec{F}(M) = F(r,\, \theta,\,\varphi)\; \vec{u}_r\;</math>» dans laquelle <math>\;\vec{u}_r\;</math> est le vecteur unitaire radial lié à <math>\;M\;</math> dans son repérage sphérique de pôle <math>\;O</math>, <math>\;\left( r\,,_,\theta\,,\,\varphi \right)\;</math> les coordonnées sphériques de <math>\;M</math> ; {{Al|10}}on en déduit le travail élémentaire de la force «<math>\;\vec{F}(M)\;</math>» lors d'un déplacement élémentaire quelconque de <math>\;M\;</math> dans l'espace «<math>\;\delta W(\vec{F}) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = F(r,\, \theta,\, \varphi)\; dr\;</math>» et cette forme différentielle est une différentielle de fonction si «<math>\;F(r,\, \theta,\, \varphi)\;</math> est indépendant de <math>\;\theta\;</math> et de <math>\;\varphi\;</math>»<ref> En effet «<math>\;\delta W(\vec{F}) = F(r,\, \theta,\, \varphi)\; dr\;</math>» s'écrivant encore «<math>\;\delta W(\vec{F}) = F(r,\, \theta,\, \varphi)\; dr + 0\;d \theta + 0\;d \varphi\;</math>» et la condition nécessaire pour que cette forme différentielle soit une différentielle de fonction étant l’égalité des dérivées croisées <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\left( \dfrac{\partial F}{\partial \theta} \right)_{\!r,\,\varphi}\!\left( r,\,\theta,\, \varphi \right) = \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\!\left( r,\,\theta \right) = 0\;</math>» ainsi que «<math>\;\left( \dfrac{\partial F}{\partial \varphi} \right)_{\!r,\,\theta}\!\left( r,\,\theta,\, \varphi \right) = \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial r} \right)_{\!\theta,\,\varphi}\!\left( r,\,\theta,\,\varphi \right) = 0\;</math>» nous en déduisons que {{Nobr|«<math>\;F(r,\, \theta,\,\varphi)\;</math>}} doit être indépendant de <math>\;\theta\;</math> et de <math>\;\varphi\;</math>» C.Q.F.V. <math>\;\big(</math>Ce Qu’il Fallait Vérifier<math>\big)</math> <math>\;\Big\{</math>cette condition nécessaire est suffisante pour les fonctions utilisées en physique car, pour celles-ci, l'égalité des dérivées croisées est vérifiée sur tout ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] de leur domaine de définition <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\Big\}</math>.</ref>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En conclusion « la condition pour que la force centrale soit conservative » est que « <u>l'intensité de la force ne dépende que de</u> <math>\;r\;</math>» soit «<math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math>» en repérage polaire du plan du mouvement à force centrale du point matériel <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>ou en repérage sphérique dans le cas où le point matériel sur lequel la force centrale agit n'a pas un mouvement à force centrale<math>\big]</math>. === Définition de l’énergie potentielle « U(r) » dont « dérive » la force centrale conservative et exemples === {{Al|5}}L'énergie potentielle «<math>\;U(r)\;</math>» dont « dérive » la force centrale conservative appliquée au point matériel <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{F}(M) = F(r)\; \vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vec{u}_r\;</math> le vecteur unitaire radial lié à <math>\;M</math>, <math>\;r\;</math> sa coordonnée radiale de son repérage polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» dans le plan <math>\;xOy\;</math> du mouvement de <math>\;M\big)\;</math> est définie par «<math>\;\delta W(\vec{F}) = F(r)\;dr = -dU\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU}{dr}(r) = -F(r)\;</math>» d'où, après intégration, <center>«<math>\;U(r) = \displaystyle\int^r -F(r')\;dr'\;</math>» avec la nécessité de préciser sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. la valeur de la variable pour laquelle l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref>.</center> {{Al|5}}<u>Exemples de force centrale conservative</u> : on vérifie que les forces des exemples cités dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Exemples|exemples]] (de mouvement à force centrale) » plus haut dans ce chapitre sont effectivement conservatives ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemples de force centrale conservative : }}<math>\;\succ\;</math> force de rappel linéaire relativement à un point fixe <math>\;O</math> : «<math>\;\vec{F}(M) = -k\;\overrightarrow{OM} = - k\;r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k = cste > 0\;</math>», le signe «<math>\;-\;</math>» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «<math>\;k\;r\;</math>», étant toujours «<math>\;> 0\;</math> pour <math>\;M \neq O\;</math>» la force est « centripète » relativement au point <math>\;O</math>, conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel <math>\;M\big]</math> ; <math>\;F(r) = -k\;r\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> est effectivement conservative <math>\;\big[</math>que le mouvement du point matériel sur lequel elle s'applique soit à force centrale ou non<math>\big]\;</math> et l'énergie potentielle dont elle « dérive » est «<math>\;U(r) = \displaystyle\int^r k\;r'\;dr' = \dfrac{1}{2}\;k\;r^2 + cste\;</math>» soit, « en choisissant sa référence en <math>\;O</math>, <math>\;U(r) = \dfrac{1}{2}\;k\;r^2\;</math>» <math>\;\big[</math>où <math>\;r = OM\;</math> que ce soit en repérage polaire du plan <math>\;xOy\;</math> ou sphérique<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemples de force centrale conservative : }}<math>\;\succ\;</math> force newtonienne de gravitation ou électrostatique, le centre de force étant en <math>\;O</math> : «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k = cste\;</math> algébrique <math>\;\neq 0\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>«<math>\;k < 0\;</math>» si attractive comme le cas d'une force d'attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>par exemple créée par le Soleil de masse <math>\;m_{\text{☉}}\;</math> sur un point matériel de masse <math>\;m\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}\;m\;</math>», <math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la constante de gravitation universelle<math>\big]\;</math> ou le cas d'une force électrostatique entre points de charge de signe contraire <math>\;\bigg[</math>par exemple créée par une charge ponctuelle en <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O > 0\;</math> sur une autre charge ponctuelle en <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q < 0</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;q_O < 0\;</math> et <math>\;q > 0\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;k = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0} < 0\;</math>», <math>\;\varepsilon_0\;</math> étant la permittivité diélectrique du vide<ref name="permittivité d'un milieu" /><math>\bigg]\;</math> et «<math>\;k > 0\;</math>» si répulsive comme le cas d'une force électrostatique entre points de charge de même signe <math>\;\bigg[</math>par exemple créée par une charge ponctuelle en <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O > 0\;</math> sur une autre charge ponctuelle en <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q > 0</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;q_O < 0\;</math> et <math>\;q < 0\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;k = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0} > 0\;</math>», <math>\;\varepsilon_0\;</math> étant la permittivité diélectrique du vide<ref name="permittivité d'un milieu" /><math>\bigg]\bigg\}</math> ; <math>\;F(r) = \dfrac{k}{r^2}\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> est effectivement conservative <math>\;\big[</math>que le mouvement du point matériel sur lequel elle s'applique soit à force centrale ou non<math>\big]\;</math> et l'énergie potentielle dont elle « dérive » est «<math>\;U(r) = \displaystyle\int^r -\dfrac{k}{{r'}^2}\;dr' = \dfrac{k}{r} + cste\;</math>» soit, « en choisissant sa référence à l'infini de <math>\;O</math>, <math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\;\big[</math>où <math>\;r = OM\;</math> que ce soit en repérage polaire du plan <math>\;xOy\;</math> ou sphérique<math>\big]</math>. === 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique === {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, un mouvement à force centrale conservative <math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math> de centre de force <math>\;O</math> <math>\;\big(\vec{u}_r\;</math> étant le vecteur unitaire radial de la base polaire liée à <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> du mouvement de <math>\;M\;</math> avec <math>\;r\;</math> la coordonnée radiale de ce dernier<math>\big)</math>, il possède, en plus de son énergie cinétique «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t)\;</math>», une réserve d'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative <math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math> c'est-à-dire «<math>\;U(r) = \displaystyle\int^r -F(r')\;dr'\;</math> avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à préciser », soit au total une énergie mécanique dans le champ de la force conservative «<math>\;E_m(t) = K_M(t) + U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t) + \displaystyle\int^{r(t)} -F(r')\;dr'\;</math>» ; {{Al|5}}en absence d'autre force que la force centrale conservative, le point matériel <math>\;M\;</math> étant « à mouvement conservatif »<ref name="mouvement conservatif d'un point matériel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Définition_d'un_mouvement_conservatif|définition d'un mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, il y a conservation de l’énergie mécanique du point <math>\;M\;</math><ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Intégrale_1ère_«_énergétique_»_d'un_point_matériel_à_mouvement_conservatif|intégrale 1^ère énergétique d'un point à mouvement conservatif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;E_m(t) = cste,\;\;\forall\;t\;</math>» ou encore «<math>\;E_m(t) = E_m(0)\;</math> avec <math>\;E_m(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2 + U(r_0)\;</math> dans laquelle <math>\;U(r_0) = \displaystyle\int^{r_0} -F(r')\;dr'\;</math>», ceci constituant la 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative. {{Proposition|titre=2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative|contenu={{Al|5}}Il existe une 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à force centrale quand cette dernière est conservative <math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen correspondant à la <u>conservation de l'énergie mécanique du point matériel</u> <math>\;M\;</math> <u>dans le champ de force conservative</u> c'est-à-dire « conservation de <math>\;E_m(t) = K_M(t) + U\! \left[ r(t) \right]\;</math> relativement à la variation du temps <math>\;t\;</math>» avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t)\;</math> l'énergie cinétique de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;U(r) = \displaystyle\int^r -F(r')\;dr'</math> <math>\;\big(</math>avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à préciser<math>\big)\;</math> l'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative soit, mathématiquement, <center>«<math>\;E_m(t) = E_m(0),\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;E_m(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0)\;</math> dans laquelle <math>\;U(r_0) = \displaystyle\int^{r_0} -F(r')\;dr'\;</math>» ou, <br />«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t) + U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0),\;\;\forall\;t\;</math>» dans laquelle <math>\;U\! \left[ r(t) \right] = \displaystyle\int^{r(t)} -F(r')\;dr'\;</math>».</center>}} === Exemple d’utilisation de la formule de Binet relative au carré de la vitesse === {{Al|5}}Soit un point matériel <math>\;M\;</math> ayant un mouvement à force centrale conservative, de centre de force <math>\;O\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, de constante des aires <math>\;C \neq 0\;</math> assurant que le mouvement de <math>\;M\;</math> soit « conservatif »<ref name="mouvement conservatif d'un point matériel" /> dans un plan fixe du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math> ; ayant choisi ce plan comme plan <math>\;xOy\;</math> et y adoptant le repérage polaire de <math>\;M</math> <math>\;\Big[\left\lbrace \vec{u}_r(t)\,,\, \vec{u}_\theta(t) \right\rbrace\;</math> étant la base polaire lié au point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t) \right\rbrace\;</math> ses coordonnées polaires au même instant <math>\;t\Big]</math>, nous écrivons la conservation de l'énergie mécanique<ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif" /> du point matériel <math>\;M\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force centrale conservative <math>\;\vec{F}(M) = F(r)\; \vec{u}_r\;</math> s'exprimant selon «<math>\;U(r) = \displaystyle\int^r -F(r')\;dr'</math> <math>\;\big(</math>avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à préciser<math>\big)\;</math>», soit {{Nobr|«<math>\;E_m(t) = E_m(0),\;</math>}} <math>\;\forall\;t\;</math>» avec «<math>\;E_m(t) = K_M(t) + U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t) + \displaystyle\int^{r(t)} -F(r')\;dr'\;</math>» et «<math>\;E_m(0) = K_M(0) + U(r_0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + \displaystyle\int^{r_0} -F(r')\;dr'\;</math>» ; {{Al|5}}le mouvement étant à force centrale nous pouvons utiliser les variables de Binet<ref name="Binet" /> permettant d'expliciter le carré de la vitesse de <math>\;M\;</math> selon la 1^ère formule de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;V_M^2\!(t) = C^2\, \left( {u'}^2 + u^2 \right)\;</math>», l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force centrale conservative s'exprimant en fonction de la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;r\;</math> peut se réécrire en fonction de la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> {{Nobr|«<math>\;u =</math>}} <math>\dfrac{1}{r}\;</math>» selon «<math>\;U\! \left[ \dfrac{1}{u} \right] = \displaystyle\int^{\frac{1}{u}} -F(r')\;dr'\;</math>» soit finalement <center>l'intégrale 1^ère spatiale en <math>\;u(\theta)\;</math> <math>\;\big[</math>ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\big]\;</math> <br />soit «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right] + U\! \left[ \dfrac{1}{u(\theta)} \right] = E_m(0)\;</math>»<ref> Ceci est rarement facile à intégrer ; parmi les deux exemples que nous traiterons en cours « force newtonienne et force attractive <math>\;\propto\;</math> à <math>\;r\;</math>», aucune ne s'intègre simplement par utilisation de cette intégrale 1^ère spatiale <math>\;\big[</math>traitement évoqué dans ce paragraphe, dans le cas de la force newtonienne on observe une intégration possible mais nettement plus compliquée que celle utilisant la r.f.d.n. avec la 2^ème formule de Binet, alors que, dans le cas d'une force attractive «<math>\;\propto\;</math> à <math>\;r\;</math>» l'intégration n'est guère abordable dans le cadre de l'exposé<math>\big]\;\ldots</math></ref> <br />avec «<math>\;E_m(0) = K_M(0) + U(r_0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + \displaystyle\int^{r_0} -F(r')\;dr'\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Un exemple à résolution abordable par utilisation de la 1^ère formule de Binet</u><ref name="Binet" />{{,}}<ref> Bien que plus compliquée que celle utilisant la 2^ème formule de Binet.</ref> <math>\;\rightsquigarrow\;</math> mouvement à force centrale conservative d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonienne <math>\;\vec{F}(M) =</math> <math>\dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> « dérivant » du champ d'énergie potentielle newtonienne <math>\;U(M) = \dfrac{k}{r}\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle non nulle <math>\;\big[</math>si <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math> le centre de force <math>\;O\;</math> est attractif, l'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> étant toujours <math>\;< 0\;</math> et si <math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le centre de force <math>\;O\;</math> est répulsif, l'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> étant toujours <math>\;> 0\;</math><math>\big]</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Un exemple }}l'intégrale 1^ère spatiale en <math>\;u(\theta)\;</math> <math>\;\big[</math>ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right] + U\! \left[ \dfrac{1}{u(\theta)} \right] = E_m(0)\;</math>» se réécrit, avec «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U\! \left[ \dfrac{1}{u(\theta)} \right] = \dfrac{k}{\dfrac{1}{u(\theta)}} = k\;u(\theta)\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right] + k\;u(\theta) = E_m(0)\;</math>» laquelle, en absence de simplification par une grandeur dépendant de la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" />, reste une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> dont la résolution compliquée est néanmoins abordable<ref> <u>Quelques éléments de résolution de</u> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right] + k\;u(\theta) = E_m(0)\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;{u'}^2(\theta) + u^2(\theta) + \dfrac{2\;k}{m\;C^2}\;u(\theta) = \dfrac{2\;E_m(0)}{m\;C^2}\;</math>» ou, en reconnaissant dans la somme du 2^ème et 3^ème termes le début du développement du carré d'une somme, «<math>\;{u'}^2(\theta) + \left[ u(\theta) + \dfrac{k}{m\;C^2} \right]^{\!2} =</math> <math>\dfrac{2\;E_m(0)}{m\;C^2} - \dfrac{k^2}{m^2\;C^4}\;</math>» soit, en prenant <math>\;\upsilon(\theta) = u(\theta) + \dfrac{k}{m\;C^2}\;</math> comme nouvelle fonction à déterminer <math>\Rightarrow</math> <math>\;\upsilon'(\theta) = u'(\theta)\;</math> et en posant <math>\;\Lambda = \dfrac{2\;E_m(0)}{m\;C^2} - \dfrac{k^2}{m^2\;C^4}</math>, «<math>\;{\upsilon'}^2(\theta) + \upsilon^2(\theta) = \Lambda\;</math>» <math>\;\big[</math>constante nécessairement <math>\;> 0\;</math> car la solution doit exister<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\bigg\vert \dfrac{d \upsilon}{d \theta} \bigg\vert = \sqrt{\Lambda - \upsilon^2(\theta)}\;</math>» ce qui s'intègre par séparation des variables <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre]] (séparation des variables) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> soit <math>\;d \theta = \pm\dfrac{d \upsilon}{\sqrt{\Lambda - \upsilon^2}}\;</math> ou «<math>\;d \theta = \pm\dfrac{d\! \left( \dfrac{\upsilon}{\sqrt{\Lambda}} \right)}{\sqrt{1 - \left( \dfrac{\upsilon}{\sqrt{\Lambda}} \right)^{\!\!2}}}\;</math>» le 1^er membre s'intégrant en <math>\;\theta\;</math> et le 2^nd membre en <math>\;\pm \arcsin\! \left( \dfrac{\upsilon}{\sqrt{\Lambda}} \right) + cste</math>, <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_sinus_:_fonction_arcsinus|fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;\ldots</math></ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Un exemple à résolution trop compliquée par utilisation de la 1^ère formule de Binet</u><ref name="Binet" /> <math>\;\rightsquigarrow\;</math> mouvement à force centrale conservative d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force attractive <math>\;\propto\;</math> à <math>\;r</math> <math>\;\vec{F}(M) = -k\;r\;\vec{u}_r\;</math> « dérivant » du champ d'énergie potentielle <math>\;U(M) = \dfrac{1}{2}\;k\;r^2\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle <math>\;U(M)\;</math> étant toujours <math>\;> 0</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Un exemple }}l'intégrale 1^ère spatiale en <math>\;u(\theta)\;</math> <math>\;\big[</math>ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right] + U\! \left[ \dfrac{1}{u(\theta)} \right] = E_m(0)\;</math>» se réécrit, avec «<math>\;U(r) = \dfrac{1}{2}\;k\;r^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U\! \left[ \dfrac{1}{u(\theta)} \right] = \dfrac{1}{2}\;k \left[ \dfrac{1}{u(\theta)} \right]^{\!2} = \dfrac{k}{2\;u^2(\theta)}\;</math>», selon «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right] + \dfrac{k}{2\;u^2(\theta)} = E_m(0)\;</math>» laquelle, en absence de simplification par une grandeur dépendant de la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" />, reste une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> dont la résolution est non abordable dans cet exposé <math>\;\ldots</math> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinét. pour un syst. déformable de points mat.]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Énergie pot. effective, états lié et de diffusion]] }} m4jh967aq6j8rmbd63xuux52to992iu 0 74875 987232 986687 2026-10-10T18:24:01Z Phl7605 31541 987232 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 15 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes, <br />l'espace physique étant <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Rappel de la 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale conservative, conservation de son énergie mécanique == {{Proposition|titre=2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale conservative|contenu={{Al|5}}Il existe une 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à force centrale conservative <math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen<ref> La 1^ère intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale conservative <math>\;\big(</math>ou non conservative<math>\big)\;</math> étant la conservation du moment cinétique vectoriel du point <math>\;M\;</math> relativement au centre de force <math>\;O\;</math> «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0),\;\;\forall\;t\;</math>», ceci ayant pour conséquence la nature plane <math>\;\big(</math>ou rectiligne<math>\big)\;</math> du mouvement du point <math>\;\Big[</math>si <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> est <math>\;\neq \vec{0}</math>, le mouvement est plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{\sigma}_O(0)</math>, on choisit alors <math>\;\vec{u}_z\;</math> colinéaire à ce dernier orientant les angles du plan du mouvement de <math>\;M</math>, plan noté <math>\;xOy\;</math> avec <math>\vec{u}_x\;</math> colinéaire à <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et de même sens, alors que si <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> est <math>\;= \vec{0}</math>, le mouvement est rectiligne le long de <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> sur laquelle on choisit <math>\vec{u}_x\;</math> colinéaire à <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et de même sens<math>\Big]\;</math> ainsi que l'applicabilité, à ce point repéré en polaire de pôle <math>\;O\;</math> du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel <math>\;M\;</math> décrit son mouvement, de la loi des aires <math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> avec <math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0) \cdot \vec{u}_z}{m}\;</math> constante des aires du mouvement de <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>le mouvement est plan si <math>\;C\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math> et rectiligne si <math>\;C\;</math> est <math>\;= 0\big]</math>.</ref> correspondant à la <u>conservation de l'énergie mécanique du point matériel</u> <math>\;M\;</math> <u>dans le champ de force conservative</u> c'est-à-dire « conservation de <math>\;E_m(t) = K_M(t) + U\! \left[ r(t) \right]\;</math> relativement à la variation du temps <math>\;t\;</math>» avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t)\;</math> l'énergie cinétique de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;U(r) = \displaystyle\int^r -F(r')\;dr'</math> <math>\;\big(</math>avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. la valeur de la variable pour laquelle l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> à préciser<math>\big)\;</math> l'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative soit, mathématiquement, <center>«<math>\;E_m(t) = E_m(0),\;\;\forall\;t\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_à_force_centrale_conservative_:_conservation_de_son_énergie_mécanique_2|2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale conservative : conservation de son énergie mécanique]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;E_m(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0)\;</math> dans laquelle <math>\;U(r_0) = \displaystyle\int^{r_0} -F(r')\;dr'\;</math>» ou, <br />«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;V_M^2\!(t) + U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0),\;\;\forall\;t\;</math>» dans laquelle <math>\;U\! \left[ r(t) \right] = \displaystyle\int^{r(t)} -F(r')\;dr'\;</math>».</center>}} == Expression de la partie orthoradiale de l’énergie cinétique d’un point ayant un mouvement à force centrale en fonction de sa distance au centre de force == {{Al|5}}La partie orthoradiale de l'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement à force centrale étant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; V_\theta^2(t)\;</math>» se réécrit, avec utilisation de la loi des aires «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{C}{r^2(t)}\;</math>» <math>\;\big[C\;</math> étant la constante des aires<ref name="définition de la constante des aires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_de_la_constante_des_aires_«_C_»|définition de la constante des aires “ C ”]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta(t) \right\rbrace\;</math> les lois horaires polaires du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> contenant la trajectoire du point <math>\;M\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_\theta(t) = r(t)\;\dot{\theta}(t) = r(t)\;\dfrac{C}{r^2(t)} =</math> {{Nobr|<math>\dfrac{C}{r(t)}\;</math>»<ref> C’est la même démarche que celle utilisée pour exprimer «<math>\;V_\theta(t)\;</math> en variables de Binet » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_orthoradiale_du_vecteur_vitesse_de_M|expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais ici nous n'employons pas ces dernières ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Jacques_Philippe_Marie_Binet|Jacques Philippe Marie Binet]] (1786 - 1856)''' mathématicien et astronome français, on lui doit, dans le domaine des mathématiques, entre autres, une étude assez détaillée des fonctions eulériennes {{Nobr|<math>\;\big[</math>[[w:Fonction_gamma|fonction gamma]]}} et [[w:Fonction_bêta|fonction bêta]]<math>\big]\;</math> ainsi que le calcul du n^ième terme de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] et, dans le domaine de l'astronomie, ces formules connues sous le nom de « formules de Binet » permettant d'exprimer les composantes polaires de la vitesse et de l'accélération quand cette dernière est centrale ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonardo__Fibonacci|Leonardo Fibonacci]] (vers 1175 - vers 1250)''' mathématicien italien connu pour son introduction de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] mais a aussi joué un rôle essentiel pour insérer le [[w:Mathématiques_arabes|savoir mathématique des musulmans]], notamment des [[w:Chiffres_arabes|chiffres indo-arabes]], dans le monde de l'Occident.</ref>,}} que l'on reporte dans l'expression de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique du point matériel <math>\;M\;</math> en mouvement à force centrale d’où <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; V_\theta^2(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2(t)}\;</math>»<ref name="à retenir"> À retenir et à savoir retrouver rapidement.</ref> dans laquelle « la dimension du temps est localisée dans <math>\;C^2\;</math>» car <br /><math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c c c c c} \dfrac{1}{2}\; m\; V_\theta^2(t) & = &\dfrac{m}{2} &\times & C^2& \times & \dfrac{1}{r^2(t)}\\ J\;\left( \text{ou}\;kg \cdot m^2 \cdot s^{-2} \right) &=& kg & \times & m^4 \cdot s^{-2} &\times &m^{-2}\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> Pour retenir l'expression on se souvient que l'énergie cinétique est la moitié du produit d'une masse par le carré d'une vitesse d'où un 1^er facteur «<math>\;\dfrac{m}{2}\;</math>», un 2^ème facteur satisfaisant la dimension du temps <math>\;\big(</math>laquelle doit être en <math>\;s^{-2}\big)\;</math> est «<math>\;C^2\;</math>» <math>\;\big(C\;</math> s'exprimant en <math>\;m^2 \cdot s^{-1}\big)\;</math> et le 3^ème facteur satisfaisant la dimension des longueurs <math>\;\big(</math>laquelle doit être en <math>\;m^2\big)\;</math> est «<math>\;r^{-2}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi la dimension des longueurs est donnée par celle de <math>\;C^2\;r^{-2}(t)\;</math> soit par <math>\;m^4 \cdot m^{-2} = m^2\big]</math>.</ref>.</center> == Définition de l’énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative et réécriture de la conservation de son énergie mécanique à l’aide de ses paramètres de position radiale « r = OM » et de vitesse radiale « v_r = ṙ », problème à un seul degré de liberté == === Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique en distinguant parties radiale et orthoradiale de l’énergie cinétique du point M ayant un mouvement à force centrale conservative === {{Al|5}}Utilisant «<math>\;V_M^2(t) = V_r^2(t) + V_\theta^2(t)\;</math>» dans l'expression de l’énergie mécanique du point <math>\;M\;</math> en mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)</math>, on obtient «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\; m \left[ V_r^2(t) + V_\theta^2(t) \right] + U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{1}{2}\; m\; V_r^2(t) + \dfrac{1}{2}\; m\; V_\theta^2(t) + U\! \left[ r(t) \right]\;</math>» ou encore, avec l’expression de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique ne dépendant que de <math>\;r(t)</math> <math>\;\big[</math>la dimension du temps <math>\;t\;</math> n'y étant apparente que dans la constante des aires<math>\big]\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; V_\theta^2(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2(t)}\;</math>» et celle de sa partie radiale ne dépendant pas directement de <math>\;r(t)\;</math> mais de sa dérivée temporelle <math>\;\dot{r}(t)\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; V_r^2(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t)\;</math>», «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2(t)} + U\! \left[ r(t) \right] \right\rbrace\;</math>», l'expression entre accolades dans le 2^nd membre regroupant les termes ne dépendant que de <math>\;r(t)</math>, le reste du 2^nd membre ne dépendant pas directement de <math>\;r(t)\;</math> mais de sa dérivée temporelle <math>\;\dot{r}(t)</math>. {{Al|5}}Dans l'expression précédente de l'énergie mécanique considérée à l'instant <math>\;t</math>, la partie entre accolades «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + U(r)\;</math>» ne dépendant que du paramètre de position <math>\;r\;</math> se comporte comme une énergie potentielle <math>\;\bigg[</math>sans en être une car, si l'opposée de sa dérivée par rapport à <math>\;r\;</math> à la dimension d'une force, elle est égale à <math>\;F(r) + \dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + U(r) \right]}{dr} = \dfrac{m\;C^2}{2}\;(-2)\;r^{-3} + \dfrac{dU}{dr}(r) = \dfrac{dU}{dr}(r) - \dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;-\dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + U(r) \right]}{dr} = -\dfrac{dU}{dr}(r) + \dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math> soit finalement, compte-tenu du lien entre l'énergie potentielle dans le champ de force dont elle dérive et la composante de cette dernière «<math>\;F(r) = -\dfrac{dU}{dr}(r)\;</math>» la relation affirmée <math>\;-\dfrac{d \left[ \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + U(r) \right]}{dr} = F(r) + \dfrac{m\;C^2}{r^3}</math> <math>\;\bigg[</math>ce dernier ayant effectivement la dimension d'une force car s'exprimant en <math>\;\dfrac{kg \cdot m^4 \cdot s^{-2}}{m^3} = kg \cdot m \cdot s^{-2} = N\bigg]</math>.</ref> dans laquelle <math>\;\dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math> n'est pas une force<math>\bigg]</math>, la partie hors accolades «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t)\;</math>» ne dépendant que de la dérivée temporelle du paramètre de position <math>\;\dot{r}\;</math> se comporte comme une énergie cinétique <math>\;\big[</math>sans en être la totalité mais uniquement la partie radiale<math>\big]</math>. {{Al|5}}Compte-tenu de ce qui précède, la conservation de l'énergie mécanique du point <math>\;M\;</math> en mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> se réécrit, avec «<math>\;E_m(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0)\;</math> l'énergie mécanique initiale du point », selon <center>«<math>\;\left.\begin{array}{c c c c c}\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) &+& \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2(t)} + U\! \left[ r(t) \right] \right\rbrace &=& E_m(0)\\\begin{array}{c}\text{expression se comportant}\\\text{comme une énergie cinétique}\end{array}&+&\begin{array}{c}\text{expression se comportant}\\\text{comme une énergie potentielle}\end{array}&=& \text{cste}\end{array}\right.\;</math>».</center> === Définition de l’énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative === {{Définition|titre=Énergie potentielle effective d'un point matériel dont le mouvement est à force centrale conservative|contenu={{Al|5}}L'énergie potentielle effective<ref name="efficace"> Encore appelée « énergie potentielle efficace ».</ref> d'un point matériel <math>\;M\, \left( m \right)\;</math> en mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)</math>, notée <math>\;U_{\text{eff}}(M)</math>, est définie comme la somme de l'énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> du point <math>\;M\;</math> dans le champ de la force centrale conservative et de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique de <math>\;M\;</math> écrite, entre autres, en fonction de la constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et de la coordonnée radiale <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{1}{2}\; m\; V_\theta^2 = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» soit mathématiquement, <center>au même instant <math>\;t</math>, «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2}\;</math>».</center>}} === Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique comme somme de la partie radiale de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle effective du point ayant un mouvement à force centrale conservative === {{Al|5}}Compte-tenu de la définition de l’énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2}\;</math>», la conservation de l’énergie mécanique du point <math>\;M\, \left( m \right)\;</math> en mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> se réécrit, à l'instant <math>\;t</math>, selon <center>«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right] = E_m(0)\;</math>» avec «<math>\;E_m(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0)\;</math> l'énergie mécanique initiale du point ».</center> === Commentaires === {{Al|5}}La conservation de l’énergie mécanique du point <math>\;M\, \left( m \right)\;</math> en mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et dont la force « dérive » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)</math>, écrite sous la forme «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right] = E_m(0)\;</math>», étant une intégrale 1^ère du mouvement de <math>\;M\;</math> à un seul degré de liberté « le paramètre de position linéaire <math>\;r = OM\;</math>», peut être utilisée, {{Al|5}}à défaut d'une intégration de cette équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en <math>\;r(t)\;</math> facile <math>\;\big(</math>ou même possible<math>\big)</math>, {{Al|5}}pour faire une étude par diagramme d’énergies potentielle <math>\;\big(</math>effective<ref name="efficace" /><math>\big)\;</math> et mécanique comme celle qui a été exposée, entre autres, dans les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_en_chute_libre|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre]] », « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.E.H.N.A.|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.]] (pendule élastique horizontal non amorti) » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ”]] (pendule pesant simple non amorti) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <math>\;\ldots</math> == Diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d’un point ayant un mouvement à force centrale conservative, 1^ers exemples, états lié et de diffusion == === Rappel de la méthode d’étude du mouvement d’un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique === {{Al|5}}La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique est exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » : * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_en_chute_libre|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre]] » explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. ainsi que « le [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Cas_où_le_point_matériel_est_lancé_vers_le_haut_avec_une_vitesse_initiale_verticale_à_partir_d'une_position_d'altitude_quelconque|cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque]] » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\big(</math>mais sans aucune difficulté de compréhension<math>\big)</math>, * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.E.H.N.A.|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.]] (pendule élastique horizontal non amorti) » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\big(</math>mais particulièrement utile pour exposer la méthode<math>\big)\;</math> et * « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ”]] (pendule pesant simple non amorti) » ainsi que « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans des C.I. “ 1b ” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] (pour déterminer à quelle condition le mouvement est oscillatoire ou révolutif) ». {{Al|5}}Ci-après <u>rappel des grandes lignes</u> : Dans un même système d'axes, « paramètre de position <math>\;\big(</math>par exemple <math>\;x\big)\;</math>» en abscisse et « énergie » en ordonnée, on trace les courbes * d'énergie potentielle <math>\;(\Gamma_u)\;</math> c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_u\;</math> d'abscisse « le paramètre de position <math>\;x\;</math>» et d'ordonnée « l'énergie potentielle <math>\;U(x)\;</math>» et * d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse « le paramètre de position <math>\;x\;</math>» et d'ordonnée « l'énergie mécanique <math>\;E_m(x)\;</math>» laquelle, restant égale à l'énergie mécanique initiale <math>\;E_m(t = 0)\;</math> pour toute valeur du paramètre de position, fait que <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;x\;</math> d'ordonnée <math>\;E_m(t = 0)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Ci-après rappel des grandes lignes : }}de la superposition des deux courbes on en déduit les éventuels « murs d'énergie potentielle » correspondant aux « abscisses <math>\;x_{\text{mur}}\;</math>» pour lesquelles «<math>\;E_m(x_{\text{mur}}) =</math> <math>U(x_{\text{mur}})\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;K(x_{\text{mur}}) = 0\;</math>», les « zones interdites étant les domaines d'abscisses <math>\;x_{\text{interdit}}\;</math> répondant à <math>\;E_m(x_{\text{interdit}}) < U(x_{\text{interdit}})\;</math>» c'est-à-dire ceux qui nécessiteraient «<math>\;K(x_{\text{interdit}}) < 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Ci-après rappel des grandes lignes : }}trois cas sont alors possibles : * une énergie mécanique initiale <math>\;E_m(t = 0)\;</math> telle que «<math>\;E_m(t = 0)\;</math> <u>est supérieure à la valeur maximale de l'énergie potentielle</u> <math>\;U_{\text{max}}\;</math>», il n’y a alors <u>aucun mur d’énergie potentielle</u>, la trajectoire est non bornée {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est}} l'exemple du mouvement révolutif d’un P.P.S.<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, * une énergie mécanique initiale <math>\;E_m(t = 0)\;</math> telle qu'<u>il n’y a qu’un mur d’énergie potentielle</u>, la trajectoire est <math>\;\big(</math>cinématiquement<math>\big)\;</math> non bornée avec éventuellement un point de changement de sens du mouvement sur le mur d’énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est l'exemple de la chute verticale d’un corps, le mur d’énergie potentielle correspondant à l’altitude maximale<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Cas_où_le_point_matériel_est_lancé_vers_le_haut_avec_une_vitesse_initiale_verticale_à_partir_d'une_position_d'altitude_quelconque|cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, la présence d'un seul mur d'énergie potentielle a pour conséquence : <br />{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> ont un déplacement tel que leur abscisse commune se rapproche de <math>\;x_{\text{mur}}\;</math> il y a un changement de sens du mouvement lors de l'arrivée sur le mur d'énergie potentielle suivi d'une phase d'éloignement de ces points du mur tel que leur abscisse commune tende vers l'infini, <br />{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si les points <math>\;P_u\;</math> et <math>\;P_m\;</math> ont un déplacement tel que leur abscisse commune se rapproche de <math>\;x_{\text{mur}}\;</math> il n'y a aucun changement de sens du mouvement, l'abscisse commune tendant alors vers l'infini, <br />{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>dans les deux cas, on dit que le point <math>\;M\;</math> est dans un <u>état de diffusion</u> ou * une énergie mécanique initiale <math>\;E_m(t = 0)\;</math> telle qu'<u>il y a deux murs d’énergie potentielle en regard</u>, la trajectoire est <math>\;\big(</math>cinématiquement<math>\big)\;</math> bornée avec un changement de sens du mouvement sur chaque mur d’énergie potentielle assurant un mouvement oscillatoire du point matériel <math>\;\big(</math>c'est l'exemple du mouvement pendulaire du P.P.S.N.A.<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on dit que le point <math>\;M\;</math> est dans un <u>état lié</u>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Par la conservation de l’énergie mécanique on peut exprimer la durée élémentaire «<math>\;dt\;</math>» correspondant à la variation élémentaire du paramètre de position «<math>\;dz\;</math> ou <math>\;dx\;</math> ou encore <math>\;d \theta\;</math>», puis exprimer, sous forme intégrale, définie sur un intervalle de paramètre de position, la « durée nécessaire au parcours de cet intervalle »<ref> On aurait pu l'utiliser sur l'exemple de la chute libre avec vitesse initiale du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Cas_où_le_point_matériel_est_lancé_vers_le_haut_avec_une_vitesse_initiale_verticale_à_partir_d'une_position_d'altitude_quelconque|cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » : <br>{{Al|3}}si l’objet a été lancé vers le haut avec une vitesse initiale <math>\;v_0\;</math> à partir d’une position d’altitude <math>\;h</math>, la conservation de l’énergie mécanique s’écrit, <math>\;\bigg\{</math>l'axe <math>\;\overrightarrow{z'z}\;</math> étant vertical ascendant<math>\bigg\}</math>, «<math>\;E_m(t) =</math> <math>E_m(t = 0)\;</math>» avec «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{z}^2(t) + m\;g\;z(t)\;</math>» et «<math>\;E_m(t = 0) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2 + m\;g\;h\;</math>», on en tire «<math>\;\vert \dot{z}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z(t)}\;</math>» ou «<math>\;dt = \pm \dfrac{dz}{\sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z}}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}l'objet montera jusqu'à l’altitude maximale <math>\;z_S\;</math> pour laquelle «<math>\;\dot{z} = 0\;</math>» soit «<math>\;z_S = h + \dfrac{v_0^2}{2\;g}\;</math>», cote du mur d’énergie potentielle et la durée entre la position de lancement et le point d'altitude maximale est «<math>\;\Delta t_S = \displaystyle\int_h^{z_S} \dfrac{dz}{\sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z}} = -\dfrac{1}{g}\;\displaystyle\int_h^{z_S} \dfrac{d\! \left[ \dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z \right]}{2\;\sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z}} = -\dfrac{1}{g}\,\left[ \sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z} \right]_h^{z_S} = -\dfrac{1}{g} \left[ \sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;z_S} - \sqrt{\dfrac{2\;E_m(t = 0)}{m} - 2\;g\;h} \right]</math> <math>= -\dfrac{1}{g} \left\lbrace \cancel{\sqrt{\dfrac{2\,\left[ \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2 + m\;g\;h \right]}{m} - 2\;g\,\left( h + \dfrac{v_0^2}{2\;g} \right)}} - \sqrt{\dfrac{2\,\left[ \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2 + m\;g\;h \right]}{m} - 2\;g\;h} \right\rbrace = \dfrac{v_0}{g}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>mais ceci se détermine beaucoup plus rapidement à l’aide de la loi de vitesse «<math>\;v_z(t)</math> <math>= -g\;t + v_0\;</math>» et «<math>\;\Delta t_S = t_S - 0\;</math>» où «<math>\;t_S\;</math> est définie par <math>\;v_z(t_S) = 0\;</math>» soit «<math>\;t_S = \dfrac{v_0}{g}\;</math>»<math>\bigg\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>sur l’exemple du P.P.S.N.A. on montre ainsi que le mouvement révolutif ou pen-dulaire est périodique et on exprime la période sous forme intégrale <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale dans le cas du [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|P.P.S. lancé dans les C.I. “ 1a ”]] » ainsi que « dans le [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|cas révolutif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. === Exemples de diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d’un point ayant un mouvement à force centrale conservative === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Tout d'abord il s'agit de tracer, dans un même système d'axes, avec pour abscisse « la coordonnée radiale <math>\;r = OM\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> dont le mouvement est à force centrale conservative » <math>\;\big(</math>servant de paramètre de position<math>\big)\;</math> et pour ordonnée « l'énergie <math>\;\big(</math>potentielle effective<ref name="efficace" /> ou mécanique<math>\big)\;</math>», les courbes * d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> <math>\;(\Gamma_{u_{\text{eff}}})\;</math> c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> ayant pour abscisse « la coordonnée radiale <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math>» et pour ordonnée « l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> <math>\;U_{\text{eff}}(r) =</math> <math>U(r) + \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2}\;</math>» <math>\;\big[U(r)\;</math> étant l'énergie potentielle dont « dérive » la force centrale conservative et <math>\;C\;</math> la constante des aires<ref name="définition de la constante des aires" /> du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\big]</math> <math>\;\bigg\{</math>sachant que le 2^ème terme de l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2}\;</math>» est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> variant de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;0\;</math> quand <math>\;r \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty</math>, la forme de <math>\;(\Gamma_{u_{\text{eff}}})\;</math> dépend de la variation du 1^er terme de l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> «<math>\;U(r)\;</math>» sur le même intervalle de variation de <math>\;r\;</math> à savoir «<math>\;\left] 0\,,\, +\infty \right[\;</math>» c'est-à-dire encore du caractère « répulsif ou attractif » du centre de force <math>\;O</math> <br />{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« si <math>\;O\;</math> est un centre répulsif » <math>\;F(r)\;</math> est <math>\;> 0\;\;\forall\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U}{dr}(r) = -F(r)\;</math> est <math>\;< 0\;\;\forall\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U(r) \searrow\;</math> quand <math>\;r \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math> avec <math>\;U(+\infty) = 0\;</math> si la référence de <math>\;U(r)\;</math><ref name="référence d'énergie potentielle" /> est choisie à l'infini », la conséquence étant que «<math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> variant de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;0\;</math> quand <math>\;r \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math>» alors que <br />{{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>« si <math>\;O\;</math> est un centre attractif » <math>\;F(r)\;</math> est <math>\;< 0\;\;\forall\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U}{dr}(r) = -F(r)\;</math> est <math>\;> 0\;\;\forall\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U(r) \nearrow\;</math> quand <math>\;r \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math> avec <math>\;U(+\infty) = 0\;</math> si la référence de <math>\;U(r)\;</math><ref name="référence d'énergie potentielle" /> est choisie à l'infini » <math>\;\big[U(r)\;</math> est donc <math>\;< 0\;\;\forall\;r\big]</math>, une conséquence possible <math>\;\big(</math>mais ce n'est pas la seule<math>\big)\;</math> étant que «<math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> est une fonction d'abord <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> quand <math>\;r \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> avec <math>\;U_{\text{eff}}(r = 0) = +\infty</math> <math>\;\bigg[</math>ceci supposant que <math>\;U(r) < 0\;</math> est telle que <math>\;\vert U(r) \vert \searrow\;</math> moins rapidement que <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> au voisinage de <math>\;r = 0\bigg]\;</math> puis une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;r\;</math> à partir d'une valeur <math>\;r_{\text{stat}}\;</math> pour laquelle <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{stat}}) = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U}{dr}(r_{\text{stat}}) - \dfrac{m\;C^2}{r_{\text{stat}}^{\,3}} = 0\;</math> soit, avec <math>\;F(r_{\text{stat}}) = -\dfrac{d U}{dr}(r_{\text{stat}})</math>, «<math>\;F(r_{\text{stat}}) = -\dfrac{m\;C^2}{r_{\text{stat}}^{\,3}}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>cette phase de croissance nécessitant l'existence d'une solution à l'équation <math>\;\big(</math>usuellement algébrique<ref name="équation algébrique"> Une [[w:Équation_polynomiale|équation algébrique]] est une équation de la forme <math>\;P = 0\;</math> dans laquelle <math>\;P\;</math> est un [[w:Polynôme|polynôme]] <math>\;\big\{</math>une équation non algébrique est qualifiée de [[w:Équation_transcendante|transcendante]], elle contient au moins une [[w:Fonction_transcendante|fonction transcendante]] de une ou plusieurs variables<math>\big\}</math>.</ref><math>\big)\;</math> {{Nobr|«<math>\;F(r) =</math>}} <math>-\dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math>», ce qui est réalisé dans la mesure où <math>\;C\;</math> n'est pas trop grand <math>\;\big(</math>sinon l'absence de solution entraîne que l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> sur tout l'intervalle <math>\;\left] 0\,,\, +\infty \right[\big)\bigg]</math>, la limite de <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> quand <math>\;r\;\rightarrow\;+\infty\;</math> étant <math>\;0^{-}\bigg\}\;</math> et * d'énergie mécanique <math>\;(\Gamma_m)\;</math> c'est-à-dire l'ensemble des points <math>\;P_m\;</math> d'abscisse « la coordonnée radiale <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math>» et d'ordonnée « l'énergie mécanique <math>\;E_m(r) = E_{m,\,0}\;</math>» d'où <math>\;E_m(r)\;</math> restant égale à l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m, \,0}\;</math> pour toute valeur de la coordonnée radiale, fait que <math>\;(\Gamma_m)\;</math> est une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> d'ordonnée <math>\;E_{m,\, 0}</math>. [[File:Diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique.png|thumb|700px|Exemples de diagrammes d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique d'un mouvement à force centrale conservative, celui de gauche entraînant un état de diffusion et celui de droite un état lié ou de diffusion suivant la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>]] {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Une fois ces tracés effectués <math>\;\big[</math>voir ci-contre, la référence de <math>\;U(r)\;</math><ref name="référence d'énergie potentielle" /> y étant choisie à l'infini <math>\;\big(</math>ce qui n'est pas toujours possible<math>\big)\big]\;</math><ref> Il y a beaucoup plus de formes possibles de tracé de diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un mouvement à force centrale conservative mais on ne donne que les deux formes les plus usuelles.</ref> , <br />{{Al|10}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>celui de gauche correspondant à un centre de force répulsif <math>\;\big(</math>ou attractif avec une constante des aires suffisamment grande<math>\big)\;</math> et <br />{{Al|10}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>celui de droite correspondant à un centre de force attractif <math>\;\bigg[</math>avec une constante des aires non trop grande et <math>\;\vert U(r) \vert \searrow\;</math> moins rapidement que <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> au voisinage de <math>\;r = 0\bigg]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>La justification de l'applicabilité de l'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à force centrale conservative provient de la forme de la conservation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right] =</math> <math>E_{m,\,0}\;</math>» montrant que le mouvement radial de <math>\;M\;</math> dépend de la variation temporelle du « paramètre de position <math>\;r\;</math>» ainsi que de celle de « la dérivée temporelle de ce dernier <math>\;\dot{r}\;</math>», ces variations pouvant s'obtenir de façon qualitative par diagramme d'énergies de point à un seul paramètre de position <math>\;r</math>, <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2\;</math> jouant le rôle de l'énergie cinétique et <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> celui de l'énergie potentielle <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Commentaires</u> sur le diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à force centrale conservative représenté ci-dessus à gauche : {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}supposons que les C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. de lancement du point <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>non indiquées sur le diagramme ci-dessus à gauche<math>\big)\;</math> correspondent à une coordonnée radiale <math>\;r_0</math> <math>\;\big(>\;</math> à la quantité <math>\;r_{\text{min}}\;</math> représentée sur le diagramme ci-dessus à gauche<math>\big)\;</math> et une vitesse radiale <math>\;\dot{r}_0 < 0</math>, nous en déduisons une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> entraînant un déplacement simultané des points génériques <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)\;</math> et <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> ainsi qu'une <math>\;\searrow\;</math> continue de <math>\;\overline{P_{u_{\text{eff}}}P_m} \;\widehat{=}\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe"> La signification de <math>\;\widehat{=}\;</math> étant « est représenté par <math>\;\big(</math>ou représente<math>\big)\;</math>» <math>\;\big[</math>l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique<math>\big]</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> une <math>\;\searrow\;</math> continue de <math>\;\vert \dot{r} \vert\;</math> jusqu'à ce que <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> rencontrent « l'unique mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{min}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> interdisant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> nous en déduisons que «<math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant"> <math>\;r\;</math> reste constant si le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire.</ref> ou <math>\;\nearrow\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}montrons que <math>\;r = r_{\text{min}}\;\;\forall\;t\;</math> n'est pas acceptable compte-tenu de «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{min}}) \neq 0\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \dfrac{m\;C^2}{2\;r^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = \dfrac{dU}{dr}(r) - \dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math>» se réécrivant, avec la composante de la force centrale conservative <math>\;F(r) = -\dfrac{dU}{dr}(r)\;</math> et l'utilisation de la loi des aires <math>\;r^2\;\dot{\theta} = C</math>, «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -F(r) - \dfrac{m\;r^4\;\dot{\theta}^2}{r^3} = - \left[ F(r) + m\;r\;\dot{\theta}^2 \right]\;</math>» ou encore, en utilisant l'expression de l'accélération radiale du repérage polaire<ref name="accélération radiale en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (accélération radiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel <math>\;\rho\;</math> doit être remplacé par <math>\;r</math>.</ref> <math>\;a_r = \ddot{r} - r\;\dot{\theta}^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r\;\dot{\theta}^2 = \ddot{r} - a_r</math>, «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = - \left[ F(r) + m\;\ddot{r} - m\;a_r \right]\;</math>» soit finalement, compte-tenu de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. appliquée à <math>\;M\;</math> «<math>\;F(r) = m\;a_r\;</math>», «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -m\;\ddot{r}\;</math>» et par suite «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{min}}) \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{r}(r_{\text{min}}) \neq 0\;</math>» ce qui interdit que <math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant" /> à la valeur de <math>\;r_{\text{min}}\bigg\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}en conséquence la seule possibilité pour les points <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> lorsqu'ils arrivent sur « l'unique mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{min}}\;</math>» est de repartir vers la droite sur leur courbe respective, ce qui entraîne la <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;r\;</math> jusqu'à l'infini en absence d'un 2^nd mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> en regard du 1^er ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}la présence d'<u>un seul mur d'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> correspond à un <u>état de diffusion du mouvement radial du point</u> <math>\;M</math>. {{Al|5}}<u>Commentaires</u> sur le diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à force centrale conservative représenté ci-dessus à droite : {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}<math>\;\succ\;</math>dans le cas où l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> il n'y a qu'<u>un seul mur d'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{min}}\;</math> permettant de refaire exactement le même raisonnement que celui qui a été exposé lors de l'étude du diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à force centrale conservative représenté ci-dessus à gauche, on observe donc un <u>état de diffusion du mouvement radial du point</u> <math>\;M</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaires }}<math>\;\succ\;</math>dans le cas où l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> il y a <u>deux murs d'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> d'abscisse respective <math>\;r_{\text{min}}\;</math> et <math>\;r_{\text{max}}</math>, le raisonnement de description du mouvement radial du point <math>\;M\;</math> est le suivant : {{Al|10}}{{Transparent|Commentaires }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>supposons que les C.I<ref name="C.I." />. de lancement du point <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>non indiquées sur le diagramme ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> correspondent à une coordonnée radiale <math>\;r_0</math> <math>\;\big(>\;</math> à la quantité <math>\;r_{\text{min}}\;</math> et <math>\;<\;</math> à la quantité <math>\;r_{\text{max}}\;</math> toutes deux représentées sur le diagramme ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et une vitesse radiale <math>\;\dot{r}_0 > 0</math>, C.I<ref name="C.I." />. telles que «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> soit <math>\;>\;</math> à <math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}}\;</math> la valeur minimale de l'énergie potentielle effective »<ref name="efficace" />, nous en déduisons une <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;r\;</math> entraînant un déplacement simultané des points génériques <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)\;</math> et <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> ainsi qu'une variation continue de <math>\;\overline{P_{u_{\text{eff}}}P_m} \;\widehat{=}</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /> <math>\;\big[</math>éventuellement d'abord une <math>\;\nearrow\;</math> si <math>\;r_0\;</math> est <math>\;<\;</math> à la valeur <math>\;r_{\text{stat}}\;</math> de <math>\;r\;</math> rendant <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> minimale, suivie d'une <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> à l'arrivée sur le mur<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> une même variation continue de <math>\;\vert \dot{r} \vert\;</math> se terminant par une <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce que <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> rencontrent « le mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{max}}\;</math>» ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> de droite interdisant la <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;r\;</math> nous en déduisons que «<math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant" /> ou <math>\;\searrow\;</math>» ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}montrons que <math>\;r = r_{\text{max}}\;\;\forall\;t\;</math> n'est pas acceptable compte-tenu de «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{max}}) \neq 0\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>en effet <math>\;U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \dfrac{m\;C^2}{2\;r^2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = \dfrac{dU}{dr}(r) - \dfrac{m\;C^2}{r^3}\;</math>» se réécrivant, avec la composante de la force centrale conservative <math>\;F(r) = -\dfrac{dU}{dr}(r)\;</math> et l'utilisation de la loi des aires <math>\;r^2\;\dot{\theta} = C</math>, «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -F(r) - \dfrac{m\;r^4\;\dot{\theta}^2}{r^3} = - \left[ F(r) + m\;r\;\dot{\theta}^2 \right]\;</math>» ou encore, en utilisant l'expression de l'accélération radiale du repérage polaire<ref name="accélération radiale en cylindro-polaire" /> <math>\;a_r = \ddot{r} - r\;\dot{\theta}^2\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r\;\dot{\theta}^2 = \ddot{r} - a_r</math>, «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = - \left[ F(r) + m\;\ddot{r} - m\;a_r \right]\;</math>» soit finalement, compte-tenu de la projection sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> de la {{Nobr|r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />.}} appliquée à <math>\;M\;</math> «<math>\;F(r) = m\;a_r\;</math>», «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -m\;\ddot{r}\;</math>» et par suite «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{max}}) \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{r}(r_{\text{max}}) \neq 0\;</math>» ce qui interdit que <math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant" /> à la valeur de <math>\;r_{\text{max}}\bigg\}</math> ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}en conséquence la seule possibilité pour les points <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> lorsqu'ils arrivent sur « le mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{max}}\;</math>» est de repartir vers la gauche sur leur courbe respective, ce qui entraîne la <math>\;\searrow\;</math> continue de <math>\;r\;</math> jusqu'à ce que <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> rencontrent « le 2^ème mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{min}}\;</math>» ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}à ce stade la présence du mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> de gauche interdisant la <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math> nous en déduisons que «<math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant" /> ou <math>\;\nearrow\;</math>» ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}nous montrons alors que <math>\;r = r_{\text{min}}\;\;\forall\;t\;</math> n'est pas acceptable compte-tenu de «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{min}}) \neq 0\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>la justification étant la même que celle exposée lors de l'étude de l'arrivée des points <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> sur le mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> dans le diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à force centrale conservative représenté ci-dessus à droite <math>\;\ldots\;</math> «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -m\;\ddot{r}\;</math>» et par suite «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{min}}) \neq 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{r}(r_{\text{min}}) \neq 0\;</math>» ce qui interdit que <math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant" /> à la valeur de <math>\;r_{\text{min}}\bigg\}</math> ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}en conséquence la seule possibilité pour les points <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> lorsqu'ils arrivent sur « le 2^ème mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{min}}\;</math>» est de repartir vers la droite sur leur courbe respective, ce qui entraîne la <math>\;\nearrow\;</math> continue de <math>\;r\;</math> jusqu'à ce que <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> rencontrent « le 1^er mur d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> d'abscisse <math>\;r_{\text{max}}\;</math>» ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}<math>\;\ldots</math> {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}la présence de <u>deux murs d'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> <u>en regard</u> correspond à un <u>état lié du mouvement radial du point</u> <math>\;M</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|Commentaires }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>supposons que les C.I<ref name="C.I." />. de lancement du point <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>non indiquées sur le diagramme ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> correspondent à une coordonnée radiale particulière <math>\;r_0 = r_{\text{stat}}</math> <math>\;\big(</math>abscisse pour laquelle l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> est minimale, non représentée sur le diagramme ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et une vitesse radiale <math>\;\dot{r}_0 = 0</math>, C.I<ref name="C.I." />. telles que «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}}\;</math> la valeur minimale de l'énergie potentielle effective »<ref name="efficace" />, nous en déduisons la confusion des deux murs d'énergie potentielle effective en regard précédemment introduits dans le cas où <math>\;E_{m,\,0} \in \left] U_{\text{eff},\,\text{min}}\,,\, 0 \right[\;</math> en un « guide d'énergie potentielle effective » d'abscisse <math>\;r_{\text{stat}}</math> ; les points génériques <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\;</math> et <math>\;P_m\;</math> des courbes <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)\;</math> et <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> restent donc bloqués sur ce « guide » ce qui a pour conséquence que <math>\;r\;</math> reste constant<ref name="r constant" /> à la valeur de <math>\;r_{\text{stat}}</math> <math>\;\bigg\{</math>la constance de <math>\;r\;</math> à la valeur <math>\;r_{\text{stat}}\;</math> est en accord avec «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_{\text{stat}}) = 0\;</math>» sachant que «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -m\;\ddot{r}\;</math>» étant toujours applicable nous conduit à <math>\;\ddot{r}(r_{\text{stat}}) = 0\;</math> simultanément à <math>\;\dot{r}(r_{\text{stat}}) = 0\;</math> donc finalement <math>\;r = r_{\text{stat}}\;\;\forall\;t\bigg\}</math> ; {{Al|16}}{{Transparent|Commentaires }}la présence d'<u>un guide d'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> <u>d'abscisse en laquelle l'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> <u>est minimale</u> correspond à un <u>état lié associé à un mouvement circulaire du point</u> <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>de centre « le centre d'action de la force » et de rayon « l'abscisse du guide d'énergie potentielle effective »<ref name="efficace" /><math>\big)</math>. === États lié et de diffusion du point M dans le champ de force centrale conservative === {{Al|5}}Nous avons observé, dans les exemples précédemment traités de diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique de mouvement d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> à force centrale conservative, deux types d’états possibles pour le mouvement radial de <math>\;M\;</math> suivant que * «<math>\;r\;</math> peut prendre toutes valeurs <math>\;\geqslant\; r_{\text{min}}\;</math>» valeur du paramètre de position radiale du <u>seul mur d’énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> de la courbe de même nom, «<math>\;r_{\text{min}}\;</math> définissant la <u>distance minimale d’approche</u> », l'état suivi par le mouvement radial du point <math>\;M\;</math> étant qualifié d’« <u>état de diffusion</u> » ou * «<math>\;r\;</math> ne peut sortir d’un intervalle <math>\;\left[ r_{\text{min}}\,,\, r_{\text{max}} \right]\;</math>» valeurs du paramètre de position radiale des <u>deux murs d’énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> de la courbe de même nom, avec «<math>\;r_{\text{min}}\;</math> définissant la <u>distance minimale d’approche</u> » et «<math>\;r_{\text{max}}\;</math> la <u>distance maximale d’éloignement</u> », l'état suivi par le mouvement radial du point <math>\;M\;</math> étant qualifié d’« <u>état lié</u> ». === Détermination des distances extrémales d’approche et d’éloignement sous réserve d'existence === {{Al|5}}Les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> décrivant un mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> «<math>\;r_{\text{min}}\;</math> et <math>\;r_{\text{max}}\;</math>» peuvent se déterminer {{Nobr|<math>\;\big(</math>quand}} celles-ci existent<math>\big)\;</math> * graphiquement comme valeurs du paramètre de position radiale des murs d’énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> du courbe de même nom ou * algébriquement par équation utilisant <math>\;\dot{r} = 0\;</math> dans la conservation de l’énergie mécanique <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E_{m,\,0}\;</math> soit l'équation «<math>\;U_{\text{eff}}(r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="équation algébrique - bis"> L’équation obtenue étant algébrique <math>\;\big\{</math>une [[w:Équation_polynomiale|équation algébrique]] est une équation de la forme <math>\;P = 0\;</math> dans laquelle <math>\;P\;</math> est un [[w:Polynôme|polynôme]] <math>\;\big[</math>une équation non algébrique étant qualifiée de [[w:Équation_transcendante|transcendante]], elle contient au moins une [[w:Fonction_transcendante|fonction transcendante]] de une ou plusieurs variables<math>\big]\big\}</math> si l’expression de l’énergie potentielle effective <math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} + U(r)\;</math> l’est <math>\;\big[</math>c'est-à-dire obtenue en utilisant les opérations élémentaires <math>\;\big(</math>addition, soustraction, multiplication et division<math>\big)\;</math> sur des [[w:Polynôme|polynômes]]<math>\big]</math>, ce qui nécessite que celle de l’énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> le soit <math>\;\big(</math>ceci étant usuellement le cas sans que ce soit systématique<math>\big)</math>.</ref>, cette équation <math>\;\big(</math>usuellement<math>\big)\;</math> algébrique<ref name="équation algébrique" /> admet « une seule solution réelle <math>\;> 0\;</math> dans un état de diffusion » et « deux solutions réelles <math>\;> 0\;</math> dans un état lié »<ref> Pour que l'équation soit algébrique cela nécessite que l’expression de l’énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> le soit, les solutions de l’équation sont alors algébriques ou, dans le cas où l'équation est de degré strictement supérieur à <math>\;2\;</math> sans solutions triviales, approchées numériquement <math>\big(</math>dans ce cas il n'y a qu'une ou deux solutions réelles <math>\;> 0</math>, les autres solutions à rejeter étant complexes ou réelles <math>\;< 0\big)</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de détermination algébrique des distances extrémales d'approche et d'éloignement dans le cas d'une force newtonienne</u><ref> La détermination graphique des distances extrémales d'approche et d'éloignement dans le cas d'une force newtonienne attractive est présentée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Discussion_suivant_la_valeur_d’énergie_mécanique_initiale_du_point|discussion suivant la valeur d'énergie mécanique initiale du point]] (par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point dans un champ de force newtonien attractif) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et celle de la distance minimale d'approche dans le cas d'une force newtonienne répulsive dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Commentaire_du_diagramme|commentaire du diagramme]] (d'énergies potentielle effective et mécanique du point dans un champ de force newtonien répulsif) » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle non nulle<ref> Si <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math> le centre de force <math>\;O\;</math> est attractif et si <math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math> il est répulsif.</ref> « dérivant » de l'énergie potentielle «<math>\;U(M) = \dfrac{k}{r}\;</math>», le choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant en <math>\;+\infty\;</math> : l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> s'écrivant «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} + U(r) = \dfrac{m\;C^2}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>», les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> sont solutions de l'équation algébrique<ref name="équation algébrique" /> «<math>\;U_{\text{eff}}(r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}) = E_{m,\,0}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{m\;C^2}{2\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2}} + \dfrac{k}{r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}} = E_{m,\,0}\;</math>» laquelle est équivalente à {{Nobr|«<math>\;m\;C^2 + 2\;k\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}</math>}} <math>= 2\;E_{m,\,0}\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2}\;</math>» c'est-à-dire <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple }}pour <math>\;E_{m,\,0} \neq 0\;</math> l'équation algébrique<ref name="équation algébrique" /> du 2^ème degré en <math>\;r\;</math> normalisée «<math>\;r^2 - \dfrac{k}{E_{m,\,0}}\;r - \dfrac{m\;C^2}{2\;E_{m,\,0}} = 0\;</math>» de discriminant <math>\;\Delta = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{2\;m\;C^2}{E_{m,\,0}} = \dfrac{k^2 + 2\;E_{m,\,0}\;m\;C^2}{E_{m,\,0}^{\,2}}\;</math> toujours {{Nobr|<math>\;> 0</math><ref> En effet «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{m\;C^2}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = -\dfrac{m\;C^2}{r^3} - \dfrac{k}{r^2}\;</math>», on en déduit : * si <math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math> correspondant à un centre de force répulsif, «<math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;r\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{eff}}(r) > U_{\text{eff}}(+\infty) = 0\;</math>» ce qui entraîne nécessairement «<math>\;E_{m,\,0} > 0\;</math>» et par suite {{Nobr|«<math>\;\Delta =</math>}} <math>\dfrac{k^2 + 2\;E_{m,\,0}\;m\;C^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} > 0\;</math>» et * si <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math> correspondant à un centre de force attractif, «<math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> prend une valeur minimale pour <math>\;r_{\text{stat}} = -\dfrac{m\;C^2}{k} = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>en effet «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) \sim -\dfrac{m\;C^2}{r^3} < 0\;</math> au voisinage de <math>\;r \rightarrow 0^{+}\;</math>» et «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) \sim -\dfrac{k}{r^2} > 0\;</math> au voisinage de <math>\;r \rightarrow +\infty\;</math>» d'où une <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> sur <math>\;\left] 0\,,\,r_{\text{stat}} \right]\;</math> et une <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ r_{\text{stat}}\,,\, +\infty \right[\bigg\}\;</math> la valeur minimale de <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> étant <math>\;U_{\text{eff}}(r_{\text{stat}}) =</math> <math>\dfrac{m\;C^2}{2\;\dfrac{m^2\;C^4}{k^2}} + \dfrac{k}{-\dfrac{m\;C^2}{k}} = -\dfrac{k^2}{2\;m\;C^2}\;</math> ce qui entraîne nécessairement «<math>\;E_{m,\,0} > U_{\text{eff}}(r_{\text{stat}}) = -\dfrac{k^2}{2\;m\;C^2}\;</math>» et par suite «<math>\;\Delta = \dfrac{k^2 + 2\;E_{m,\,0}\;m\;C^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} > 0\;</math>».</ref>}} soit deux racines réelles dont le signe dépend de celui de <math>\;E_{m,\,0}\;</math> plus précisément <br />{{Al|10}}{{Transparent|Exemple }}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le produit des racines <math>\;- \dfrac{m\;C^2}{2\;E_{m,\,0}}\;</math> étant <math>\;< 0\;</math> il n'y a qu'une seule racine <math>\;> 0\;</math> correspondant à la distance minimale d'approche <math>\;r_{\text{min}}\;</math><ref> On trouve <math>\;r_{\text{min}} = \dfrac{k + \sqrt{k^2 + 2\;E_{m,\,0}\;m\;C^2}}{2\;E_{m,\,0}}</math>.</ref> alors que <br />{{Al|10}}{{Transparent|Exemple }}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;< 0\;</math> le produit des racines <math>\;- \dfrac{m\;C^2}{2\;E_{m,\,0}}\;</math> étant <math>\;> 0\;</math> et la somme <math>\;\dfrac{k}{E_{m,\,0}}\;</math> étant en pratique toujours <math>\;> 0</math> <math>\;\bigg\{</math>en effet pour avoir <math>\;E_{m,\,0} < 0\;</math> il est nécessaire que <math>\;U_{\text{eff}}(r) =</math> <math>\dfrac{m\;C^2}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math> puisse prendre des valeurs <math>\;< 0\;</math> ce qui impose <math>\;k < 0\;</math> c'est-à-dire un centre de force attractif<math>\bigg\}</math>, il y a donc deux racines <math>\;> 0\;</math> distinctes correspondant, pour la plus petite, à la distance minimale d'approche <math>\;r_{\text{min}}\;</math><ref> On trouve <math>\;r_{\text{min}} = \dfrac{k + \sqrt{k^2 + 2\;E_{m,\,0}\;m\;C^2}}{2\;E_{m,\,0}} = \dfrac{- \vert k \vert + \sqrt{k^2 - 2\; \vert E_{m,\,0} \vert\;m\;C^2}}{-2\;\vert E_{m,\,0} \vert} = \dfrac{\vert k \vert - \sqrt{k^2 - 2\; \vert E_{m,\,0} \vert\;m\;C^2}}{2\;\vert E_{m,\,0} \vert}</math>.</ref> et, pour la plus grande, à la distance maximale d'éloignement <math>\;r_{\text{max}}\;</math><ref> On trouve <math>\;r_{\text{max}} = \dfrac{k - \sqrt{k^2 + 2\;E_{m,\,0}\;m\;C^2}}{2\;E_{m,\,0}} = \dfrac{- \vert k \vert - \sqrt{k^2 - 2\; \vert E_{m,\,0} \vert\;m\;C^2}}{-2\;\vert E_{m,\,0} \vert} = \dfrac{\vert k \vert + \sqrt{k^2 - 2\; \vert E_{m,\,0} \vert\;m\;C^2}}{2\;\vert E_{m,\,0} \vert}</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple }}pour <math>\;E_{m,\,0} = 0\;</math> l'équation algébrique<ref name="équation algébrique" /> du 1^er degré en <math>\;r\;</math> normalisée «<math>\;r + \dfrac{m\,C^2}{2\;k} = 0\;</math>» admet toujours une racine réelle mais, pour que celle-ci soit <math>\;> 0</math>, <math>\;k\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math><ref name="Em0 nulle"> En fait, comme <math>\;E_{m,\,0}\;</math> doit être <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{m\;C^2}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}</math>, on en déduit que <math>\;E_{m,\,0} = 0\;</math> est impossible avec <math>\;k > 0</math>, c'est-à-dire qu'il est impossible d'avoir une énergie mécanique initiale nulle dans le cas d'un centre de force répulsif.</ref> correspondant à un centre de force attractif <math>\;\big[E_{m,\,0}\;</math> ne pouvant être nulle avec un centre de force répulsif<ref name="Em0 nulle" /><math>\big]</math>, cette racine <math>\;> 0\;</math> correspondant à la distance minimale d'approche <math>\;r_{\text{min}}\;</math><ref> Laquelle vaut <math>\;r_{\text{min}} = -\dfrac{m\,C^2}{2\;k} = \dfrac{m\,C^2}{2\;\vert k \vert}</math>.</ref>. === En complément : « possibilité de détermination de la loi horaire r = r(t) et de l’équation polaire de la trajectoire r = r(θ) » === {{Al|5}}On peut aussi se servir de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> décrivant un mouvement à force centrale conservative de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> pour déterminer * la loi horaire radiale du mouvement du point <math>\;M\;</math> à savoir «<math>\;r = r(t)\;</math><ref> Ou <math>\;t = t(r)\;</math> ou encore, sous forme implicite <math>\;f(r\,,\,t) = 0</math>.</ref> » ou * l'équation polaire de la trajectoire de ce dernier à savoir «<math>\;r = r(\theta)\;</math><ref> Ou <math>\;\theta = \theta(r)\;</math> ou encore, sous forme implicite <math>\;g(r\,,\,\theta) = 0</math>.</ref> » {{Al|5}}mais dans les deux cas c'est le plus souvent compliqué <math>\;\big(</math>voire très compliqué<math>\big)\;</math> et même parfois, non intégrable autrement que numériquement <math>\;\ldots</math> ==== « Possibilité de détermination de la loi horaire radiale r = r(t) de M dont le mouvement est à force centrale conservative » ==== {{Al|5}}De l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> décrivant un mouvement à force centrale conservative « dérivant » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> et de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right] = E_{m,\,0}\;</math>» avec <math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} + U(r)\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0)</math>, on tire «<math>\;\vert \dot{r}(t) \vert = \Bigg\vert \dfrac{dr}{dt}(t) \Bigg\vert = \sqrt{\dfrac{2 \left\lbrace E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right]\right\rbrace}{m}}\;</math>» ou, en séparant les variables, {{Nobr|«<math>\;dt =</math>}} <math>\pm \dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}(r) \right]}{m}}}\;</math>» avec choix du « signe <math>\;+\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> correspond à une phase d'éloignement du centre de force <math>\;O\;</math>» et du « signe <math>\;-\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> est une phase d'approche de <math>\;O\;</math>» ; {{Al|5}}après une éventuelle intégration analytique<ref name="intégration analytique"> L'intégration est dite analytique si la fonction à intégrer admet une [[w:Fonction_analytique|expression analytique]] comme primitive.</ref> ou numérique de «<math>\;t = \displaystyle\int_{r_0}^r \pm \dfrac{dr'}{\sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}(r') \right]}{m}}}\;</math>»<ref name="en général compliqué"> En général compliqué <math>\;\big(</math>voire très compliqué<math>\big)\;</math> d'où la nécessité dans certains cas de faire une intégration numérique.</ref> on peut obtenir la loi horaire radiale du mouvement de <math>\;M\;</math> sous la forme «<math>\;t = t(r)\;</math>» puis, si la fonction <math>\;t(r)\;</math> est inversable, sous la forme «<math>\;r = r(t)\;</math>» <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Dans la mesure où la loi horaire radiale du mouvement du point <math>\;M\;</math> a pu être trouvée et mise sous la forme «<math>\;r = r(t)\;</math>», on peut déterminer la loi horaire de vitesse angulaire du mouvement du point <math>\;M\;</math> par utilisation de la loi des aires «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{C}{r^2(t)}\;</math>» puis, après séparation des variables «<math>\;d \theta = \dfrac{C\;dt}{r^2(t)}\;</math>», poursuivre en intégrant analytiquement<ref name="intégration analytique" /> ou numériquement selon «<math>\;\theta =</math> <math>\displaystyle\int_0^t \dfrac{C\;dt'}{r^2(t')}\;</math>»<ref name="en général compliqué" /> pour obtenir la loi horaire angulaire du mouvement du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>». ==== « Possibilité de détermination de l'équation polaire r = r(θ) de la trajectoire de M dont le mouvement est à force centrale conservative » ==== {{Al|5}}De l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> décrivant un mouvement à force centrale conservative « dérivant » de l'énergie potentielle <math>\;U(r)\;</math> et de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> à savoir «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right] = E_{m,\,0}\;</math>» avec <math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} + U(r)\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;V_0^2 + U(r_0)</math>, on a tiré dans le paragraphe précédent «<math>\;\dot{r}(t) = \dfrac{dr}{dt}(t) = \pm \sqrt{\dfrac{2 \left\lbrace E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right]\right\rbrace}{m}}\;</math>» avec choix du « signe <math>\;+\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> correspond à une phase d'éloignement du centre de force <math>\;O\;</math>» et du « signe <math>\;-\;</math> si le mouvement à l'instant <math>\;t\;</math> est une phase d'approche de <math>\;O\;</math>» ; {{Al|5}}de «<math>\;\dfrac{dr}{dt}(t) = \dfrac{dr}{d \theta}\! \left[ \theta(t) \right] \times \dfrac{d \theta}{dt}(t)\;</math>» on en déduit, par utilisation de la loi des aires «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{d \theta}{dt}(t) = \dfrac{C}{r^2(t)}\;</math>», «<math>\;\dfrac{dr}{dt}(t) = \dfrac{dr}{d \theta}\! \left[ \theta(t) \right] \times \dfrac{C}{r^2(t)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dr}{d \theta}(\theta) = \dfrac{r^2(t)}{C}\;\dfrac{dr}{dt}(t)\;</math>» ou, en reportant l'expression de <math>\;\dfrac{dr}{dt}(t)\;</math> en fonction de <math>\;r(t)\;</math> précédemment trouvée, «<math>\;\dfrac{dr}{d \theta}(\theta) = \pm \dfrac{r^2}{C}\;\sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}(r) \right]}{m}}\;</math>» ou, en séparant les variables, «<math>\;d \theta = \pm C\;\dfrac{dr}{r^2\;\sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}(r) \right]}{m}}}\;</math>» avec, dans le cas où <math>\;C\;</math> est <math>\;> 0</math>, choix du « signe <math>\;+\;</math> si l'abscisse angulaire <math>\;\theta \nearrow\;</math> lors d'une phase d'éloignement du centre de force <math>\;O\;</math>» et du « signe <math>\;-\;</math> si <math>\;\theta \searrow\;</math> lors d'une phase d'approche de <math>\;O\;</math>» alors que, dans le cas où <math>\;C\;</math> est <math>\;< 0</math>, les choix sont inversés c'est-à-dire choix du « signe <math>\;+\;</math> si l'abscisse angulaire <math>\;\theta \searrow\;</math> lors d'une phase d'éloignement du centre de force <math>\;O\;</math>» et du « signe <math>\;-\;</math> si <math>\;\theta \nearrow\;</math> lors d'une phase d'approche de <math>\;O\;</math>» ; {{Al|5}}après une éventuelle intégration analytique<ref name="intégration analytique" /> ou numérique de «<math>\;\theta = \displaystyle\int_{r_0}^r \pm C\;\dfrac{dr'}{{r'}^2\;\sqrt{\dfrac{2 \left[ E_{m,\,0} - U_{\text{eff}}(r') \right]}{m}}}\;</math>»<ref name="en général compliqué" /> on peut obtenir l'équation polaire de la trajectoire de <math>\;M\;</math> sous la forme «<math>\;\theta = \theta(r)\;</math>» puis, si la fonction <math>\;\theta(r)\;</math> est inversable, sous la forme «<math>\;r = r(\theta)\;</math>» <math>\;\ldots</math> == En complément : oscillateur harmonique spatial (non amorti), détermination de son mouvement par r.f.d.n., de ses demi-grand axe et demi-petit axe par étude énergétique utilisant l’énergie potentielle effective == {{Al|5}}L'étude de l'oscillateur harmonique spatial n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., ce dernier n’exigeant que la connaissance de l’oscillateur harmonique à une dimension, toutefois, quand on projette un oscillateur harmonique spatial sur un axe on obtient un oscillateur harmonique à une dimension, d'où l'intérêt de présenter cette étude <math>\;\ldots</math> === Définition d’un oscillateur harmonique spatial (non amorti) === {{Définition|titre=Oscillateur harmonique spatial (non amorti)|contenu={{Al|5}}Un oscillateur harmonique spatial <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> est un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> ayant <math>\;\big(</math>sauf cas particuliers<math>\big)\;</math> plus de <math>\;1\;</math> degré de {{Nobr|liberté<ref name="nombre de degrés de liberté"> Il a donc, en général, au moins <math>\;2\;</math> degrés de liberté mais comme on démontre que son mouvement est, dans le cas général, plan <math>\;\big(</math>ou rectiligne dans des cas particuliers<math>\big)</math>, il n'en a, finalement, que <math>\;2\;</math> dans le cas général <math>\;\big(</math>et <math>\;1\;</math> dans ces cas particuliers<math>\big)</math> <math>\;\ldots</math></ref>}} <u>soumis uniquement à une force de rappel linéaire vers un centre attractif</u> <math>\;O\;</math> <u>fixe dans le référentiel d’étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> du type <center>«<math>\;\vec{F}(M) = - k\;\overrightarrow{OM} = - k\; r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle <math>\;> 0\;</math>», <br />«<math>\;r = OM\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M\;</math>»<ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il peut, bien sûr, y avoir d’autres forces mais celles-ci doivent avoir une influence négligeable devant celle de la force <math>\;\vec{F}(M) = - k\;\overrightarrow{OM}</math> <math>\;\Big[</math>par exemple, si le référentiel d’étude est la Terre, il y a nécessairement le poids du point matériel mais l'influence de celui-ci peut être négligée si sa norme est faible devant celle de <math>\;\vec{F}(M) = - k\;\overrightarrow{OM}\Big]\;</math> ou se compenser entre elles <math>\;\big(</math>par exemple, le référentiel d’étude étant toujours la Terre, le poids du point matériel reposant, sans frottement solide, sur un plan horizontal, est compensé par la réaction de ce plan<math>\big)</math>. === 1^ères propriétés du mouvement de M === {{Al|5}}La définition d'un oscillateur harmonique spatial <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> communique à ce dernier un « <u>mouvement à force centrale conservative</u> », on en déduit donc les propriétés suivantes <math>\;\big[</math>les 1^ères étant caractéristiques d'un mouvement à force centrale <math>\;\big(</math>conservative ou non<math>\big)</math>, les 2^ndes nécessitant que le mouvement soit à force centrale conservative<math>\big]</math>, ceci dans la mesure où le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> est galiléen : * « conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à <math>\;O\;</math>» <math>\Rightarrow</math> nature plane <math>\;\big(</math>ou rectiligne<ref name="dégénérescence"> Si les conditions initiales <math>\;\big(</math>C.I.<math>\big)\;</math> de lancement correspondent à <math>\;\vec{V}_0 \parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0}</math>, l'oscillateur harmonique spatial s’identifiant à un oscillateur harmonique à une dimension <math>\;\big(</math>ou à un degré de liberté<math>\big)\;</math> déjà étudié au chap.<math>1</math> intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] », est dit « <u>dégénéré</u> », la dégénérescence résultant des C.I. cesse usuellement en modifiant ces dernières.</ref><math>\big)\;</math> du mouvement, <br />{{Al|7}}{{Transparent|« conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à O » }}applicabilité de la loi des aires et <br />{{Al|7}}{{Transparent|« conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport à O » }}possibilité d’utiliser la formule de Binet<ref name="Binet"> '''[[w:Jacques_Philippe_Marie_Binet|Jacques Philippe Marie Binet]] (1786 - 1856)''' mathématicien et astronome français, on lui doit, dans le domaine des mathématiques, entre autres, une étude assez détaillée des fonctions eulériennes {{Nobr|<math>\;\big[</math>[[w:Fonction_gamma|fonction gamma]]}} et [[w:Fonction_bêta|fonction bêta]]<math>\big]\;</math> ainsi que le calcul du n^ième terme de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] et, dans le domaine de l'astronomie, ces formules connues sous le nom de « formules de Binet » permettant d'exprimer les composantes polaires de la vitesse et de l'accélération quand cette dernière est centrale ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonardo__Fibonacci|Leonardo Fibonacci]] (vers 1175 - vers 1250)''' mathématicien italien connu pour son introduction de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] mais a aussi joué un rôle essentiel pour insérer le [[w:Mathématiques_arabes|savoir mathématique des musulmans]], notamment des [[w:Chiffres_arabes|chiffres indo-arabes]], dans le monde de l'Occident.</ref> relative à l’accélération radiale<ref name="inintéressant"> En fait totalement inintéressant ici.</ref>, * « conservation de son énergie mécanique <math>\;\big(</math>simultanément à l’utilisation de la loi des aires<math>\big)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> possibilité d’utiliser la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative au carré de la vitesse<ref name="inintéressant" /> ou <br />{{Al|8}}{{Transparent|« conservation de son énergie mécanique (simultanément à l’utilisation de la loi des aires) » possibilité d'utiliser }} le diagramme d’énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique du mouvement radial de <math>\;M\;</math> pour établir qu'il est dans un « état lié »<ref> L'état du mouvement de <math>\;M\;</math> ne pouvant pas être « de diffusion », la force centrale étant attractive de norme d'autant plus grande que <math>\;M\;</math> s'éloigne de <math>\;O</math>, néanmoins le caractère « lié » de l'état doit être vérifié.</ref> d'une part et déterminer les distances extrémales d’approche et d’éloignement du point <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>de façon graphique ou algébrique<math>\big)\;</math> d'autre part. === Nature de la trajectoire === {{Al|5}}Bien que le mouvement d'un oscillateur harmonique spatial <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> soit à force centrale, il est inutile <math>\;\big(</math>et même nettement plus compliqué<math>\big)\;</math> d’utiliser cette propriété car l’application directe de la {{Nobr|r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />.}} nous conduit à une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre en «<math>\;\vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» sans terme du 1^er ordre particulièrement simple à intégrer. ==== Détermination de l’équation différentielle en vecteur position de M par application de la r.f.d.n. ==== {{Al|5}}La r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à l'oscillateur harmonique spatial <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math> <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen donne «<math>\;\vec{F}(M) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> ou <math>\;- k\;\vec{r}(t) = m\; \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t)\;</math>» soit, après normalisation, <center>«<math>\;\dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t) + \dfrac{k}{m}\;\vec{r}(t) = \vec{0}\;</math>» <br />une équation différentielle linéaire <math>\;\big(</math>homogène<math>\big)\;</math> à cœfficients constants du 2^ème ordre en «<math>\;\vec{r}(t)\;</math>» sans terme du 1^er ordre <br />caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial non amorti<ref> La caractérisation ne nécessitant le caractère « homogène » de l'équation différentielle.</ref> ;</center> {{Al|5}}on définit alors la <u>pulsation propre</u> de cet oscillateur harmonique spatial non amorti «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et la forme canonique de l’équation différentielle vectorielle du mouvement de ce dernier s'écrit selon <center>«<math>\;\ddot{\vec{r}}(t) + \omega_0^2\;\vec{r}(t) = \vec{0}\;</math>».</center> ==== Loi horaire vectorielle du vecteur position de M ==== {{Al|5}}Le vecteur position de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t)\;</math>» est donc la solution libre de l’équation précédente c'est-à-dire du type «<math>\;\vec{r}(t) = \vec{A}\;\cos(\omega_0\;t) + \vec{B}\;\sin(\omega_0\;t)\;</math>»<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode de résolution d'une équation vectorielle étant similaire à celle d'une équation scalaire ; <br>{{Al|3}}en effet, que l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène soit scalaire ou vectorielle, l’équation caractéristique est la même <math>\;\big[</math>on cherche des solutions particulières de la forme <math>\;A\;\exp(st)\;</math> pour une équation scalaire et <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\;</math> pour une équation vectorielle d'où la même équation en <math>\;s\;</math> après simplification par <math>\;A\;\exp(st)\;</math> ou <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\big]\;</math> et par suite la base est aussi la même « ici c’est <math>\;\left\lbrace \cos(\omega_0\;t)\,,\, \sin(\omega_0\;t) \right\rbrace\;</math>».</ref> avec <math>\;\vec{A}\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math> vecteurs constants d’intégration<ref name="particularité d'une équation différentielle vectorielle"> On rappelle que l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène constituant un espace vectoriel de dimension <math>\;2</math>, il suffit de déterminer une base de cet ensemble pour en déduire la solution générale par combinaison linéaire <math>\;\big(</math>C.L.<math>\big)\;</math> des éléments de cette base, les constantes multiplicatives étant des éléments quelconques pris dans le domaine de valeurs des solutions c'est-à-dire des vecteurs de l'espace tridimensionnel dans le cas d'une équation différentielle linéaire vectorielle ou des scalaires dans celui d'une équation différentielle linéaire scalaire ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : dans le cas d'une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique non amorti à un degré de liberté la solution <math>\;x(t) = A\;\cos(\omega_0\;t) + B\;\sin(\omega_0\;t)\;</math> peut être réécrite selon <math>\;x(t) = A'\;\cos(\omega_0\;t + \varphi)\;</math> avec <math>\;A'\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> deux constantes arbitraires d'intégration, <br>{{Al|3}}{{Transparent|remarque :}} cela devient évidemment faux pour une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial non amorti, seule la forme <math>\;\vec{r}(t) = \vec{A}\;\cos(\omega_0\;t) + \vec{B}\;\sin(\omega_0\;t)\;</math> est possible, <math>\;\vec{A'}\;\cos\! \left( \omega_0\;t + \vec{\varphi} \right)\;</math> n'ayant aucun sens <math>\;\ldots</math></ref> déterminés par C.I<ref name="C.I." />. [[File:Oscillateur harmonique spatial non amorti - trajectoire.png|thumb|300px|Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti <math>\;M</math>, de pulsation propre <math>\;\omega_0</math>, lancé dans des C.I. telles que les vecteurs position et vitesse initiales <math>\;\vec{r}_0\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> ne sont pas colinéaires c'est-à-dire une ellipse de centre de symétrie « le centre de force <math>\;O\;</math>» <math>\;\big(</math>sont aussi représentés les demi-grand axe et demi-petit axe de l'ellipse<ref> La position des foyers ne pouvant être déterminée directement <math>\;\big(</math>ceux-ci ne jouant aucun rôle dans le mouvement<math>\big)\;</math> le demi-grand axe <math>\;a</math> <math>\;\big(</math>ou demi-axe focal<math>\big)\;</math> est le plus grand des demi-axes, l'autre étant le demi-petit axe <math>\;b</math> <math>\;\big(</math>ou demi-axe non focal<math>\big)</math>.</ref><math>\big)</math>]] * «<math>\;\vec{r}(0) = \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant choisi passant par <math>\;M_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{r}(0) = \vec{A}\;\cos(\omega_0 \times 0)\; \cancel{+ \vec{B}\;\sin(\omega_0 \times 0)} = \vec{A}\;</math> d'où «<math>\;\vec{A} = \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math>» et * «<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> étant choisi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOy\;</math> et <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» avec «<math>\;\alpha_0 \neq 0\;</math> et <math>\;\pi\;</math>»<ref name="purement spatial"> «<math>\;\alpha_0 = 0\;</math> ou <math>\;\pi\;</math>» correspondant à un oscillateur harmonique non amorti à un degré de liberté déjà traité au chap.<math>1</math> intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique|oscillateur harmonique]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\Big(</math>les angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant orientés par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z \perp\;</math> au plan et pointant vers le lecteur en accord avec <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> direct <math>\;\big[</math>l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big]\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Une base directe, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\Big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{V}_M(0) = \cancel{-\omega_0\;\vec{A}\;\sin(\omega_0 \times 0)\; +}\; \omega_0\;\vec{B}\;\cos(\omega_0 \times 0) = \omega_0\;\vec{B}\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;\vec{B} =</math>}} <math>\dfrac{\vec{V}_0}{\omega_0}\;</math>» ou, en décomposant sur les deux axes cartésiens, «<math>\;\vec{B} = \dfrac{V_0}{\omega_0}\;\cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + \dfrac{V_0}{\omega_0}\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math>» ; {{Al|5}}finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial non amorti s’écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t) = \vec{r}_0\;\cos(\omega_0\;t) + \dfrac{\vec{V}_0}{\omega_0}\;\sin(\omega_0\;t)\;</math>», <br />on y observe une relaxation <u>périodique</u> de période propre «<math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;</math>».</center> ==== Étude du mouvement et nature de la trajectoire ==== {{Al|5}}La trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti <math>\;M\;</math> d'équation paramétrique vectorielle «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}_0\;\cos(\omega_0\;t) + \dfrac{\vec{V}_0}{\omega_0}\;\sin(\omega_0\;t)\;</math>» est, dans la mesure où <math>\;\vec{V}_0\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> « une <u>ellipse</u> de centre <math>\;O\;</math>»<ref name="dégénérescence"/> inscrite dans un parallélogramme de côtés respectivement <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> car * d'une part la trajectoire est <u>plane</u><ref name="accord avec mouvement à force centrale"> En accord avec un mouvement à force centrale.</ref> contenue dans le plan contenant <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\Big(\overrightarrow{OM}\;</math> étant une C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. de <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\Big)\;</math> et * d'autre part le mouvement est « <u>la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux en quadrature, de même pulsation</u> <math>\;\omega_0\;</math>», d’amplitudes respectives «<math>\;r_0\;</math> et <math>\;\dfrac{V_0}{\omega_0}\;</math>» <math>\;\Big(</math>dans laquelle <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\Big)\;</math> <u>suivant deux directions distinctes</u> «<math>\;\overrightarrow{OA_0} = \vec{r}_0\;</math>» et «<math>\;\overrightarrow{OB_0} = \dfrac{\vec{V}_0}{\omega_0}\;</math>», voir schéma ci-dessus, {{Al|5}}ces deux propriétés caractérisant le mouvement d'un point décrivant <u>une ellipse de centre</u> <math>\;O\;</math> <u>inscrite dans un parallélogramme dont les côtés sont respectivement</u> <math>\;\parallel\;</math> <u>aux directions suivant lesquelles sont repérés les mouvements rectilignes sinusoïdaux en quadrature et de même pulsation</u> <math>\;\big[</math>généralisation<ref> Celle-ci étant, pour l'instant, admise, une démonstration étant présentée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Équation_cartésienne_de_la_trajectoire_sous_forme_implicite|équation cartésienne de la trajectoire sous forme implicite]] » plus bas dans ce chapitre.</ref> du paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Conséquence_:_équations_paramétriques_d'une_ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » quand les axes ne sont plus <math>\;\perp\big]</math> ; {{Al|5}}le mouvement de <math>\;M\;</math> sur l'ellipse est périodique, de période propre «<math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math>», <math>\;M\;</math> occupe successivement, sur l'ellipse, les positions suivantes : * «<math>\;M\;</math> en <math>\;A_0 = M_0\;</math>» à l'instant initial «<math>\;t = 0\;</math>», * «<math>\;M\;</math> en <math>\;B_0\;</math>» à l'instant «<math>\;t \equiv \dfrac{T_0}{4}\!\! \pmod{T_0}\;</math>», * «<math>\;M\;</math> en <math>\;{A'}_0\;</math>» <math>\;\big(</math>le symétrique de <math>\;A_0\;</math> par rapport à <math>\;O\big)\;</math> à l'instant «<math>\;t \equiv \dfrac{T_0}{2}\!\! \pmod{T_0}\;</math>», * «<math>\;M\;</math> en <math>\;{B'}_0\;</math>» <math>\;\big(</math>le symétrique de <math>\;B_0\;</math> par rapport à <math>\;O\big)\;</math> à l'instant «<math>\;t \equiv \dfrac{3\;T_0}{4}\!\! \pmod{T_0}\;</math>» et * «<math>\;M\;</math> de retour en <math>\;A_0\;</math>» à l'instant «<math>\;t = T_0\;</math>» ainsi que «<math>\;t \equiv 0\!\! \pmod{T_0}\;</math>», {{Al|5}}les positions <math>\;A_0</math>, <math>\;B_0</math>, <math>\;{A'}_0\;</math> et <math>\;{B'}_0\;</math> étant les points de contact de l'ellipse sur le parallélogramme dans lequel elle est inscrite. ==== Équation cartésienne de la trajectoire sous forme implicite ==== {{Al|5}}Les axes <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> ayant été précisés au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Loi_horaire_vectorielle_du_vecteur_position_de_M|loi horaire vectorielle du vecteur position de M]] » plus haut dans ce chapitre, on détermine les équations paramétriques cartésiennes de la trajectoire de <math>\;M\;</math> à partir de son équation paramétrique vectorielle «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t) = \vec{r}_0\;\cos(\omega_0\;t) + \dfrac{\vec{V}_0}{\omega_0}\;\sin(\omega_0\;t)\;</math>» en projetant cette dernière sur les deux axes du plan <math>\;xOy\;</math> selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x(t) = \vec{r}(t) \cdot \vec{u}_x\\ y(t) = \vec{r}(t) \cdot \vec{u}_y\end{array} \right\rbrace\;</math>» soit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l l l} x(t) &=& r_0\;\cos(\omega_0\;t) &+& \dfrac{V_0}{\omega_0}\;\cos(\alpha_0)\;\sin(\omega_0\;t)\\ y(t) &= & & & \dfrac{V_0}{\omega_0}\;\sin(\alpha_0)\;\sin(\omega_0\;t)\end{array} \right\rbrace\;</math>» ; {{Al|5}}on élimine alors le paramètre «<math>\;t\;</math>» pour déduire l’équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> en exprimant «<math>\;\sin(\omega_0\;t)\;</math> et <math>\;\cos(\omega_0\;t)\;</math>» selon «<math>\;\sin(\omega_0\;t) = \dfrac{\omega_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;y\;</math>» que l'on reporte dans l'équation de définition de <math>\;x(t)\;</math> soit «<math>\;x(t) - \dfrac{V_0}{\omega_0}\;\cos(\alpha_0)\;\dfrac{\omega_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;y(t) = r_0\;\cos(\omega_0\;t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x(t) - \cot(\alpha_0)\;y(t) = r_0\;\cos(\omega_0\;t)\;</math>» dont on tire «<math>\;\cos(\omega_0\;t) = \dfrac{x - \cot(\alpha_0)\;y}{r_0}\;</math>», l’élimination de {{Nobr|«<math>\;t\;</math>»}} se faisant à l’aide «<math>\;\cos^2(\omega_0\;t) + \sin^2(\omega_0\;t) = 1\;</math>» d'où l’équation cartésienne de la trajectoire de <math>\;M\;</math> sous forme implicite «<math>\;\dfrac{\left[ x - \cot(\alpha_0)\;y \right]^2}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}\;y^2 = 1\;</math>» ou encore en développant <center>«<math>\;\dfrac{x^2}{r_0^2} + \left[ \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} \right] y^2 - \dfrac{2\;\cot(\alpha_0)}{r_0^2}\;x\;y = 1\;</math>» ;</center> {{Al|5}}l'équation cartésienne ci-dessus étant de [[w:Forme_quadratique|forme quadratique]] des deux variables <math>\;x\;</math> et <math>\;y\;</math> représente effectivement l’équation d'une <u>conique</u> admettant «<math>\;O\;</math> comme centre de symétrie »<ref> En effet l'équation est invariante par changement «<math>\;x \rightarrow -x\;</math> et <math>\;y \rightarrow -y\;</math>».</ref> n’admettant « aucun point à distance infinie de <math>\;O\;</math>»<ref> En effet, supposant <math>\;x\;</math> fixée à la valeur <math>\;X\;</math> et cherchant les valeurs correspondantes possibles de <math>\;y\;</math> on aboutit à l'équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;y\;</math> écrite ordonnée et en degré décroissant {{Nobr|«<math>\;\left[ \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} \right] y^2 - \dfrac{2\;\cot(\alpha_0)\;X}{r_0^2}\;y + \dfrac{X^2}{r_0^2} - 1 = 0\;</math>»}} de discriminant réduit «<math>\;\Delta' = \dfrac{\cot^2(\alpha_0)\;X^2}{r_0^4} - \left[ \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} \right] \left[ \dfrac{X^2}{r_0^2} - 1 \right]\;</math> soit, après simplification évidente, «<math>\;\Delta' = -\dfrac{\omega_0^2}{r_0^2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}\;X^2 + \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}\;</math>» ; quand <math>\;\vert X \vert\;</math> devient très grand, «<math>\;\Delta' \sim -\dfrac{\omega_0^2}{r_0^2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}\;X^2 < 0\;</math>» d'où l'absence de solution réelle c'est-à-dire l'absence de points de la conique pour <math>\;\vert X \vert\;</math> très grand ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}supposant <math>\;y\;</math> fixée à la valeur <math>\;Y\;</math> et cherchant les valeurs correspondantes possibles de <math>\;x\;</math> on aboutit à l'équation algébrique du 2^ème degré en <math>\;x\;</math> écrite ordonnée et en degré décroissant {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{r_0^2}\;x^2 - \dfrac{2\;\cot(\alpha_0)\;Y}{r_0^2}\;x + \left[ \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} \right] Y^2 - 1 = 0\;</math>»}} de discriminant réduit «<math>\;\Delta' = \dfrac{\cot^2(\alpha_0)\;Y^2}{r_0^4} - \dfrac{1}{r_0^2} \left\lbrace \left[ \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} \right] Y^2 - 1 \right\rbrace\;</math> soit, après simplification évidente, «<math>\;\Delta' = -\dfrac{\omega_0^2}{r_0^2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}\;Y^2 + \dfrac{1}{r_0^2}\;</math>» ; quand <math>\;\vert Y \vert\;</math> devient très grand, «<math>\;\Delta' \sim -\dfrac{\omega_0^2}{r_0^2\;V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}\;Y^2 < 0\;</math>» d'où l'absence de solution réelle c'est-à-dire l'absence de points de la conique pour <math>\;\vert Y \vert\;</math> très grand.</ref>, il s’agit donc d’une <u>ellipse</u> <math>\;\big(</math>de centre <math>\;O\big)</math> ; {{Al|5}}si on fait une rotation du système d’axes d’un angle <math>\;\varphi_0\;</math> autour de <math>\;O\;</math> de façon à ce que « les nouveaux axes deviennent les axes focaux et non focaux », on obtient l’équation caractéristique d’une ellipse de centre <math>\;O\;</math> et dont les axes sont les axes du système cartésien «<math>\;\dfrac{{x'}^2}{{a'}^2} + \dfrac{{y'}^2}{{b'}^2} = 1\;</math>»<ref name="équation cartésienne d'une ellipse de centre O et d'axes x'x et y'y"> Voir le paragraphe « équation cartésienne d'une [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Ellipse_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}}<ref> Avec l'angle de rotation <math>\;\varphi\;</math> quelconque, les anciennes coordonnées de <math>\;M\;</math> «<math>\;\left( x\,,\, y \right)\;</math>» s'expriment en fonction des nouvelles «<math>\;\left( x'\,,\, y' \right)\;</math>» selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x = x'\;\cos(\varphi) - y'\;\sin(\varphi)\\ y = x'\;\sin(\varphi) + y'\;\cos(\varphi)\end{array} \right\rbrace\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>en effet les nouveaux vecteurs de base cartésienne «<math>\;\left( \vec{u}_{x'}\,,\, \vec{u}_{y'} \right)\;</math>» s'exprimant en fonction des anciens «<math>\;\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y \right)\;</math>» selon «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vec{u}_{x'} = \vec{u}_x\;\cos(\varphi) + \vec{u}_y\;\sin(\varphi)\\ \vec{u}_{y'} = -\vec{u}_x\;\sin(\varphi) + \vec{u}_y\;\cos(\varphi)\end{array} \right\rbrace\;</math>», le vecteur position de <math>\;M\;</math> décomposé dans la nouvelle base selon «<math>\;\overrightarrow{OM} = x'\;\vec{u}_{x'} + y'\;\vec{u}_{y'}\;</math>» se réécrit dans l'ancienne suivant «<math>\;\overrightarrow{OM} = x' \left[ \vec{u}_x\;\cos(\varphi) + \vec{u}_y\;\sin(\varphi) \right] + y' \left[ -\vec{u}_x\;\sin(\varphi) + \vec{u}_y\;\cos(\varphi) \right]</math>» soit, en regroupant les composantes sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> et sur <math>\;\vec{u}_y</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM} = \left[ x'\;\cos(\varphi) - y'\;\sin(\varphi) \right] \vec{u}_x + \left[ x'\;\sin(\varphi) + y'\;\cos(\varphi) \right] \vec{u}_y\;</math>» s'identifiant à «<math>\;\overrightarrow{OM} = x\; \vec{u}_x + y\; \vec{u}_y\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left[ \begin{array}{c} x = x'\;\cos(\varphi) - y'\;\sin(\varphi)\\ y = x'\;\sin(\varphi) + y'\;\cos(\varphi)\end{array} \right]\;</math>»<math>\bigg\}\;</math> d'où la [[w:Forme_quadratique|forme quadratique]] se réécrivant selon «<math>\;\dfrac{\left[ x'\;\cos(\varphi) - y'\;\sin(\varphi) \right]^2}{r_0^2} + \left[ \dfrac{\cot^2(\alpha_0)}{r_0^2} + \dfrac{\omega_0^2}{V_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} \right] \left[ x'\;\sin(\varphi) + y'\;\cos(\varphi) \right]^2 - \dfrac{2\;\cot(\alpha_0)}{r_0^2} \left[ x'\;\cos(\varphi) - y'\;\sin(\varphi) \right] \left[ x'\;\sin(\varphi) + y'\;\cos(\varphi) \right] = 1\;</math>» c'est-à-dire, en regroupant les termes en <math>\;{x'}^2</math>, <math>\;{y'}^2\;</math> et <math>\;x'\;y'\;</math> sous la forme «<math>\;{A'}(\varphi)\;{x'}^2 + {B'}(\varphi)\;{y'}^2 + {C'}(\varphi)\;x'\;y' = 1\;</math>» ; <br>{{Al|3}}il reste alors à chercher les valeurs «<math>\;\varphi_0\;</math> de <math>\;\varphi\;</math> annulant <math>\;{C'}(\varphi)\;</math>» c'est-à-dire telles que «<math>\;{C'}(\varphi_0) = 0\;</math>», la [[w:Forme_quadratique|forme quadratique]] s'écrivant alors «<math>\;{A'}(\varphi_0)\;{x'}^2 + {B'}(\varphi_0)\;{y'}^2 = 1\;</math>» avec <math>\;{A'}(\varphi_0) > 0\;</math> et <math>\;{B'}(\varphi_0) > 0</math>, ou encore «<math>\;\dfrac{{x'}^2}{{a'}^2} + \dfrac{{y'}^2}{{b'}^2} = 1\;</math>» avec <math>\;a' = \dfrac{1}{\sqrt{{A'}(\varphi_0)}}\;</math> et <math>\;b' = \dfrac{1}{\sqrt{{B'}(\varphi_0)}}\;</math> les demi-axes focal et non focal <math>\;\big[</math>le demi-axe focal <math>\;a</math> <math>\;\big(</math>ou demi-grand axe<math>\big)\;</math> pouvant être <math>\;a'\;</math> ou <math>\;b'</math>, le demi-axe non focal <math>\;b</math> <math>\;\big(</math>ou demi-petit axe<math>\big)\;</math> étant alors l'autre<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>un peu trop laborieux pour être tenté algébriquement, éventuellement numériquement si besoin est<math>\big\}\;\ldots</math></ref>. === « Tentative » d’utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale pour déterminer l’équation polaire de la trajectoire === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La présentation qui est faite ici a pour seul but d’expliquer pourquoi il ne faut pas d’utiliser la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative à l’accélération radiale pour déterminer l’équation polaire d'un oscillateur harmonique spatial non amorti alors que son utilisation est si performante dans le cas du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonienne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Exemple_d’utilisation_de_la_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale|exemple d'utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale]] (un exemple aboutissant à une résolution simplifiée par utilisation de la 2^ème formule de Binet → mouvement à force centrale d'un point matériel M dans un champ de force newtonienne) » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » pour un 1^er exposé<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }} ainsi le fait que l'oscillateur harmonique spatial non amorti soit un mouvement à force centrale n’est pas une raison suffisante pour utiliser la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative à l'accélération radiale <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Présentation de la tentative</u> : La projection, sur le vecteur unitaire radial <math>\;\vec{u}_r</math>, de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à l'oscillateur harmonique spatial <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math> <math>\;M \left( m \right)\;</math> donnant «<math>\;-k\;r(t) = m\;a_r(t)\;</math>» où <math>\;a_r(t)\;</math> est l'accélération radiale de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, <math>\;r(t)\;</math> étant sa coordonnée radiale au même instant <math>\;t</math>, se réécrit, en utilisant la 2^ème formule de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;a_r(t) = -C^2\;u^2 \left[ u'' + u \right]\;</math>»<ref name="2ème formule de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale)|2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\;C\;</math> la constante des aires du mouvement de <math>\;M\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> ainsi que <math>\;u = \dfrac{1}{r}\;</math> et <math>\;u'' = \dfrac{d^2 u}{d \theta^2}\;</math> la 1^ère et 3^ème variables de Binet<ref name="Binet" />, toutes deux fonctions de <math>\;\theta\;</math><ref name="variables de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_des_variables_de_Binet|définition des variables de Binet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, «<math>\;-\dfrac{k}{u(\theta)} = -m\;C^2\;u^2(\theta) \left[ u''(\theta) + u(\theta) \right]\;</math>» soit, avec <math>\;C \neq 0</math>, <center>«<math>\;\dfrac{d^2 u}{d \theta^2}(\theta) + u(\theta) - \dfrac{k}{m\;C^2}\;\dfrac{1}{u^3(\theta)} = 0\;</math>» c'est-à-dire <br />une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en <math>\;u(\theta)</math> <math>\;\big[</math>de résolution non simple donc utilisation à proscrire<math>\big]</math>.</center> === « Détermination des demi grand axe et demi petit axe » par étude énergétique === {{Al|5}}La force centrale <math>\;\vec{F}(M) = -k\;r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante <math>\;> 0</math>, <math>\;r = OM\;</math> la coordonnée radiale de l'oscillateur harmonique spatial non amorti <math>\;M\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> le vecteur unitaire radial du repérage polaire de <math>\;M\;</math> lié à ce dernier dans le plan <math>\;xOy\;</math> de son mouvement, étant conservative « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U(r) = \dfrac{1}{2}\;k\;r^2</math>, la référence de cette dernière<ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant choisie au centre de force <math>\;O\;</math>»<ref> En effet l'énergie potentielle dont « dérive » la force <math>\;\vec{F}(M) = -k\;r\;\vec{u}_r\;</math> est telle que le travail élémentaire de cette dernière <math>\;\delta W(\vec{F}) = -k\;r\;dr\;</math> est égale à <math>\;-dU\;</math> d'où <math>\;\dfrac{dU}{dr}(r) = k\;r\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U(r) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;k\;r^2 + cste\;</math> ou, en choisissant sa référence <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'endroit où elle est nulle<math>\big)\;</math> en <math>\;r = 0</math>, «<math>\;U(r) = \dfrac{1}{2}\;k\;r^2\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}le mouvement de <math>\;M \left( m \right)\;</math> étant conservatif<ref name="mouvement conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Définition_d'un_mouvement_conservatif|définition d'un mouvement conservatif]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire la conservation de son énergie mécanique<ref name="conservation de Em d'un point à mouvement conservatif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Intégrale_1ère_«_énergétique_»_d'un_point_matériel_à_mouvement_conservatif|intégrale 1^ère “ énergétique ” d'un point matériel à mouvement conservatif]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^2(t) + U\! \left[ r(t) \right] = E_{m,\,0}\;</math> dans laquelle <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + U(r_0)\;</math> est l'énergie mécanique initiale de l'oscillateur harmonique spatial non amorti » et, dans la mesure où le mouvement de <math>\;M\;</math> est « à force centrale conservative » réécrire la conservation de son énergie mécanique selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right] = E_{m,\,0}\;</math> avec <math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} + U(r) = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} + \dfrac{1}{2}\;k\;r^2\;</math> son énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> et <math>\;C\;</math> sa constante des aires<ref name="définition de la constante des aires" /> » ; {{Al|5}}on peut alors tracer le diagramme d’énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique de l'oscillateur harmonique spatial non amorti dans les buts exposés ci-après : * vérifier que le point <math>\;M\;</math> est, quelles que soient les C.I<ref name="C.I." />., dans un « <u>état lié</u> » <math>\;\big(</math>ayant établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Étude_du_mouvement_et_nature_de_la_trajectoire|étude du mouvement et nature de la trajectoire]] d'un oscillateur harmonique spatial non amorti » plus haut dans ce chapitre que le mouvement de ce dernier est elliptique de centre <math>\;O\;</math> quelles que soient les C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\;</math> et pour cela il faut <br /><math>\;\succ\;</math>étudier la variation de <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> en fonction de <math>\;r</math> <math>\;\big(</math>ou même de <math>\;r^2</math>, <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> dépendant de <math>\;r^2\;</math> et <math>\;r\;</math> étant <math>\;> 0\big)\;</math> en évaluant sa dérivée par rapport à <math>\;r^2\;</math> soit «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{d\! \left( r^2 \right)}(r^2) = -\dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^4} + \dfrac{1}{2}\;k\;</math>» qui s’annule pour «<math>\;r_1^2 = \vert C \vert\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} = \dfrac{\vert C \vert}{\omega_0}\;</math>» avec «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> la pulsation propre de l’oscillateur harmonique spatial » soit finalement <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r_1) = 0\;</math><ref> En effet «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = \dfrac{d U_{\text{eff}}}{d\! \left( r^2 \right)}(r^2)\;\dfrac{d\! \left( r^2 \right)}{dr}(r) = \dfrac{d U_{\text{eff}}}{d\! \left( r^2 \right)}(r^2)\;2\;r\;</math>» d'où la nullité de <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{d\! \left( r^2 \right)}(r^2)\;</math> entraîne celle de <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r)</math>.</ref> avec «<math>\;r_1 = \sqrt{\dfrac{\vert C \vert}{\omega_0}}\;</math>», <br />{{Al|6}}la dérivée «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r)\;</math>» étant «<math>\;> 0\;</math> pour <math>\;r\;</math> grand, car <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{d\! \left( r^2 \right)}(r^2) \sim \dfrac{1}{2}\;k > 0\;</math>» et «<math>\;< 0\;</math> pour <math>\;r\;</math> petit, car <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{d\! \left( r^2 \right)}(r^2) \sim -\dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^4} < 0\;</math>», «<math>\;U_{\text{eff}} \searrow\;</math> sur <math>\;\left[ 0\,,\, r_1 \right]\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left[ r_1\,,\, +\infty \right[\;</math>», <br />{{Al|6}}avec «<math>\;r = 0\;</math> comme asymptote pour les faibles valeurs de <math>\;r\;</math>» mais une « absence d’asymptote <math>\;\big(</math>car branche parabolique<math>\big)\;</math> pour les grandes valeurs de <math>\;r\;</math>», <br />{{Al|6}}de plus la valeur du minimum de <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> pour <math>\;r_1\;</math> est «<math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}} = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r_1^2} + \dfrac{1}{2}\;k\;r_1^2 = \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{\vert C \vert\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}} + \dfrac{1}{2}\;k\;\vert C \vert\;\sqrt{\dfrac{m}{k}} = \vert C \vert\;\sqrt{m\;k}\;</math>» soit encore «<math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}} = m\;\vert C \vert\;\omega_0 = m\;\omega_0^2\;r_1^2</math>» puis [[File:Oscillateur harmonique spatial non amorti - diagramme d'énergies.png|thumb|300px|Diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique d'un oscillateur harmonique spatial non amorti de masse <math>\;m</math>, de constante des aires <math>\;C\;</math><ref name="définition de la constante des aires" /> et de pulsation propre <math>\;\omega_0</math>]] :<math>\;\succ\;</math>tracer le diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique de l'oscillateur harmonique spatial non amorti <math>\;\big(</math>voir ci-contre, l'abscisse étant exprimée en multiple de <math>\;r_1\;</math> et l'ordonnée en multiple de <math>\;m\;\omega_0^2\;r_1^2\big)\;</math> dans lequel on constate la « <u>présence de deux murs d'énergie potentielle {{Nobr|effective<ref name="efficace" />}} en regard</u> » dans la mesure où la vitesse radiale initiale <math>\;\dot{r}_0\;</math> de <math>\;M\;</math> est <math>\;\neq\;</math> de <math>\;0\;</math> simultanément à sa coordonnée radiale initiale <math>\;r_0 \neq\;</math> de <math>\;r_1\;</math> la coordonnée radiale pour laquelle <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> est minimale <math>\;\bigg[\Rightarrow\;</math>l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}_0^2 + U_{\text{eff}}(r_0)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}}\bigg]</math>, l'existence des murs d'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> résultant du fait que <math>\;\lim_{r\, \rightarrow\, 0} U_{\text{eff}}(r) \sim \lim_{r\, \rightarrow\, 0} \left[ \dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r^2} \right] = +\infty</math> <math>\;\big(</math>prépondérance du terme d'énergie cinétique orthoradiale dans <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> aux faibles valeurs de <math>\;r\big)\;</math> et <math>\;\lim_{r\, \rightarrow\, +\infty} U_{\text{eff}}(r) \sim \lim_{r\, \rightarrow\, +\infty} \left[ \dfrac{1}{2}\;k\;r^2 \right] = +\infty</math> <math>\;\big(</math>prépondérance du terme d'énergie potentielle dans <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> aux grandes valeurs de <math>\;r\big)\;</math> d'où la vérification que l'état de <math>\;M\;</math> ne peut être que « <u>lié</u> » ; <br />{{Al|6}}dans la mesure où la coordonnée radiale initiale <math>\;r_0\;</math> de <math>\;M\;</math> est égale à la coordonnée radiale pour laquelle <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> est minimale c'est-à-dire <math>\;r_1\;</math> simultanément à l'absence de vitesse radiale initiale de <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dot{r}_0 = 0</math>, l'énergie mécanique initiale de <math>\;M\;</math> valant <math>\;E_{m,\,0} = U_{\text{eff}}(r_1) = U_{\text{eff},\,\text{min}}</math>, on constate la présence d'<u>un guide d'énergie potentielle effective</u><ref name="efficace" /> impliquant que la coordonnée radiale <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> reste constante égale à <math>\;r_1\;</math> d'où la nature <u>circulaire</u> de centre <math>\;O\;</math> et de rayon <math>\;r_1\;</math> de la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial non amorti dans ces C.I<ref name="C.I." />. de lancement ; * déterminer les distances minimale d'approche et maximale d'éloignement de l'oscillateur harmonique spatial non amorti <math>\;M</math> : <u>ayant établi auparavant que la trajectoire</u> de ce dernier est « <u>une ellipse de centre</u> <math>\;O\;</math>», le « <u>demi-petit axe</u> <math>\;b\;</math>» s’identifie à la « <u>distance minimale d’approche</u> <math>\;r_{\text{min}}\;</math>» et le « <u>demi-grand axe</u> <math>\;a\;</math>» à la « <u>distance maximale d’éloignement</u> <math>\;r_{\text{max}}\;</math>», ces deux grandeurs pouvant être trouvées <br /><math>\;\succ\;</math>graphiquement <math>\;\Bigg[</math>les résultats sont alors numériques, sur l'exemple d'état lié présenté sur le diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique de <math>\;M\;</math> ci-dessus dans lequel <math>\;E_{m,\,0} = 5\;U_{\text{eff},\,\text{min}} = 5\;m\;\omega_0^2\;r_1^2</math>, on trouve «<math>\;b = r_{\text{min}} \simeq 0,3\;r_1 = 0,3\;\sqrt{\dfrac{\vert C \vert}{\omega_0}}\;</math>» et «<math>\;a = r_{\text{max}} \simeq 3,15\;r_1 = 3,15\;\sqrt{\dfrac{\vert C \vert}{\omega_0}}\;</math>»<ref name="excentricité"> On en déduit la distance séparant le centre d'un des foyers <math>\;c = \sqrt{a^2 - b^2} \simeq 3,136\;r_1 = 3,136\;\sqrt{\dfrac{\vert C \vert}{\omega_0}}\;</math> d'où une excentricité <math>\;e = \dfrac{c}{a} \simeq 0,995\;</math> <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (à retenir) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> correspondant à une ellipse très étirée sur son axe focal.</ref><math>\Bigg]\;</math> ou <br /><math>\;\succ\;</math>algébriquement <math>\;\big[</math>revoir la méthode au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Détermination_des_distances_extrémales_d’approche_et_d’éloignement_sous_réserve_d'existence|détermination des distances extrémales d'approche et d'éloignement sous réserve d'existence]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> : on écrit la conservation de l'énergie mécanique <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E_{m,\,0}\;</math> et on cherche les valeurs de <math>\;r\;</math> satisfaisant à <math>\;\dot{r} = 0\;</math> soit l'équation «<math>\;U_{\text{eff}}(r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="équation algébrique - bis" /> ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\dfrac{m\;C^2}{r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2}} + \dfrac{1}{2}\;k\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2} = E_{m,\,0}\;</math>» cette équation algébrique<ref name="équation algébrique" /> admettant « deux solutions réelles <math>\;> 0\;</math> puisque l'état de l'oscillateur harmonique spatial non amorti est lié » ; <br />{{Al|6}}l'équation algébrique<ref name="équation algébrique" /> se réécrit sous forme de l'[[w:Équation_quartique#Équations_bicarrées|équation bicarrée]] <math>\; \dfrac{1}{2}\;k\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,4} - E_{m,\,0}\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2} + \dfrac{1}{2}\;m\;C^2 = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,4} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{k}\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2} + \dfrac{m\;C^2}{k} = 0\;</math>» soit, <br />{{Al|6}}en introduisant <math>\;r_1^2 = \vert C \vert\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{m\;C^2}{k} = r_1^4\;</math>» et <math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;k = m\;\omega_0^2\;</math> ou, avec <math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}} = m\;\omega_0^2\;r_1^2</math>, «<math>\;k = \dfrac{U_{\text{eff},\,\text{min}}}{r_1^2}\;</math>» la réécriture de l'équation algébrique<ref name="équation algébrique" /> [[w:Équation_quartique#Équations_bicarrées|bicarrée]] selon {{Nobr|«<math>\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,4} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}}\;r_1^2\;r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}^{\,2} + r_1^4 = 0\;</math>»}} soit enfin, en divisant par <math>\;r_1^4\;</math> et en introduisant la variable «<math>\;\chi = \dfrac{r_{\text{min}\,\text{ou}\,\text{max}}}{r_1}\;</math>» l'[[w:Équation_quartique#Équations_bicarrées|équation bicarrée]] en <math>\;\chi\;</math> «<math>\;\chi^{\,4} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}}\;\chi^{\,2} + 1 = 0\;</math>» ; <br />{{Al|6}}le discriminant réduit de l'[[w:Équation_quartique#Équations_bicarrées|équation bicarrée]] ci-dessus s'écrivant «<math>\;\Delta' = \dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1 > 0\;</math>» dans la mesure où <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;U_{\text{eff},\,\text{min}}</math>, on obtient deux solutions réelles distinctes pour <math>\;\chi^2\;</math> toutes deux <math>\;> 0</math> <math>\;\bigg[</math>leur produit valant <math>\;+1 > 0\;</math> et leur somme <math>\;\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} > 0\bigg]\;</math> soit «<math>\;\chi_{\text{min}}^{\,2} = \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} - \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}\;</math>» et «<math>\;\chi_{\text{max}}^{\,2} = \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} + \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}\;</math>» soit encore, en gardant les valeurs positives des solutions de l'[[w:Équation_quartique#Équations_bicarrées|équation bicarrée]], «<math>\;\chi_{\text{min}} = \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} - \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}}\;</math>» et «<math>\;\chi_{\text{max}} = \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} + \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}}\;</math>» ; <br />{{Al|6}}finalement le <u>demi-petit axe</u> de l'ellipse vaut «<math>\;b = r_{\text{min}} = r_1\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} - \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}} \simeq 0,318\;r_1\;</math>» et son <u>demi-grand axe</u> «<math>\;a = r_{\text{max}} = r_1\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} + \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}} \simeq 3,146\;r_1\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>les}} applications numériques étant faites dans le cadre du diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique ci-dessus dans lequel <math>\;E_{m,\,0} = 5\;U_{\text{eff},\,\text{min}}\big)</math> ; <br />{{Al|6}}on en déduit la distance séparant le centre de l'ellipse d'un de ses foyers «<math>\;c = \sqrt{a^2 - b^2} = r_1\;\sqrt{\left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} + \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1} \right] - \left[ \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} - \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}\right]} = r_1\;\sqrt{2}\;\sqrt[4]{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}\;</math>» et par suite son excentricité «<math>\;e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{2}\;\sqrt[4]{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}} + \sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}^{\,2}}{U_{\text{eff},\,\text{min}}^{\,2}} - 1}}}\;</math>» soit numériquement, dans le cadre où <math>\;E_{m,\,0} = 5\;U_{\text{eff},\,\text{min}}</math>, «<math>\;c \simeq 3,130\;r_1\;</math>» et «<math>\;e \simeq 0,995\;</math>» <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (à retenir) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> correspondant à une ellipse très étirée sur son axe focal. == En complément : « oscillateur harmonique spatial amorti », détermination de son mouvement par r.f.d.n., établissement de la décroissance exponentielle de son moment cinétique vectoriel par rapport à O == {{Al|5}}L'étude de l'oscillateur harmonique spatial « amorti » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\big(</math>tout comme ne l'est pas non plus l'étude de l'oscillateur harmonique spatial non amorti<math>\big)</math>, le programme n’exigeant que la connaissance de l'oscillateur harmonique amorti à une dimension <math>\;\big(</math>de même qu'il n'exige que celle de l'oscillateur harmonique non amorti à une dimension<math>\big)</math>, toutefois, quand on projette un oscillateur harmonique spatial « amorti » sur un axe on obtient un oscillateur harmonique amorti à une dimension, d'où l'intérêt de présenter cette étude <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}On notera que ce paragraphe ne devrait pas être dans ce chapitre car <u>l’oscillateur harmonique spatial amorti n’a pas un mouvement à force centrale</u>, toutefois sa résolution étant semblable à celle d’un oscillateur harmonique spatial non amorti, c’est encore le meilleur endroit pour l’exposer <math>\;\ldots</math> === Définition d’un oscillateur harmonique spatial amorti === {{Définition|titre=Oscillateur harmonique spatial amorti|contenu={{Al|5}}Un oscillateur harmonique spatial amorti est un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> ayant <math>\;\big(</math>en général<math>\big)\;</math> plus de <math>\;1\;</math> degré de liberté<ref name="nombre de degrés de liberté" /> <u>soumis à</u> * <u>une force de rappel linéaire vers un centre attractif</u> <math>\;O\;</math> <u>fixe dans le référentiel d’étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> du type <center>«<math>\;\vec{F}(M) = - k\;\overrightarrow{OM} = - k\; r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;</math> constante réelle <math>\;> 0\;</math>», <br />«<math>\;r = OM\;</math> étant la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\;M\;</math>»<ref name="repérage sphérique" /> et</center> * <u>une force de frottement fluide linéaire</u> due à l'action du fluide <u>lié au référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> dans lequel <math>\;M\;</math> se déplace du type <center>«<math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;</math> avec <math>\;h\;</math> constante réelle <math>\;> 0\;</math>», <br />«<math>\;\vec{V}_M\;</math> étant le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>»}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Il peut, bien sûr, y avoir d’autres forces mais celles-ci doivent avoir une influence négligeable devant celle des deux forces <math>\;\vec{F}(M) = - k\;\overrightarrow{OM}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M</math> <math>\;\Big[</math>par exemple, si le référentiel d’étude est la Terre, il y a nécessairement le poids du point matériel mais l'influence de celui-ci peut être négligée si sa norme est faible devant celle de <math>\;\vec{F}(M) = - k\;\overrightarrow{OM}\;</math> et de <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) =</math> {{Nobr|<math>-h\;\vec{V}_M\Big]\;</math>}} ou se compenser entre elles <math>\;\big(</math>par exemple, le référentiel d’étude étant toujours la Terre, le poids du point matériel se déplaçant dans un fluide, sans frottement solide, sur un plan horizontal, est compensé par la réaction de ce plan<math>\big)</math>. === 1^ers commentaires === {{Al|5}}Un oscillateur harmonique spatial amorti étant soumis à une force centrale <math>\;\vec{F}(M) = -k\;\overrightarrow{OM}\;</math> mais aussi à une autre force non centrale <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M</math>, « <u>son mouvement n'est pas à force centrale</u> » et par suite « <u>son moment cinétique vectoriel</u> par rapport à <math>\;O\;</math> <u>n'est pas conservé</u> » d'où les propriétés qui auraient pu découler de sa conservation sont, a priori, non vérifiées c'est-à-dire * la nature plane <math>\;\big(</math>ou rectiligne<math>\big)\;</math> du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti, a priori, fausse, * la loi des aires, a priori, non applicable et * l’utilisation de la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative à l’accélération radiale, a priori, impossible <math>\;\big(</math>en effet celle-ci nécessite l'applicabilité de la loi des aires<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, seule la force centrale <math>\;\vec{F}(M) = -k\;\overrightarrow{OM}\;</math> étant conservative, l'autre force non centrale <math>\;\overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;</math> ne l'étant pas, « <u>le mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti n'est pas conservatif</u><ref name="mouvement conservatif" /> » et par suite « <u>son énergie mécanique n'est pas conservée</u><ref name="conservation de Em d'un point à mouvement conservatif" /> » d'où les propriétés qui auraient pu découler de sa conservation sont, a priori, non vérifiées c'est-à-dire * l’utilisation de la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative au carré de la vitesse, a priori, impossible et * l'introduction de l'énergie potentielle effective<ref name="efficace" /> de <math>\;M</math>, a priori, inconcevable <math>\;\big(</math>en effet cette notion nécessite l'applicabilité de la loi des aires<math>\big)</math>. === Nature de la trajectoire === {{Al|5}}Le mouvement d'un oscillateur harmonique spatial amorti n'étant pas à force centrale, les méthodes spécifiques à cette propriété ne lui sont donc pas applicables ; {{Al|5}}en procédant par application directe de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à l'oscillateur harmonique spatial amorti <math>\;\big(</math>c'est-à-dire de la même façon que pour un oscillateur harmonique spatial non amorti, la méthode spécifique aux mouvements à force centrale s'y avérant insuffisamment simple dans ce cas<math>\big)\;</math> nous obtenons une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre en «<math>\;\vec{r}(t) = \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>avec terme du 1^er ordre<math>\big)\;</math> simple à intégrer. ==== Détermination de l’équation différentielle en vecteur position de M par application de la r.f.d.n. ==== {{Al|5}}La r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. appliquée à l'oscillateur harmonique spatial amorti <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen donne «<math>\;\vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) = m\;\vec{a}_M(t)\;</math> ou <math>\;- k\;\vec{r}(t) - h\;\dfrac{d \vec{r}}{dt}(t) = m\; \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t)\;</math>» soit, après normalisation, <center>«<math>\;\dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dfrac{d \vec{r}}{dt}(t) + \dfrac{k}{m}\;\vec{r}(t) = \vec{0}\;</math>» <br />une équation différentielle linéaire <math>\;\big(</math>homogène<math>\big)\;</math> à cœfficients constants du 2^ème ordre en «<math>\;\vec{r}(t)\;</math>» <math>\;\big(</math>avec terme du 1^er ordre<math>\big)\;</math> <br />caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial amorti<ref> La caractérisation ne nécessitant le caractère « homogène » de l'équation différentielle.</ref> ;</center> {{Al|5}}on définit alors les grandeurs canoniques de cet oscillateur harmonique spatial amorti à savoir sa <u>pulsation propre</u> «<math>\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\;</math>» et son <u>facteur d'amortissement</u> «<math>\;\sigma\;</math><ref name="aucune confusion possible"> Bien qu'utilisant la même notation que le moment cinétique, il n'y a aucune confusion possible entre les deux car le moment cinétique, quand il est scalaire, est toujours indexé par l'axe par rapport auquel il est évalué.</ref>{{,}}<ref name="facteur de qualité, constante de temps"> On peut remplacer le facteur d'amortissement «<math>\;\sigma\;</math>» par un facteur de qualité «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math>» ou encore, bien que ce soit plus rare, par une constante de temps d'amortissement «<math>\;\tau = \dfrac{Q}{\omega_0}\;</math>».</ref> <math>\;\big(</math>quantité <math>\;> 0\;</math> sans {{Nobr|dimension<math>\big)\;</math>}} tel que <math>\;\dfrac{h}{m} = 2\;\sigma\;\omega_0\;</math><ref name="facteur de qualité, constante de temps - bis"> Avec le facteur de qualité «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math>» on a «<math>\;\dfrac{h}{m} = \dfrac{\omega_0}{Q}\;</math>» et avec la constante de temps d'amortissement «<math>\;\tau = \dfrac{Q}{\omega_0}\;</math>» <math>\;\big(</math>d'utilisation nettement plus rare<math>\big)\;</math> on a «<math>\;\dfrac{h}{m} = \dfrac{1}{\tau}\;</math>».</ref> » , la forme canonique de l’équation différentielle vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti s'écrivant alors selon <center>«<math>\;\ddot{\vec{r}}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{\vec{r}}(t) + \omega_0^2\;\vec{r}(t) = \vec{0}\;</math>»<ref name="facteur de qualité, constante de temps - ter"> Avec le facteur de qualité «<math>\;Q = \dfrac{1}{2\;\sigma}\;</math>» l'équation différentielle sous forme canonique devient «<math>\;\ddot{\vec{r}}(t) + \dfrac{\omega_0}{Q}\;\dot{\vec{r}}(t) + \omega_0^2\;\vec{r}(t) = \vec{0}\;</math>» et avec la constante de temps d'amortissement «<math>\;\tau = \dfrac{Q}{\omega_0}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big(</math>d'utilisation}} nettement plus rare<math>\big)\;</math> elle devient «<math>\;\ddot{\vec{r}}(t) + \dfrac{1}{\tau}\;\dot{\vec{r}}(t) + \omega_0^2\;\vec{r}(t) = \vec{0}\;</math>».</ref>.</center> ==== Loi horaire vectorielle du vecteur position de M ==== {{Al|5}}Le vecteur position de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t)\;</math>» est donc la solution libre de l’équation précédente, solution dont la forme dépend du facteur d'amortissement <math>\;\sigma\;</math><ref name="aucune confusion possible" /> ; * si <math>\;\sigma\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1</math> <math>\;\big(</math>correspondant à un faible amortissement<math>\big)</math>, en définissant la « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», la solution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial amorti prend la forme «<math>\;\vec{r}(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{A}\;\cos(\omega\;t) + \vec{B}\;\sin(\omega\;t) \right]\;</math>»<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre avec terme du 1er dans le cas Delta négatif"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre avec terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_négatif,_solution_libre_pseudo-périodique|cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode de résolution d'une équation vectorielle étant similaire à celle d'une équation scalaire ; <br>{{Al|3}}en effet, que l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène soit scalaire ou vectorielle, l’équation caractéristique est la même <math>\;\big[</math>on cherche des solutions particulières de la forme <math>\;A\;\exp(st)\;</math> pour une équation scalaire et <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\;</math> pour une équation vectorielle d'où la même équation en <math>\;s\;</math> après simplification par <math>\;A\;\exp(st)\;</math> ou <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\big]\;</math> et par suite la base est aussi la même « ici c’est <math>\;\left\lbrace \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\cos(\omega\;t)\,,\, \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\sin(\omega\;t) \right\rbrace\;</math>».</ref> avec <math>\;\vec{A}\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math> vecteurs constants d’intégration<ref name="particularité d'une équation différentielle vectorielle - bis"> On rappelle que l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène constituant un espace vectoriel de dimension <math>\;2</math>, il suffit de déterminer une base de cet ensemble pour en déduire la solution générale par combinaison linéaire <math>\;\big(</math>C.L.<math>\big)\;</math> des éléments de cette base, les constantes multiplicatives étant des éléments quelconques pris dans le domaine de valeurs des solutions c'est-à-dire des vecteurs de l'espace tridimensionnel dans le cas d'une équation différentielle linéaire vectorielle ou des scalaires dans celui d'une équation différentielle linéaire scalaire ;<br>{{Al|3}}<u>remarque</u> : dans le cas d'une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique faiblement amorti à un degré de liberté la solution <math>\;x(t) = \exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right) \left[ A\;\cos(\omega\;t) + B\;\sin(\omega\;t) \right]\;</math> peut être réécrite selon <math>\;x(t) = A'\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\cos(\omega\;t + \varphi)\;</math> avec <math>\;A'\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> deux constantes arbitraires d'intégration, <br>{{Al|3}}{{Transparent|remarque :}} cela devient évidemment faux pour une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial faiblement amorti, seule la forme <math>\;\vec{r}(t) =</math> <math>\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{A}\;\cos(\omega\;t) + \vec{B}\;\sin(\omega\;t) \right]\;</math> est possible, <math>\;\vec{A'}\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\cos\! \left( \omega\;t + \vec{\varphi} \right)\;</math> n'ayant aucun sens <math>\;\ldots</math></ref> déterminés par C.I<ref name="C.I." />. [[File:Oscillateur harmonique spatial amorti - trajectoire.png|thumb|300px|Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial amorti <math>\;M</math>, de pulsation propre <math>\;\omega_0</math>, de facteur d'amortissement <math>\;\sigma < 1</math>, lancé dans des C.I<ref name="C.I." />. telles que les vecteurs position et vitesse initiales <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> ne sont pas colinéaires {{Nobr|c'est-à-dire}} une courbe ouverte admettant « le centre de force <math>\;O\;</math>» pour point asymptote autour duquel <math>\;M\;</math> se rapproche en spiralant]] :<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\vec{r}(0) = \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant choisi passant par <math>\;M_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{r}(0) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right) \left[ \vec{A}\;\cos(\omega \times 0)\; \cancel{+ \vec{B}\;\sin(\omega \times 0)} \right] = \vec{A}\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;\vec{A}</math>}} <math>= \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math>» et <br /><math>\;\succ\;</math>«<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> étant choisi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOy\;</math> et <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» avec «<math>\;\alpha_0 \neq 0\;</math> et <math>\;\pi\;</math>»<ref name="purement spatial amorti"> «<math>\;\alpha_0 = 0\;</math> ou <math>\;\pi\;</math>» correspondant à un oscillateur harmonique amorti à un degré de liberté déjà traité au chap.<math>28</math> dans le paragraphe intitulé « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Réponses_transitoires_en_élongation_du_P.E.V.A._suivant_le_cœfficient_d'amortissement_σ|réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ]] » de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\Big(</math>les angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant orientés par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z \perp\;</math> au plan, de sens tel que <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> soit direct {{Nobr|<math>\;\big[</math>on}} rappelle que l'espace physique est choisi orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big]\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\Big)\;</math> dont on déduit l'explicitation du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_M(0) =</math> <math>-\sigma\;\omega_0\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\,\left[ \vec{A}\;\cos(\omega \times 0)\;\cancel{ + \vec{B}\;\sin(\omega \times 0)} \right] + \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\;\omega\;\left[ \;\cancel{-\vec{A}\;\sin(\omega \times 0)\; +} \vec{B}\;\cos(\omega \times 0) \right] =</math> <math>-\sigma\;\omega_0\;\vec{A} + \omega\;\vec{B}\;</math> d'où «<math>\;\vec{B} = \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{A}}{\omega} = \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{r}_0}{\omega}\;</math>» ou «<math>\;\vec{B} = \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\omega}\;\vec{u}_x + \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\omega}\;\vec{u}_y\;</math>» en décomposant sur les deux axes cartésiens ; <br />{{Al|5}}finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial faiblement amorti s’écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{r}_0\;\cos(\omega\;t) + \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{r}_0}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right]</math>», <br />on y observe une relaxation <u>pseudo-périodique</u> de pseudo-période «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega}\;</math>» telle que <br />«<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}} = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}} > T_0\;</math>» dans laquelle «<math>\;T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0}\;</math> est la période propre de l'oscillateur » ;</center> :{{Al|5}}quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \rightarrow \vec{0}\;</math>» établissant que <u>le centre</u> <math>\;O\;</math> <u>de la force centrale</u> est effectivement <u>un point asymptote de la trajectoire</u>, de plus les équations paramétriques cartésiennes de cette dernière étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l} x(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ r_0\;\cos(\omega\;t) + \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right]\\ y(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit la variation de «<math>\;\dfrac{y(t)}{x(t)} =</math> <math>\dfrac{\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\omega}\;\sin(\omega\;t)}{r_0\;\cos(\omega\;t) + \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\omega}\;\sin(\omega\;t)} = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{r_0\;\omega\;\cot(\omega\;t) + V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}\;</math>» ou celle de «<math>\;\dfrac{x(t)}{y(t)} = \dfrac{r_0\;\omega\;\cot(\omega\;t) + V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math>» de période <math>\;\dfrac{T}{2} = \dfrac{\pi}{\omega}</math>, «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;-\infty\;</math> sur chaque période », ce qui établit que « l'angle <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;+\infty\;</math> quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math>»<ref> En effet <math>\;\cot\! \left[ \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{x(t)}{y(t)}\;</math> «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;-\infty\;</math> sur chaque période » <math>\Rightarrow</math> <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \nearrow\;</math> de <math>\;n\;\pi\;</math> à <math>\;(n + 1)\;\pi\;</math> avec <math>\;n \in \mathbb{N}\;</math> augmentant de <math>\;1\;</math> à chaque nouvelle période.</ref> et par suite que « le point <math>\;M\;</math> se rapproche du point asymptote <math>\;O\;</math> <u>en spiralant</u> dans le sens positif » <math>\;\big(</math>voir diagramme ci-dessus<math>\big)</math> ; * si <math>\;\sigma\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1</math> <math>\;\big(</math>correspondant à un amortissement critique<math>\big)</math>, la solution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial amorti prend la forme «<math>\;\vec{r}(t) = \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{A} + \vec{B}\;t \right]\;</math>»<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre avec terme du 1er dans le cas Delta nul"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre avec terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_nul,_solution_libre_apériodique_critique|cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode de résolution d'une équation vectorielle étant similaire à celle d'une équation scalaire ; <br>{{Al|3}}en effet, que l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène soit scalaire ou vectorielle, l’équation caractéristique est la même <math>\;\big[</math>on cherche des solutions particulières de la forme <math>\;A\;\exp(st)\;</math> pour une équation scalaire et <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\;</math> pour une équation vectorielle d'où la même équation en <math>\;s\;</math> après simplification par <math>\;A\;\exp(st)\;</math> ou <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\big]\;</math> et par suite la base est aussi la même « ici c’est <math>\;\left\lbrace \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,,\, \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;t \right\rbrace\;</math>».</ref> avec <math>\;\vec{A}\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math> vecteurs constants d’intégration<ref name="particularité d'une équation différentielle vectorielle - ter"> On rappelle que l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène constituant un espace vectoriel de dimension <math>\;2</math>, il suffit de déterminer une base de cet ensemble pour en déduire la solution générale par combinaison linéaire <math>\;\big(</math>C.L.<math>\big)\;</math> des éléments de cette base, les constantes multiplicatives étant des éléments quelconques pris dans le domaine de valeurs des solutions c'est-à-dire des vecteurs de l'espace tridimensionnel dans le cas d'une équation différentielle linéaire vectorielle ou des scalaires dans celui d'une équation différentielle linéaire scalaire <math>\;\ldots</math></ref> déterminés par C.I<ref name="C.I." />. [[File:Oscillateur harmonique spatial amorti - trajectoire - bis.png|thumb|300px|Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial amorti <math>\;M</math>, de pulsation propre <math>\;\omega_0</math>, de facteur d'amortissement <math>\;\sigma = 1</math>, lancé dans des C.I<ref name="C.I." />. telles que les vecteurs position et vitesse initiales <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> ne sont pas colinéaires {{Nobr|c'est-à-dire}} une courbe ouverte admettant « le centre de force <math>\;O\;</math>» pour point asymptote vers lequel <math>\;M\;</math> se rapproche sous une direction fixée]] :<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\vec{r}(0) = \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant choisi passant par <math>\;M_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{r}(0) = \exp\! \left( -\omega_0 \times 0 \right) \left[ \vec{A}\; \cancel{+ \vec{B} \times 0)} \right] = \vec{A}\;</math> d'où «<math>\;\vec{A} = \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math>» et <br /><math>\;\succ\;</math>«<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> étant choisi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOy\;</math> et <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» avec «<math>\;\alpha_0 \neq 0\;</math> et <math>\;\pi\;</math>»<ref name="purement spatial amorti" /> <math>\;\Big(</math>les angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant orientés par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z \perp\;</math> au plan, de sens tel que <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> soit direct {{Nobr|<math>\;\big[</math>on}} rappelle que l'espace physique est choisi orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big]\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\Big)\;</math> dont on déduit l'explicitation du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_M(0) =</math> <math>-\omega_0\;\exp\! \left( -\omega_0 \times 0 \right)\,\left[ \vec{A}\;\cancel{ + \vec{B} \times 0} \right] + \exp\! \left( -\omega_0 \times 0 \right)\, \left[ \vec{B} \right] =</math> <math>-\omega_0\;\vec{A} + \vec{B}\;</math> d'où «<math>\;\vec{B} = \vec{V}_0 + \omega_0\;\vec{A} = \vec{V}_0 + \omega_0\;\vec{r}_0\;</math>» ou, en décomposant sur les deux axes cartésiens, «<math>\;\vec{B} = \left[ V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0 \right]\, \vec{u}_x + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math>» ; <br />{{Al|5}}finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial en amortissement critique s’écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t) = \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{r}_0 + \left( \vec{V}_0 + \omega_0\;\vec{r}_0 \right) \,t \right]</math>», <br />on y observe une relaxation <u>apériodique critique</u> par laquelle <br />le centre de force <math>\;O\;</math> est atteint le plus rapidement ;</center> :{{Al|5}}quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \rightarrow \vec{0}\;</math>» établissant que <u>le centre</u> <math>\;O\;</math> <u>de la force centrale</u> est effectivement <u>un point asymptote de la trajectoire</u>, de plus les équations paramétriques cartésiennes de cette dernière étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l} x(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left\lbrace r_0 + \left[ V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0 \right] \,t \right\rbrace\\ y(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\, \left[ V_0\;\sin(\alpha_0)\;t \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> on en déduit la variation de {{Nobr|«<math>\;\dfrac{y(t)}{x(t)} =</math>}} <math>\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)\;t}{r_0 + \left[ V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0 \right] \,t}\;</math>» ou celle de «<math>\;\dfrac{x(t)}{y(t)} = \dfrac{r_0 + \left[ V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0 \right] \,t}{V_0\;\sin(\alpha_0)\;t} = \dfrac{\dfrac{r_0}{t} + \left[ V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0 \right]}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math>», «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;\dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math> quand <math>\;t \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math>», ce qui établit que « l'angle <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0} \right]\;</math><ref name="arctangente"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math>»<ref> En effet <math>\;\cot\! \left[ \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{x(t)}{y(t)}\;</math> «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;\dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\! \left[ \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{y(t)}{x(t)}\;</math> «<math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0}\;</math>» et par suite <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0} \right]</math>.</ref> et par suite que « le point <math>\;M\;</math> se rapproche du point asymptote <math>\;O\;</math> <u>sous la direction faisant l'angle</u> <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0} \right]\;</math><ref name="arctangente" /> avec <math>\;\vec{u}_x</math>» <math>\;\big(</math>voir diagramme ci-dessus<math>\big)</math> ; * si <math>\;\sigma\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1</math> <math>\;\big(</math>correspondant à un fort amortissement<math>\big)</math>, la solution de l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique spatial amorti, dépendant des solutions réelles <math>\;s_{(+)} > s_{(-)}\;</math> de l'équation caractéristique <math>\;s^2 + 2\;\sigma\;\omega_0\;s + \omega_0^2 = 0\;</math> associée à la recherche de la solution libre de l'équation différentielle, prend la forme «<math>\;\vec{r}(t) = \vec{A}_{(+)}\;\exp\! \left[ s_{(+)}\;t \right] + \vec{A}_{(-)}\;\exp\! \left[ s_{(-)}\;t \right]\;</math> avec <math>\;s_{(\pm)} =</math> <math>-\sigma\;\omega_0 \pm \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>»<ref name="solution libre d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre avec terme du 1er dans le cas Delta positif"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire homogène à cœfficients constants du 2^ème ordre avec terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_discriminant_Δ_est_positif,_solution_libre_apériodique|cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode de résolution d'une équation vectorielle étant similaire à celle d'une équation scalaire ; <br>{{Al|3}}en effet, que l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène soit scalaire ou vectorielle, l’équation caractéristique est la même <math>\;\big[</math>on cherche des solutions particulières de la forme <math>\;A\;\exp(st)\;</math> pour une équation scalaire et <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\;</math> pour une équation vectorielle d'où la même équation en <math>\;s\;</math> après simplification par <math>\;A\;\exp(st)\;</math> ou <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\big]\;</math> et par suite la base est aussi la même « ici c’est <math>\;\left\lbrace \exp\! \left[ s_{(+)}\;t \right] = \exp\! \left[ -\omega_0\,\left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\,t \right]\,,\, \exp\! \left[ s_{(-)}\;t \right] = \exp\! \left[ -\omega_0\,\left( \sigma + \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\,t \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> avec <math>\;\vec{A}_{(+)}\;</math> et <math>\;\vec{A}_{(-)}\;</math> vecteurs constants d’intégration<ref name="particularité d'une équation différentielle vectorielle - ter" /> ou encore, en factorisant par <math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;</math> et en introduisant les fonctions cosinus et sinus hyperboliques<ref name="fonctions cosinus et sinus hyperboliques"> Voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Cosinus_hyperbolique|cosinus hyperbolique]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Sinus_hyperbolique|sinus hyperbolique]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Liens_entre_cosinus_hyperbolique_et_sinus_hyperbolique|liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique]] (autres relations) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, {{Nobr|«<math>\;\vec{r}(t)</math>}} <math>= \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ \vec{A}\;\cosh\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right) + \vec{B}\;\sinh\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right) \right]\;</math>»<ref name="analogie entre trigonométries circulaire et hyperbolique à utiliser avec précaution"> Si, dans le cas d'une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique faiblement amorti à un degré de liberté la solution <math>\;x(t) = \exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right) \left[ A\;\cos(\omega\;t) + B\;\sin(\omega\;t) \right]\;</math> peut être réécrite selon <math>\;x(t) = A'\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\cos(\omega\;t + \varphi)\;</math> avec <math>\;A'\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> deux constantes arbitraires d'intégration, il n'en est pas de même <br>{{Al|3}}dans le cas d'une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique fortement amorti à un degré de liberté où la solution <math>\;x(t) = \exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right) \left[ A\;\cosh(\beta\;t) + B\;\sinh(\beta\;t) \right]\;</math> avec <math>\;\beta = \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math> ne peut être réécrite selon <math>\;x(t) =</math> <math>A'\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\cosh(\beta\;t + \varphi)\;</math> uniquement si <math>\;\vert A \vert\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\vert B \vert\;</math> et, dans le cas où <math>\;\vert B \vert\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;\vert A \vert</math>, elle peut être réécrite selon <math>\;x(t) =</math> <math>A'\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\sinh(\beta\;t + \varphi)\;</math> avec, dans les deux hypothèses, <math>\;A'\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> deux constantes arbitraires d'intégration <math>\;\bigg\{</math>en effet pour <math>\;\vert A \vert > \vert B \vert</math>, <math>\;\exists\; A'\;</math> telle que <math>\;\vert A' \vert = \sqrt{A^2 - B^2}\;</math> et <math>\;\exists\; \varphi\;</math> telle que <math>\;\left[ \begin{array}{c} \text{pour }A >0\;\text{on choisit }A' = \vert A' \vert\\ \text{pour }A <0\;\text{on choisit }A' = -\vert A' \vert\end{array} \right]\;</math> et <math>\;\left[ \begin{array}{c} A = A'\;\cosh(\varphi)\\ B = A'\;\sinh(h)\end{array} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A\;\cosh(\beta\;t) + B\;\sinh(\beta\;t) = A'\, \left[ \cosh(\varphi)\;\cosh(\beta\;t) + B\;\sinh(h)\;\sinh(\beta\;t) \right] = A'\;\cosh(\beta\;t + \varphi)</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Relations_d'addition_et_de_duplication|relations d'addition et de duplication]] (des fonctions hyperboliques) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et pour <math>\;\vert A \vert < \vert B \vert</math>, <math>\;\exists\; A'\;</math> telle que <math>\;\vert A' \vert = \sqrt{B^2 - A^2}\;</math> et <math>\;\exists\; \varphi\;</math> telle que <math>\;\left[ \begin{array}{c} \text{pour }B >0\;\text{on choisit }A' = \vert A' \vert\\ \text{pour }B <0\;\text{on choisit }A' = -\vert A' \vert\end{array} \right]\;</math> et <math>\;\left[ \begin{array}{c} A = A'\;\sinh(\varphi)\\ B = A'\;\cosh(h)\end{array} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;A\;\cosh(\beta\;t) + B\;\sinh(\beta\;t) = A'\, \left[ \sinh(\varphi)\;\cosh(\beta\;t) + B\;\cosh(h)\;\sinh(\beta\;t) \right]</math> <math>= A'\;\sinh(\beta\;t + \varphi)</math> <math>\;\big[</math>voir le même paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Relations_d'addition_et_de_duplication|relations d'addition et de duplication]] (des fonctions hyperboliques) » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\bigg\}</math> ; <br>{{Al|3}}cela devient évidemment faux pour une équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique spatial fortement amorti, seule la forme primitive n'utilisant pas les relations d'addition des fonctions hyperbolique à savoir <math>\;\vec{r}(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{A}\;\cosh(\beta\;t) + \vec{B}\;\sinh(\beta\;t) \right]\;</math> avec <math>\;\beta = \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math> est possible, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\vec{A'}\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\cosh\! \left( \beta\;t + \vec{\varphi} \right)\\ \text{ou}\\ \vec{A'}\;\exp\!\left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\sinh\! \left( \beta\;t + \vec{\varphi} \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> n'ayant aucun sens <math>\;\ldots</math></ref> avec <math>\;\vec{A}\;</math> et <math>\;\vec{B}\;</math> vecteurs constants d’intégration déterminés par C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\big[</math>pour la suite on pose <math>\;\beta =</math> <math>\omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\big]</math> [[File:Oscillateur harmonique spatial amorti - trajectoire - ter.png|thumb|300px|Schéma décrivant la trajectoire de l'oscillateur harmonique spatial amorti <math>\;M</math>, de pulsation propre <math>\;\omega_0</math>, de facteur d'amortissement <math>\;\sigma > 1</math>, lancé dans des C.I<ref name="C.I." />. telles que les vecteurs position et vitesse initiales <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> ne sont pas colinéaires {{Nobr|c'est-à-dire}} une courbe ouverte admettant « le centre de force <math>\;O\;</math>» pour point asymptote vers lequel <math>\;M\;</math> se rapproche sous une direction fixée]] :<math>\;\succ\;</math>«<math>\;\vec{r}(0) = \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> étant choisi passant par <math>\;M_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\vec{r}(0) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right) \left[ \vec{A}\;\cosh(\beta \times 0)\; \cancel{+ \vec{B}\;\sinh(\beta \times 0)} \right] = \vec{A}\;</math> d'où {{Nobr|«<math>\;\vec{A}</math>}} <math>= \vec{r}_0 = r_0\;\vec{u}_x\;</math>» et <br /><math>\;\succ\;</math>«<math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 = V_0\;\cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math> l'axe <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> étant choisi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> tel que <math>\;\vec{V}_0\;</math> soit dans le plan <math>\;xOy\;</math> et <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math>» avec «<math>\;\alpha_0 \neq 0\;</math> et <math>\;\pi\;</math>»<ref name="purement spatial amorti" /> <math>\;\Big(</math>les angles du plan <math>\;xOy\;</math> étant orientés par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_z \perp\;</math> au plan, de sens tel que <math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math> soit direct {{Nobr|<math>\;\big[</math>on}} rappelle que l'espace physique est choisi orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big]\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\Big)\;</math> dont on déduit l'explicitation du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_M(0) =</math> <math>-\sigma\;\omega_0\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\,\left[ \vec{A}\;\cosh(\beta \times 0)\;\cancel{ + \vec{B}\;\sinh(\beta \times 0)} \right] + \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\;\beta\;\left[ \;\cancel{\vec{A}\;\sinh(\beta \times 0)\; +} \vec{B}\;\cosh(\omega \times 0) \right] =</math> <math>-\sigma\;\omega_0\;\vec{A} + \beta\;\vec{B}\;</math> d'où «<math>\;\vec{B} = \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{A}}{\beta} = \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{r}_0}{\beta}\;</math>» ou «<math>\;\vec{B} = \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\beta}\;\vec{u}_x + \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\beta}\;\vec{u}_y\;</math>» en décomposant sur les deux axes cartésiens ; <br />{{Al|5}}finalement la loi horaire vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial fortement amorti s’écrit <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = \vec{r}(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ \vec{r}_0\;\cosh\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right) + \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{r}_0}{\omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}\;\sinh\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right) \right]</math>», <br />on y observe une relaxation <u>apériodique</u> par laquelle <br />le centre de force <math>\;O\;</math> est atteint plus lentement qu'en relaxation apériodique critique ;</center> :{{Al|5}}quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \rightarrow \vec{0}\;</math>»<ref> En effet, quand <math>\;t \rightarrow +\infty</math>, «<math>\;\cosh\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right) \sim \dfrac{\exp\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right)}{2}\;</math>» et «<math>\;\sinh\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right) \sim \dfrac{\exp\! \left( \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;t \right)}{2}\;</math>» d'où «<math>\;\vec{r}(t) \sim \vec{C}\; \exp\! \left[ -\omega_0 \left( \sigma - \sqrt{\sigma^2 - 1} \right)\, t \right] \rightarrow \vec{0}\;</math>» dans lequel <math>\;\vec{C} = \dfrac{\vec{r}_0}{2} + \dfrac{\vec{V}_0 + \sigma\;\omega_0\;\vec{r}_0}{2\;\omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}}</math>.</ref> établissant que <u>le centre</u> <math>\;O\;</math> <u>de la force centrale</u> est effectivement <u>un point asymptote de la trajectoire</u>, de plus les équations paramétriques cartésiennes de cette dernière étant <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l} x(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ r_0\;\cosh(\beta\;t) + \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\beta}\;\sinh(\beta\;t) \right]\\ y(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\beta}\;\sinh(\beta\;t) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math> avec <math>\;\beta = \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math> on en déduit la variation de «<math>\;\dfrac{y(t)}{x(t)} = \dfrac{\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\beta}\;\sinh(\beta\;t)}{r_0\;\cosh(\beta\;t) + \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\beta}\;\sinh(\beta\;t)} = \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{r_0\;\beta\;\coth(\beta\;t) + V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}\;</math>»<ref name="cotangente hyperbolique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_hyperboliques_directes_et_inverses#Cotangente_hyperbolique|cotangente hyperbolique]] » du chap.<math>27</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou celle de «<math>\;\dfrac{x(t)}{y(t)} =</math> <math>\dfrac{r_0\;\beta\;\coth(\beta\;t) + V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math>»<ref name="cotangente hyperbolique" /> «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;\dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math> quand <math>\;t \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math>», ce qui établit que « l'angle <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> jusqu'à sa valeur limite <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0} \right]\;</math><ref name="arctangente" /> quand <math>\;t \rightarrow +\infty\;</math>»<ref> En effet <math>\;\cot\! \left[ \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{x(t)}{y(t)}\;</math> «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;\dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{V_0\;\sin(\alpha_0)}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\tan\! \left[ \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \right] = \dfrac{y(t)}{x(t)}\;</math> «<math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}\;</math>» et par suite <math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)} \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0} \right]</math>.</ref> et par suite que « le point <math>\;M\;</math> se rapproche du point asymptote <math>\;O\;</math> <u>sous la direction faisant l'angle</u> <math>\;\arctan\! \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0} \right]\;</math><ref name="arctangente" /> avec <math>\;\vec{u}_x</math>» <math>\;\big(</math>voir diagramme ci-dessus<math>\big)</math>. ==== Étude du mouvement et tracé de la trajectoire ==== {{Al|5}}L'étude du mouvement d'un oscillateur harmonique spatial amorti dans chacun de ses trois modes de relaxation <math>\;\big(</math>pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique<math>\big)\;</math> ainsi que le tracé de la trajectoire correspondante ayant été traités en détail dans le paragraphe intitulé « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Loi_horaire_vectorielle_du_vecteur_position_de_M|loi horaire vectorielle du vecteur position de M]] (c'est-à-dire de l'oscillateur harmonique spatial amorti) » plus haut dans ce chapitre, nous ne rappelons, ci-dessous, que les points essentiels : * <u>le mouvement est plan</u><ref name="autre démonstration de la nature plane du mouvement"> On « pouvait » aussi le montrer scalairement au lieu de le faire vectoriellement avec le choix des axes cartésiens <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> tels que «<math>\;\vec{u}_x\;</math>» est le vecteur unitaire de <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0</math>, «<math>\;\vec{u}_y \perp\;</math>» à «<math>\;\vec{u}_x\;</math>» dans le plan <math>\;\left\lbrace M_0\,,\, \vec{V}_0 \right\rbrace\;</math> et «<math>\;\vec{u}_z \perp\;</math>» aux deux autres satisfaisant «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math>» direct dans l'espace physique orienté à droite <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#cite_note-base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite-44|⁴⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ; avec ce choix et la projection de la r.f.d.n. appliquée à <math>\;M\;</math> sur chacun des axes, on obtenait trois équations différentielles linéaires homogènes à cœfficients constants du 2^ème ordre en l'une des variables scalaires avec terme du 1^er ordre « identiques » s'écrivant sous forme canonique <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \ddot{x}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{x}(t) + \omega_0^2\;x(t) = 0\\ \ddot{y}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{y}(t) + \omega_0^2\;y(t) = 0\\ \ddot{z}(t) + 2\;\sigma\;\omega_0\;\dot{z}(t) + \omega_0^2\;z(t) = 0\end{array} \right\rbrace\;</math> et dont la résolution de chaque équation conduisait à la même forme de solution libre suivant la valeur du facteur d'amortissement : * pour <math>\;\sigma < 1</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ A_x\;\cos(\omega\;t) + B_x\;\sin(\omega\;t) \right]\\ y(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ A_y\;\cos(\omega\;t) + B_y\;\sin(\omega\;t) \right]\\ z(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ A_z\;\cos(\omega\;t) + B_z\;\sin(\omega\;t) \right]\end{array} \right\rbrace\;</math> avec la « pseudo-pulsation <math>\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;</math>», <math>\;\left( A_x\,,\,B_x\,,\,A_y\,,\,B_y\,,\,A_z\,,\,B_z \right)\;</math> étant <math>\;6\;</math> constantes d'intégration à déterminer à l'aide des C.I. soit en particulier «<math>\;z(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\,\left[ A_z\;\cos(\omega \times 0)\;\cancel{ +\; B_z\;\sin(\omega \times 0)} \right] = 0\;</math> soit «<math>\;A_z = 0\;</math>» d'où <math>\;z(t) = B_z\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\sin(\omega\;t)\;</math> et {{Nobr|«<math>\;\dot{z}(0)</math>}} <math>= 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;B_z \left[ \cancel{-\sigma\;\omega_0\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\;\sin(\omega \times 0)\; +}\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\;\omega\;\cos(\omega \times 0) \right] = 0\;</math> soit «<math>\;B_z = 0\;</math>» d'où «<math>\;z(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>», l'utilisation des autres C.I. conduisant à «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l} x(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ r_0\;\cos(\omega\;t) + \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right]\\ y(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\omega}\;\sin(\omega\;t) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>», * pour <math>\;\sigma = 1</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x(t) = \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left[ A_x + B_x\;t \right]\\ y(t) = \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left[ A_y + B_y\;t \right]\\ z(t) = \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left[ A_z + B_z\;t \right]\end{array} \right\rbrace</math>, <math>\;\left( A_x\,,\,B_x\,,\,A_y\,,\,B_y\,,\,A_z\,,\,B_z \right)\;</math> étant <math>\;6\;</math> constantes d'intégration à déterminer à l'aide des C.I. soit en particulier «<math>\;z(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\exp\! \left( -\omega_0 \times 0 \right)\,\left[ A_z\;\cancel{ +\; B_z \times 0} \right] = 0\;</math> soit «<math>\;A_z = 0\;</math>» d'où <math>\;z(t) = B_z\;t\;\exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\;</math> et «<math>\;\dot{z}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;B_z \left\lbrace \exp\! \left( -\omega_0 \times 0 \right)\; \cancel{+\; 0 \times \left[ -\omega_0\;\exp\! \left( -\omega_0 \times 0 \right) \right]} \right\rbrace = 0\;</math> soit «<math>\;B_z = 0\;</math>» d'où «<math>\;z(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>», l'utilisation des autres C.I. conduisant à «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l} x(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\,\left\lbrace r_0 + \left[ V_0\;\cos(\alpha_0) + \omega_0\;r_0 \right] \,t \right\rbrace\\ y(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\omega_0\;t \right)\, \left[ V_0\;\sin(\alpha_0)\;t \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>», * pour <math>\;\sigma > 1</math>, <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} x(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ A_x\;\cosh\! \left( \beta\;t \right) + B_x\;\sinh\! \left( \beta\;t \right) \right]\\ y(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ A_y\;\cosh\! \left( \beta\;t \right) + B_y\;\sinh\! \left( \beta\;t \right) \right]\\ z(t) = \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ A_z\;\cosh\! \left( \beta\;t \right) + B_z\;\sinh\! \left( \beta\;t \right) \right]\end{array} \right\rbrace\;</math> avec «<math>\;\beta = \omega_0\;\sqrt{\sigma^2 - 1}\;</math>», <math>\;\left( A_x\,,\,B_x\,,\,A_y\,,\,B_y\,,\,A_z\,,\,B_z \right)\;</math> étant <math>\;6\;</math> constantes d'intégration à déterminer à l'aide des C.I. soit en particulier «<math>\;z(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\,\left[ A_z\;\cosh(\beta \times 0)\;\cancel{ +\; B_z\;\sinh(\beta \times 0)} \right] = 0\;</math> soit «<math>\;A_z = 0\;</math>» d'où <math>\;z(t) = B_z\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;\sinh(\beta\;t)\;</math> et «<math>\;\dot{z}(0) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;B_z \left[ \cancel{-\sigma\;\omega_0\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\;\sinh(\beta \times 0)\; +}\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0 \times 0 \right)\;\beta\;\cosh(\beta \times 0) \right] = 0\;</math> soit «<math>\;B_z = 0\;</math>» d'où «<math>\;z(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « mouvement de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math>», l'utilisation des autres C.I. conduisant à «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l l l} x(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\,\left[ r_0\;\cosh(\beta\;t) + \dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0) + \sigma\;\omega_0\;r_0}{\beta}\;\sinh(\beta\;t) \right]\\ y(t) \!\!&=\!\!& \exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\, \left[ \dfrac{V_0\;\sin(\alpha_0)}{\beta}\;\sinh(\beta\;t) \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» ; {{Al|3}}la résolution directe de l'équation différentielle vectorielle du mouvement de l'oscillateur harmonique spatial amorti est évidemment préférable <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\Big(</math>dans la mesure où les vecteurs position et vitesse initiales <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> ne sont pas colinéaires<math>\Big)\;</math> dans le plan passant par <math>\;O</math>, <math>\;M_0\;</math> et contenant <math>\;\vec{V}_0</math>, * le mouvement est <u>pseudo-périodique</u> si le facteur d'amortissement <math>\;\sigma\;</math><ref name="aucune confusion possible" /> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math> avec une pseudo-période <math>\;T = \dfrac{T_0}{\sqrt{1 - \sigma^2}} > T_0</math> <math>\;\bigg(T_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;</math> étant la période propre de l'oscillateur harmonique spatial<math>\bigg)\;</math> ou <u>apériodique</u> si <math>\;\sigma\;</math><ref name="aucune confusion possible" /> est <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;1</math> <math>\;\big(</math>avec le qualificatif supplémentaire « <u>critique</u> » pour <math>\;\sigma = 1\big)</math>, * <u>la trajectoire admet le centre</u> <math>\;O\;</math> <u>de la force centrale comme point asymptote</u>, <math>\;M\;</math> s'en rapprochant <u>en spiralant</u> si le facteur d'amortissement <math>\;\sigma\;</math><ref name="aucune confusion possible" /> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math> ou <u>sous une direction précise dépendant des {{Nobr|C.I<ref name="C.I." />.}} de lancement ainsi que du facteur d'amortissement</u> si <math>\;\sigma\;</math><ref name="aucune confusion possible" /> est <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;1\;</math> et * <u>le temps nécessaire pour atteindre pratiquement<ref> C.-à-d. correspondant, par exemple, à <math>\;OM(t) = 1\;\% \times OM_0</math>.</ref> le centre</u> <math>\;O\;</math> <u>de la force centrale</u> est <u>minimal</u> dans le cas de la <u>relaxation apériodique critique</u>. === Décroissance exponentielle du moment cinétique vectoriel de M par rapport à O et conséquences === {{Al|5}}On peut se poser la question « qu'obtient-on en appliquant le théorème du moment cinétique vectoriel à l'oscillateur harmonique spatial amorti <math>\;M \left( m \right)</math>, les moments vectoriels étant évalués par rapport à <math>\;O\;</math> “ le centre de la force centrale ”, point fixe du référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ? » {{Al|5}}Son application à l'instant <math>\;t\;</math> nous donne «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}_O}\! \left[ \vec{F}(M) \right] + \overrightarrow{\mathcal{M}_O}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) \right] = \dfrac{d \vec{\sigma}_O}{dt}(t)\;</math>» dans lequel «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t</math>, avec «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}_O}\! \left[ \vec{F}(M) \right] = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \left[ -k\;\overrightarrow{OM}(t) \right] = \vec{0}\;</math>» le moment vectoriel de la force centrale à cet instant <math>\;t\;</math> et «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}_O}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) \right] = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \left[ -h\;\vec{V}_M(t) \right]\;</math>» celui de la force de frottement fluide linéaire au même instant <math>\;t</math>, lequel est encore égal, à un facteur multiplicatif près, au moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}_O}\! \left[ \overrightarrow{\mathcal{R}_{\text{flu}}}(M) \right] = -\dfrac{h}{m}\; \overrightarrow{OM}(t) \wedge \left[ m\;\vec{V}_M(t) \right] = -\dfrac{h}{m}\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math>» d'où l'équation différentielle suivie par le moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> <center>«<math>\;\vec{0} - \dfrac{h}{m}\;\vec{\sigma}_O(t) = \dfrac{d \vec{\sigma}_O}{dt}(t)\;</math>» ou, en ordonnant, «<math>\;\dfrac{d \vec{\sigma}_O}{dt}(t) + \dfrac{h}{m}\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{0}\;</math>», <br />une équation différentielle linéaire vectorielle à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math> homogène ;</center> {{Al|5}}La solution de l'équation différentielle linéaire vectorielle à cœfficients constants du 1^er ordre en <math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math> homogène ci-dessus est <math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{A}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math><ref> Voir le paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_à_cœfficients_constants_du_premier_ordre_homogène|résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la méthode de résolution d'une équation vectorielle étant similaire à celle d'une équation scalaire ; <br>{{Al|3}}en effet, que l’équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène soit scalaire ou vectorielle, l’équation caractéristique est la même <math>\;\big[</math>on cherche des solutions particulières de la forme <math>\;A\;\exp(st)\;</math> pour une équation scalaire et <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\;</math> pour une équation vectorielle d'où la même équation en <math>\;s\;</math> après simplification par <math>\;A\;\exp(st)\;</math> ou <math>\;\vec{A}\;\exp(st)\big]\;</math> et par suite la base est aussi la même « ici c’est <math>\;\left\lbrace \exp\! \left( -\dfrac{h}{m}\;t \right) \right\rbrace\;</math>».</ref> avec «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> la constante de temps d'amortissement du moment cinétique vectoriel » et <math>\;\vec{A}\;</math> un vecteur constant d’intégration à déterminer par C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM_0} \wedge m\;\vec{V}_0\;</math>» ce qui donne <math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \vec{A}\;\exp\! \left( -\dfrac{0}{\tau} \right) = \vec{A}\;</math> et par suite <center>«<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0)\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> constante de temps d'amortissement ».</center> {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : « L'existence d'une force de frottement fluide linéaire s'exerçant sur <math>\;M</math>, l'oscillateur harmonique spatial, en plus de la force centrale dont <math>\;O\;</math> est le centre actif », fait qu'<u>il n'y a plus conservation de</u> «<math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math>», le <u>moment cinétique vectoriel</u> de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> galiléen, <u>mais décroissance exponentielle</u> de «<math>\;\vec{\sigma}_O(t)\;</math>» relativement au moment cinétique vectoriel initial «<math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math>» avec la constante de temps d'amortissement «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math>»<ref name="décroissance exponentielle du moment cinétique vectoriel"> Ce résultat reste valable pour tout point matériel cessant d'avoir un mouvement à force centrale par existence d'une force de frottement fluide linéaire, que la force centrale soit « de rappel linéaire vers le centre attractif <math>\;O\;</math>» ou non.</ref> soit «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0)\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}une 1^ère conséquence est que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}<math>\;\succ\;</math>dans la mesure où <math>\;\vec{V}_0\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0}</math>, <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> est nul et par suite <math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math> aussi <math>\Rightarrow</math> le mouvement de <math>\;M\;</math> est <u>rectiligne</u> le long de <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> ou <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}<math>\;\succ\;</math>dans la mesure où <math>\;\vec{V}_0\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0}</math>, <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> est non nul, « <u>il y a conservation de la direction et du sens du moment cinétique vectoriel</u> de <math>\;M\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> c'est-à-dire de <math>\;\vec{\sigma}_O(t) =</math> <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>», sa direction et son sens restant ceux de «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM_0} \wedge m\;\vec{V}_0\;</math>» d'où <math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> dans le plan passant par <math>\;O\;</math> et <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> le mouvement de <math>\;M\;</math> est <u>plan</u> dans le plan contenant <math>\;O</math>, <math>\;M_0\;</math> et <math>\;\vec{V}_0</math>, avec un <u>déplacement restant toujours dans le même sens</u>, celui défini par <math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM_0} \wedge m\;\vec{V}_0</math>, <math>\;\Big\{</math>par la suite nous adoptons le repérage cartésien avec <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\, \overrightarrow{Oy}\,,\, \overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> tels que «<math>\;\vec{u}_x\;</math>» est le vecteur unitaire de <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0</math>, «<math>\;\vec{u}_y \perp\;</math>» à «<math>\;\vec{u}_x\;</math>» dans le plan <math>\;\left\lbrace M_0\,,\, \vec{V}_0 \right\rbrace\;</math> et «<math>\;\vec{u}_z \perp\;</math>» aux deux autres satisfaisant «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_y\,,\, \vec{u}_z \right\rbrace\;</math>» direct <math>\;\big[</math>l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big]\;</math><ref name="base directe d'un espace orienté à droite" /><math>\Big\}</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}une 2^ème conséquence utilisant la « constante des aires »<ref> L'appellation « constante des aires » est maintenue bien qu'il n'y est plus de conservation du moment cinétique vectoriel d'où les guillemets <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0) \cdot \vec{u}_z}{m} = \left[ \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z = r_0\;V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» avec <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{V}_0 \right)}</math>, est que <u>la loi des aires n'est plus applicable</u> en effet si, en utilisant le repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> on a toujours «<math>\;\dfrac{\vec{\sigma}_O(t) \cdot \vec{u}_z}{m} = r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>», de la relation «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0)\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» on en déduit, en multipliant scalairement chaque membre par <math>\;\vec{u}_z\;</math> et en les divisant par <math>\;m</math>, <center>«<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> constante de temps d'amortissement »,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}une 3^ème conséquence se déduisant de la précédente et utilisant « la vitesse aréolaire <math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» est une décroissance exponentielle de cette dernière selon «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) =</math> <math>\dfrac{C}{2}\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» ou encore, avec <math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(0) = \dfrac{C}{2}</math>, «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(0)\;\exp\! \left( -\dfrac{t}{\tau} \right)\;</math>» avec «<math>\;\tau = \dfrac{m}{h}\;</math> constante de temps d'amortissement ». == « Approche documentaire » : relier l’« échelle spatiale sondée » à l’ «énergie mise en jeu » lors d’une collision en s’appuyant sur l’expérience de Rutherford == <center>Cette « approche documentaire à partir de l'expérience de Rutherford<ref name="Rutherford"> '''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]] (1871 - 1937)''' physicien et chimiste néo-zélando-britannique, considéré comme le père de la physique nucléaire ; il découvrit les [[w:Particule_α|rayonnements α]] et [[w:Particule_β|rayonnements β]] <math>\;\big\{</math>en <math>\;1899\;</math> à l'« Université McGill de Montréal » <math>\left( 1898\; -\; 1907 \right)\big\}\;</math> ainsi que le fait que « la radioactivité s'accompagne d’une désintégration de l'élément chimique », ce qui lui valut le prix Nobel de chimie en <math>\;1908</math> ; c'est sous sa direction <math>\;\big\{</math>« Université de Manchester » <math>\left( 1907\; -\; 1919 \right)\big\}\;</math> que fut mise en évidence l'existence du noyau atomique <math>\;\big(</math>expérience de Rutherford<math>\big)\;</math> et également lui qui réussit la 1^ère transmutation artificielle ; puis il devint directeur du laboratoire Cavendish de l’« Université de Cambridge » de <math>\;1919\;</math> à <math>\;1937</math>, ayant eu entre autres pour étudiants <br>{{Al|3}}« '''[[w:James_Chadwick|James Chadwick]] (1891 - 1974)''' physicien britannique <math>\;\big(</math>ayant découvert le neutron en <math>\;1932\;</math> ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1935\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}« '''[[w:Niels_Bohr|Niels Henrik David Bohr]] (1885 - 1962)''' physicien danois <math>\;\big(</math>ayant montré, entre autres, l’instabilité du modèle d’atome de Rutherford en <math>\;1913</math>, connu pour son apport à l'édification de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], lauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1922\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}« '''[[w:Robert_Oppenheimer|Julius Robert Oppenheimer]] (1904 - 1967)''' physicien américain qui s'est d'abord distingué en [[w:Physique_théorique|physique théorique]] <math>\;\big(</math>publie des articles importants en [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], en [[w:Physique_des_particules|physique des particules]] et en [[w:Physique_nucléaire|physique nucléaire]], également connu pour sa thèse sur la naissance des [[w:Trou_noir|trous noirs]] dans l'[[w:Univers|Univers]]<math>\big)\;</math> puis a assuré la responsabilité de directeur scientifique du [[w:Projet_Manhattan|projet Manhattan]] à partir de février <math>\;1943</math>, ce qui fait qu'il est régulièrement surnommé “ le père de la bombe atomique ” <math>\;\big(</math>bombe que l'on devrait plutôt qualifier de “ nucléaire ”<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>même s'il déclare que les États-Unis auraient dû transmettre plus d'avertissements au Japon avant de [[w:Bombardements_atomiques_d'Hiroshima_et_de_Nagasaki|bombarder Hiroshima et Nagasaki]] il reste partisan de l'usage des bombes “ atomiques ” pour mettre fin à la guerre<math>\big]\;</math>».</ref> » est explicite dans le programme de physique de P.C.S.I..</center> === Approche documentaire : expérience de Rutherford === {{Al|5}}L'expérience connue sous le nom d'« expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" /> » est une expérience historique réalisée par « '''[[w:Hans_Geiger|Hans Geiger]]'''<ref name="Geiger"> '''[[w:Hans_Geiger|Johannes Wilhelm Geiger]] (1882 - 1945)''' <math>\;\big(</math>plus connu sous le nom de '''Hans Geiger'''<math>\big)\;</math> est un physicien allemand ayant travaillé comme assistant d''''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]]''' de <math>\;1907\;</math> à <math>\;1912\;</math> à l'« Université de Manchester » puis, à partir de <math>\;1912</math>, dans le laboratoire d’étude de la radioactivité à l'« Institut national allemand de science et technologie de Berlin » qu'il a mis en place ; il reprend à Berlin en <math>\;1919\;</math> ses recherches interrompues par la 1^ère guerre mondiale, puis quitte Berlin pour Kiel en <math>\;1925\;</math> où il met au point, avec un de ses étudiants de doctorat '''[[w:Walther_Müller|Walther Müller]] (1905 - 1979)''' physicien allemand, le « compteur Geiger » en <math>\;1928\;\ldots</math></ref> » et « '''[[w:Ernest_Marsden|Ernest Marsden]]'''<ref name="Marsden"> '''[[w:Ernest_Marsden|Ernest Marsden]] (1889 - 1970)''' est un physicien néo-zélandais, étudiant d’'''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]]''' en <math>\;1908\;</math> à l'« Université de Manchester » où il réalisa avec '''[[w:Hans_Geiger|Hans Geiger]]''' l'expérience « de Rutherford » ; en <math>\;1914\;</math> il s'installa à l'« Université Victoria de Wellington en Nouvelle-Zélande » et fonda en <math>\;1926\;</math> le D.S.I.R. <math>\;\big(</math>Department of Scientific and Industrial Research<math>\big)\;</math> de Nouvelle-Zélande <math>\;\ldots</math></ref> » sous la direction de « '''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]]'''<ref name="Rutherford" /> » dont les résultats ont été publiés en <math>\;1909</math> ; les résultats obtenus à cette époque étaient si étonnants qu’il fallut à '''[[w:Ernest_Rutherford|E.Rutherford]]'''<ref name="Rutherford" /> deux années pour en comprendre les conséquences logiques et formuler une théorie satisfaisante publiée en <math>\;1911</math>. {{Al|5}}Dans cette expérience, '''[[w:Hans_Geiger|Hans Geiger]]'''<ref name="Geiger" /> et '''[[w:Ernest_Marsden|Ernest Marsden]]'''<ref name="Marsden" /> bombardent des feuilles d'or très fines <math>\;\big(6\; \mu m\;</math> c'est-à-dire environ <math>\;1000\;</math> couches atomiques<math>\big)\;</math> par des particules <math>\;\alpha\;</math> ayant une vitesse de <math>\;2\; 10^7\; m \cdot s^{-1}</math> <math>\;\big(\simeq 0,067\; c\;</math> dans laquelle <math>\;c\;</math> est la vitesse maximale de la cinématique relativiste<math>\big)</math>. {{Al|5}}La plupart des particules <math>\;\alpha\;</math> traversent la feuille sans être déviées mais, de manière inattendue, une particule sur <math>\;10000\;</math> ou <math>\;20000\;</math> environ « rebondit » sur la feuille et est renvoyée vers l’arrière. {{Al|5}}Ces évènements sont incompréhensibles avec les « modèles atomiques de l’époque<ref> Comme celui de '''[[w:Joseph_John_Thomson|Joseph John Thomson]]''' <math>\;\big(</math>encore appelé [[w:Modèle_atomique_de_Thomson|modèle de « plum pudding »]]<math>\big)\;</math> proposé en <math>\;1904\;</math> par '''[[w:Joseph_John_Thomson|J.J.Thomson]]''' qui découvrit l’électron en <math>\;1897</math> ; dans ce modèle, l’atome est composé d’électrons plongés dans une « soupe » de charge positive pour équilibrer les charges négatives des électrons comme des prunes <math>\;\big(</math>« plum » en anglais<math>\big)\;</math> dans un « pudding » ; les électrons étaient considérés comme dispersés au sein de cette « soupe » avec de multiples structures possibles pour leurs positionnements comme en particulier des anneaux tournants d’électrons ; les orbites d’électrons au sein de la « soupe » sont stabilisées par le fait que, lorsqu'un électron se déplace loin du centre de nuage de matière positive, il est « rattrapé » par une force attractive exercée par l'atome privé d’un électron ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Joseph_John_Thomson|Joseph John Thomson]] (1856 - 1940)''' est un physicien anglais à qui on doit la découverte de l'électron, des isotopes et l'invention de la [[w:Spectrométrie_de_masse|spectrométrie de masse]], il reçut le prix Nobel de physique en <math>\;1906\;</math> pour ses recherches théoriques et expérimentales sur la conductivité électrique dans les gaz.</ref> », quelques années plus tard '''[[w:Ernest_Rutherford|E.Rutherford]]'''<ref name="Rutherford" /> dira « It was quite the most incredible as if you fired a 15-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit you. »<ref> Ce qui peut être traduit selon : « Cela a été l'évènement le plus incroyable de ma vie. C’était presque aussi surprenant que de voir un obus de <math>\;15\;</math> pouces tiré sur un morceau de tissu rebondir et vous percuter. ».</ref>. {{Al|5}}'''[[w:Ernest_Rutherford|E.Rutherford]]'''<ref name="Rutherford" /> interprète ces évènements comme la preuve de la présence au cœur des atomes d’un objet massif de charge positive dont il estime la taille à moins de <math>\;10^{-14}\; m\;</math> et qu’il nomme « noyau ». {{Al|5}}À partir de là, le modèle atomique actuel est prouvé : « un atome est constitué d’un noyau central de rayon <math>\;\simeq 10^{-15}\; m\;</math> entouré d’un nuage électronique diffus de rayon <math>\;\simeq 10^{-10}\; m\;</math>». === Liaison entre l’« échelle spatiale sondée » et l’« énergie mise en jeu » par les particules α entrant en collision avec les noyaux d’or dans l’expérience de Rutherford === {{Al|5}}L’interaction existant entre la particule projectile <math>\;\alpha\;</math> centrée en <math>\;M\;</math> et le noyau cible de l’atome d’<math>Au\;</math> centré en <math>\;O\;</math> est une interaction électrique répulsive, le noyau cible d’<math>Au\;</math> étant le centre de force subie par la particule <math>\;\alpha\;</math> dont l’intensité d’interaction est «<math>\;F_{\text{élec}\,M\,\leftarrow\,O} = \dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2}\;</math>» avec «<math>\;Z = 79\;</math> le nombre de charge de l’<math>Au\;</math>», «<math>\;2\;</math> étant celui de l’hélion <math>\;\big(</math>ou particule <math>\;\alpha\big)\;</math>», «<math>\;\varepsilon_0\;</math> la permittivité diélectrique du vide<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> » et «<math>\;r\;</math> la distance séparant la particule <math>\;\alpha\;</math> du noyau d’<math>Au</math> <math>\;\big(</math>tous deux considérés comme ponctuels<math>\big)\;</math>» ; {{Al|5}}la force subie par la particule <math>\;\alpha\;</math> dans le champ de force électrique du noyau d’<math>Au\;</math> étant <u>centrale</u> et considérée comme la seule force, <u>l’hélion a un mouvement à force centrale</u> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> lié au noyau d’<math>Au</math>, référentiel considéré comme galiléen, on peut donc en déduire « <u>la conservation du moment cinétique vectoriel de l'hélion</u> par rapport au noyau d’<math>Au\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi que la nature plane ou rectiligne du mouvement de l'hélion, l'applicabilité de la loi des aires et l'utilisation possible de la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative à l'accélération radiale<math>\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|la force subie par la particule α dans le champ de force électrique}}de plus cette force étant <u>conservative</u> « dérivant » de l’énergie potentielle électrique «<math>\;U_{\text{élec}\,M\,\leftarrow\,O} = \dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r}\;</math>» avec choix de référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l’infini, on a aussi « <u>conservation de l’énergie mécanique de l'hélion</u> dans le champ de force du noyau d’<math>Au\;</math> évaluée dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math>» soit «<math>\;E_{m,\,\alpha\,\leftrightarrow\,Au} = K_{\alpha\,\leftrightarrow\,Au} + \dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r} = E_{m,\,\alpha,\,0} = K_{\alpha,\,0}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>ainsi}} que l'utilisation possible de la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative au carré de la vitesse et l'étude du mouvement radial de l'hélion par diagramme d'énergies potentielle effective<ref name="efficace" /> et mécanique<math>\big]</math> ; {{Al|5}}certaines particules <math>\;\alpha</math> <math>\;\big(1\;</math> sur <math>\;\simeq 10000\;</math> à <math>\;20000\big)\;</math> étant telles que «<math>\;\overrightarrow{OM_0}\; \parallel\;</math> à <math>\;\vec{V}_0\;</math>»<ref> Les particules <math>\;\alpha\;</math> provenant d'un faisceau monocinétique de direction <math>\;\perp\;</math> aux feuilles d'or ont toutes le même vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math>, pour que <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> soit <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\vec{V}_0\;</math> il faut que le noyau d'<math>Au\;</math> repéré par <math>\;O\;</math> et visé par la particule projectile <math>\;M\;</math> soit sur la trajectoire initiale de celle-ci.</ref> correspondant à une constante des aires «<math>\;C = 0\;</math>» ont un <u>mouvement rectiligne</u>, <u>faisant demi-tour quand elles sont à la distance minimale d'approche</u> <math>\;r_{\text{min}}\;</math> <u>de leur noyau cible</u> d’<math>Au\;</math> <u>correspondant</u> soit, avec «<math>\;K_{\alpha\,\leftrightarrow\,Au} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2\;</math>»<ref> En effet d'une part <math>\;C = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_\theta = 0</math>, d'autre part la vitesse de l'hélion <math>\;\searrow\;</math> lors de l'approche du noyau cible et sa vitesse initiale valant <math>\;\simeq 0,067\; c\;</math> nous pouvons affirmer que la vitesse de l'hélion est toujours <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;0,10\;c\;</math> assurant le caractère non relativiste de l'hélion <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, la réécriture de la conservation de l'énergie mécanique de l'hélion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> «<math>\;E_{m,\,\alpha\,\leftrightarrow\,Au} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + \dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r} = E_{m,\,\alpha,\,0} = K_{\alpha,\,0}\;</math>» d’où l’équation de détermination de <math>\;r_{\text{min}}\;</math> pour laquelle <math>\;\dot{r} = 0\;</math> «<math>\;\dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{\text{min}}} = K_{\alpha,\,0}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;r_{\text{min}} = \dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;K_{\alpha,\,0}}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : Constatant que la détermination expérimentale de la distance minimale d'approche <math>\;r_{\text{min}}\;</math> d'un noyau d'<math>Au\;</math> par des particules <math>\;\alpha\;</math> d'énergie cinétique <math>\;K_{\alpha,\,0}\;</math> fixée suit la relation «<math>\;r_{\text{min}} =</math> <math>\dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;K_{\alpha,\,0}}\;</math>» <math>\;\big[</math>plus <math>\;K_{\alpha,\,0}\;</math> est grande, plus <math>\;r_{\text{min}}\;</math> possible est petite <math>\;\big(</math>en restant dans le cadre de l'expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" />, c'est-à-dire une interaction purement électrostatique entre l'hélion et le noyau {{Nobr|d'<math>Au\;</math>}} correspondant<ref name="hors interaction nucléaire forte"> Si <math>\;K_{\alpha,\,0}\;</math> était choisie trop grande, <math>\;r_{\text{min}}\;</math> possible risquerait d'être trop petite pour pouvoir négliger l'interaction nucléaire forte qu'il y aurait entre le noyau d'<math>He\;</math> et celui d'<math>Au</math>, aussi la relation entre <math>\;r_{\text{min}}\;</math> et <math>\;K_{\alpha,\,0}\;</math> deviendrait inapplicable ; <br>{{Al|3}}plus précisément, plus l’énergie cinétique de lancement de la particule <math>\;\alpha\;</math> est grande, plus celle-ci peut s’approcher du noyau d’<math>Au\;</math> ceci tant que la taille du noyau n’est pas atteinte, aussi le résultat théorique de <math>\;r_{\text{min}}\;</math> en ne considérant que l’interaction électrique, coïncidera avec le résultat expérimental ; <br>{{Al|3}}on recherche donc la valeur de <math>\;r_{\text{min}}\;</math> en deçà de laquelle le résultat expérimental diffère du résultat théorique en ne considérant que l’interaction électrique, cette valeur limite définit la taille du noyau {{Nobr|<math>\;\big(</math>en}} effet l’interaction nucléaire forte entre les noyaux d'<math>He\;</math> et d’<math>Au\;</math> étant de très courte portée, elle n'est à considérer en pratique que si les noyaux sont en contact et par suite, lorsque <math>\;r_{\text{min}}\;</math> correspond à des noyaux quasiment en contact sans réellement l'être, la seule interaction à considérer restant celle électrostatique, on a encore la validité du résultat théorique en ne considérant que l’interaction électrique<math>\big)</math>.</ref><math>\big)\big]</math>, on peut affirmer que l’« <u>échelle spatiale sondée d'un noyau cible</u> d'<math>Au\;</math>» est <u>en liaison</u> avec l’« <u>énergie mise en jeu par les particules projectiles</u> <math>\;\alpha\;</math>», la 1^ère étant d'autant plus petite que la 2^nde est plus grande, sous réserve d'un choix adéquat d'interaction<ref name="hors interaction nucléaire forte" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}numériquement pour <math>\;V_0 \simeq 2\;10^7\;m \cdot s^{-1}\;</math> et <math>\;m_\alpha = 6,8\;10^{-27}\;kg\;</math> on trouve <math>\;K_{\alpha,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m_\alpha\;V_0^2 \simeq \dfrac{1}{2} \times 6,8\;10^{-27} \times \left( 2\;10^7 \right)^{\!2} \simeq 1,36\;10^{-12}\;J</math> <math>\;\big[\simeq 8,5\;MeV\;</math><ref> «<math>\;1\;MeV \simeq 1,6\;10^{-13}\;J\;</math>».</ref><math>\big]\;</math> et on en déduit, avec <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\; U.S.I.\;</math>, <math>\;e \simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;</math> et <math>\;Z = 79</math>, «<math>\;r_{\text{min}} = \dfrac{2\;Z\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;K_{\alpha,\,0}} \simeq 9\;10^9 \times \dfrac{2 \times 79 \times \left( 1,6\;10^{-19} \right)^{\!2}}{1,36\;10^{-12}} \simeq 2,7\;10^{-14}\;m\;</math>» soit <center>«<math>\;r_{\text{min}} \simeq 27\;fm\;</math>»<ref> <math>\;1\; fm = 10^{-15}\; m</math> <math>\;\big(</math>symbole du fentomètre ou du fermi, cette dernière appellation historique étant en hommage à '''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]]'''<math>\big)\;</math> unité particulièrement bien adapté à la physique nucléaire ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]] (1901 - 1954)''', physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1938\;</math> pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents.</ref> ordre de grandeur de la taille du noyau d'<math>Au</math>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler]] }} pufz9kgcpnc3bive7fndq88cn23ku79 0 74914 987233 986688 2026-10-10T18:25:07Z Phl7605 31541 987233 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes, <br />l'espace physique étant <math>\;\big(</math>sauf avis contraire<math>\big)\;</math> « orienté à droite »<ref name="orienté à droite"> Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>.</center> == Champ newtonien et force newtonienne subie par un point sensible au champ, définition, énergie potentielle du point dans le champ newtonien == === Définition d’un champ newtonien et exemples === {{Définition|titre=Définition d'un champ newtonien|contenu={{Al|5}}Un « champ newtonien <math>\;\vec{A}(M)\;</math>» est un champ vectoriel défini en tout point <math>\;M\;</math> de l'espace tridimensionnel [[w:Espace_affine_euclidien|affine euclidien]] <math>\;\mathcal{E}\;</math> ayant les propriétés suivantes : * <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est radial relativement à un point <math>\;O \in \mathcal{E}\;</math> soit «<math>\;\vec{A}(M) \propto\;</math> à <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Repérage_sphérique_de_pôle_et_d'axe_fixés_d'un_point_dans_la_composante_d'espace_du_référentiel_d'étude|repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et * la norme de <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est inversement proportionnelle au carré de la distance séparant <math>\;M\;</math> de <math>\;O\;</math> soit «<math>\;\Big\Vert \vec{A}(M) \Big\Vert \propto\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math>» avec <math>\;r =</math> <math>OM\;</math> la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}choisissant de repérer <math>\;M\;</math> par ses coordonnées sphériques «<math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math>» de pôle <math>\;O</math>, le centre actif du champ newtonien <math>\;\big[</math>la base locale sphérique liée à <math>\;M\;</math> étant «<math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math>»<math>\big]\;</math><ref name="repérage sphérique" />, le champ newtonien défini en <math>\;M</math> «<math>\;\vec{A}(M)\;</math>» s'écrit <center>«<math>\;\vec{A}(M) = \dfrac{K}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» avec <math>\;K \in \mathbb{R}^{*}</math>, <br />le champ étant « centrifuge<ref name="centrifuge"> C.-à-d. central dont le sens part du centre d'action du champ vers le point où ce dernier est défini.</ref> pour <math>\;K > 0\;</math>» et <br />{{Transparent|le champ étant }}« centripète<ref name="centripète"> C.-à-d. central dont le sens est vers le centre d'action du champ.</ref> pour <math>\;K < 0\;</math>».{{Transparent|et}}</center>}} {{Al|5}}<u>Exemples</u> : il y a principalement deux types de champ newtonien, ::::* le 1^er de « <u>nature gravitationnelle</u> »<ref name="champ gravitationnel"> Il ne faut pas croire que tous les champs gravitationnels sont newtoniens : <br>{{Al|3}}pour qu’un champ gravitationnel soit newtonien, il est nécessaire que sa <u>source</u> soit <u>composée de matière dont la répartition de masse est à symétrie sphérique</u> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> de la source de centre <math>\;O\;</math> ne dépend que de la distance <math>\;r_P = OP\;</math> soit «<math>\;\mu(P) = \mu(r_P)\;</math>», c’est approximativement réalisé pour le Soleil, pour la Terre, pour la Lune <math>\;\ldots\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|pour qu'un champ gravitationnel soit newtonien, il est nécessaire}} que <u>le point</u> <math>\;M\;</math> <u>où on définit le champ de gravitation soit extérieur à la source</u> <math>\;\big[</math>ce qui ne veut pas dire que l’on ne peut pas définir un champ de gravitation à l’intérieur de la source, mais alors il n’est pas newtonien, il est en fait, si la source est de masse volumique constante <math>\;\big(</math>cas particulier de répartition de masse à symétrie sphérique<math>\big)</math>, centripète de type «<math>\;\vec{G}(M_{\text{int}}) = - K'\;r\;\vec{u}_r\;</math>», le champ de gravitation étant nul au centre de la source<math>\big]</math>.</ref> étant toujours <u>centripète</u> <math>\;\bigg\{</math>exemples : le champ d’attraction gravitationnelle du Soleil en tout point <math>\;M\;</math> extérieur au Soleil «<math>\;\vec{G}_{\text{☉}}(M) = -\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{☉}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» où «<math>\;K\;</math> vaut <math>\;-\mathcal{G}\; m_{\text{☉}} < 0\;</math>» et «<math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;</math> la masse du Soleil » <math>\;\big(\mathcal{G}\;</math> étant la constante de gravitation universelle valant <math>\;\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\big)\;</math> ou le champ d’attraction gravitationnelle de la Terre en tout point <math>\;M\;</math> extérieur à la Terre «<math>\;\vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{♁}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» où «<math>\;K\;</math> vaut <math>\;-\mathcal{G}\; m_{\text{♁}} < 0\;</math>» et «<math>\;m_{\text{♁}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre »<math>\bigg\}</math>, ::::* le 2^ème de « <u>nature électrique</u> créé par une source ponctuelle chargée<ref name="champ électrostatique"> Il n’y a pas que les charges ponctuelles qui soient sources d’un champ newtonien, <br>{{Al|3}}citons comme autre exemple de source de champ newtonien « <u>une boule chargée dont la répartition de charge est à symétrie sphérique</u> » <math>\;\big[</math>c'est-à-dire dont la charge volumique en un point <math>\;P\;</math> de la source de centre <math>\;O\;</math> ne dépend que de la distance <math>\;r_P = OP\;</math> soit «<math>\;\rho(P) = \rho(r_P)\;</math>»<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|citons comme autre exemple de source de champ newtonien}} à condition que <u>le point</u> <math>\;M\;</math> <u>où on définit le champ électrique soit extérieur à la source</u> <math>\;\big[</math>ce qui ne veut pas dire que l’on ne peut pas définir un champ électrique à l’intérieur de la source, mais alors il n’est pas newtonien, il est en fait, si la source est de charge volumique constante <math>\;\rho_0</math> <math>\;\big(</math>cas particulier de répartition de charge à symétrie sphérique<math>\big)</math>, radial de type «<math>\;\vec{E}(M_{\text{int}}) = K'\;r\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;K'\;</math> du signe de <math>\;\rho_0\;</math>», le champ électrique étant nul au centre de la source<math>\big]</math>.</ref> » étant <u>centripète<ref name="centripète" /> si la charge ponctuelle source est négative</u> et <u>centrifuge<ref name="centrifuge" /> si la charge ponctuelle source est positive</u> <math>\;\bigg\{</math>exemple : le champ électrostatique créé par la charge ponctuelle <math>\;O \left( q_O \right)\;</math> en tout point <math>\;M \neq O\;</math> «<math>\;\vec{E}_{O}(M) = \dfrac{K}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» où «<math>\;K\;</math> vaut <math>\;\dfrac{q_O}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math> toujours du signe de <math>\;q_O\;</math>» <math>\;\bigg(\varepsilon_0\;</math> étant la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique {{Nobr|<math>\;\big[</math>plus}} la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> d'où <math>\;\varepsilon_0 \simeq \dfrac{1}{36\;\pi}\;10^{-9}\; U.S.I. \simeq 8,85\;10^{-12}\; U.S.I.\bigg)\bigg\}</math>. === Force newtonienne subie par le point matériel M === {{Al|5}}Si, en reprenant l'un des deux types de champ newtonien précédent <math>\;\big[</math>gravitationnel ou électrostatique<math>\big]</math>, on observe l'action du champ newtonien sélectionné sur un point matériel <math>\;M\;</math> doté d'une caractéristique lui permettant d'être sensible à ce champ <math>\;\big[</math>à savoir une masse <math>\;\big(</math>grave<math>\big)\;</math><ref name="masse grave et masse inerte"> On rappelle que l'on distingue deux grandeurs différentes toutes deux appelées « masse », l'une « la masse <math>\;\big(</math>inerte<math>\big)\;</math>» intervenant dans l'expression de la quantité de mouvement <math>\;\vec{p}\;</math> d'un point matériel et l'autre « la masse <math>\;\big(</math>grave<math>\big)\;</math>» intervenant dans l'expression de la force gravitationnelle exercée par une source de gravitation <math>\;\vec{F}_{\text{gravit},\,\text{M}\,\leftarrow\,\text{source}}\;</math> sur le point matériel <math>\;\big(</math>en particulier dans celle du poids terrestre de ce dernier<math>\big)</math>, revoir la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Quantité_de_mouvement#cite_note-3|³]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> pour le champ gravitationnel ou une charge pour le champ électrostatique<math>\big]</math>, on en déduit l'expression de la force exercée sur le point matériel <math>\;M\;</math> placée dans le champ newtonien sélectionné, à savoir : * dans l'espace de gravitation de source <math>\;\mathcal{S}\;</math> représenté en <math>\;M\;</math> par le vecteur champ de gravitation «<math>\;\vec{G}_{\mathcal{S}}(M)\;</math>», le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;\big(</math>grave<math>\big)</math> <math>\;m\;</math> subit la force de gravitation «<math>\;\vec{F}_{\text{gravit},\,M\,\leftarrow\,\mathcal{S}} =</math> <math>m\;\vec{G}_{\mathcal{S}}(M)\;</math>» et, dans la mesure où le champ de gravitation est newtonien c'est-à-dire «<math>\;\vec{G}_{\mathcal{S}}(M) = \dfrac{K_{\mathcal{S}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;K_{\mathcal{S}} = -\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}} < 0\;</math>» la force se réécrivant «<math>\;\vec{F}_{\text{gravit},\,M\,\leftarrow\,\mathcal{S}} = m\;\dfrac{K_{\mathcal{S}}}{r^2}\;\vec{u}_r = \dfrac{k_{m,\;\mathcal{S}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k_{m,\,\mathcal{S}} = m\;K_{\mathcal{S}} = -\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}\;m < 0\;</math>» définit une force newtonienne attractive et * dans l'espace électrostatique de source <math>\;\mathcal{S}\;</math> représenté en <math>\;M\;</math> par le vecteur champ électrostatique «<math>\;\vec{E}_{\mathcal{S}}(M)\;</math>», le point matériel <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> subit la force électrostatique «<math>\;\vec{F}_{\text{électrost},\,M\,\leftarrow\,\mathcal{S}} =</math> <math>q\;\vec{E}_{\mathcal{S}}(M)\;</math>» et, dans la mesure où le champ électrostatique est newtonien c'est-à-dire «<math>\;\vec{E}_{\mathcal{S}}(M) = \dfrac{K_{\mathcal{S}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;K_{\mathcal{S}} = \dfrac{q_{\mathcal{S}}}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math> du signe de <math>\;q_{\mathcal{S}}\;</math>» la force se réécrivant «<math>\;\vec{F}_{\text{électrost},\,M\,\leftarrow\,\mathcal{S}} = q\;\dfrac{K_{\mathcal{S}}}{r^2}\;\vec{u}_r =</math> <math>\dfrac{k_{q,\;\mathcal{S}}}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k_{q,\,\mathcal{S}} = q\;K_{\mathcal{S}} = \dfrac{q_{\mathcal{S}}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math> du signe de <math>\;q_{\mathcal{S}}\;q\;</math>» définit une force newtonienne attractive si <math>\;q_{\mathcal{S}}\;q\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et répulsive si <math>\;q_{\mathcal{S}}\;q\;</math> est <math>\;> 0</math>. {{Définition|titre=Définition d'une force newtonienne subie par le point matériel M|contenu={{Al|5}}La force qu'un champ newtonien «<math>\;\vec{A}(M) = \dfrac{K}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» avec <math>\;K \in \mathbb{R}^{*}</math>» exerce sur un point matériel <math>\;M\;</math> possédant la grandeur caractéristique le rendant sensible au champ newtonien définit une force newtonienne qui peut s'écrire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» dans laquelle <br /><math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> <br />et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> <br />avec <math>\;k \in \mathbb{R}^{*} \left\lbrace \begin{array}{c} > 0\;\text{pour une force répulsive}\\ < 0\;\text{pour une force attractive}\end{array}\right\rbrace</math> ;</center> * {{Al|5}} dans le cas d'une force newtonienne gravitationnelle créée par une source <math>\;\mathcal{S}\;</math> de masse <math>\;m_{\mathcal{S}}\;</math> sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m</math>, <center>«<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}\;m < 0\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle » <br />assurant que la force newtonienne gravitationnelle est attractive et</center> * {{Al|5}} dans le cas d'une force newtonienne électrostatique créée par une source <math>\;\mathcal{S}\;</math> de charge <math>\;q_{\mathcal{S}}\;</math> sur un point matériel <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <center>«<math>\;k = \dfrac{q_{\mathcal{S}}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math> du signe de <math>\;q_{\mathcal{S}}\;q\;</math>» avec <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> où <math>\;\varepsilon_0\;</math> est la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" /> <br /> assurant que la force newtonienne électrostatique est <math>\;\left\lbrace\begin{array}{c}\text{attractive pour}\;q_{\mathcal{S}}\;q < 0\\ \text{répulsive pour}\;q_{\mathcal{S}}\;q > 0\end{array}\right\rbrace</math>.</center>}} === Caractère conservatif d’une force newtonienne et énergie potentielle « newtonienne » du point M la subissant === {{Al|5}}On vérifie aisément que « <u>toute force newtonienne</u> <math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> <u>est conservative</u> »<ref> La composante radiale de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépendant que de la coordonnée radiale <math>\;r\;</math> de <math>\;M</math>, le travail élémentaire de la force <math>\;\delta W\! \left[ \vec{F}(M) \right] = F(r)\;dr\;</math> ou <math>\;\delta W\! \left[ \vec{F}(M) \right] = F(r)\;dr + 0\;d \theta + 0\;d \varphi\;</math> est donc bien une différentielle de fonction car les cœfficients des éléments différentiels <math>\;\left( dr\,,\,d \theta\,,\,d \varphi \right)\;</math> de la forme différentielle <math>\;\delta W\! \left[ \vec{F}(M) \right]\;</math> vérifient l'égalité de leurs dérivées croisées à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \left( \dfrac{\partial F}{\partial \theta} \right)_{\!r\, \varphi} = \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial r} \right)_{\!\theta\, \varphi} = 0\\ \left( \dfrac{\partial F}{\partial \varphi} \right)_{\!r\, \theta} = \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial r} \right)_{\!\theta\, \varphi} = 0\end{array}\right\rbrace\;</math> puisque <math>\;F\;</math> est indépendant de <math>\;\theta\;</math> et de <math>\;\varphi</math> <math>\;\bigg\{</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la condition étant suffisante pour <math>\;F(r) = \dfrac{k}{r^2}\;</math> car la forme différentielle <math>\;F(r)\;dr\;</math> correspondante est définie sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] <math>\;\left] 0\,,\, +\infty \right[\;</math>, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du même chap.<math>28\;</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\bigg\}</math>.</ref> et par suite « dérive » d’une énergie potentielle «<math>\;U(r)\;</math>»<ref name="force dérivant d'énergie potentielle"> On rappelle qu'il s'agit d'un abus car en fait la force conservative dérive de <math>\;-U(r)\;\ldots</math></ref> que l’on détermine par «<math>\;\delta W\! \left[ \vec{F}(M) \right] =</math> <math>\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}</math> <math>= \dfrac{k}{r^2}\;dr = -dU\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{dU}{dr}(r) = -\dfrac{k}{r^2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r} + cste\;</math>» soit «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> avec sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> choisie à l'infini ». {{Proposition|titre=Caractère conservatif d'une force newtonienne et énergie potentielle dont elle « dérive »|contenu={{Al|5}}<u>Toute force newtonienne</u> «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k \in \mathbb{R}^{*}\;</math>» <math>\;\big[r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radial de la base sphérique liée à <math>\;M\;</math> dans le repérage sphérique de ce dernier<ref name="repérage sphérique" /><math>\big]\;</math> est <u>conservative</u>, <br />{{Al|38}}<u>elle « dérive » de l'énergie potentielle dite « newtonienne »</u><ref name="force dérivant d'énergie potentielle" /> «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l'infini » ; * {{Al|5}}si «<math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», la force newtonienne est « attractive » et l'énergie potentielle newtonienne étant «<math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;-\infty\;</math> à <math>\;0\;</math>» quand <math>\;r \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math> est telle que «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> reste <math>\;< 0,\;\;\forall\;r\;\in\;\left] 0\,,\, +\infty \right[\;</math> en <math>\;\nearrow\;</math>», * {{Al|5}}si «<math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», la force newtonienne est « répulsive » et l'énergie potentielle newtonienne étant «<math>\;\searrow\;</math> de <math>\;+\infty\;</math> à <math>\;0\;</math>» quand <math>\;r \nearrow\;</math> de <math>\;0\;</math> à <math>\;+\infty\;</math> est telle que «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> reste <math>\;> 0,\;\;\forall\;r\;\in\;\left] 0\,,\, +\infty \right[\;</math> en <math>\;\searrow\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Retour sur les exemples</u> : :::* une « force newtonienne <u>gravitationnelle</u> »<ref name="champ gravitationnel" /> étant toujours <u>attractive</u> <math>\;\bigg\{</math>exemples : la force d’attraction gravitationnelle du Soleil sur tout point <math>\;M \left( m \right)\;</math> extérieur au Soleil «<math>\;\vec{F}_{\text{gravit}\,\text{du ☉}}(M) =</math> <math>-\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{☉}}\;m}{r^2}\;\vec{u}_r = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>-\mathcal{G}\; m_{\text{☉}}\;m < 0\;</math>» avec «<math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;</math> la masse du Soleil » <math>\;\big(\mathcal{G}\;</math> la constante de gravitation universelle valant <math>\;\simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\big)\;</math> ou la force d’attraction gravitationnelle de la Terre sur tout point <math>\;M \left( m \right)\;</math> extérieur à la Terre «<math>\;\vec{F}_{\text{gravit}\,\text{de la ♁}}(M) = -\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\;\vec{u}_r = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>\;-\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\;m < 0\;</math>» avec «<math>\;m_{\text{♁}} \simeq</math> <math>6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre »<math>\bigg\}</math>, « dérive » d'une « énergie potentielle newtonienne <u>gravitationnelle</u> » <math>\;\nearrow\;</math> en restant <math>\;< 0\;</math> si la référence de cette dernière<ref name="référence d'énergie potentielle" /> est choisie à l'infini {{Nobr|<math>\;\bigg\{</math>exemples :}} l'énergie potentielle gravitationnelle du Soleil en tout point <math>\;M \left( m \right)\;</math> extérieur au Soleil «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{du ☉}}(M) =</math> <math>-\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{☉}}\;m}{r} = \dfrac{k}{r}\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>\;-\mathcal{G}\; m_{\text{☉}}\;m < 0\;</math>» ou l'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre en tout point <math>\;M \left( m \right)\;</math> extérieur à la Terre «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{de la ♁}}(M) = -\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{♁}}\;m}{r} = \dfrac{k}{r}\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>-\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\;m < 0\;</math>»<math>\bigg\}</math> ; :::* une « force newtonienne <u>électrostatique</u> »<ref name="champ électrostatique" /> étant <u>attractive</u> si « la charge de la source <math>\;q_{\mathcal{S}}\;</math> et celle du point <math>\;M</math>, <math>\;q</math>, sont de signe contraire » ou <u>répulsive</u> si « la charge de la source <math>\;q_{\mathcal{S}}\;</math> et celle du point <math>\;M</math>, <math>\;q</math>, sont de même signe » <math>\;\bigg\{</math>exemple : la force électrostatique que le point chargé <math>\;O \left( q_O \right)\;</math> exerce sur tout point chargé <math>\;M \left( q \right)\;</math> positionné hors de <math>\;O\;</math> «<math>\;\vec{F}_{\text{électrost}\,\text{de O}}(M) =</math> <math>\dfrac{q_{O}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r^2}\;\vec{u}_r = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>\;\dfrac{q_{O}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math> du signe de <math>\;q_O\;q\;</math>» <math>\;\bigg(\varepsilon_0\;</math> étant la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" /> telle que <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> d'où <math>\;\varepsilon_0 \simeq \dfrac{1}{36\;\pi}\;10^{-9}\; U.S.I. \simeq</math> <math>8,85\;10^{-12}\; U.S.I.\bigg)\bigg\}</math>, « dérive » d'une « énergie potentielle newtonienne <u>électrostatique</u> » dont la variation dépend du signe du produit des deux charges en présence à savoir «<math>\;\nearrow\;</math> en restant <math>\;< 0\;</math> pour un produit <math>\;\big(</math>de charges<math>\big)\;</math> négatif » ou «<math>\;\searrow\;</math> en restant <math>\;> 0\;</math> pour un produit <math>\;\big(</math>de charges<math>\big)\;</math> positif », si la référence de l'énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle" />, dans les deux cas, est choisie à l'infini {{Nobr|<math>\;\bigg\{</math>exemples :}} l'énergie potentielle électrostatique du point chargé <math>\;O \left( q_O \right)\;</math> en tout point chargé <math>\;M \left( q \right)\;</math> positionné hors <math>\;O\;</math> «<math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{électrost}\,\text{de O}}(M)\;</math><ref name="notation spéciale pour l'énergie potentielle électrostatique"> On évite de choisir <math>\;U\;</math> pour représenter une énergie potentielle électrostatique ou électrique car cette notation est réservée pour représenter une tension.</ref> <math>= \dfrac{q_{O}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r} = \dfrac{k}{r}\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>\;\dfrac{q_{O}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math> du signe de <math>\;q_O\;q\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;\nearrow\;</math> en restant <math>\;< 0\;</math> si <math>\;q_O\;q\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» ou «<math>\;\searrow\;</math> en restant <math>\;> 0\;</math> si <math>\;q_O\;q\;</math> est <math>\;> 0\;</math>»<math>\bigg\}</math>. {{Al|5}}<u>Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle</u> : dans le cas de l'espace de gravitation créé autour d'une planète ayant une répartition de masse à symétrie sphérique <math>\;\big[</math>c'est-à-dire dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> de la planète de centre <math>\;O\;</math> ne dépend que de la distance <math>\;r_P = OP\;</math> soit «<math>\;\mu(P) = \mu(r_P)\;</math>»<math>\big]</math>, l'énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans le champ de gravitation de la planète est, si <math>\;M\;</math> est extérieur à la planète, newtonienne selon «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{de la planète}}(M) = \dfrac{k}{r} + cste\;</math>» où «<math>\;k\;</math> vaut <math>\;-\mathcal{G}\; m_{\text{planète}}\;m < 0\;</math>» et <math>\;cste\;</math> dépend du choix de la référence de l'énergie potentielle gravitationnelle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> ; pour la suite nous supposerons que la planète est la « <u>Terre</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : }}choisissant la référence de l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> terrestre du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> sur la surface de la Terre <math>\;\big[</math>de rayon «<math>\;R_{\text{♁}} \simeq 6400\;km\;</math>»<math>\big]\;</math> et repérant le point matériel <math>\;M\;</math> par son altitude «<math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> terrestre du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> se réécrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(M) = U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z) = \dfrac{k}{R_{\text{♁}} + z} + cste\;</math>» avec «<math>\;k = -\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\;m < 0\;</math>» et <math>\;cste\;</math> telle que «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z = 0) = \dfrac{k}{R_{\text{♁}}} + cste = 0\;</math>» d'où <math>\;cste = -\dfrac{k}{R_{\text{♁}}}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z) = \dfrac{k}{R_{\text{♁}} + z} - \dfrac{k}{R_{\text{♁}}}\;</math>» avec «<math>\;k = -\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\;m < 0\;</math>» et « référence en <math>\;z = 0\;</math>»<ref name="référence d'énergie potentielle" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : }}dans l'hypothèse d'une faible altitude du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire «<math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math>» <math>\;\bigg(\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math> étant considéré comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petit d'ordre un"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref><math>\bigg)\;</math> on peut alors faire un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. de <math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z)\;</math> à l’ordre un en <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math> après avoir fait apparaître l'infiniment petit d'ordre un selon «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z) = \dfrac{k}{R_{\text{♁}} \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)} - \dfrac{k}{R_{\text{♁}}} =</math> <math>\dfrac{k}{R_{\text{♁}}} \left[ \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{\!-1} - 1 \right] \simeq \dfrac{k}{R_{\text{♁}}} \left[ \left( 1 - \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right) - 1 \right]\;</math> à l'ordre un en<math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="D.L. à l'ordre un des fonctions usuelles"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », on utilise <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math> applicable si <math>\;n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> avec ici <math>\;n = -1</math>.</ref> soit encore «<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z) \simeq -\dfrac{k}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} = -\dfrac{k}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z\;</math>» ou, avec «<math>\;k = -\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\;m\;</math>» {{Al|5}}{{Transparent|Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : }}<u>l'expression approchée de l'énergie potentielle newtonienne gravitationnelle terrestre en un point</u> <math>\;M\;</math> <u>de faible altitude</u> <center>«<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z\;</math>» </center> {{Al|5}}{{Transparent|Autre référence usuelle d'une énergie potentielle newtonienne gravitationnelle : }}s'écrivant encore, avec la norme du champ de gravitation terrestre au sol <math>\;\Big\Vert \vec{G}_{\text{♁}}(0) \Big\Vert = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}</math> <math>\;\big[</math>notée <math>\;G_{\text{♁}}(0)\;</math> pour simplifier<math>\big]</math>, <center>«<math>\;U_{\text{gravit}\,\text{♁}}(z) \simeq m\; G_{\text{♁}}(0)\; z\;</math>»<ref> Expression analogue à celle de l'énergie potentielle de pesanteur terrestre du point matériel d'altitude <math>\;z\;</math> à condition de confondre le champ de pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;\vec{g}_{\text{♁}}(0)\;</math> et celui de gravitation terrestre au même niveau <math>\;\vec{G}_{\text{♁}}(0)</math> <math>\;\big[</math>revoir la différence dans la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#cite_note-50|⁵⁰]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>.</center> == Intégrales 1^ères du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien dans un référentiel galiléen == === 1^ère intégrale 1^ère du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien === {{Al|5}}Introduite au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_à_force_centrale_:_conservation_de_son_moment_cinétique_vectoriel_par_rapport_au_centre_de_force|1^ère intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». {{Proposition|titre=1^ère intégrale 1^ère du mouvement d'un point uniquement soumis à un champ newtonien|contenu={{Al|5}}Il existe une 1^ère intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> à force centrale newtonienne «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;\in\;\mathbb{R}^{*}\;</math> tel que <math>\;k \left\lbrace \begin{array}{c} > 0\;\text{pour une force répulsive}\\ < 0\;\text{pour une force attractive}\end{array}\right\rbrace</math>» dans laquelle <math>\;r = OM\;</math> et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> sont respectivement la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> correspondant à la <u>conservation du moment cinétique vectoriel du point matériel</u> <math>\;M\;</math> <u>par rapport au centre de force</u> <math>\;O\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen {{Nobr|c'est-à-dire}} « conservation de <math>\;\vec{\sigma}_O(t) =</math> <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math> relativement à la variation du temps <math>\;t\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0),\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0)\;</math>» ou, <br />après simplification par <math>\;m</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0),\;\;\forall\;t\;</math>».</center>}} === 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point uniquement soumis à un champ newtonien === {{Al|5}}Introduite au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_à_force_centrale_quand_cette_dernière_est_conservative_:_conservation_de_son_énergie_mécanique_2|2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». {{Proposition|titre=2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point uniquement soumis à un champ newtonien|contenu={{Al|5}}Il existe une 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\,\left( m \right)\;</math> à force centrale newtonienne «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k\;\in\;\mathbb{R}^{*}\;</math> tel que <math>\;k \left\lbrace \begin{array}{c} > 0\;\text{pour une force répulsive}\\ < 0\;\text{pour une force attractive}\end{array}\right\rbrace</math>» dans laquelle <math>\;r = OM\;</math> et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> sont respectivement la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle <math>\;O\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> correspondant à la <u>conservation</u> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <u>de l'énergie mécanique du point matériel</u> <math>\;M\;</math> <u>dans le champ de force newtonienne</u> {{Nobr|c'est-à-dire}} « conservation de <math>\;E_m(t) = K_M(t) + U\! \left[ r(t) \right]\;</math> relativement à la variation du temps <math>\;t\;</math>» avec <math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}\!(t)\;</math> l'énergie cinétique de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}</math> <math>\;\big(</math>avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l'infini<math>\big)\;</math> l'énergie potentielle dont « dérive » la force newtonienne soit, mathématiquement, <center>«<math>\;E_m(t) = E_m(0),\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;E_m(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} + U(r_0)\;</math> dans laquelle <math>\;U(r_0) = \dfrac{k}{r_0}\;</math>» ou, <br />«<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}\!(t) + U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} + U(r_0),\;\;\forall\;t\;</math>» dans laquelle <math>\;U\! \left[ r(t) \right] = \dfrac{k}{r(t)}\;</math>».</center>}} == Rappel des conséquences de la conservation du moment cinétique vectoriel du point : mouvement plan (ou rectiligne), applicabilité de la loi des aires (et des formules de Binet) == === 1^ère conséquence : nature plane (ou rectiligne) du mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_conséquence_de_la_conservation_du_moment_cinétique_vectoriel_du_point_par_rapport_au_centre_de_force_:_«_nature_plane_(ou_rectiligne)_du_mouvement_»|1^ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : nature plane (ou rectiligne) du mouvement]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si «<math>\;\vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math> étant nul c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0) = \vec{0}\;</math>», de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après simplification par <math>\;m</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \vec{0},\;\;\forall\;t\;</math>» ;</center> {{Al|70}}«<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> étant colinéaires pour tout <math>\;t\;</math>», on déduit que <u>le mouvement du point</u> <math>\;M\;</math> <u>est rectiligne selon</u> <math>\;\left( OM_0 \right)</math> <math>\;\big[</math>revoir la démonstration par récurrence dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#cite_note-26|²⁶]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Si «<math>\;\vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel <math>\;M\;</math> par rapport au centre de force <math>\;O\;</math> étant non nul c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0) \neq \vec{0}\;</math>», de la conservation du moment cinétique vectoriel de <math>\;M\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math> c'est-à-dire de «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0),\;\;\forall\;t\;</math>», on en déduit la non nullité de «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math>» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\vec{\sigma}_O(t) =</math> <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> de direction constante <math>\;\forall\;t\;</math>»<ref name="direction constante"> En fait il y a aussi le sens et la norme du vecteur qui sont constants mais ce qu'on va utiliser dans ce paragraphe est la constance de sa direction.</ref> ou, après simplification par <math>\;m</math>, <center>«<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) \neq \vec{0}\;</math> de direction constante <math>\;\forall\;t\;</math>»<ref name="direction constante" /> ;</center> {{Al|71}}en utilisant la définition du produit vectoriel<ref name="définition du produit vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Définition_intrinsèque_du_produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit que «<math>\;\overrightarrow{OM}(t)\;</math> et <math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> sont toujours <math>\;\perp\;</math> à cette direction fixe » et par suite « <u>le mouvement du point</u> <math>\;M\;</math> <u>se fait dans le plan passant par</u> <math>\;O\;</math> <u>et</u> <math>\;\perp\;</math> <u>à</u> <math>\;\vec{\sigma}_O(0)\;</math>» c'est-à-dire « le plan contenant <math>\;O</math>, <math>\;M_0\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math>». === 2^ème conséquence : applicabilité de la loi des aires au mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien === [[File:Mouvement à force centrale - plan.png|thumb|300px|Schéma de description d'un mouvement à force centrale (newtonienne) de centre de force <math>\;O\;</math> dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont non colinéaires avec choix des axes cartésiens <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> et <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> du plan du mouvement ainsi que de l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;\perp\;</math> au plan et orientant les angles de ce dernier]] {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_conséquence_de_la_conservation_du_moment_cinétique_vectoriel_du_point_par_rapport_au_centre_de_force_:_applicabilité_de_la_«_loi_des_aires_»|2^ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la loi des aires]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». {{Al|5}}Notant «<math>\;\vec{u}_x\;</math>» le vecteur unitaire de <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math> orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Notant }}«<math>\;\vec{u}_y\;</math>» le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> à «<math>\;\vec{u}_x\;</math>» tel que «<math>\;\vec{V}_0 = V_0\;\cos(\alpha_0)\;\vec{u}_x + V_0\;\sin(\alpha_0)\;\vec{u}_y\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Notant }}«<math>\;\vec{u}_z\;</math>» le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> aux deux précédents tel que «<math>\;\left( \vec{u}_x\, ,\, \vec{u}_y\, ,\, \vec{u}_z \right)\;</math> soit direct <math>\;\big(</math>l'espace physique étant orienté à droite<ref name="orienté à droite" /><math>\big)\;</math>»<ref name="base directe d'un espace orienté à droite"> Une base directe, dans un espace orienté à droite <math>\;\big[</math>voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, s'obtient en utilisant la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|¹²]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> puis {{Al|5}}repérant <math>\;M\;</math> dans le plan <math>\;xOy\;</math> par ses coordonnées polaires <math>\;\left( r\,,\, \theta \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, on peut lui appliquer la « loi des aires » «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>» dans laquelle «<math>\;C =</math> <math>\dfrac{\vec{\sigma}_O(0) \cdot \vec{u}_z}{m}\;</math> est la constante des aires »<ref name="loi des aires"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Établissement_de_la_«_loi_des_aires_»|établissement de la loi des aires]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\bigg[</math>la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point divisé par sa masse » sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> exprimée en polaire soit «<math>\;\dfrac{\vec{\sigma}_O(t)}{m} \cdot \vec{u}_z = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z\;</math>»<math>\bigg]</math> ; {{Al|5}}la constante des aires s'évalue encore selon <math>\;C = r_0\;V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> et {{Al|5}}la « loi des aires » est encore applicable pour <math>\;\alpha_0 = 0\;</math> ou <math>\;\pi\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;C = 0\;</math>» d'où «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\theta(t) = cste = \theta(0) = 0\;</math> c'est-à-dire la nature rectiligne du mouvement le long de <math>\;\left( OM_0 \right)\;</math>». === Possibilité d’introduire les variables et les formules de Binet === {{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#«_En_complément_»_:_variables_et_formules_de_Binet_d’un_mouvement_à_force_centrale_et_leur_intérêt|en complément : variables et formules de Binet d'un mouvement à force centrale et leur intérêt]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ». {{Al|5}}Avec les variables de Binet<ref name="Binet"> '''[[w:Jacques_Philippe_Marie_Binet|Jacques Philippe Marie Binet]] (1786 - 1856)''' mathématicien et astronome français, on lui doit, dans le domaine des mathématiques, entre autres, une étude assez détaillée des fonctions eulériennes <math>\;\big[</math>[[w:Fonction_gamma|fonction gamma]] et [[w:Fonction_bêta|fonction bêta]]<math>\big]\;</math> ainsi que le calcul du n^ième terme de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] et, dans le domaine de l'astronomie, ces formules connues sous le nom de « formules de Binet » permettant d'exprimer les composantes polaires de la vitesse et de l'accélération quand cette dernière est centrale ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonardo__Fibonacci|Leonardo Fibonacci]] (vers 1175 - vers 1250)''' mathématicien italien connu pour son introduction de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] mais a aussi joué un rôle essentiel pour insérer le [[w:Mathématiques_arabes|savoir mathématique des musulmans]], notamment des [[w:Chiffres_arabes|chiffres indo-arabes]], dans le monde de l'Occident.</ref> «<math>\;u = \dfrac{1}{r}(\theta)</math>, <math>\;u' = \dfrac{du}{d \theta}(\theta)\;</math> et <math>\;u'' = \dfrac{d^2u}{d \theta^2}(\theta)\;</math>» définissant respectivement la 1^ère, 2^ème et 3^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>la définition des 2^ème et 3^ème variables de {{Nobr|Binet<ref name="Binet" />}} nécessitant <math>\;C \neq 0\big)</math> <math>\;\big[</math>introduites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_des_variables_de_Binet|définition des variables de Binet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, on peut utiliser <br />{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}les expressions de Binet<ref name="Binet" /> des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{V}_M(t) = V_r(t)\; \vec{u}_r(t) + V_\theta(t)\; \vec{u}_\theta(t)\;</math>» lesquelles sont respectivement «<math>\;V_r(t) = -C\; u'(\theta)\;</math>» et «<math>\;V_\theta(t) = C\;u(\theta)\;</math>» <math>\;\big(</math>l'expression de Binet<ref name="Binet" /> de la vitesse radiale nécessitant <math>\;C \neq 0\big)</math> <math>\;\big[</math>introduites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Préliminaire_:_«_expressions_de_Binet_»_des_composantes_radiale_et_orthoradiale_du_vecteur_vitesse_du_point_M|préliminaire : expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ainsi que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Avec }}les formules de Binet<ref name="Binet" /> relative au carré de la vitesse «<math>\;V^2(t) = C^2 \left[ {u'}^2(\theta) + u^2(\theta) \right]\;</math>» et relative à l’accélération radiale «<math>\;a_r(t) = -C^2\;u^2(\theta) \left[ u''(\theta) + u(\theta) \right]\;</math>», encore appelée respectivement 1^ère et 2^ème formules de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>toutes deux nécessitant <math>\;C \neq 0\big)</math> <math>\;\big[</math>respectivement introduites aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_au_carré_de_la_vitesse)|1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse)]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale)|2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. == « En complément » : détermination de la nature de la trajectoire par application de la r.f.d.n. et utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale, discussion de la nature suivant les conditions de lancement == {{Al|5}}La consigne du programme de physique de P.C.S.I. est d’admettre les résultats concernant la nature de la trajectoire d'un point matériel dont le mouvement est à force centrale newtonienne<ref name="limitation du programme en ce qui concerne le mouvement à force centrale newtonienne"> De plus préciser la trajectoire d'un point matériel dont « le mouvement est à force centrale newtonienne répulsive » ainsi qu'« attractive dans un état de diffusion » ne sont pas explicites dans le programme de physique de P.C.S.I., toutefois il me semble que * d'une part savoir comment se comporte une sonde quand elle quitte l'attraction terrestre est tout aussi important que de connaître la trajectoire d'un satellite terrestre, * d'autre part ce sont des forces centrales newtoniennes répulsives qui sont mises en jeu dans l'expérience de Rutherford présentée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#«_Approche_documentaire_»_:_relier_l’«_échelle_spatiale_sondée_»_à_l’_«énergie_mise_en_jeu_»_lors_d’une_collision_en_s’appuyant_sur_l’expérience_de_Rutherford|approche documentaire : relier “ l'échelle spatiale sondée ” à “ l'énergie mise en jeu ” lors d'une collision en s'appuyant sur l'expérience de Rutherford]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », expérience de Rutherford explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. et connaître la trajectoire des projectiles y intervenant <math>\;\big(</math>même si seule leur distance minimale d'approche est utile dans le cas présent<math>\big)\;</math> me semble simplement relever d'un minimum de curiosité <math>\;\ldots</math></ref> et de faire la démonstration uniquement dans le cas d’un mouvement circulaire <math>\;\big[</math>ce qui sera fait au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Application_aux_mouvements_circulaires_d'un_satellite_ou_d'une_planète|application aux mouvements circulaires d'un satellite ou d'une planète]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; toutefois, comme on admet plus facilement des résultats qui ont été établis, les démonstrations sont présentées en complément <math>\;\ldots</math> === Application de la r.f.d.n. dans un référentiel galiléen et « détermination de l’équation polaire de la trajectoire par utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale » === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Ce n’est pas la seule méthode, il en existe au moins deux autres <math>\;\big[</math>voir la série d'exos.<math>17</math> « [[Mécanique_2_(PCSI)/Exercices/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne|mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une 1^ère connue sous le nom de « méthode du vecteur excentricité » <math>\;\big[</math>voir l'exercice « [[Mécanique_2_(PCSI)/Exercices/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Autre_méthode_de_détermination_de_la_trajectoire_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_vecteur_excentricité|autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur excentricité]] » de la série d'exos.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une 2^nde {{Transparent|connue}}sous le nom de « méthode du vecteur de Runge/Lenz »<ref name="Runge"> '''[[w:Carl_Runge|Carl David Tolmé Runge]] (1856 - 1927)''' mathématicien et physicien allemand à qui on doit essentiellement une méthode de résolution numérique d’équation différentielle « la [[w:Méthodes_de_Runge-Kutta|méthode de Runge-Kutta]] ». <br>{{Al|3}}'''[[w:Martin_Wilhelm_Kutta|Martin Wilhelm Kutta]] (1867 - 1944)''' mathématicien allemand ayant participé en <math>\;1901\;</math> avec '''Karl Runge''' à l'élaboration de « la [[w:Méthodes_de_Runge-Kutta|méthode de Runge-Kutta]] », est également connu pour ses études en [[w:Aérodynamique|aérodynamique]] <math>\;\big(</math>on lui doit le [[w:Théorème_de_Kutta-Jukowski|théorème de Kutta-Jukowski]] sur la [[w:Portance_(aérodynamique)|portance]] par unité de longueur d'un cylindre d'envergure infinie en fonction de la vitesse relative du fluide, la circulation de cette dernière le long d'une courbe fermée entourant la section droite du cylindre ainsi que la masse volumique du fluide, théorème applicable à certains [[w:Profil_(aérodynamique)|profils d'aile]] sous condition<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Nikolaï_Joukovski|Nikolaï Iegorovitch Joukovski]] (1847 - 1921)''' savant russe puis [[w:Soviétique|soviétique]], fondateur des sciences [[w:Dynamique_des_fluides|hydrodynamique]] et [[w:Aérodynamique|aérodynamique]], surnommé par '''[[w:Vladimir_Ilitch_Lénine|Lénine]]''' le « père de l'aviation russe ».</ref>{{,}}<ref name="Lenz"> '''[[w:Emil_Lenz|Heinrich Friedrich Emil Lenz]] (1804 - 1865)''' physicien [[w:Germano-balte|allemand de la Baltique]], sujet de l'[[w:Empire_russe|Empire Russe]], professeur puis recteur à l’université de Saint-Pétersbourg, surtout connu pour sa loi sur l’interaction courant - champ magnétique.</ref> <math>\;\big(</math>ou encore « méthode du vecteur de Laplace »<ref name="Laplace"> '''[[w:Pierre-Simon_de_Laplace|Pierre-Simon Laplace]] (1749 – 1827)''' mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie <math>\;\big[</math>il contribue de façon décisive à l’émergence de l’astronomie mathématique : il vérifie <math>\;\big(</math>mathématiquement<math>\big)\;</math> la stabilité du Système solaire et ébauche l’histoire de ce dernier <math>\;\big(</math>à partir de l’hypothèse de la nébuleuse<math>\big)</math>, il est aussi l’un des 1^ers scientifiques à concevoir l’existence de trous noirs et la notion de « collapsus <math>\;\big(</math>ou effondrement<math>\big)\;</math> gravitationnel »<math>\big]\;</math> et de la théorie des probabilités <math>\;\big[</math>en <math>\;1774\;</math> il retrouve indépendamment le [[w:Théorème_de_Bayes|théorème de Bayes]], lequel permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage, il y utilise la [[w:Transformation_de_Laplace|transformation de Laplace]] <math>\;\big(</math>qui porte son nom en son honneur, celle-ci ayant été découverte par [[w:Léonard_Euler|Léonard Euler]]<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire <math>\;\big(</math>expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide<math>\big)\;</math> en [[w:Hydrostatique|statique des fluides]], il est aussi le 1^er à mettre en évidence la raison pour laquelle la théorie de Newton du mouvement oscillatoire <math>\;\big(</math>purement mécanique<math>\big)\;</math> fournit une valeur sous-estimée de la [[w:Vitesse_du_son|vitesse du son]] <math>\;\big(</math>pour cela il introduit un traitement [[w:Thermodynamique|thermodynamique]], le son se propageant de façon [[w:Processus_adiabatique|adiabatique]] et non [[w:Processus_isotherme|isotherme]] comme le supposait [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]], sans doute est-ce à cette époque qu’il énonce les [[w:Loi_de_Laplace_(thermodynamique)|lois des adiabatiques quasi-statiques]]<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Thomas_Bayes|Thomas Bayes]] (1702 - 1761)''' mathématicien et pasteur britannique qui fut le 1^er à établir le [[w:Théorème_de_Bayes|théorème de Bayes]] en théorie des probabilités <math>\;\big(</math>on rappelle que ce théorème permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage<math>\big)</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Léonard_Euler|Léonard Euler]] (1707 - 1783)''' mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps. <br>{{Al|3}}'''[[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]] (1643 - 1727)''' philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal <math>\;\big(</math>partagée de façon plus ou moins indépendante avec [[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Leibniz]]<math>\big)</math> ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton. <br>{{Al|3}}'''[[w:Gottfried_Wilhelm_Leibniz|Gottfried Leibniz]] (1646 - 1716)''' entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]] <math>\;\big(</math>[[w:Calcul_différentiel|calcul différentiel]] et [[w:Calcul_intégral|calcul intégral]]<math>\big)\;</math> dont la paternité doit être partagée avec [[w:Isaac_Newton|Isaac Newton]].</ref><math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir l'exercice « [[Mécanique_2_(PCSI)/Exercices/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Autre_méthode_de_détermination_de_la_trajectoire_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_vecteur_de_Runge_/_Lenz_(ou_de_Laplace)|autre méthode de détermination de la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien, vecteur de Runge/Lenz (ou de Laplace)]] » de la série d'exos.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Application de la r.f.d.n.</u><ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> <u>à un point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne avec utilisation de la 2^ème formule de Binet</u><ref name="Binet" /> : Soit le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> ayant un mouvement à force centrale newtonienne <math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k \in \mathbb{R}^{*}</math>, <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen ; {{Al|11}}{{Transparent|Application de la r.f.d.n. }}appliquant, dans <math>\;\mathcal{R}</math>, la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> et la projetant sur <math>\;\vec{u}_r\;</math> nous obtenons «<math>\;\dfrac{k}{r^2(t)} = m\;a_r(t)\;</math>» avec «<math>\;a_r(t)\;</math> accélération radiale de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>»<ref name="accélération radiale en cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (accélération radiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel <math>\;\rho(t)\;</math> doit être remplacé par <math>\;r(t)</math>.</ref> puis {{Al|11}}{{Transparent|Application de la r.f.d.n. }}par utilisation de la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(t)}\;</math>» ainsi que de la 2^ème formule de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;a_r(t) = -C^2\;u^2(\theta) \left[ u''(\theta) + u(\theta) \right]\;</math>»<ref name="2ème formule de Binet"> Voir la paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale)|2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle «<math>\;u''(\theta) =</math> <math>\dfrac{d^2 u}{d \theta^2}(\theta)\;</math>» est la 3^ème variable de Binet<ref name="Binet" /> et qui nécessite que « la constante des aires <math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0) \cdot \vec{u}_z}{m} = r_0\;V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> soit <math>\;\neq 0\;</math>», nous parvenons à «<math>\;k\;u^2(\theta) = -m\;C^2\;u^2(\theta) \left[ u''(\theta) + u(\theta) \right]\;</math>» soit, après simplification par <math>\;u^2(\theta) \neq 0,\;\;\forall\;\theta\;</math> et normalisation, à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> sans terme du 1^er ordre à excitation constante <center>«<math>\;\dfrac{d^2 u}{d \theta^2}(\theta) + u(\theta) = -\dfrac{k}{m\;C^2}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Détermination de l'équation polaire de la trajectoire du point matériel ayant un mouvement à force centrale newtonienne</u> : l'équation différentielle ci-dessus étant linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en <math>\;u(\theta)\;</math> sans terme du 1^er ordre à excitation constante, <u>sa solution générale</u> «<math>\;u(\theta)\;</math>» <u>est la somme de la solution libre</u> «<math>\;u_{\mathit{l}}(\theta)\;</math>» <math>\;\big(</math>solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème sans terme du 1^er ordre homogène<math>\big)\;</math> <u>et de la solution forcée</u> «<math>\;u_{f}(\theta)\;</math>» <math>\;\big(</math>solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre hétérogène de même forme que l'excitation c'est-à-dire constante<math>\big)</math><ref name="solution d'une équation différentielle linéaire hétérogène"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit ici {{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}<math>\;\succ\;</math>la solution libre «<math>\;u_{\mathit{l}}(\theta)\;</math>», solution de «<math>\;\dfrac{d^2 u_{\mathit{l}}}{d \theta^2}(\theta) + u_{\mathit{l}}(\theta) = 0\;</math>» dont l’équation caractéristique «<math>s^2 + 1 = 0\;</math>» sans solutions réelles mais à solutions complexes «<math>\;\underline{s} = \pm i\;</math>» purement imaginaires conduirait à une solution libre C.L<ref name="C.L."> Combinaison Linéaire.</ref>. de <math>\;\left\lbrace \exp\! \left( i\;\theta \right)\,,\,\exp\! \left( -i\;\theta \right) \right\rbrace\;</math> et, comme «<math>\;u_{\mathit{l}}(\theta)\;</math> doit être réelle », s'écrit en C.L<ref name="C.L." />. de <math>\;\left\lbrace \cos\! \left( \theta \right)\,,\,\sin\! \left( \theta \right) \right\rbrace\;</math> soit «<math>\;u_{\mathit{l}}(\theta) = A\;\cos(\theta) + B\;\sin(\theta)\;</math>» avec <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> deux constantes réelles d'intégration<ref name="solution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er homogène, le cœfficient du terme d'ordre 0 positif"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre dans le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Cas_où_le_cœfficient_du_terme_d'ordre_zéro_est_strictement_positif|cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}<math>\;\succ\;</math>la solution forcée «<math>\;u_f(\theta)\;</math>» cherchée sous même forme que l'excitation à savoir constante «<math>\;u_f\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>ce qui implique <math>\;\dfrac{d^2 u_f}{d \theta^2} = 0\bigg\}\;</math> égale à «<math>\;u_f = -\dfrac{k}{m\;C^2}\;</math>»<ref name="solution forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre sans terme du 1er à excitation constante"> Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Deuxième_ordre_sans_terme_du_premier_ordre_à_excitation_constante|2^ème ordre sans terme du 1^er ordre à excitation constante]] (solution forcée) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où {{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}la solution générale «<math>\;u(\theta) = u_{\mathit{l}}(\theta) + u_f\;</math>» se réécrivant «<math>\;u(\theta) = A\;\cos(\theta) + B\;\sin(\theta) - \dfrac{k}{m\;C^2}\;\;(\mathfrak{1})\;</math>», <math>\;A\;</math> et <math>\;B\;</math> étant déterminés par les « C.A.L<ref name="C.A.L."> Conditions Aux Limites.</ref>. <math>\;u(\theta = 0)\;</math> et <math>\;u'(\theta = 0)\;</math>»<ref name="C.A.L. aussi C.I."> Celles-ci étant aussi les C.I. <math>\;\big(</math>condition initiales<math>\big)\;</math> car <math>\;\theta = 0\;</math> a été choisi pour <math>\;t = 0</math>, l'axe <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passant par <math>\;M_0</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}mettant «<math>\;-\dfrac{k}{m\;C^2}\;</math>» en facteur dans la relation <math>\;(\mathfrak{1})</math>, on obtient «<math>\;u(\theta) = -\dfrac{k}{m\;C^2}\, \left[ 1 - \dfrac{m\;C^2}{k}\;A\; \cos(\theta) - \dfrac{m\;C^2}{k}\;B\; \sin(\theta) \right]\;</math>» ou, en posant «<math>\;A' = - \dfrac{m\;C^2}{k}\;A\;</math> ainsi que <math>\;B' =</math> <math>- \dfrac{m\;C^2}{k}\;B\;</math>» deux nouvelles constantes d’intégration à déterminer par « C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> » «<math>\;u(\theta) = -\dfrac{k}{m\;C^2}\, \left[ 1 + A'\; \cos(\theta) + B'\; \sin(\theta) \right]\;\;(\mathfrak{2})\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Détermination }}finalement l’équation polaire de la trajectoire se met sous la forme «<math>\;r(\theta) = \dfrac{1}{u(\theta)} = \dfrac{-\dfrac{m\;C^2}{k}}{1 + A'\; \cos(\theta) + B'\; \sin(\theta)}\;</math>» c'est-à-dire encore, en transformant la partie variable du dénominateur {{Nobr|«<math>\;A'\; \cos(\theta) + B'\; \sin(\theta)\;</math>»}} en «<math>\;\pm D\; \cos(\theta - \varphi)\;</math> avec <math>\;D \geqslant 0\;</math>» <math>\;\big(</math>«<math>\;\pm\;</math> suivant le besoin »<ref name="plus ou moins"> En effet en ajoutant <math>\;\pi\;</math> à l’argument du cosinus on peut changer le signe du facteur le précédant «<math>\;D\; \cos(\theta - \varphi) = -D\; \cos(\theta - \varphi + \pi)\;</math>».</ref><math>\big)</math>, sous la forme <center>«<math>\;r(\theta) = \dfrac{-\dfrac{m\;C^2}{k}}{1 \pm D\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec <br /><math>\;D \geqslant 0\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> deux constantes d'intégration à déterminer par « C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> », <br />le choix de «<math>\;\pm\;</math>» dépendant en fait « du signe de <math>\;k\;</math>»<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Nature_de_la_trajectoire|nature de la trajectoire]] » plus loin dans ce chapitre.</ref>.</center> === Nature de la trajectoire === {{Al|5}}L'équation polaire de la trajectoire précédemment déterminée « dans le cas où la constante des aires <math>\;C\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>» et écrite sous la forme «<math>\;r(\theta) = \dfrac{-\dfrac{m\;C^2}{k}}{1 \pm D\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec <math>\;D \geqslant 0\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> deux constantes d'intégration à déterminer par « C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> » s'identifie, suivant le « signe de <math>\;k\;</math>», * {{Al|5}}à «<math>\;r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» si «<math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» c'est-à-dire si <math>\;M\;</math> subit une force newtonienne attractive avec «<math>\;p = -\dfrac{m\;C^2}{k} > 0</math>, <math>\;e = D \geqslant 0\;</math>» et le choix de <math>\;\varphi\;</math> pour que le signe entre <math>\;\pm\;</math> soit {{Nobr|<math>\;+\;</math><ref name="plus ou moins" />}} ou * {{Al|5}}à «<math>\;r(\theta) = \dfrac{-p}{1 - e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» si «<math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» c'est-à-dire si <math>\;M\;</math> subit une force newtonienne répulsive avec «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k} > 0</math>, <math>\;e = D > 0\;</math><ref> <math>\;p\;</math> étant <math>\;> 0</math>, <math>\;e = D = 0\;</math> est impossible car l'équation polaire s'écrivant dans ce cas «<math>\;r(\theta) = -p < 0\;</math>» serait en contradiction avec <math>\;r(\theta) \geqslant 0</math>.</ref> » et le choix de <math>\;\varphi\;</math> pour que le signe entre <math>\;\pm\;</math> soit {{Nobr|<math>\;-\;</math><ref name="plus ou moins" />}} ; {{Al|5}}ces formes d’équations polaires nous suggère de discuter suivant le type « attractif » ou « répulsif » de la force newtonienne subie par le point <math>\;M</math>. ==== Cas d’une force newtonienne attractive (k < 0) ==== {{Proposition|titre=Trajectoire d'un point matériel de mouvement à force centrale newtonienne attractive|contenu={{Al|5}}L'équation polaire de la trajectoire d'un point <math>\;M\;</math> dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, est à force centrale newtonienne attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, s'écrivant, « dans le cas où la constante des aires <math>\;C\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», <center>«<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec «<math>\;p = -\dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math>», <math>\;e \geqslant 0\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant des constantes à déterminer par C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." />,</center> {{Al|5}}est l'équation polaire d'une « <u>conique</u> <math>\;\big(</math><u>ou branche de conique</u> en ce qui concerne l'hyperbole<math>\big)\;</math> * <u>dont le centre de force</u> <math>\;O\;</math> <u>est le</u> <math>\;\big(</math><u>ou l'un des</u><math>\big)\;</math> <u>foyer(s)</u> <math>\;\big(</math>le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant celui contourné par la branche d'hyperbole en question<math>\big)</math>, * <u>de paramètre</u> <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} = -\dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math> ou encore <math>\;p =</math> <math>\dfrac{m\;V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}\;</math><ref name="paramètre d'une conique"> Le paramètre d'une conique est une longueur caractérisant celle-ci dans sa définition monofocale <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_monofocale_d'une_conique|définition monofocale d'une conique]] (définition) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, * <u>d'excentricité</u> <math>\;e \geqslant 0\;</math><ref name="excentricité d'une conique"> L'excentricité d'une conique est une grandeur sans dimension, positive au sens large, caractérisant celle-ci dans sa définition monofocale <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_monofocale_d'une_conique|définition monofocale d'une conique]] (définition) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et qui caractérise aussi une conique, hors parabole, dans sa définition bifocale <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_bifocale_d'une_hyperbole|définition bifocale d'une hyperbole]] (définition) » et [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_bifocale_d'une_ellipse|définition bifocale d'une ellipse]] (définition) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> et <u>d'axe focal orienté<ref name="axe focal"> L'orientation de l'axe focal étant choisie du foyer <math>\;O\;</math> vers le point de la conique <math>\;\big(</math>ou de la branche de conique<math>\big)\;</math> situé au minimum d'approche <math>\;\big(</math>et évidemment sur l'axe {{Nobr|focal<math>\big)</math>,}} c'est-à-dire le péricentre dans le cas de l'ellipse, le sommet dans le cas de la parabole ou de la branche d'hyperbole contournant le foyer <math>\;O</math>.</ref> faisant l'angle</u> <math>\;\varphi\;</math> <u>avec l'axe polaire</u> <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>»<ref name="équation polaire d'une conique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équations_polaires_des_coniques|équations polaires des coniques]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », et plus particulièrement les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Énoncé|équation polaire d'une ellipse]] », « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Énoncé_2|équation polaire d'une parabole]] » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Énoncé_3|équation polaire de la branche d'hyperbole contournant O]] » du même chap.<math>11</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." />. {{Al|5}}L'excentricité <math>\;e \geqslant 0\;</math> de la conique <math>\;\big(</math>ou branche de conique<math>\big)\;</math> dépendant des C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. de lancement du point <math>\;M\;</math> ou C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> de la trajectoire, on en déduit la nature de la conique <math>\;\big(</math>ou branche de conique<math>\big)\;</math> suivant le résultat trouvé pour l'excentricité à savoir : * <u>une ellipse</u> si <math>\;e\; \in\; \left[ 0\,,\, 1 \right[</math> <math>\;\big\{</math>un cercle si <math>\;e = 0\big\}</math>, * <u>une parabole</u> si <math>\;e = 1\;</math> et * <u>la branche contournant le foyer</u> <math>\;O\;</math> parmi les deux branches <u>d'une hyperbole</u> si <math>\;e\; \in\; \left] 1\,,\, +\infty \right[</math>.}} ==== Cas d’une force newtonienne répulsive (k > 0) ==== {{Proposition|titre=Trajectoire d'un point matériel de mouvement à force centrale newtonienne répulsive|contenu={{Al|5}}L'équation polaire de la trajectoire d'un point <math>\;M\;</math> dont le mouvement, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, est à force centrale newtonienne répulsive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, s'écrivant, « dans le cas où la constante des aires <math>\;C\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», <center>«<math>\;r = \dfrac{-p}{1 - e\; \cos(\theta - \varphi)} = \dfrac{p}{e\; \cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>» avec <br />«<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math>», <math>\;e > 0\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> étant des constantes à déterminer par C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." />,</center> {{Al|5}}est l'équation polaire d'une « <u>branche d'hyperbole</u> * <u>dont le centre de force</u> <math>\;O\;</math> <u>est l'un des foyers de l'hyperbole, celui non contourné par la branche d'hyperbole en question</u>, * <u>de paramètre</u> <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} = \dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math> ou encore <math>\;p =</math> <math>\dfrac{m\;V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}\;</math><ref name="paramètre d'une conique" />, * <u>d'excentricité</u> <math>\;e > 1\;</math><ref name="excentricité d'une conique" /> et <u>d'axe focal orienté<ref name="axe focal" /> faisant l'angle</u> <math>\;\varphi\;</math> <u>avec l'axe polaire</u> <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>»<ref name="équation polaire d'une conique - bis"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Équations_polaires_des_coniques|équations polaires des coniques]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », et plus particulièrement celui intitulé « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Énoncé_4|équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas O]] » du même chap.<math>11</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." />.}} === En exercice, détermination de l’excentricité « e » et de l’angle « φ » que fait l’axe focal avec l’axe polaire par utilisation des C.I. === {{Al|5}}Ce n’est pas la meilleure méthode pour déterminer l'excentricité «<math>\;e\;</math>» de la conique <math>\;\big[</math>nous verrons une méthode nettement plus rapide aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_nature_de_la_conique_décrite_par_le_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_suivant_le_signe_de_l'énergie_mécanique|en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_expression_de_l'énergie_mécanique_du_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif_en_fonction_du_demi-axe_focal_de_la_trajectoire_hyperbolique|en complément, expression de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi-axe focal de la trajectoire hyperbolique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais c’est quasiment la seule pour connaître «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\text{focal}} \right)}\;</math>» <math>\;\ldots\;</math> C’est donc la méthode à retenir pour le positionnement de l’axe focal. ==== Cas d’une force newtonienne attractive (k < 0) ==== {{Al|5}}Dans le cas du mouvement du point <math>\;M\;</math> à force centrale newtonienne attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> lié au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, la trajectoire du point est <br />{{Al|5}}une <u>conique</u> <math>\;\big(</math>ou branche de conique en ce qui concerne l'hyperbole<math>\big)\;</math> dont <u>le centre de force</u> <math>\;O\;</math> <u>est le</u> <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> <u>foyer</u>(s) <math>\;\big(</math>le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant celui contourné par la branche d'hyperbole en question<math>\big)</math> <center>ayant pour équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>»<ref name="équation polaire d'une conique" /></center> {{Al|5}}dans laquelle «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} = -\dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math>» est le <u>paramètre</u> de la conique<ref name="paramètre d'une conique" />, «<math>\;e \geqslant 0\;</math>» son <u>excentricité</u><ref name="excentricité d'une conique" /> et «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\text{focal}} \right)}\;</math>» <u>l'angle orienté que fait son axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire</u> du repérage de <math>\;M</math>, ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> ; {{Al|5}}de l'équation polaire on en déduit l'expression, en fonction de <math>\;\theta</math>, de * la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(\theta)} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\; \cos(\theta - \varphi)\;</math>» et de * la 2^ème variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u'(\theta) = \dfrac{du}{d \theta}(\theta) = - \dfrac{e}{p}\; \sin(\theta - \varphi)\;</math>», puis {{Al|5}}{{Transparent|de l'équation polaire on en déduit }}les expressions de Binet<ref name="Binet" /> des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>«<math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» étant la constante des aires du mouvement<math>\big]</math>, * «<math>\;V_r(t) = -C\;u'\!\left[ \theta(t) \right] = C\;\dfrac{e}{p}\; \sin\! \left[ \theta(t) - \varphi \right]\;</math>»<ref name="expression de Binet de Vr"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_radiale_du_vecteur_vitesse_de_M|expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et * «<math>\;V_\theta(t) = C\;u\!\left[ \theta(t) \right] = C \left\lbrace \dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\; \cos\! \left[ \theta(t) - \varphi \right] \right\rbrace = \dfrac{C}{p} + C\;\dfrac{e}{p}\; \cos\! \left[ \theta(t) - \varphi \right]\;</math>»<ref name="expression de Binet de Vtheta"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_orthoradiale_du_vecteur_vitesse_de_M|expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}les « C.I<ref name="C.I." />. étant aussi les C.A.L<ref name="C.A.L." />. »<ref name="C.A.L. aussi C.I." />, nous en déduisons * par «<math>\;u(\theta = 0) = \dfrac{1}{r_0}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou, ce qui donne la même condition, «<math>\;V_\theta(t = 0) = V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>»<ref name="C.I. sur Vtheta ou sur u identiques"> En effet «<math>\;V_\theta(t = 0) = C\;u(\theta = 0)\;</math>» avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> et <math>\;V_\theta(t = 0) = V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> se réécrit «<math>\;\left[ V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0) \right] u(\theta = 0) = V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;r_0\; u(\theta = 0) = 1\;</math>» soit finalement la même condition «<math>\;u(\theta = 0) = \dfrac{1}{r_0}\;</math>».</ref><math>\big]\;</math> ou «<math>\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\; \cos(- \varphi) = \dfrac{1}{r_0}\;</math>» d’où «<math>\;\dfrac{e}{p}\; \cos(\varphi) = \dfrac{1}{r_0} - \dfrac{1}{p}\;</math>» ou «<math>\;e\; \cos(\varphi) = \dfrac{p}{r_0} - 1\;</math>» et * par «<math>\;V_r(t = 0) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;</math>» encore égale à <math>\;-C\;u'(\theta = 0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;u'(\theta = 0) = -\dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0)}{C}\;</math>» ou, avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)</math>, «<math>\;u'(\theta = 0) = -\dfrac{\cot(\alpha_0)}{r_0}\;</math>» dont on tire «<math>\;-\dfrac{e}{p}\; \sin(- \varphi) =</math> <math>-\dfrac{\cot(\alpha_0)}{r_0}\;</math>» ou «<math>\;e\; \sin(\varphi) = -\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)\;</math>» ; {{Al|5}}de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} e\; \cos(\varphi) \!\!&=\!\!& \dfrac{p}{r_0} - 1\\ e\; \sin(\varphi) \!\!&=\!\!& -\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» on détermine l'excentricité «<math>\;e\;</math>» en éliminant <math>\;\varphi\;</math> par «<math>\;\left[ e\;\cos(\varphi) \right]^2 + \left[ e\;\sin(\varphi) \right]^2 = e^2\;</math>» soit <math>\;e^2 = \left( \dfrac{p}{r_0} - 1 \right)^{\!2} + \dfrac{p^2}{r_0^2}\;\cot^2(\alpha_0)\;</math> ou, en développant puis ordonnant selon les puissances <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\dfrac{p}{r_0}</math>, <math>\;e^2 = \dfrac{p^2}{r_0^2}\;\left[ 1 + \cot^2(\alpha_0) \right] - 2\;\dfrac{p}{r_0} + 1 = \dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} - 2\;\dfrac{p}{r_0} + 1\;</math><ref name="formule de trigonométrie"> En utilisant la relation de trigonométrie «<math>\;1 + \cot^2(\alpha_0) = \dfrac{1}{\sin^2(\alpha_0)}\;</math>».</ref> soit finalement «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} - 2\;\dfrac{p}{r_0}}\;</math>» et {{Al|72}}{{Transparent|de on détermine }}l'angle orienté «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\text{focal}} \right)}\;</math>» que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire en éliminant <math>\;e\;</math> par «<math>\;\dfrac{e\;\sin(\varphi)}{e\;\cos(\varphi)} = \tan(\varphi)\;</math>» soit «<math>\;\tan(\varphi) =</math> <math>\dfrac{-\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{\dfrac{p}{r_0} - 1}\;</math>» ou encore, suivant les signes de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} e\; \cos(\varphi) \!\!&=\!\!& \dfrac{p}{r_0} - 1\\ e\; \sin(\varphi) \!\!&=\!\!& -\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math> la discussion suivante : <br />{{Al|72}}{{Transparent|de on détermine }}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{p}{r_0} > 1\;\text{et}\;\\ \cot(\alpha_0) < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="signe de cotangente alpha0"> «<math>\;\cot(\alpha_0) < 0\;</math> pour <math>\;\alpha_0 \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, 0 \right[ \cup \left] \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right[\;</math>» et «<math>\;\cot(\alpha_0) > 0\;</math> pour <math>\;\alpha_0 \in \left] -\pi \,,\, -\dfrac{\pi}{2} \right[ \cup \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>».</ref> <math>\;\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;\sin(\varphi)\;</math> sont <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] 0\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> d'où «<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ -\dfrac{\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{\dfrac{p}{r_0} - 1} \right]\;</math>», <br />{{Al|72}}{{Transparent|de on détermine }}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{p}{r_0} > 1\;\text{et}\;\\ \cot(\alpha_0) > 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="signe de cotangente alpha0" /> <math>\;\cos(\varphi)\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\sin(\varphi) < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, 0 \right[\;</math> d'où «<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ -\dfrac{\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{\dfrac{p}{r_0} - 1} \right]\;</math>», <br />{{Al|72}}{{Transparent|de on détermine }}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{p}{r_0} < 1\;\text{et}\;\\ \cot(\alpha_0) < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="signe de cotangente alpha0" /> <math>\;\cos(\varphi)\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\sin(\varphi) > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right[\;</math> d'où «<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{1 - \dfrac{p}{r_0}} \right] + \pi\;</math>», <br />{{Al|72}}{{Transparent|de on détermine }}<math>\;\succ\;</math>si <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c}\dfrac{p}{r_0} < 1\;\text{et}\;\\ \cot(\alpha_0) > 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="signe de cotangente alpha0" /> <math>\;\cos(\varphi)\;</math> et <math>\;\sin(\varphi)\;</math> sont <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] -\pi\,,\, -\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> d'où «<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ \dfrac{\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{1 - \dfrac{p}{r_0}} \right] - \pi\;</math>». {{Al|5}}<u>Discussion sur la nature de la conique</u> : L'excentricité<ref name="excentricité d'une conique" /> de cette dernière s'écrivant «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} - 2\;\dfrac{p}{r_0}}\;</math>», nous en déduisons la nature de la conique en comparant la valeur de son excentricité <math>\;e\;</math><ref name="excentricité d'une conique" /> à la valeur critique <math>\;1</math>, d'où la conique est <br />{{Al|5}}{{Transparent|Discussion sur la nature de la conique : }}<math>\;\succ\;</math>une <u>parabole</u> si «<math>\;e = 1\;</math>» c'est-à-dire si «<math>\;\dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} - 2\;\dfrac{p}{r_0} = 0\;</math>» soit, avec <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} \neq 0\;</math> car <math>\;C \neq 0</math>, <center>si «<math>\;\dfrac{p}{r_0} = 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» ou encore,</center> {{Al|11}}{{Transparent|Discussion sur la nature de la conique : }}en reportant <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert}\;</math> avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p = \dfrac{m\;V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{r_0} = \dfrac{m\;V_0^2\;r_0\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}</math>, la condition pour que la conique soit une parabole, à savoir «<math>\;\dfrac{p}{r_0} = 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>», se réécrit «<math>\;\dfrac{m\;V_0^2\;r_0\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert} = 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» ou, après simplification évidente, <center>«<math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{2\;\vert k \vert}{m\;r_0}} = \sqrt{\dfrac{-2\; k}{m\;r_0}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Discussion sur la nature de la conique : }}<math>\;\succ\;</math>une <u>ellipse</u> si «<math>\;e < 1\;</math>» c'est-à-dire si «<math>\;\dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} - 2\;\dfrac{p}{r_0} < 0\;</math>» soit, avec <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} \neq 0\;</math> car <math>\;C \neq 0</math>, <center>si «<math>\;\dfrac{p}{r_0} < 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» ou encore,</center> {{Al|11}}{{Transparent|Discussion sur la nature de la conique : }}en reportant <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert}\;</math> avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p = \dfrac{m\;V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{r_0} = \dfrac{m\;V_0^2\;r_0\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}</math>, la condition pour que la conique soit une ellipse, à savoir «<math>\;\dfrac{p}{r_0} < 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>», se réécrit «<math>\;\dfrac{m\;V_0^2\;r_0\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert} < 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» ou, après simplification évidente, <center>«<math>\;V_0 < \sqrt{\dfrac{2\;\vert k \vert}{m\;r_0}} = \sqrt{\dfrac{-2\; k}{m\;r_0}}\;</math>» et enfin,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Discussion sur la nature de la conique : }}<math>\;\succ\;</math>une <u>branche d'hyperbole</u> <math>\;\big(</math>celle contournant le centre de force <math>\;O\big)\;</math> si «<math>\;e > 1\;</math>» c'est-à-dire si «<math>\;\dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} - 2\;\dfrac{p}{r_0} > 0\;</math>» soit, avec <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} \neq 0\;</math> car <math>\;C \neq 0</math>, <center>si «<math>\;\dfrac{p}{r_0} > 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» ou encore,</center> {{Al|11}}{{Transparent|Discussion sur la nature de la conique : }}en reportant <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert}\;</math> avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p = \dfrac{m\;V_0^2\;r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{r_0} = \dfrac{m\;V_0^2\;r_0\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert}</math>, la condition pour que la conique soit une branche d'hyperbole <math>\;\big(</math>celle contournant le centre de force <math>\;O\big)</math>, à savoir «<math>\;\dfrac{p}{r_0} > 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>», se réécrit «<math>\;\dfrac{m\;V_0^2\;r_0\;\sin^2(\alpha_0)}{\vert k \vert} > 2\;\sin^2(\alpha_0)\;</math>» ou, après simplification évidente, <center>«<math>\;V_0 > \sqrt{\dfrac{2\;\vert k \vert}{m\;r_0}} = \sqrt{\dfrac{-2\; k}{m\;r_0}}\;</math>».</center> ==== Cas d’une force newtonienne répulsive (k > 0) ==== {{Al|5}}Dans le cas du mouvement du point <math>\;M\;</math> à force centrale newtonienne répulsive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> lié au référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, la trajectoire du point est <br />{{Al|5}}une <u>branche d'hyperbole dont le centre de force</u> <math>\;O\;</math> <u>est l'un des foyers</u> <math>\;\big(</math>celui non contourné par la branche d'hyperbole en question<math>\big)</math> <center>ayant pour équation polaire «<math>\;r = \dfrac{-p}{1 - e\; \cos(\theta - \varphi)} = \dfrac{p}{e\; \cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>»<ref name="équation polaire d'une conique - bis" /></center> {{Al|5}}dans laquelle «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert} = \dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math>» est le <u>paramètre</u> de la conique<ref name="paramètre d'une conique" />, «<math>\;e > 1\;</math>» son <u>excentricité</u><ref name="excentricité d'une conique" /> et «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\text{focal}} \right)}\;</math>» <u>l'angle orienté que fait son axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire</u> du repérage de <math>\;M</math>, ces deux dernières grandeurs étant à déterminer par C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> ; {{Al|5}}de l'équation polaire on en déduit l'expression, en fonction de <math>\;\theta</math>, de * la 1^ère variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(\theta)} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\; \cos(\theta - \varphi)\;</math>» et de * la 2^ème variable de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u'(\theta) = \dfrac{du}{d \theta}(\theta) = - \dfrac{e}{p}\; \sin(\theta - \varphi)\;</math>», puis {{Al|5}}{{Transparent|de l'équation polaire on en déduit }}les expressions de Binet<ref name="Binet" /> des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>«<math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» étant la constante des aires du mouvement<math>\big]</math>, * «<math>\;V_r(t) = -C\;u'\!\left[ \theta(t) \right] = C\;\dfrac{e}{p}\; \sin\! \left[ \theta(t) - \varphi \right]\;</math>»<ref name="expression de Binet de Vr" /> et * «<math>\;V_\theta(t) = C\;u\!\left[ \theta(t) \right] = C \left\lbrace -\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\; \cos\! \left[ \theta(t) - \varphi \right] \right\rbrace = -\dfrac{C}{p} + C\;\dfrac{e}{p}\; \cos\! \left[ \theta(t) - \varphi \right]\;</math>»<ref name="expression de Binet de Vtheta" /> ; {{Al|5}}les « C.I<ref name="C.I." />. étant aussi les C.A.L<ref name="C.A.L." />. »<ref name="C.A.L. aussi C.I." />, nous en déduisons * par «<math>\;u(\theta = 0) = \dfrac{1}{r_0}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou, ce qui donne la même condition, «<math>\;V_\theta(t = 0) = V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>»<ref name="C.I. sur Vtheta ou sur u identiques" /><math>\big]\;</math> ou «<math>\;-\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\; \cos(- \varphi) = \dfrac{1}{r_0}\;</math>» d’où «<math>\;\dfrac{e}{p}\; \cos(\varphi) = \dfrac{1}{r_0} + \dfrac{1}{p}\;</math>» ou «<math>\;e\; \cos(\varphi) = \dfrac{p}{r_0} + 1\;</math>» et * par «<math>\;V_r(t = 0) = V_0\;\cos(\alpha_0)\;</math>» encore égale à <math>\;-C\;u'(\theta = 0)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;u'(\theta = 0) = -\dfrac{V_0\;\cos(\alpha_0)}{C}\;</math>» ou, avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)</math>, «<math>\;u'(\theta = 0) = -\dfrac{\cot(\alpha_0)}{r_0}\;</math>» dont on tire «<math>\;-\dfrac{e}{p}\; \sin(- \varphi) =</math> <math>-\dfrac{\cot(\alpha_0)}{r_0}\;</math>» ou «<math>\;e\; \sin(\varphi) = -\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)\;</math>» ; {{Al|5}}de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} e\; \cos(\varphi) \!\!&=\!\!& \dfrac{p}{r_0} + 1\\ e\; \sin(\varphi) \!\!&=\!\!& -\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)\end{array}\right\rbrace\;</math>» on détermine l'excentricité «<math>\;e\;</math>» en éliminant <math>\;\varphi\;</math> par «<math>\;\left[ e\;\cos(\varphi) \right]^2 + \left[ e\;\sin(\varphi) \right]^2 = e^2\;</math>» soit <math>\;e^2 = \left( \dfrac{p}{r_0} + 1 \right)^{\!2} + \dfrac{p^2}{r_0^2}\;\cot^2(\alpha_0)\;</math> ou, en développant puis ordonnant selon les puissances <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;\dfrac{p}{r_0}</math>, <math>\;e^2 = \dfrac{p^2}{r_0^2}\;\left[ 1 + \cot^2(\alpha_0) \right] + 2\;\dfrac{p}{r_0} + 1 = \dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} + 2\;\dfrac{p}{r_0} + 1\;</math><ref name="formule de trigonométrie" /> soit finalement <center>«<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p^2}{r_0^2\;\sin^2(\alpha_0)} + 2\;\dfrac{p}{r_0}} > 1\;</math>» et</center> {{Al|72}}{{Transparent|de on détermine }}l'angle orienté «<math>\;\varphi = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\text{focal}} \right)}\;</math>» que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire en éliminant <math>\;e\;</math> par «<math>\;\dfrac{e\;\sin(\varphi)}{e\;\cos(\varphi)} = \tan(\varphi)\;</math>» soit «<math>\;\tan(\varphi) =</math> <math>\dfrac{-\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{\dfrac{p}{r_0} + 1}\;</math>» ou encore, «<math>\;e\; \cos(\varphi) = \dfrac{p}{r_0} + 1\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» soit <center>«<math>\;\varphi = \arctan\! \left[ -\dfrac{\dfrac{p}{r_0}\;\cot(\alpha_0)}{\dfrac{p}{r_0} + 1} \right]\;</math>».</center> == Cas particulier d’un mouvement elliptique dans un champ newtonien de gravitation, expression de la période (« démontrée » en complément) == === Nature périodique du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien === {{Al|5}}L'équation polaire de la trajectoire d'un point <math>\;M\;</math> soumis à un mouvement de force centrale newtonienne attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" /> s'écrivant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen et « dans le cas où la constante des aires <math>\;C\;</math> est <math>\;\neq 0\;</math>», <center>«<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec «<math>\;p = -\dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math>», <br />ainsi que «<math>\;e \geqslant 0\;</math> et <math>\;\varphi\;</math>» des constantes dépendant des C.A.L<ref name="C.A.L." />.{{,}}<ref name="C.A.L. aussi C.I." /> <br />supposées telles que la trajectoire soit <u>elliptique</u> c'est-à-dire «<math>\;e \in \left[ 0\,,\, 1 \right[\;</math>»,</center> {{Al|5}}nous déduisons, du domaine de définition de l'équation polaire «<math>\;\mathbb{R}\;</math>» ainsi que de son caractère «<math>\;2\;\pi</math>-périodique »<ref> Ce qui n’est pas le cas pour une trajectoire parabolique de même équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math> mais avec <math>\;e = 1\;</math>» laquelle n’étant définie que sur «<math>\;\left] \varphi - \pi\,,\, \varphi + \pi \right[\;</math>» ne permet pas au caractère «<math>\;2\;\pi</math>-périodique » fictif de se manifester, <br>{{Transparent|Ce qui n’est pas le cas}}ni pour la branche hyperbolique contournant le foyer <math>\;O\;</math> de même équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math> mais avec <math>\;e > 1\;</math>» laquelle ayant un domaine de définition réduit à l'ouvert «<math>\;\left] \varphi - \arccos\!\left( -\dfrac{1}{e} \right)\,,\, \varphi + \arccos\!\left( -\dfrac{1}{e} \right) \right[\;</math>» ne permet pas non plus au caractère «<math>\;2\;\pi</math>-périodique » fictif de se manifester.</ref>, le <u>caractère périodique du mouvement elliptique</u> de <math>\;M\;</math> en effet quand <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;2\;\pi\;</math> à partir de n'importe quelle abscisse angulaire nous retrouvons * la <u>même valeur</u> de « coordonnée radiale <math>\;r\;</math>» donc <center><u>la même valeur de vecteur position</u> «<math>\;\overrightarrow{OM}\;</math>»,</center> * la <u>même valeur</u> de « vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta} = \dfrac{C}{r^2} \neq 0,\;\;\forall\;t\;</math>» <math>\;\big[\Rightarrow</math> le mouvement de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire elliptique se fait toujours dans le même sens sans position d'arrêt<math>\big]</math>, * la <u>même valeur</u> de « composante radiale de vecteur vitesse <math>\;V_r = \dot{r} = \dfrac{dr}{d \theta}\;\dot{\theta}\;</math>» car «<math>\;\dfrac{dr}{d \theta}\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}\;</math>» sont « définis sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> et <math>\;2\;\pi</math>-périodiques » et <br />{{Transparent|la même valeur }}de « composante orthoradiale de vecteur vitesse <math>\;V_\theta = r\;\dot{\theta}\;</math>» car «<math>\;r\;</math> ainsi que <math>\;\dot{\theta}\;</math>» sont « définis sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> et <math>\;2\;\pi</math>-périodiques », donc <center><u>la même valeur de vecteur vitesse</u> «<math>\;\vec{V}_M\;</math>»,</center> * la <u>même valeur</u> d'« accélération angulaire <math>\;\ddot{\theta} = \dfrac{d \left( \dot{\theta} \right)}{dt} = \dfrac{d \left( \dfrac{C}{r^2} \right)}{dt} = -2\;\dfrac{C}{r^3}\;\dot{r}\;</math>» car «<math>\;r\;</math> ainsi que <math>\;\dot{r}\;</math>» sont « définis sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> et <math>\;2\;\pi</math>-périodiques », * la <u>même valeur</u> de « composante radiale de vecteur accélération <math>\;a_r = \ddot{r} - r\;\dot{\theta}^2 = \dfrac{d \left( \dot{r} \right)}{d \theta}\;\dot{\theta} - r\;\dot{\theta}^2\;</math>»<ref name="accélération radiale en cylindro-polaire" /> car «<math>\;\dot{r}\;</math> donc <math>\;\dfrac{d \left( \dot{r} \right)}{d \theta}\;</math> ainsi que <math>\;r\;</math> et <math>\;\dot{\theta}\;</math>» sont « définis sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> et <math>\;2\;\pi</math>-périodiques » et <br />une « composante orthoradiale de vecteur accélération <math>\;a_\theta = 0,\;\;\forall\;t\;</math>», donc <center><u>la même valeur de vecteur accélération</u> «<math>\;\vec{a}_M\;</math>»<ref> On pouvait aussi dire que l'on retrouve la même valeur du vecteur accélération quand <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;2\;\pi\;</math> car <math>\;\vec{a}_M = \dfrac{\vec{F}(M)}{m} = \dfrac{k}{m\;r^2}\;\vec{u}_r</math>, expression définie sur <math>\;\mathbb{R}\;</math> et <math>\;2\;\pi</math>-périodique.</ref> ;</center> {{Al|5}}finalement retrouvant les mêmes vecteurs position, vitesse et accélération de <math>\;M\;</math> sur la trajectoire elliptique de ce dernier quand <math>\;\theta \nearrow\;</math> de <math>\;2\;\pi</math>, nous pouvons affirmer que le mouvement de <math>\;M\;</math> est le même sur les intervalles successifs de variation de <math>\;\theta\;</math> de largeur <math>\;2\;\pi\;</math> c'est-à-dire que <u>le mouvement de</u> <math>\;M\;</math> <u>sur la trajectoire elliptique de ce dernier est périodique</u>. === Expression de la période du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien (démonstration en complément) === {{Al|5}}<u>Rappel</u> : Au programme de physique de P.C.S.I. il est demandé d’<u>admettre le résultat concernant l'expression de la période</u> du mouvement du point <math>\;M\;</math> à force centrale newtonienne attractive quand <math>\;M\;</math> décrit une <u>trajectoire elliptique</u>, et de <u>faire la démonstration uniquement dans le cas d’un mouvement sur une trajectoire circulaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_période_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_d'un_point_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la période du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>, cas particulier d'une trajectoire elliptique <math>\;\big[</math>la généralisation du mouvement circulaire au mouvement elliptique étant admise selon le programme de physique de P.C.S.I.<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel : }}toutefois la démonstration dans le cas elliptique est proposée <math>\;\big(</math>en complément<math>\big)</math>, elle ne présente d'ailleurs aucune difficulté <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>En complément, établissement de l'expression de la période du mouvement d'un point à force centrale newtonienne attractive quand ce dernier décrit une trajectoire elliptique</u> : la détermination de la période <math>\;T\;</math> du mouvement du point <math>\;M\;</math> à force centrale newtonienne attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, ce dernier décrivant une trajectoire elliptique, peut se faire simplement par utilisation de la loi des aires sous sa forme « vitesse aréolaire constante » c'est-à-dire <center>«<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{C}{2}\;</math>»<ref name="vitesse aréolaire constante"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Aspect_«_vitesse_aréolaire_constante_»_de_la_loi_des_aires|aspect “ vitesse aréolaire constante ” de la loi des aires]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br />«<math>\;d \mathcal{A}\;</math>» est l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> du point <math>\;M\;</math>» lors <br />du déplacement de ce dernier sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> en suivant sa trajectoire elliptique, <br /><math>\;\big[</math>l'aire «<math>\;d \mathcal{A}\;</math>» étant algébrisée, «<math>\;> 0\;</math> si <math>\;M\;</math> tourne dans le sens <math>\;+\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;C > 0\;</math>» et <br />{{Al|15}}{{Transparent|l'aire étant algébrisée, }}«<math>\;< 0\;</math> si <math>\;M\;</math> tourne dans le sens <math>\;-\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;C < 0\;</math>»<math>\big]</math> ; </center> {{Al|5}}{{Transparent|En complément, }}on intègre alors «<math>\;d \mathcal{A} = \dfrac{C}{2}\;dt\;</math>» entre <math>\;t\;</math> et <math>\;t + \Delta t\;</math> et on obtient «<math>\;\displaystyle\int_t^{t + \Delta t} d \mathcal{A}(t') = \displaystyle\int_t^{t + \Delta t} \dfrac{C}{2}\;dt'\;</math>» avec, dans le membre de gauche, «<math>\;\displaystyle\int_t^{t + \Delta t} d \mathcal{A}(t') = \Delta \mathcal{A}_{\,\text{sur}\,\left[ t\,,\, t + \Delta t \right]}\;</math>» c'est-à-dire l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + \Delta t \right]\;</math> et, dans le membre de droite, «<math>\;\displaystyle\int_t^{t + \Delta t} \dfrac{C}{2}\;dt' = \dfrac{C}{2}\;\Delta t\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\Delta \mathcal{A}_{\,\text{sur}\,\left[ t\,,\, t + \Delta t \right]} = \dfrac{C}{2}\;\Delta t\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|En complément, }}dont on déduit, en choisissant la période <math>\;T\;</math> de rotation de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire elliptique comme durée <math>\;\Delta t\;</math> de l'intervalle, «<math>\;\Delta \mathcal{A}_{\,\text{sur}\,\left[ t\,,\, t + T \right]} = \dfrac{C}{2}\;T\;</math>» dans laquelle «<math>\;\Big\vert \Delta \mathcal{A}_{\,\text{sur}\,\left[ t\,,\, t + T \right]} \Big\vert\;</math> est l'aire <math>\;\big(</math>non algébrisée<math>\big)\;</math> de la surface intérieure à l'ellipse <math>\;\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}}\;</math>» soit finalement l'expression de la période <math>\;T\;</math> de rotation de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire elliptique <center>«<math>\;T = \dfrac{2\;\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}}}{\vert C \vert}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|En complément, }}l'aire de la surface intérieure à une ellipse de demi-axes <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> valant «<math>\;\mathcal{A}_{\,\text{int. de l'ellipse}} = \pi\;a\;b\;</math>»<ref> On y retrouve le cas particulier du disque où «<math>\;a = b = R\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{A}{\,\text{disque}} = \pi\;R^2\;</math>».</ref> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (à retenir) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, nous pouvons réécrire la période <math>\;T\;</math> de rotation du point matériel <math>\;M\;</math> à force centrale newtonienne attractive sur sa trajectoire elliptique selon <center>«<math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;a\;b}{\vert C \vert}\;</math>» avec <math>\;a\;</math> et <math>\;b\;</math> les demi-axes de l'ellipse ainsi que <br />{{Al|40}}<math>\;C\;</math> la constante des aires du mouvement de <math>\;M</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autres expressions de la période du mouvement d'un point à force centrale newtonienne attractive quand ce dernier décrit une trajectoire elliptique</u> : {{Al|5}}{{Transparent|Autres expressions }}Tout d'abord on élimine la valeur absolue de la constante des aires <math>\;\vert C \vert\;</math> au profit du paramètre <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert}\;</math> de l'ellipse par <math>\;\vert C \vert = \sqrt{\dfrac{\vert k \vert}{m}\;p}\;</math> ce qui donne <math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;a\;b}{\sqrt{\dfrac{\vert k \vert}{m}\;p}}\;</math> soit <center>«<math>\;T = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{\vert k \vert}}\;\dfrac{a\;b}{\sqrt{p}}\;</math>» puis</center> {{Al|5}}{{Transparent|Autres expressions Tout d'abord on élimine }}le demi-petit axe <math>\;b\;</math> au profit du demi-grand axe <math>\;a\;</math> et du paramètre <math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math><ref name="expression du paramètre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (à retenir) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> par <math>\;b = \sqrt{p\;a}\;</math> ce qui donne <math>\;T = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{\vert k \vert}}\;\dfrac{a\;\sqrt{p\;a}}{\sqrt{p}}\;</math> soit finalement <center>«<math>\;T = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m}{\vert k \vert}}\;a^{\frac{3}{2}}\;</math>»<ref> Le paramètre <math>\;p\;</math> de l'ellipse se simplifiant spontanément, en ne laissant que le demi-grand axe <math>\;a</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\;\pi^2\;m}{\vert k \vert}\;</math>»<ref name="moyen mnémotechnique"> La valeur de la constante à laquelle reste égal le rapport «<math>\;\dfrac{T^2}{a^3}\;</math>» est «<math>\;\propto\;</math> à <math>\;4\;\pi^2 = \left( 2\;\pi \right)^2\;</math>» <math>\;\big\{</math>moyen mnémotechnique « carré de la période temporelle <math>\;T^2\;</math>» au numérateur dans la grandeur <math>\leftrightarrow</math> « carré de la période angulaire <math>\;\left( 2\;\pi \right)^2\;</math>» au numérateur dans la constante<math>\big\}\;</math> et « inversement <math>\;\propto\;</math> à <math>\;\dfrac{\vert k \vert}{m}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>moyen mnémotechnique « cube du demi-grand axe <math>\;a^3\;</math>» au dénominateur dans la grandeur <math>\leftrightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\vert k \vert}{m}\;</math> caractérisant le type d’interaction par unité de masse » au dénominateur dans la constante<math>\bigg\}</math>.</ref>.</center> === Expression de la période du mouvement elliptique de M dans un « champ newtonien gravitationnel » === {{Al|5}}C'est donc le cas particulier « gravitationnel » de l'« [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Expression_de_la_période_du_mouvement_elliptique_de_M_dans_un_champ_newtonien_(démonstration_en_complément)|expression de la période du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien]] (démonstration en complément) » exposé plus haut dans ce chapitre, {{Al|5}}la constante <math>\;k\;</math> intervenant dans la force newtonienne attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>», <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M \left( m \right)\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, valant, {{Al|5}}dans le cas « gravitationnel » créé par un astre <math>\;\big(</math>étoile, planète ou satellite<math>\big)\;</math> dont la répartition de masse est à symétrie sphérique de pôle <math>\;O</math>, l'astre étant de masse <math>\;m_{\text{astre}}\;</math> et l'espace champ gravitationnel considéré étant hors astre, <center>«<math>\;k = - \mathcal{G}\;m_{\text{astre}}\;m\;</math>» avec <math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle,</center> {{Al|5}}nous en déduisons que la période <math>\;T\;</math> du mouvement elliptique de <math>\;M\;</math> dans le « champ newtonien gravitationnel créé par l'astre de centre <math>\;O\;</math> et de masse <math>\;m_{\text{astre}}\;</math>», dans le cas où l'ellipse décrite est de « demi-grand axe <math>\;a\;</math>», suit la relation «<math>\;\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\;\pi^2\;m}{\mathcal{G}\;m_{\text{astre}}\;m}\;</math>» soit, après simplification évidente, la relation <center>«<math>\;\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\;\pi^2}{\mathcal{G}\;m_{\text{astre}}}\;</math>», constante dépendant de la masse de l'astre <math>\;m_{\text{astre}}\;</math> et non de la masse de <math>\;M\;</math><ref> La masse de <math>\;M\;</math> disparaît car sa masse inerte qui intervient dans <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{\vert k \vert}\;</math> s'identifie à sa masse grave intervenant dans <math>\;\vert k \vert = \mathcal{G}\;m_{\text{astre}}\;m\;\ldots</math></ref>, <br />avec <math>\;T\;</math> période du mouvement elliptique de demi-grand axe <math>\;a</math>.</center> === En complément, expression de la période du mouvement elliptique de M dans un « champ newtonien électrostatique » === {{Al|5}}C'est donc le cas particulier « électrostatique » de l'« [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Expression_de_la_période_du_mouvement_elliptique_de_M_dans_un_champ_newtonien_(démonstration_en_complément)|expression de la période du mouvement elliptique de M dans un champ newtonien]] (démonstration en complément) » exposé plus haut dans ce chapitre, {{Al|5}}la constante <math>\;k\;</math> intervenant dans la force newtonienne «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="nécessité de force attractive"> Un mouvement elliptique nécessitant que la force newtonienne soit attractive.</ref>, <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radiale de la base polaire de pôle « le centre de force <math>\;O\;</math>» du plan <math>\;xOy\;</math> dans lequel le mouvement de <math>\;M \left( m \right)\;</math> est observé<ref name="repérage cylindro-polaire" />, valant, {{Al|5}}dans le cas « électrostatique » créé par un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math><ref name="champ électrostatique" />, le point <math>\;M\;</math> subissant le champ électrostatique étant de charge <math>\;q</math>, de signe contraire à <math>\;q_O\;</math><ref name="nécessité de force attractive" />, <center>«<math>\;k = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0} < 0\;</math>» avec <math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.</math>, <math>\;\varepsilon_0 \simeq \dfrac{1}{36\;\pi}\;10^{-9}\; U.S.I. \simeq 8,85\;10^{-12}\; U.S.I.\;</math> étant la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" />,</center> {{Al|5}}nous en déduisons que la période <math>\;T\;</math> du mouvement elliptique de <math>\;M\;</math> dans le « champ newtonien électrostatique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math>» <math>\;\big(</math>mouvement elliptique qui ne peut exister que si la charge <math>\;q\;</math> du point <math>\;M\;</math> est de signe contraire à <math>\;q_O\;</math><ref name="nécessité de force attractive" /><math>\big)</math>, dans le cas où l'ellipse décrite est de « demi-grand axe <math>\;a\;</math>», suit la relation «<math>\;\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\;\pi^2\;m}{\dfrac{\vert q_O\;q \vert}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}\;</math>» soit finalement, la relation <center>«<math>\;\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{16\;\pi^3\;\varepsilon_0\;m}{\vert q_O\;q \vert} = -\dfrac{16\;\pi^3\;\varepsilon_0\;m}{q_O\;q}\;</math>», <br />constante dépendant de la charge du point source <math>\;q_O</math>, de la charge <math>\;q\;</math> et de la masse <math>\;m\;</math> de <math>\;M</math>, <br />avec <math>\;T\;</math> période du mouvement elliptique de demi-grand axe <math>\;a</math>.</center> == Application au cas de l’attraction solaire : énoncé des lois de Kepler pour les planètes == === Historique === {{Al|5}}La 1^ère étude des mouvements à force centrale conservative dans un champ newtonien gravitationnel a été celle des trajectoires des planètes dans le champ d’attraction du Soleil ; {{Al|5}}l’analyse scientifique précise des observations de ces mouvements remonte au XVII^ème siècle et elle a été résumée en trois lois énoncées par « '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]]'''<ref name="Kepler"> '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]]''' <math>\;\big[</math>hypothèse que son professeur de mathématiques '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]]''' lui enseigna <math>\;\big(</math>ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants<math>\big)\;</math> à l’[[w:Université_Eberhard_Karl_de_Tübingen|Université de Tübingen]] alors que l’enseignement officiel que '''[[w:Michael_Maestlin|M. Mæstlin]]''' donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big]\;</math> affirmant <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Nicolas_Copernic|N. Copernic]]'''<math>\big)\;</math> que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1600</math>, poursuivi pour ses convictions religieuses <math>\;\big(</math>il était ministre du [[w:Luthéranisme|culte luthérien]]<math>\big)\;</math> et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome <math>\;\big(</math>danois<math>\big)\;</math> '''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]]''', ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais <math>\;\big(</math>d’après '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]'''<math>\big)\;</math> étant incapable de les exploiter correctement <math>\;\big[</math>'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' ne croyait pas à l’héliocentrisme de '''[[w:Nicolas_Copernic|Copernic]]''', ni d’ailleurs au géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]''', l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil <math>\;\big(</math>et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' demande alors à '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]''' de calculer l’orbite précise de '''Mars''', travail que ce dernier commence en <math>\;1603\;</math> et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1^ères lois, sa 3^ème loi étant découverte près de <math>\;10\; ans\;</math> plus tard. <br>{{Al|3}}'''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}} '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]] (1550 - 1631)''' astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]]''' ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du [[w:Nombre_d'or|nombre d'or]] en <math>\;1597</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]] (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168)''' astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'''[[w:Almageste|Almageste]]'' <math>\;\big[</math>une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie<math>\big]\;</math> et un traité de géographie <math>\;\big[</math>une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] (1546 - 1601)''' astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la [[w:SN_1572|Supernova de 1572]] ainsi que la [[w:C/1577_V1|grande comète de 1577]] qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques <math>\;\ldots</math> </ref> » en <math>\;1609\;</math> et <math>\;1618</math>. === 1^ère loi de Kepler === {{Théorème|titre=1^ère loi de Kepler|contenu= {{Al|5}}« Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un des foyers » <math>\;\big(</math>ces dernières étant définies dans le référentiel galiléen de Copernic<ref name="Copernic"> '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>.</ref><math>\big)</math><ref name="additif par rapport à l'énoncé historique"> Ce qui est entre parenthèses est un additif par rapport à l’énoncé historique de '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]'''.</ref>.}} === 2^ème loi de Kepler === {{Théorème|titre=2^ème loi de Kepler|contenu= {{Al|5}}« Le mouvement de chaque planète est tel que le segment de droite reliant le Soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales »<ref> De nos jours on dirait « le mouvement de chaque planète est tel que le rayon vecteur reliant le Soleil et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales ».</ref> <math>\;\big(</math>ceci dans le référentiel galiléen de Copernic<ref name="Copernic" /><math>\big)</math><ref name="additif par rapport à l'énoncé historique" /> soit <center>«<math>\;\Delta \mathcal{A}_{\left[ t\,,\, t + \Delta t \right]}\;</math> pour un même <math>\;\Delta t\;</math> indépendant de <math>\;t\;</math>».</center>}} === 3^ème loi de Kepler === {{Théorème|titre=3^ème loi de Kepler|contenu= {{Al|5}}« Pour toutes les planètes, le rapport entre le cube du demi-grand axe de la trajectoire et le carré de la période est le même, cette constante étant indépendante de la masse de la planète » <math>\;\big(</math>ceci dans le référentiel galiléen de Copernic<ref name="Copernic" /><math>\big)</math><ref name="additif par rapport à l'énoncé historique" /> soit <center>«<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = cste\;</math> indépendante de la masse de la planète ».</center>}} {{Al|5}}De nos jours on peut préciser la valeur de la constante dépendant de la masse du Soleil «<math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;</math>», la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> se réécrivant «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi^2}\;</math>»<ref name="rectification de la 3ème loi de Kepler"> On observe, avec une approximation plus fine, l’inexactitude de cette loi car la constante du rapport «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2}\;</math>» dépend très légèrement de la masse de la planète <math>\;\bigg\{</math>elle en dépend d’autant plus que la masse de la planète est grande, ainsi Jupiter « ♃ » qui est la planète la plus lourde du Système solaire ayant une masse représentant près de <math>\;\dfrac{1}{1000}\;</math> de celle du Soleil, on observe l'inexactitude de la 3^ème loi de Kepler appliquée à Jupiter « ♃ » à près de <math>\;0,1\; \%\;</math> alors qu’appliquée à la Terre « ♁ » dont la masse ne représente que <math>\;3\; 10^{-6}\;</math> de celle du Soleil, l'inexactitude de la 3^ème loi de Kepler appliquée à la Terre « ♁ » nécessite de pousser l'évaluation de la constante à <math>\;3\; 10^{-6}\;</math> près<math>\bigg\}</math>, plus précisément <br>{{Al|3}}la 3^ème loi de Kepler doit être rectifiée, pour tenir compte de la masse de la planète, selon on a «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = \dfrac{\mathcal{G}\,\left( m_{\text{☉}} + m_{\text{planète}} \right)}{4\;\pi^2}\;</math>» soit approximativement «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi^2}\;</math> si <math>\;m_{\text{planète}} \ll m_{\text{☉}}\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>on justifie cette différence <math>\;\big(</math>mais c’est hors programme de physique de P.C.S.I.<math>\big)\;</math> par le fait qu’<u>on étudie le mouvement de la planète dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]]</u> <math>\;\big[</math>référentiel lié au Soleil <math>\;\big(</math>considéré comme ponctuel<math>\big)\;</math> en translation par rapport au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel galiléen de Copernic]]<math>\big]</math> <u>non galiléen</u> <math>\;\big[</math>la translation du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] relativement au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel galiléen de Copernic]] n'étant pas rectiligne uniforme, le caractère non galiléen du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] étant d'autant plus prononcé que la proportion de la masse de la planète relativement à la masse du système « Soleil, planète » est grande<math>\big]</math>, <u>le mouvement de la planète dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]]</u> <math>\;\big(</math>ou mouvement relatif de la planète dans le référentiel lié au Soleil en translation par rapport au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]]<math>\big)\;</math> <u>s'identifiant au mouvement du mobile réduit</u> <math>\;M \left( \mu = \dfrac{m_{\text{☉}}\;m_{\text{planète}}}{m_{\text{☉}} + m_{\text{planète}}} \right)\;</math> <u>du système « Soleil, planète » dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]] galiléen</u> <math>\;\big(</math>ou au mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M \;</math> du système « Soleil, planète »<math>\big)\;</math> et <u>le mouvement copernicien du mobile réduit pouvant être déterminé par application de la r.f.d.n. à condition d'appliquer au mobile réduit la force d'attraction gravitationnelle que le Soleil exerce sur la planète</u> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{planète}\,\leftarrow\,\text{☉}} =</math> <math>-\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{☉}}\;m_{\text{planète}}}{r_{\text{planète},\,\text{☉}}^{\,2}}\;\vec{u}_{\text{☉},\,\text{planète}} = -\mathcal{G}\;\dfrac{\mu \left( m_{\text{☉}} + m_{\text{planète}} \right)}{r_{GM}^{\,2}}\;\vec{u}_{GM}\;</math>» <math>\;\Big[G\;</math> étant le C.D.I. du système « Soleil, planète » et <math>\;M\;</math> tel qu'à tout instant <math>\;t</math>, <math>\;\overrightarrow{GM}(t) = \overrightarrow{\text{☉ planète}}(t)\Big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> le mobile réduit <math>\;M\;</math> décrit alors un mouvement copernicien à force centrale newtonienne, le champ de force d'attraction gravitationnelle dans lequel se déplace <math>\;M \left( \mu \right)\;</math> étant identique à celui qui serait créé par le point matériel <math>\;G \left( m_{\text{☉}} + m_{\text{planète}} \right)\;</math> d'où l'expression rectifiée de la 3^ème loi de Kepler <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Système_isolé_de_deux_points_en_interaction_newtonienne|système isolé de deux points en interaction newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] » ainsi que « la [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_mobile_réduit|notion de mobile réduit]] d'un système de deux points matériels » du même chap.<math>2</math> de la même leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] »<math>\big]\bigg\}</math>.</ref> ce qui donne numériquement, avec <math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.</math>, «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times 2,0\;10^{30}}{4 \times \pi^2} \simeq 3,38\;10^{18}\;m^3 \cdot s^{-2} \simeq 1\;ua^3 \cdot\; a^{-2}\;</math> »<ref> En unités adaptées à savoir * pour unité de longueur « l'[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] de symbole <math>\;ua\;</math>» <math>\;1\;ua \simeq 1,50\;10^{11}\;m</math> <math>\;\big[</math>l’[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre autour du Soleil<math>\big]\;</math> et * pour unité de temps « l'[[w:Année_(astronomie)#Année_julienne|année (julienne)]] de symbole <math>\;a\;</math>» <math>\;1\;a \simeq 365,25 \times 86400\;s</math> <math>\;\big(</math>il est fréquent de ne pas utiliser le symbole «<math>\;a\;</math>» mais le nom complet de l'unité «<math>\;an\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|De nos jours }}la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> appliquée à la Terre « ♁ » pour laquelle la [[w:Période_de_révolution|période de révolution sidérale]] est <math>\;T_{\text{orbite},\,\text{♁}} = 1\;a\;</math> conduit à <math>\;a_{\text{♁}} \simeq 1\;ua</math> <math>\;\Bigg[</math>la trajectoire suivie par la Terre « ♁ », considérée comme ponctuelle, étant une ellipse d'excentricité <math>\;e_{\text{♁}} \simeq 0,0167\;</math><ref name="excentricité des orbites des planètes du Système solaire"> C'est Vénus « ♀ » qui a la trajectoire la plus proche d’un cercle «<math>\;e_{\text{♀}} \simeq 0,0068 \simeq \dfrac{e_{\text{♁}}}{2,5}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|C'est }}Mercure « ☿ » qui a la trajectoire la plus éloignée d’un cercle «<math>\;e_{\text{☿}} \simeq 0,206 \simeq 12,3\;e_{\text{♁}}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|C'est }}Mars « ♂ » quant à elle venant juste derrière Mercure avec une excentricité orbitale «<math>\;e_{\text{♂}} \simeq 0,0934 \simeq 5,5\;e_{\text{♁}}\;</math>» <math>\;\big(</math>ce qui clôt l’ensemble des planète telluriques<math>\big)</math>, puis, <br>{{Al|3}}par ordre de diminution d’excentricité, Saturne « ♄ » avec une excentricité orbitale «<math>\;e_{\text{♄}} \simeq 0,0542 \simeq 3,2\; e_{\text{♁}}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|par ordre de diminution d’excentricité, }}Jupiter « ♃ » avec une excentricité orbitale «<math>\;e_{\text{♃}} \simeq 0,0484 \simeq 2,9\; e_{\text{♁}}\;</math>», <br>{{Al|3}}{{Transparent|par ordre de diminution d’excentricité, }}Uranus « ♅ » avec une excentricité orbitale «<math>\;e_{\text{♅}} \simeq 0,0472 \simeq 2,8\; e_{\text{♁}}\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|par ordre de diminution d’excentricité, }}Neptune « ♆ » avec une excentricité orbitale «<math>\;e_{\text{♆}} \simeq 0,00859 \simeq \dfrac{e_{\text{♁}}}{2}\;</math>» qui est la seule planète <math>\;\big(</math>avec Vénus « ♀ »<math>\big)\;</math> à avoir une trajectoire plus proche d’un cercle que celle suivie par la Terre.</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire quasiment un cercle<math>\big)</math>, on peut en déduire l'aphélie <math>\;r_{A,\,\text{♁}} = \dfrac{p_{\text{♁}}}{1 - e_{\text{♁}}}\;</math> et le périhélie <math>\;r_{P,\,\text{♁}} = \dfrac{p_{\text{♁}}}{1 + e_{\text{♁}}}\;</math> de l'orbite terrestre en déterminant au préalable le paramètre <math>\;p_{\text{♁}}\;</math> de cette dernière par <math>\;r_{A,\,\text{♁}} + r_{P,\,\text{♁}} = 2\;a_{\text{♁}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{p_{\text{♁}}}{1 - e_{\text{♁}}} + \dfrac{p_{\text{♁}}}{1 + e_{\text{♁}}} = 2\;a_{\text{♁}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{2\;p_{\text{♁}}}{1 - e_{\text{♁}}^{\,2}} = 2\;a_{\text{♁}}\;</math> soit <math>\;p_{\text{♁}} = a_{\text{♁}} \left( 1 - e_{\text{♁}}^{\,2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r_{A,\,\text{♁}} = \dfrac{a_{\text{♁}} \left( 1 - e_{\text{♁}}^{\,2} \right)}{1 - e_{\text{♁}}} =</math> <math>a_{\text{♁}} \left( 1 + e_{\text{♁}} \right) \simeq</math> <math>1,0167\;ua \simeq 152,5\;10^6\;km\;</math> et <math>\;r_{P,\,\text{♁}} = \dfrac{a_{\text{♁}} \left( 1 - e_{\text{♁}}^{\,2} \right)}{1 + e_{\text{♁}}} = a_{\text{♁}} \left( 1 - e_{\text{♁}} \right) \simeq</math> <math>0,9833\;ua \simeq 147,5\;10^6\;km\;</math><ref> Ainsi la distance « Terre - Soleil » varie-t-elle de <math>\;\simeq 5\;10^6\;km\;</math> soit approximativement <math>\;13\;</math> fois la distance « Terre - Lune ».</ref><math>\Bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : connaissant la « période orbitale <math>\;\big(</math>ou période de révolution sidérale<math>\big)\;</math> d’une planète »<ref name="période orbitale des planètes du Système solaire"> Les périodes orbitales des planètes positionnées à partir du Soleil « ☉ » sont respectivement : * Mercure « ☿ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{☿}} \simeq 87,5\; j \simeq \dfrac{T_{\text{orbite},\,\text{♁}}}{4,2}\;</math>», * Vénus « ♀ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♀}} \simeq 224,7\; j \simeq \dfrac{T_{\text{orbite},\,\text{♁}}}{1,6}\;</math>», * Terre « ♁ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♁}} \simeq 365,25\; j = 1\;a\;</math>», * Mars « ♂ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♂}} \simeq 687\; j \simeq 1,88\;a \simeq 1,9\;T_{\text{orbite},\,\text{♁}}\;</math>», * Jupiter « ♃ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♃}} \simeq 4331\; j \simeq 11,86\;a \simeq 12\;T_{\text{orbite},\,\text{♁}}\;</math>», * Saturne « ♄ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♄}} \simeq 10747\; j \simeq 29,42\;a \simeq 29\;T_{\text{orbite},\,\text{♁}}\;</math>», * Uranus « ♅ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♅}} \simeq 30589\; j \simeq 83,75\;a \simeq 84\;T_{\text{orbite},\,\text{♁}}\;</math>» et * Neptune « ♆ » avec une période de révolution sidérale «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♆}} \simeq 59802\; j \simeq 163,73\;a \simeq 164\;T_{\text{orbite},\,\text{♁}}\;</math>».</ref> on peut en déduire « le demi-grand axe de son orbite » <math>\;\big(</math>ou inversement<math>\big)</math>, cela donne pour * Mercure « ☿ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{☿}} \simeq 87,5\; j \simeq 0,23956\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{☿}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{☿}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 0,23956 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{☿}} \simeq 0,386\;ua\;</math>», * Vénus « ♀ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♀}} \simeq 224,7\; j \simeq 0,61520\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♀}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{♀}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 0,61520 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♀}} \simeq 0,723\;ua\;</math>», * Mars « ♂ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♂}} \simeq 687\; j \simeq 1,88090\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♂}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{♂}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 1,88090 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♂}} \simeq 1,524\;ua\;</math>», * Jupiter « ♃ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♃}} \simeq 4331\; j \simeq 11,8576\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♃}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{♃}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 11,8576 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♃}} \simeq 5,200\;ua\;</math>», * Saturne « ♄ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♄}} \simeq 10747\; j \simeq 29,4237\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♄}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{♄}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 29,4237 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♄}} \simeq 9,531\;ua\;</math>», * Uranus « ♅ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♅}} \simeq 30589\; j \simeq 83,7481\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♅}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{♅}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 83,7481 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♅}} \simeq 19,14\;ua\;</math>» et * Neptune « ♆ » dont la période orbitale vaut «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{♆}} \simeq 59802\; j \simeq 163,729\;a\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♆}} = \sqrt[3]{\left( 1\;ua^3 \cdot a^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{♆}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{\left( 163,729 \right)^2}\;ua\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{♆}} \simeq 29,93\;ua\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}On peut aussi, en déterminant la valeur de la constante de la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> à l'aide de la période orbitale de la Terre et du demi-grand axe de l'orbite elliptique décrite par celle-ci {{Nobr|«<math>\;\left( T_{\text{orbite},\,\text{♁}} = 1\;a\,,\, a_{\text{orbite},\,\text{♁}} = 1\;ua \right)\;</math>»}} ou, en U.S.I. «<math>\;\left( T_{\text{orbite},\,\text{♁}} = 3,16\;10^7\;s\,,\, a_{\text{orbite},\,\text{♁}} \simeq 1,50\;10^{11}\;m \right)\;</math>», en déduire la masse du Soleil « ☉ » connaissant la constante de gravitation universelle <math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> selon «<math>\;\dfrac{a_{\text{orbite},\,\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{orbite},\,\text{♁}}^{\,2}} =</math> <math>\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{4\;\pi^2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m_{\text{☉}} = \dfrac{4\;\pi^2}{\mathcal{G}}\;\dfrac{a_{\text{orbite},\,\text{♁}}^{\,3}}{T_{\text{orbite},\,\text{♁}}^{\,2}} \simeq \dfrac{4 \times \pi^2}{6,67\;10^{-11}} \times \dfrac{\left( 1,50\;10^{11} \right)^{3}}{\left( 3,16\;10^7 \right)^{2}} \simeq 2,00\;10^{30}\;kg\;</math>». == Transposition au cas de l’attraction terrestre : énoncé des lois de Kepler adaptées aux satellites terrestres == === Remarque préliminaire === {{Al|5}}<u>Les trois lois de Kepler<ref name="Kepler" /> s'appliquant aux planètes du Système solaire dans le « [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] »</u> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le référentiel lié au Soleil <math>\;\big(</math>considéré comme ponctuel<math>\big)\;</math> en translation par rapport au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel galiléen de Copernic]]<math>\big]\;</math> dans la mesure où le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] peut être <u>considéré comme galiléen</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire si la translation du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] relativement au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel galiléen de Copernic]] est approximativement rectiligne uniforme, ce qui est réalisé pour une durée ne dépassant pas un mois<ref> Si on simplifie l'étude en considérant que le Système solaire est simplement constitué du Soleil « ☉ » et de la planète la plus massive à savoir Jupiter « ♃ », le centre de la planète « ♃ » ainsi que celui du Soleil « ☉ » effectue un tour autour du C.D.I. du système «<math>\;\left( \text{☉}\,,\, \text{♃} \right)\;</math>» en <math>\;4331\;j</math>, la période orbitale de « ♃ » c'est-à-dire que le repère de Kepler d'origine au centre du Soleil a un mouvement de translation quasi-circulaire relativement au repère de Copernic d'origine le C.D.I. du système «<math>\;\left( \text{☉}\,,\, \text{♃} \right)\;</math>» et que cette translation quasi-circulaire uniforme peut être assimilée en une translation rectiligne uniforme pour une rotation d'angle <math>\;\lesssim \dfrac{1}{100}\;</math> de tour correspondant à une durée <math>\;\lesssim \dfrac{4331\;j}{100} \simeq 43\;j\;</math> c'est-à-dire approximativement un mois.</ref><math>\big)</math>, avec pour pôle d’attraction de gravitation newtonienne le Soleil « ☉ » <math>\;\big[</math>en 1^ère approximation le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] s'identifie au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]], lequel est le meilleur galiléen pour les objets du Système solaire, c'est donc la raison pour laquelle <u>les trois lois de Kepler<ref name="Kepler" /> appliquées aux planètes du Système solaire sont énoncées dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel de Copernic]]</u><math>\big]</math>, {{Al|27}}<u>peuvent être transposées aux satellites terrestres naturel ou artificiels dans le [[w:Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]]</u> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le référentiel lié au centre de la Terre en translation par rapport au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel galiléen de Copernic]]<math>\big]\;</math> <u>dans la mesure où</u> d'une part <u>le [[w:Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] peut être considéré comme galiléen</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire si la translation du [[w:Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] relativement au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Copernic|référentiel galiléen de Copernic]] est approximativement rectiligne uniforme, ce qui est réalisé pour une durée ne dépassant pas trois jours<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Validation_du_caractère_«_quasi_galiléen_»_du_référentiel_géocentrique_sur_une_durée_d’expérience_inférieure_à_trois_jours_(terrestres)|validation du caractère quasi-galiléen du référentiel géocentrique sur une durée d'expérience inférieures à trois jours (terrestres)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <u>et</u> d'autre part <u>le référentiel barycentrique du système</u> «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{satellite} \right)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>c'est-à-dire le référentiel lié au C.D.I<ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref>. du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{satellite} \right)\;</math>» en translation par rapport au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel quasi galiléen géocentrique]]<math>\bigg]\;</math> <u>puisse aussi être considéré comme galiléen</u> <math>\;\bigg[</math>c'est-à-dire si la translation du référentiel barycentrique du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{satellite} \right)\;</math>» relativement au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel quasi galiléen géocentrique]] est approximativement rectiligne uniforme, ce qui est réalisé sans aucune autre condition si le satellite est artificiel<ref> La masse du satellite artificiel étant quasi inexistante par rapport à la masse de la Terre.</ref> mais qui n'est réalisé que pour une durée ne dépassant pas six heures si le satellite est naturel c'est-à-dire la Lune « ☽ »<ref> Le centre de la Terre « ♁ » ainsi que celui de la Lune « ☽ » effectue un tour autour du C.D.I. du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» en <math>\;\simeq 27\;j</math>, la période de révolution sidérale de la « ☽ » c'est-à-dire que le repère barycentrique du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» d'origine « le C.D.I. du système » a un mouvement de translation quasi-circulaire relativement au repère géocentrique d'origine le centre de la « ♁ » et que cette translation quasi-circulaire uniforme peut être assimilée en une translation rectiligne uniforme pour une rotation d'angle <math>\;\lesssim \dfrac{1}{100}\;</math> de tour correspondant à une durée <math>\;\lesssim \dfrac{27\;j}{100} \simeq 6,5\;h\;</math> c'est-à-dire approximativement six heures.</ref><math>\bigg]</math>, le pôle d’attraction de gravitation newtonienne étant la Terre « ♁ » <math>\;\big[</math>en 1^ère approximation le référentiel barycentrique du système « ♁, ☽ » s'identifie au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]], lequel est le meilleur galiléen pour les objets de l'espace champ de gravitation terrestre, c'est donc la raison pour laquelle <u>les trois lois de Kepler<ref name="Kepler" /> appliquées aux satellites de la Terre seront énoncées dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]]</u><ref name="3ème loi de Kepler appliqué à la Lune dans le champ de gravitation terrestre"> Et ceci sans nécessité de rectification de la 3^ème loi de Kepler pour les satellites artificiels de la Terre, toutefois pour son satellite naturel « Lune ☽ » il faut tenir compte du caractère non galiléen du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] ce qui revient à remplacer dans la constante de la 3^ème loi de Kepler «<math>\;m_{\text{♁}}\;</math> par <math>\;m_{\text{♁}} + m_{\text{☽}}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la justification dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#cite_note-74|⁷⁴]] » plus loin dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>, {{Al|5}}la justification de cette extension des trois lois de Kepler<ref name="Kepler" /> aux satellites terrestres étant hors programme de physique de P.C.S.I.<ref> En fait l'extension des deux 1^ères lois de Kepler aux satellites terrestres ne nécessite pas de considérer le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] comme galiléen tout comme l'application des deux 1^ères lois de Kepler aux planètes du Système solaire n'impose pas au [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_de_Kepler_(ou_héliocentrique)|référentiel de Kepler]] d'être considéré comme galiléen, seule la 3^ème loi de Kepler a cette exigence <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#cite_note-rectification_de_la_3ème_loi_de_Kepler-63|⁶³]] » plus haut dans ce chapitre pour l'applicabilité de la 3^ème loi de Kepler aux planètes du Système solaire<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}Dans le but d'observer une légère inexactitude de la 3^ème loi de Kepler appliquée aux satellites terrestres, nous ne prendrons pas un satellite artificiel car celui-ci est, quel qu'il soit, de masse totalement négligeable par rapport à la masse de la Terre mais nous considérerons le satellite naturel « Lune ☽ » dont la masse représentant <math>\;\dfrac{1}{81}\;</math> de la masse de la Terre rend le référentiel barycentrique du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» différant de façon notable du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] ; <br>{{Al|3}}considérant le référentiel barycentrique du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» galiléen <math>\;\Big[</math>ce qui serait totalement exact si le système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» était isolé mais n'est qu'une approximation dans la mesure où ce système est dans le champ d'attraction gravitationnelle du Soleil<math>\Big]</math>, le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] ne pourra être considéré comme galiléen que si la translation du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] relativement au référentiel barycentrique galiléen du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» est rectiligne uniforme ce qui nécessite une durée maximale de <math>\;\simeq 6\;h</math> <math>\;\big[</math>revoir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d%27un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#cite_note-70|⁷⁰]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ; dans le cas où cette condition n'est pas vérifiée, il faut alors tenir compte du caractère non galiléen du [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]], le référentiel barycentrique du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>» étant considéré comme galiléen et par suite <br>{{Al|3}}<u>le mouvement de la Lune dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] non galiléen</u> <math>\;\Big[</math>ou mouvement relatif de la Lune dans le référentiel lié à la Terre en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen du système «<math>\;\left( \text{♁}\,,\, \text{☽} \right)\;</math>»<math>\Big]\;</math> <u>s'identifiant au mouvement du mobile réduit</u> <math>\;M \left( \mu = \dfrac{m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{m_{\text{♁}} + m_{\text{☽}}} \right)\;</math> <u>du système « ♁, ☽ » dans le référentiel barycentrique galiléen de ce système</u> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le mouvement barycentrique du mobile réduit <math>\;M \;</math> du système « ♁, ☽ »<math>\big)\;</math> et <u>le mouvement barycentrique du mobile réduit pouvant être déterminé par application de la r.f.d.n. à condition d'appliquer au mobile réduit la force d'attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur la Lune</u> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{☽}\,\leftarrow\,\text{♁}} =</math> <math>-\mathcal{G}\;\dfrac{m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{r_{\text{☽},\,\text{♁}}^{\,2}}\;\vec{u}_{\text{♁},\,\text{☽}} = -\mathcal{G}\;\dfrac{\mu \left( m_{\text{♁}} + m_{\text{☽}} \right)}{r_{GM}^{\,2}}\;\vec{u}_{GM}\;</math>» <math>\;\Big[G\;</math> étant le C.D.I. du système « ♁, ☽ » et <math>\;M\;</math> tel qu'à tout instant {{Nobr|<math>\;t</math>,}} <math>\;\overrightarrow{GM}(t) =</math> <math>\overrightarrow{\text{♁ ☽}}(t)\Big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> le mobile réduit <math>\;M\;</math> décrit alors un mouvement barycentrique à force centrale newtonienne, le champ de force d'attraction gravitationnelle dans lequel se déplace <math>\;M \left( \mu \right)\;</math> étant identique à celui qui serait créé par le point matériel <math>\;G \left( m_{\text{♁}} + m_{\text{☽}} \right)\;</math> d'où la nécessité de rectifier la 3^ème loi de Kepler dans la mesure où <math>\;m_{\text{♁}} + m_{\text{☽}}\;</math> diffère de <math>\;m_{\text{♁}}\;</math> à un peu plus de <math>\;1\;\%</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Système_isolé_de_deux_points_en_interaction_newtonienne|système isolé de deux points en interaction newtonienne]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] » ainsi que « la [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_mobile_réduit|notion de mobile réduit]] d'un système de deux points matériels » du même chap.<math>2</math> de la même leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] »<math>\big]</math>.</ref>. === 1^ère loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière === {{Théorème|titre=1^ère loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans son espace champ de gravitation|contenu= {{Al|5}}« Les satellites artificiels ou naturel de la Terre décrivent des trajectoires elliptiques dont le centre de la Terre est un des foyers » <math>\;\big(</math>ces dernières étant définies dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] quasi galiléen<math>\big)</math>.}} === 2^ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière === {{Théorème|titre=2^ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans son espace champ de gravitation|contenu= {{Al|5}}« Le mouvement de chaque satellite artificiel ou naturel de la Terre est tel que le segment de droite reliant les centres de la Terre et du satellite balaie des aires égales pendant des durées égales »<ref> Ou encore « le mouvement de chaque satellite artificiel ou naturel de la Terre est tel que le rayon vecteur reliant les centres de la Terre et du satellite balaie des aires égales pendant des durées égales ».</ref> <math>\;\big(</math>ceci dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] quasi galiléen<math>\big)\;</math> soit <center>«<math>\;\Delta \mathcal{A}_{\left[ t\,,\, t + \Delta t \right]}\;</math> pour un même <math>\;\Delta t\;</math> indépendant de <math>\;t\;</math>».</center>}} === 3^ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière === {{Théorème|titre=3^ème loi de Kepler transposée aux satellites de la Terre dans son espace champ de gravitation|contenu= {{Al|5}}« Pour tous les satellites artificiels et naturel de la Terre, le rapport entre le cube du demi-grand axe de la trajectoire et le carré de la période est le même, cette constante étant indépendante de la masse du satellite » <math>\;\big(</math>ceci dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] quasi galiléen<math>\big)\;</math> soit <center>«<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = cste\;</math> indépendante de la masse du satellite ».</center>}} {{Al|5}}On peut préciser la valeur de la constante dépendant de la masse de la Terre «<math>\;m_{\text{♁}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math>», la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> se réécrivant «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{4\;\pi^2}\;</math>»<ref name="3ème loi de Kepler appliqué à la Lune dans le champ de gravitation terrestre" /> ce qui donne numériquement, avec <math>\;\mathcal{G} \simeq</math> <math>6,67\;10^{-11}\;U.S.I.</math>, «<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times 6,0\;10^{24}}{4 \times \pi^2} \simeq 1,01\;10^{13}\;m^3 \cdot s^{-2} \simeq 289\;R_{\text{♁}}^{\,3} \cdot\; j^{-2}\;</math> »<ref> En unités adaptées à savoir * pour unité de longueur « le rayon de la Terre <math>\;R_{\text{♁}}\;</math>» <math>\;1\;R_{\text{♁}} \simeq 6,40\;10^{6}\;m</math> <math>\;\big[</math>ce n'est pas une unité habituellement utilisée comme l'est l'« unité astronomique »<math>\big]\;</math> et * pour unité de temps « le [[w:Jour_stellaire|jour stellaire]] (de la Terre) <math>\;j\;</math>» <math>\;1\;j \simeq 86400\;s</math>.</ref> ; {{Al|5}}la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> appliquée à la Lune « ☽ » pour laquelle la [[w:Mois_lunaire#Mois_sidéral|période de révolution sidérale (mois sidéral)]] est <math>\;T_{\text{orbite},\,\text{☽}} \simeq 27,3\;j\;</math> conduit à <math>\;a_{\text{☽}} \simeq \sqrt[3]{289 \times (27,3)^2}\;R_{\text{♁}} \simeq 59,9\;R_{\text{♁}}\;</math> soit encore <math>\;a_{\text{☽}} \simeq</math> <math>383000\;km\;</math><ref> Toutefois la masse de la Lune représentant <math>\;\dfrac{1}{81}\;</math> de celle de la Terre, il convient de remplacer la constante de la 3^ème loi de Kepler quand celle-ci est appliquée à la Lune en tenant compte de la masse de cette dernière d'où «<math>\;\dfrac{a_{\text{☽}}^{\,3}}{T_{\text{orbite},\,\text{☽}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G}\;(m_{\text{♁}} + m_{\text{☽}})}{4\;\pi^2} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times (6,0\;10^{24} + 7,4\;10^{22})}{4 \times \pi^2} \simeq 1,022\;10^{13}\;m^3 \cdot s^{-2} \simeq 291\;R_{\text{♁}}^{\,3} \cdot\; j^{-2}\;</math>» d'où, avec «<math>\;T_{\text{orbite},\,\text{☽}} \simeq 27,3\;j\;</math>», on trouve un demi-grand axe pour l'ellipse suivie par la Lune «<math>\;a_{\text{☽}} \simeq \sqrt[3]{291 \times (27,3)^2}\;R_{\text{♁}} \simeq 60,1\;R_{\text{♁}}\;</math>» soit encore «<math>\;a_{\text{☽}} \simeq 384500\;km\;</math>».</ref> {{Nobr|<math>\;\Bigg[</math>la}} trajectoire suivie par la Lune « ☽ », considérée comme ponctuelle, étant une ellipse d'excentricité moyenne <math>\;e_{\text{☽}} \simeq 0,0549\;</math><ref name="excentricité moyenne de l'orbite terrestre de la Lune"> Comme c'est précisé dans le paragraphe « [[w:Orbite de la Lune#Excentricité|excentricité]] de l'orbite de la Lune » publié dans « Wikipédia », l'excentricité de cette dernière n'est pas une constante à cause des [[w:Perturbation_(astronomie)|perturbations]] solaires, elle varie de <math>\;0,0255\;</math> à <math>\;0,0775\;</math> suivant les positions respectives de la Terre « ♁ », de la Lune « ☽ » et du Soleil « ☉ ».</ref> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire quasiment un cercle<math>\big)</math>, on peut en déduire la position de l'apogée <math>\;r_{A,\,\text{☽}} = \dfrac{p_{\text{☽}}}{1 - e_{\text{☽}}}\;</math> et celle du périgée <math>\;r_{P,\,\text{☽}} = \dfrac{p_{\text{☽}}}{1 + e_{\text{☽}}}\;</math> de l'orbite lunaire en déterminant au préalable le paramètre <math>\;p_{\text{☽}}\;</math> de cette dernière par <math>\;r_{A,\,\text{☽}} + r_{P,\,\text{☽}} = 2\;a_{\text{☽}}\;</math> ou <math>\;\dfrac{p_{\text{☽}}}{1 - e_{\text{☽}}} + \dfrac{p_{\text{☽}}}{1 + e_{\text{☽}}} =</math> <math>2\;a_{\text{☽}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{2\;p_{\text{☽}}}{1 - e_{\text{☽}}^{\,2}} =</math> <math>2\;a_{\text{☽}}\;</math> soit <math>\;p_{\text{☽}} = a_{\text{☽}} \left( 1 - e_{\text{☽}}^{\,2} \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;r_{A,\,\text{☽}} = \dfrac{a_{\text{☽}} \left( 1 - e_{\text{☽}}^{\,2} \right)}{1 - e_{\text{☽}}} =</math> <math>a_{\text{☽}} \left( 1 + e_{\text{☽}} \right) \simeq</math> <math>63,19\;R_{\text{♁}} \simeq 404400\;km\;</math> et <math>\;r_{P,\,\text{☽}} = \dfrac{a_{\text{☽}} \left( 1 - e_{\text{☽}}^{\,2} \right)}{1 + e_{\text{☽}}} =</math> <math>a_{\text{☽}} \left( 1 - e_{\text{☽}} \right) \simeq 56,61\;R_{\text{♁}} \simeq</math> <math>362300\;km</math>, ainsi la distance « Terre - Lune » varie-t-elle de <math>\;\simeq 42000\;km\;</math> soit approximativement <math>\;10\;\%\;</math> de la distance moyenne « Terre - Lune »<ref> Si on rectifie l'application de la 3^ème loi de Kepler au mouvement de la Lune en tenant compte du fait que la masse de cette dernière n'est pas négligeable devant la masse de la Terre comme exposé dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d%27un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#cite_note-77|⁷⁷]] » le demi-grand axe de l'orbite décrite par la Lune devient «<math>\;a_{\text{☽}} \simeq 60,1\;R_{\text{♁}} \simeq 384500\;km\;</math>», la position de l'apogée <math>\;r_{A,\,\text{☽}} = \dfrac{p_{\text{☽}}}{1 - e_{\text{☽}}} = a_{\text{☽}} \left( 1 + e_{\text{☽}} \right) \simeq</math> <math>63,40\;R_{\text{♁}} \simeq 405800\;km\;</math> et celle du périgée <math>\;r_{P,\,\text{☽}} = \dfrac{p_{\text{☽}}}{1 + e_{\text{☽}}} =</math> <math>a_{\text{☽}} \left( 1 - e_{\text{☽}} \right) \simeq 56,80\;R_{\text{♁}} \simeq 363500\;km\;</math> <math>\Rightarrow</math> la distance « Terre - Lune » varie de <math>\;\simeq 42300\;km\;</math> soit <math>\;\simeq 10\;\%\;</math> de la distance moyenne « Terre - Lune » <math>\;\ldots</math></ref><math>\Bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : connaissant la « période orbitale <math>\;\big(</math>ou période de révolution sidérale<math>\big)\;</math> d’un satellite artificiel de la Terre » on peut en déduire « le demi-grand axe de son orbite » <math>\;\big(</math>ou inversement<math>\big)</math>, cela donne par exemple pour «<math>\;T_{\text{orbite},\, \text{satellite}} \simeq 1\; j\;</math>» un demi-grand axe «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{satellite}} = \sqrt[3]{\left( 289\;R_{\text{♁}}^{\,3} \cdot\; j^{-2} \right) \times T_{\text{orbite},\, \text{satellite}}^{\,2}} \simeq \sqrt[3]{289}\;R_{\text{♁}}\;</math>» soit «<math>\;a_{\text{orbite},\, \text{satellite}} \simeq 6,61\;R_{\text{♁}} \simeq 42300\;km\;</math>» correspondant à une position d'altitude <math>\;\simeq 35900\;km</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}la démarche précédente <math>\;\big(</math>ou la démarche inverse<math>\big)\;</math> peut être renouvelée pour n'importe quel satellite artificiel de la Terre, on constate que la période orbitale du satellite est d'autant plus petite que le demi-grand axe de l'ellipse que ce dernier décrit est petit <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : La valeur de la constante de la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière écrite dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] quasi galiléen à savoir «<math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{4\;\pi^2}\;</math>» peut être exprimée en fonction <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de l’intensité du champ de gravitation au niveau du sol de la Terre «<math>\;G_{\text{♁, sol terrestre}} = \Big\Vert \vec{G}_{\text{♁, sol terrestre}} \Big\Vert = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math>» où «<math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{G}\; m_{\text{♁}} = G_{\text{♁, sol terrestre}}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\;</math>» d'où la réécriture de la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière écrite dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] quasi galiléen selon <center>«<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} = \dfrac{G_{\text{♁, sol terrestre}}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}{4\;\pi^2}\;</math>» ou encore,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}de l’intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol de la Terre «<math>\;g_{\text{♁},\, 0} = \big\Vert \vec{g}_{\text{♁, sol terrestre}} \big\Vert\;</math> en « confondant le champ d’attraction terrestre au niveau du sol et l’intensité de la pesanteur au même niveau »<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] (préliminaire) » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » où on expose la différence entre vecteurs champ de pesanteur terrestre et champ d'attraction gravitationnelle terrestre en un point de la surface de la Terre ainsi que la note « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#cite_note-5|⁵]] » du chapitre précité pour la notion de « pseudo-force d'inertie d'entraînement » <math>\;\ldots</math></ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{G}\; m_{\text{♁}} = G_{\text{♁, sol terrestre}}\;R_{\text{♁}}^{\,2} \simeq g_{\text{♁},\, 0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}\;</math>» d'où la réécriture de la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> transposée aux satellites de la Terre dans l’attraction gravitationnelle de cette dernière écrite sous forme approchée dans le [[w:Référentiel_(physique)#Référentiel_géocentrique|référentiel géocentrique]] quasi galiléen, <center>«<math>\;\dfrac{a^3}{T^2} \simeq \dfrac{g_{\text{♁},\, 0}\;R_{\text{♁}}^{\,2}}{4\;\pi^2}\;</math>» avec «<math>\;g_{\text{♁},\, 0} \simeq 9,81\;m \cdot s^{-2}</math> <math>\;\big(</math>valeur prise à Paris<math>\big)\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie potentielle effective, états lié et de diffusion|Mouv. d'un pt dans un champ de force cent. conserv. : Énerg. pot. effect., états lié et de diffus.]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes|Mouv. d'un pt dans un champ de force cent. conserv. : Cas part. du mouv. circul., satel., planètes]] }} mo5lczfafus48gy4qdv69ozloyrg2dy 105 75106 987245 987176 2026-10-11T04:22:14Z JackBot 8020 Robot : Correction d’une double redirection depuis [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]] vers [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]] 987245 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam]] p8qpzoie268jjbxbt9pvx38p6a6nt2l 0 75417 987234 986689 2026-10-10T18:26:31Z Phl7605 31541 987234 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 17 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.</center> == Nature uniforme du mouvement circulaire d'un point matériel dans un champ à force centrale, expression de sa période dans le cas où cette force centrale est conservative == === Rappel de la 1^ère intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel M dans un champ à force centrale de centre O, conservation du moment cinétique vectoriel de M par rapport au centre de force O === {{Al|5}}Introduit au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_à_force_centrale_:_conservation_de_son_moment_cinétique_vectoriel_par_rapport_au_centre_de_force|1^ère intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et rappelé ci-dessous : {{Proposition|titre=Intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale (non nécessairement conservative)|contenu={{Al|5}}Il existe une intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel <math>\;M\;</math> à force centrale <math>\;\big(</math>conservative ou non<math>\big)\;</math><ref> Dans le cas où la force centrale n'est pas conservative c'est la seule intégrale 1^ère du mouvement.</ref> correspondant à la <u>conservation du moment cinétique vectoriel du point matériel</u> <math>\;M\;</math> <u>par rapport au centre de force</u> <math>\;O\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen {{Nobr|c'est-à-dire}} « conservation de <math>\;\vec{\sigma}_O(t) =</math> <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{V}_M(t)\;</math> relativement à la variation du temps <math>\;t\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\vec{\sigma}_O(t) = \vec{\sigma}_O(0),\;\;\forall\;t\;</math> avec <math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge m\;\vec{V}_M(0)\;</math>» ou, <br />après simplification par <math>\;m</math>, «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0),\;\;\forall\;t\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Conséquences</u> : introduites aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_conséquence_de_la_conservation_du_moment_cinétique_vectoriel_du_point_par_rapport_au_centre_de_force_:_«_nature_plane_(ou_rectiligne)_du_mouvement_»|1^ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : nature plane (ou rectiligne) du mouvement]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#2ème_conséquence_de_la_conservation_du_moment_cinétique_vectoriel_du_point_par_rapport_au_centre_de_force_:_applicabilité_de_la_«_loi_des_aires_»|2^ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la loi des aires]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Aspect_«_vitesse_aréolaire_constante_»_de_la_loi_des_aires|aspect “ vitesse aréolaire constante ” de la loi des aires]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et rappelées ci-dessous : {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}<math>\;\succ\;</math>Nature plane du mouvement de <math>\;M</math> « si <math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\nparallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>» et <br />{{Al|22}}{{Transparent|Conséquences : }}rectiligne{{Transparent|du mouvement de M}}« si <math>\;\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0}\;</math> est <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM}(0) = \overrightarrow{OM_0} \neq \vec{0}\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}<math>\;\succ\;</math>Applicabilité de la loi des aires «<math>\;r^2(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>» avec «<math>\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta(t) \right\rbrace\;</math>» les coordonnées polaires de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement<ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan"> Le cas où le mouvement de <math>\;M\;</math> est rectiligne peut être considéré comme un cas particulier d'un mouvement plan mais dans ce cas le plan est indéterminé avec pour seule exigence que la trajectoire rectiligne de <math>\;M\;</math> soit dans le plan, la conséquence en étant que l'abscisse angulaire de <math>\;M\;</math> reste constante.</ref>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> étant le vecteur unitaire orientant les angles du plan et «<math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z = \left[ \overrightarrow{OM}(0) \wedge \vec{V}_M(0) \right] \cdot \vec{u}_z\;</math> la constante des aires » <math>\;\bigg\{</math>si l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passe par <math>\;M_0\;</math> en étant orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0\;</math> et si l'angle que fait <math>\;\vec{V}_0\;</math> avec l'axe polaire est «<math>\;\widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{V}_0 \right)} = \alpha_0\;</math>», la constante des aires s'évalue par «<math>\;C = r_0\;v_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» avec <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;r_0 = \Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert\bigg\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conséquences : }}<math>\;\succ\;</math>Interprétation géométrique de la loi des aires : « vitesse aréolaire constante » plus précisément «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{C}{2}\;</math>» avec «<math>\;C\;</math> la constante des aires » et «<math>\;d \mathcal{A}(t)\;</math>» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math>» lorsque ce dernier se déplace à partir de l'instant <math>\;t\;</math> sur une durée élémentaire <math>\;dt\;</math> soit, en utilisant les coordonnées polaires de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> «<math>\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta(t) \right\rbrace\;</math>» du point <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement<ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan" />, «<math>\;d \mathcal{A}(t) = \dfrac{1}{2}\;r^2(t)\;d \theta(t)\;</math>». === Conséquence de la nature circulaire de centre O du mouvement de M, nature uniforme du mouvement === {{Al|5}}La trajectoire décrite par le point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement à force centrale étant un cercle de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> et repérant <math>\;M\;</math> par ses coordonnées polaires «<math>\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta(t) \right\rbrace\;</math>» dans le plan de son mouvement<ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan" />, on en déduit <br />{{Al|5}}l'équation polaire du cercle décrit par <math>\;M\;</math> «<math>\;r = r_0\;\;\forall\;\theta\;</math>» et, <br />{{Al|5}}d'après la loi des aires suivie par <math>\;M</math>, la vitesse angulaire de ce dernier sur le cercle «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{C}{r_0^2} = cste\;</math>» avec «<math>\;C\;</math> la constante des aires » c'est-à-dire la « <u>nature uniforme du mouvement circulaire</u> de <math>\;M\;</math>». {{Al|5}}Pour que le mouvement du point matériel <math>\;M\;</math> soumis à une force centrale soit circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)</math>, il est nécessaire que le vecteur vitesse initiale du point <math>\;M</math> «<math>\;\vec{V}_0\;</math>» soit <math>\;\perp\;</math> à son vecteur position initiale «<math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math>» c'est-à-dire que l'angle <math>\;\alpha_0\;</math> que fait le 1^er avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passant par <math>\;M_0\;</math> en étant orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0\;</math> soit égal à <math>\;\pm \dfrac{\pi}{2}\;</math> soit «<math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{V}_0 \right)} = \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math>» dont on déduit la constante des aires «<math>\;C = r_0\;v_0\;\sin(\alpha_0) = \pm r_0\;v_0\;</math>» <math>\;\Big[</math>avec <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;r_0 = \Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert\Big]\;</math> et par suite la réécriture de la vitesse angulaire de <math>\;M\;</math> sur le cercle à l'instant <math>\;t\;</math> en fonction des {{Nobr|C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>.}} «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dfrac{C}{r_0^2} = \pm \dfrac{v_0}{r_0} = cste\;</math>» <math>\;\big[</math>toutefois cela démontre la constance de la vitesse angulaire sans expliciter sa valeur car, pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> soit circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de {{Nobr|force<math>\big)</math>,}} <math>\;v_0\;</math> ne peut pas être quelconque relativement à <math>\;r_0\;</math> comme cela sera expliqué au paragraphe suivant « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_vitesse_angulaire_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale|expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale]] » de ce chapitre<math>\Big]</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Les mouvements circulaires d’un point soumis uniquement à une force centrale ne sont pas nécessairement de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>même si ce cas est le plus fréquent<math>\big]</math>, tout dépend de la loi de force <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la façon dont l’intensité de la force varie avec <math>\;r = OM\big)\;</math> et des C.I<ref name="C.I." />. : {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<u>contre exemple</u> de trajectoire circulaire d’un point <math>\;M\;</math> uniquement soumis à une force centrale <math>\;\big(</math>conservative<math>\big)\;</math> dont le cercle passe par le centre de force <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>et n'est donc pas de centre <math>\;O\big)</math> : <math>\;M\;</math> soumis uniquement à une force centrale attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^5}\; \vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big[k\;</math> étant une constante <math>\;< 0</math>, <math>\;r = OM\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement <math>\;\big(</math>on rappelle que le mouvement de <math>\;M\;</math> étant à force centrale est plan ou rectiligne suivant les C.I<ref name="C.I." />. de lancement<math>\big)\big]\;</math> lancé de <math>\;M_0\;</math> avec un vecteur vitesse initiale «<math>\;\vec{V}_0 \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math>» de norme «<math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{-k}{2\;m}}\; \dfrac{1}{r_0^2}\;</math>»<ref name="exemple de mouvement circulaire de centre différent du centre de force"> Cette vitesse initiale correspondant à une énergie cinétique initiale «<math>\;K_M(0) = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^2 = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{-k}{2\;m}\; \dfrac{1}{r_0^4} = \dfrac{-k}{4\;r^4} > 0\;</math>» et la force «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^5}\; \vec{u}_r\;</math>» étant conservative et dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\vec{F}}(M) = - \displaystyle\int^r \dfrac{k}{r^5}\;dr = \dfrac{k}{4\;r^4}\;</math> en choisissant sa référence à l'infini, ce qui correspond à une énergie potentielle initiale «<math>\;U_{\vec{F}}(M_0) = \dfrac{k}{4\;r_0^4} < 0\;</math>», les conditions initiales de lancement correspondent à une énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,M}(0) = K_M(0) + U_{\vec{F}}(M_0) = 0\;</math>», hors ces conditions le mouvement n'est pas circulaire <math>\;\big(</math>ceci n'étant vrai que pour la loi de force envisagée<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : contre exemple }}avec ces C.I<ref name="C.I." />. et cette loi de force on peut établir <math>\;\big(</math>mais on ne le fera pas, bien que cela se fasse sans difficulté apparente<math>\big)\;</math> que la trajectoire de <math>\;M\;</math> est d'équation polaire {{Nobr|«<math>\;r</math>}} <math>= r_0\;\cos(\theta)\;</math>» <math>\;\bigg[\theta = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \overrightarrow{OM} \right)}\;</math> et <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> étant respectivement l'abscisse angulaire et le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement avec pour axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> passant par <math>\;M_0\;</math> en étant orienté de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0\bigg]\;</math> c'est-à-dire le « cercle de diamètre <math>\;OM_0\;</math>» <math>\;\bigg\{</math>en effet si on multiplie l’équation polaire de part et d’autre par «<math>\;r\;</math>» on obtient «<math>\;r^2 = r_0 \left[ r\; \cos(\theta) \right]\;</math>» dans laquelle on reconnaît <math>\;\left[ \begin{array}{c} r\; \cos(\theta) = x\\ r^2 = x^2 + y^2\end{array} \right]\;</math> d'où «<math>\;x^2 + y^2 = r_0\; x\;</math>» <math>\;\big(</math>courbe passant effectivement par <math>\;O\big)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\left(x - \dfrac{r_0}{2} \right)^{\!2} + y^2 = \left( \dfrac{r_0}{2} \right)^{\!2}\;</math>» équation cartésienne du « cercle de centre <math>\;C \left( \dfrac{r_0}{2}\, ,\, 0 \right)\;</math> et de rayon <math>\;\dfrac{r_0}{2}\;</math>» c'est-à-dire effectivement de diamètre <math>\;OM_0\bigg\}\;</math> ce qui représente donc un exemple de mouvement circulaire de point uniquement soumis à une force centrale mais dont « le cercle n'est pas de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math>»<ref name="exemple de mouvement circulaire de centre différent du centre de force - bis"> Dans cet exemple de mouvement circulaire de centre différent du centre de force <math>\;\big[</math>l'équation de la trajectoire étant «<math>\;r = r_0\;\cos(\theta)\;</math>»<math>\big]</math>, le mouvement n'est pas uniforme en effet, d'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Mouvement_d%27un_point_mat%C3%A9riel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_plan%C3%A8tes#cite_note-exemple_de_mouvement_circulaire_de_centre_diff%C3%A9rent_du_centre_de_force-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre, la force «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^5}\; \vec{u}_r\;</math>» est conservative dérivant de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\vec{F}}(M) = \dfrac{k}{4\;r^4}\;</math> avec référence à l'infini » et <math>\;M\;</math> étant uniquement soumis à une force centrale conservative, son énergie mécanique est conservée soit «<math>\;E_{m,\,M}(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) + \dfrac{k}{4\;r^4} = E_{m,\,M}(0) = 0\;</math>» <math>\;\big[</math>la valeur de «<math>\;E_{m,\,M}(0) = 0\;</math>» ayant été déterminée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Mouvement_d%27un_point_mat%C3%A9riel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_plan%C3%A8tes#cite_note-exemple_de_mouvement_circulaire_de_centre_diff%C3%A9rent_du_centre_de_force-4|⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> d'où «<math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \sqrt{\dfrac{-k}{2\;m}}\; \dfrac{1}{r^2}\;</math>» variant comme <math>\;\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{r_0^2\;\cos^2(\theta)}\;</math> d'où un mouvement non uniforme.</ref>. === Expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative === {{Al|5}}Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> est conservative, celle-ci s'écrit, en repérant le point <math>\;M\;</math> par ses coordonnées polaires <math>\;\left( r\,,\, \theta \right)\;</math> de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> dans le plan du mouvement de <math>\;M\;</math><ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan" />, «<math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="forme de la force centrale conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Condition_pour_que_la_force_centrale_soit_conservative|condition pour que la force centrale soit conservative]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans lequel il convient de remplacer le repérage sphérique de <math>\;M\;</math> dans tout l'espace utilisé dans le paragraphe précité par le repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement.</ref> <math>\;\big(</math>cette force étant la seule que subit le point matériel <math>\;M\big)</math> ; <br />{{Al|8}}{{Transparent|Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel M ( m ) est conservative, }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen conduisant à <center>{{Al|130}}«<math>\;F\!\left[ r(t) \right]\; \vec{u}_r = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>»,</center> {{Al|8}}{{Transparent|Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel M ( m ) est conservative, }}sa projection sur <math>\;\vec{u}_r</math>, dans le cas où le mouvement de <math>\;M\;</math> est circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)</math>, de rayon <math>\;r_0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a_{M,\,r}(t) = -r_0\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>»<ref name="accélération cylindro-polaire radiale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (accélération radiale) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » dans lequel il convient de remplacer <math>\;\rho(t)\;</math> par <math>\;r(t)\;</math> et tenir compte du caractère constant de cette dernière <math>\Rightarrow</math> <math>\;\ddot{r}(t) = 0\;\;\forall\;t</math>.</ref> donnant «<math>\;F(r_0) = -m\;r_0\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» soit «<math>\;\dot{\theta}^2\!(t) = \dfrac{-F(r_0)}{m\;r_0}\;</math>» quantité nécessairement <math>\;> 0\;</math><ref> La nullité de cette quantité étant à rejeter car un mouvement circulaire ne peut pas se faire avec une vitesse angulaire nulle.</ref> nécessitant «<math>\;F(r_o) < 0\;\;\forall\;r_0\;</math>» c'est-à-dire <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <u>attractive</u><ref> Dans le cas où la force centrale conservative subie par le point matériel <math>\;M\;</math> est répulsive, le mouvement de ce dernier ne peut pas être circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> <center>«<math>\;\dot{\theta}(t) = \pm \sqrt{\dfrac{-F(r_0)}{m\;r_0}}\;</math>» ou «<math>\;\dot{\theta}(t) = \dot{\theta}_0\;\;\forall\;t\;</math>» avec «<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm \sqrt{\dfrac{-F(r_0)}{m\;r_0}}\;</math>».</center> === Expression de la période du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative === {{Al|5}}Tout mouvement circulaire uniforme étant périodique, de période «<math>\;T\;</math>» liée à sa vitesse angulaire constante «<math>\;\dot{\theta}_0\;</math>» par «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\vert \dot{\theta}_0 \vert}\;</math>» on en déduit que {{Al|5}}le mouvement circulaire du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> de centre <math>\;O</math> <math>\;\Big[</math>le centre de la force centrale conservative «<math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="forme de la force centrale conservative" /> agissant seule sur <math>\;M\;</math> repéré par ses coordonnées polaires <math>\;\left( r\,,\, \theta \right)\;</math> de pôle <math>\;O\;</math> dans le plan du mouvement de <math>\;M\;</math><ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan" />, <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant le vecteur unitaire radial lié au point <math>\;M\Big]\;</math> étant uniforme de vitesse angulaire «<math>\;\dot{\theta}_0 = \pm \sqrt{\dfrac{-F(r_0)}{m\;r_0}}\;</math>» est périodique de période <center>«<math>\;T = \dfrac{2\;\pi}{\vert \dot{\theta}_0 \vert} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{m\;r_0}{-F(r_0)}}\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour établir la nature périodique du mouvement de <math>\;M\;</math> sans passer par le caractère uniforme du mouvement de ce dernier, il est possible d'utiliser l'interprétation géométrique de la loi des aires {{Nobr|c'est-à-dire}} « la vitesse aréolaire constante » «<math>\;\dfrac{d \mathcal{A}}{dt}(t) = \dfrac{C}{2}\;</math>» avec «<math>\;d \mathcal{A}(t)\;</math>» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur <math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> lorsque <math>\;M\;</math> se déplace à partir de l'instant <math>\;t\;</math> sur une durée élémentaire <math>\;dt\;</math>», dont on déduit «<math>\;\mathcal{A}_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} = \dfrac{C}{2} \left( \Delta t \right)_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}}</math>» l'aire balayée par «<math>\;\overrightarrow{OM}\;</math> lorsque <math>\;M\;</math> effectue son n^ème tour sur sa trajectoire circulaire » avec «<math>\;\Big\vert \mathcal{A}_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} \Big\vert = \pi\;r_0^2\;</math>» et par suite la valeur de la durée du n^ème tour de <math>\;M\;</math> sur sa trajectoire circulaire «<math>\;\left( \Delta t \right)_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} = \dfrac{2\;\Big\vert \mathcal{A}_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} \Big\vert}{\vert C \vert} = \dfrac{2\;\pi\;r_0^2}{\vert C \vert}\;</math>» indépendante de <math>\;n\;</math> d'où l'établissement de <u>la nature périodique du mouvement de</u> <math>\;M\;</math> <u>sur sa trajectoire circulaire de centre</u> <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> <u>sans avoir, auparavant, établi sa nature uniforme</u> <math>\;\bigg[</math>la valeur de «<math>\;\left( \Delta t \right)_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} = \dfrac{2\;\pi\;r_0^2}{\vert C \vert}\;</math>» déduite de la vitesse aréolaire associée à la valeur de la constante des aires en fonction des C.I<ref name="C.I." />. «<math>\;C = r_0\;v_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» avec <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \vec{u}_x\,,\, \vec{V}_0 \right)} = \pm \dfrac{\pi}{2}\;</math> soit «<math>\;C = \pm r_0\;v_0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left( \Delta t \right)_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} = \dfrac{2\;\pi\;r_0}{v_0}\;</math>» ou encore, avec <math>\;v_0 = r_0 \vert \dot{\theta}_0 \vert\;</math> utilisant que la vitesse d'un point sur un cercle est orthoradiale, «<math>\;\left( \Delta t \right)_{n^{\text{ème}}\,\text{tour}} = \dfrac{2\;\pi}{\vert \dot{\theta}_0 \vert}\;</math>» <math>\;\big(</math>c'est-à-dire l'expression de la période de révolution d'un point en mouvement circulaire uniforme<math>\big)\bigg]</math> mais, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}tant que l'on n'utilise pas la loi de force, il est impossible d'expliciter la valeur de la période du mouvement, laquelle dépend évidemment de la façon dont le mouvement circulaire est imposé par la force centrale conservative «<math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="forme de la force centrale conservative" />, <math>\;r = OM\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage polaire de <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement<ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan" />. == Application aux mouvements circulaires d'un satellite ou d'une planète == {{Al|5}}Les mouvements de satellite <math>\;\big(</math>considéré comme ponctuel<math>\big)\;</math> autour de la Terre ou de planète <math>\;\big(</math>également considérée comme ponctuelle<math>\big)\;</math> autour du Soleil sont des mouvements à force centrale de centre de force respectif « le centre de la Terre » ou « celui du Soleil » conservative, l'interaction entre satellite et Terre ainsi qu'entre planète et Soleil étant gravitationnelle <math>\;\big(</math>donc attractive<math>\big)\;</math> correspondant à une force newtonienne<ref name="force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Force_newtonienne_subie_par_le_point_matériel_M|force newtonienne subie par le point matériel M]] (cas gravitationnel de la définition) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}ces mouvements, sous C.I<ref name="C.I." />. à préciser, sont elliptiques<ref name="mouvement elliptique dans le cas d'interaction newtonienne attractive"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)_2|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] (discussion sur la nature de la conique) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> et, parmi ceux-ci nous étudierons les cas particuliers de « mouvements circulaires » nécessitant des C.I<ref name="C.I." />. plus restrictives. === Application au cas d'une force newtonienne attractive === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>On rappelle que le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> est soumis à une force newtonienne attractive si celle-ci s'écrit «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" />, <math>\;r\;</math> et <math>\;\vec{u}_r\;</math> étant respectivement la coordonnée radiale de <math>\;M\;</math> et le vecteur unitaire radial lié à <math>\;M\;</math> de son repérage sphérique de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)</math> <math>\;\Big[</math>ou de son repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> dans le plan du mouvement de <math>\;M\;</math><ref name="mouvement rectiligne cas particulier de mouvement plan" /> si ce dernier n'est soumis qu'à la force newtonienne attractive<math>\Big]</math> ; cette force attractive peut être de nature * gravitationnelle «<math>\;k\;</math> vaut alors <math>\;-\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}\;m < 0\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> la constante de gravitation universelle » et «<math>\;m_{\mathcal{S}}\;</math> la masse de la source <math>\;\mathcal{S}\;</math> à l'origine du champ de gravitation newtonien » ou * électrostatique «<math>\;k\;</math> vaut alors <math>\;\dfrac{q_{\mathcal{S}}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> où <math>\;\varepsilon_0\;</math> est la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique {{Nobr|<math>\;\big[</math>plus}} la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> », «<math>\;q_{\mathcal{S}}\;</math> la charge de la source <math>\;\mathcal{S}\;</math> à l'origine du champ électrostatique newtonien », charge de signe opposé à celui de la charge <math>\;q\;</math> du point matériel pour que la force newtonienne électrostatique soit attractive. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>De même on rappelle que le mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> soumis à une force centrale conservative «<math>\;\vec{F}(M) = F(r)\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="forme de la force centrale conservative" /> est circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> ssi * les vecteurs vitesse et position initiales sont <math>\;\perp\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\vec{V}_0\;\perp\;\overrightarrow{OM_0}\;</math>» et * leurs normes sont liées par la loi de force selon <math>\;v_0 = r_0\;\sqrt{\dfrac{-F(r_0)}{m\;r_0}}\;</math> avec <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;r_0 = \Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert</math> <math>\;\bigg[</math>voir la valeur nécessaire de valeur absolue de vitesse angulaire <math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert\;</math> pour que le mouvement soit circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_vitesse_angulaire_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative]] » plus haut dans ce chapitre, la norme du vecteur vitesse initiale se déterminant par <math>\;v_0 = r_0\;\vert \dot{\theta}_0 \vert\big]</math> soit encore «<math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{-F(r_0)\;r_0}{m}}\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>En utilisant les deux rappels on conclut que le mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> soumis à une force newtonienne attractive «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> est circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math><ref name="mouvement circulaire de M soumis à force newtonienne attractive nécessairement de centre O"> La trajectoire d'un point matériel soumis uniquement à une force newtonienne attractive étant une conique de foyer <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> c'est-à-dire, avec des conditions initiales permettant une trajectoire bornée, une ellipse dont le centre de force <math>\;O\;</math> est l'un des foyers et, sous conditions initiales plus particulières où l'excentricité de l'ellipse est nulle, un cercle de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>les deux foyers d'une ellipse d'excentricité nulle étant confondus avec son centre de symétrie<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}Aussi le mouvement circulaire d'un point matériel uniquement soumis à une force newtonienne attractive étant nécessairement de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> il est inutile de le préciser <math>\;\ldots</math></ref> ssi * les vecteurs vitesse et position initiales sont <math>\;\perp\;</math> c'est-à-dire «<math>\;\vec{V}_0\;\perp\;\overrightarrow{OM_0}\;</math>» et * leurs normes sont liées par la loi de force selon «<math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{-\dfrac{k}{r_0^2}\;r_0}{m}}\;</math>» avec <math>\;v_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math> et <math>\;r_0 = \Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert\;</math> soit encore «<math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{-k}{m\;r_0}}\;</math>», la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\vert \dot{\theta}_0 \vert</math>}} <math>= \dfrac{v_0}{r_0} = \sqrt{\dfrac{-k}{m\;r_0^3}}\;</math>». {{Al|10}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>Dans le cas d'une force newtonienne électrostatique attractive, la norme de la vitesse initiale pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> soit circulaire<ref name="mouvement circulaire de M soumis à force newtonienne attractive nécessairement de centre O" /> s'écrit «<math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{-\dfrac{q_{\mathcal{S}}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}{m\;r_0}} = \sqrt{\dfrac{-q_{\mathcal{S}}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m\;r_0}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> une période de révolution «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;r_0}{v_0} = \dfrac{2\;\pi\;r_0}{\sqrt{\dfrac{-q_{\mathcal{S}}\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;m\;r_0}}} = \sqrt{\dfrac{16\;\pi^3\;\varepsilon_0\;m\;r_0^{\,3}}{-q_{\mathcal{S}}\;q}}\;</math>» <math>\;\big[</math>exemple : le modèle classique de l'atome d'hydrogène avec «<math>\;q_{\mathcal{S}} = e\;</math> la charge du noyau », «<math>\;q = -e</math> la charge de l'électron <math>\;\big(e\;</math> étant la charge élémentaire <math>\;\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\big)\;</math>» et «<math>\;m \simeq 1,67\;10^{-27}\;kg\;</math> la masse de l'atome »<math>\big]</math>. {{Al|10}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>Dans le cas d'une force newtonienne gravitationnelle, la norme de la vitesse initiale pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> soit circulaire<ref name="mouvement circulaire de M soumis à force newtonienne attractive nécessairement de centre O" /> s'écrit «<math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}\;m}{m\;r_0}} = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}}{r_0}}\;</math>»<ref name="vitesse de mouvement circulaire de M dans champ de gravitation newtonien"> Expression à retenir et qu’il faut savoir retrouver très rapidement par « r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_r\;</math>» tel que cela a été exposé au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_vitesse_angulaire_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point uniquement soumis à une force centrale conservative]] » plus haut dans ce chapitre en précisant la forme de la force.</ref> <math>\Rightarrow</math> une période de révolution «<math>\;T = \dfrac{2\;\pi\;r_0}{v_0} = \dfrac{2\;\pi\;r_0}{\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}}{r_0}}} = \sqrt{\dfrac{4\;\pi^2\;r_0^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\mathcal{S}}}}\;</math>» <math>\;\big[</math>exemple : tout objet dans le champ d’attraction d’une planète ou étoile avec «<math>\;m_{\mathcal{S}}\;</math> la masse de la planète ou de l'étoile », la période de révolution étant indépendante de la masse de l'objet<math>\big]</math>. === Mouvement circulaire d'une planète du Système solaire === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : On a vu dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#cite_note-excentricité_des_orbites_des_planètes_du_système_solaire-63|⁶³]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la planète du Système solaire ayant la trajectoire la plus excentrique est « Mercure (☿), <math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}} \simeq 0,206\;</math>», la suivante par ordre d’excentricité <math>\;\searrow\;</math> étant « Mars (♂), <math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(♂)}} \simeq 0,0934\;</math>» et celle la moins excentrique « Vénus (♀), <math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(♀)}} \simeq 0,0068\;</math>», la « Terre (♁) » se situant en 6^ème position du Système solaire par excentricité <math>\;\searrow\;</math> avec «<math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(♁)}} \simeq 0,0167\;</math>», la 7^ème position étant occupée par « Neptune (♆) » avec «<math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(♆)}} \simeq 0,00859\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}ainsi, mis à part « Mercure (☿) », on peut, en 1^ère approximation, considérer les trajectoires des planètes du Système solaire comme circulaires. {{Al|5}}Dans l'exemple du mouvement circulaire des planètes du Système solaire le centre attractif est le centre du « Soleil (☉) », la vitesse de la planète sur son orbite supposée circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;</math>» est {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{Planète}}</math>}} <math>= \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}}}\;</math>»<ref name="vitesse de mouvement circulaire de M dans champ de gravitation newtonien" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle » et «<math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;</math> la masse du Soleil (☉) », sa période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic"> '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>.</ref> «<math>\;T = \sqrt{\dfrac{4\;\pi^2\;r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}}\;</math>» : * dans le cas de la « Terre (♁) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}} = 1\;ua\;</math><ref name="ua"> C.-à-d. <math>\;1\;</math> unité astronomique <math>\;\big(</math>unité adaptée pour exprimer les distances du Système solaire choisie égale à la distance moyenne séparant les centres du Soleil et de la Terre<math>\big)\;</math> soit «<math>\;1\;ua \simeq 149,6\;10^6\;km \simeq 150\;10^6\;km\;</math>».</ref> soit <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}} \simeq 149,6\;10^9\;m\;</math>», on trouve une vitesse orbitale «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}} \simeq</math> <math>\sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{149,6\; 10^9}} \simeq</math> <math>29,86\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}} \simeq 30\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution «<math>\;T_{\text{révol.},\,\text{(♁)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 31,477\;10^6\;s</math> <math>\simeq 365,3\;j\;</math>»<ref name="1 j"> Avec <math>\;1\;j \simeq 86164\;s \simeq 23\;h\;56\;min\;4\;s\;</math> correspondant au [[w:Temps_sidéral#Jour_sidéral|jour sidéral]] c'est-à-dire à la période de rotation propre de la Terre dans le référentiel géocentrique.</ref> ou, par définition d'une « année sidérale de symbole <math>\;an\;</math>»<ref name="1 an"> Avec «<math>\;1\;an \simeq 365,256\;j\;</math>» définissant une [[w:Année_sidérale|année sidérale]] c'est-à-dire l'intervalle de temps que met la Terre (♁) pour effectuer une révolution complète sur son orbite dans le référentiel de Copernic.</ref> «<math>\;T_{\text{révol.},\,\text{(♁)}} = 1\;an\;</math>» ; * dans le cas des <math>\;4\;</math> [[w:Planète_tellurique|planètes telluriques]] dont la « Terre (♁) » est la 3^ème en partant du « Soleil (☉) » on trouve respectivement <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Mercure (☿) » <math>\;\bigg[</math>en remplaçant sa trajectoire elliptique par une trajectoire circulaire dont le rayon serait le demi-grand axe de l'ellipse c'est-à-dire <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(☿)}}\;</math> assimilé à <math>\;a_{\text{(☿)}} = \dfrac{r_{P,\,\text{(☿)}} + r_{A,\,\text{(☿)}}}{2}\;</math> dans lequel <math>\;r_{P,\,\text{(☿)}} \simeq 0,3075\;ua\;</math><ref name="ua" /> et <math>\;r_{A,\,\text{(☿)}} \simeq 0,4667\;ua\;</math><ref name="ua" /> sont respectivement les distances séparant son périhélie et son aphélie au centre du « Soleil (☉) » soit «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(☿)}}\;</math> assimilé à <math>\;a_{\text{(☿)}} \simeq</math> <math>0,3871\;ua\;</math>»<ref name="ua" /><math>\bigg]</math>, {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite hyp.}\,\text{circul.},\,\text{(☿)}}</math>}} <math>\simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{0,3871 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 47,87\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement «<math>\;v_{\text{orbite hyp.}\,\text{circul.},\,\text{(☿)}} \simeq 48\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans l'hypothèse d'un mouvement circulaire «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{circul.}\,\text{(☿)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 0,3871 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 7,581\;10^6\;s \simeq 87,98\;j \simeq 88\;j\;</math>»<ref name="1 j" />{{,}}<ref name="utilisation de la nature elliptique de la trajectoire de Mercure"> En considérant la nature elliptique d'excentricité «<math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}} \simeq 0,206\;</math>» de la trajectoire de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic ainsi que la valeur du demi-grand axe de cette dernière {{Nobr|«<math>\;a_{\text{(☿)}}</math>}} <math>\simeq 0,3871\;ua\;</math>» on en déduit celle de son paramètre <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (utilisant sa définition bifocale) » et « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_monofocale_d'une_conique|définition monofocale d'une conique]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> «<math>\;p_{\text{(☿)}} = a_{\text{(☿)}} \left( 1 - e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}}^{\,2} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Établissement_de_la_définition_bifocale_d'une_ellipse_à_partir_de_sa_définition_monofocale|établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale]] (détermination du demi-grand axe en fonction du paramètre et de l'excentricité) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;p_{\text{(☿)}} \simeq 0,3871 \times \left[ 1 - \left( 0,206 \right)^2 \right]</math>}} <math>\simeq 0,3707 \;ua\;</math>» puis, en utilisant son expression dans le cas d'une attraction gravitationnelle newtonienne «<math>\;p_{\text{(☿)}} = \dfrac{m_{\text{(☿)}}\;C_{\text{(☿)}}^{\,2}}{-k_{\text{(☿)}\,\leftarrow\, \text{(☉)}}} = \dfrac{C_{\text{(☿)}}^{\,2}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> dans laquelle <math>\;C_{\text{(☿)}}\;</math> est la constante des aires du mouvement de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic d'où l'évaluation de la valeur absolue de cette dernière «<math>\;\vert C_{\text{(☿)}} \vert = \sqrt{p_{\text{(☿)}}\;\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}} \simeq \sqrt{\left( 0,3707 \times 149,6\; 10^9 \right) \times 6,67\;10^{-11} \times 2,0\;10^{30}} \simeq 2,720\;10^{15}\;m^2 \cdot s^{-1}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}au périhélie <math>\;P\;</math> et à l'aphélie <math>\;A\;</math> de la trajectoire de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic, le vecteur vitesse étant <math>\;\perp\;</math> au rayon vecteur, leur composante radiale est nulle et leur composante orthoradiale pouvant être déterminée par application de la loi des aires sous la forme «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} r_{P,\,\text{(☿)}}\; V_{\theta,\,P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} = C_{\text{(☿)}}\\ r_{A,\,\text{(☿)}}\; V_{\theta,\,A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} = C_{\text{(☿)}}\end{array}\right\rbrace\;</math>», de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \vert V_{\theta,\,P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} \vert = \Vert \vec{V}_{P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} \Vert = v_{P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}}\\ \vert V_{\theta,\,A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} \vert = \Vert \vec{V}_{A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} \Vert = v_{A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}}\end{array}\right\rbrace\;</math>» on en déduit la norme des vecteurs vitesse en ces deux points <math>\;P\;</math> et <math>\;A\;</math> sachant que «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} r_{P,\,\text{(☿)}} \simeq 0,3075\;ua\\ r_{A,\,\text{(☿)}} \simeq 0,4667\;ua\end{array}\right\rbrace\;</math>» et en utilisant «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} r_{P,\,\text{(☿)}}\; v_{P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} = \vert C_{\text{(☿)}} \vert\\ r_{A,\,\text{(☿)}}\; v_{A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} = \vert C_{\text{(☿)}} \vert\end{array}\right\rbrace\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} v_{P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} = \dfrac{\vert C_{\text{(☿)}} \vert}{r_{P,\,\text{(☿)}}} \simeq\\ v_{A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} = \dfrac{\vert C_{\text{(☿)}} \vert}{r_{A,\,\text{(☿)}}} \simeq\end{array}\right.</math> <math>\left. \begin{array}{c} \dfrac{2,720\;10^{15}}{0,3075 \times 149,6\;10^9} \simeq 59,13\;10^3\;m \cdot s^{-1}\\ \dfrac{2,720\;10^{15}}{0,4667 \times 149,6\;10^9} \simeq 38,96\;10^3\;m \cdot s^{-1}\end{array}\right\rbrace\;</math>» soit «<math>\;v_{P,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} \simeq 59\;km \cdot s^{-1}\;</math>» et «<math>\;v_{A,\, \text{orbite},\, \text{(☿)}} \simeq 39\;km \cdot s^{-1}\;</math>» alors qu'on trouvait, en remplaçant la trajectoire elliptique de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic par une trajectoire circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(☿)}}\;</math> assimilé à <math>\;a_{\text{(☿)}} \simeq 0,3871\;ua\;</math>», «<math>\;v_{\text{orbite hyp.}\,\text{circul.},\,\text{(☿)}} \simeq 48\; km \cdot s^{-1}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on peut aussi déterminer la période de révolution de la planète « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic en considérant la nature elliptique d'excentricité «<math>\;e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}} \simeq 0,206\;</math>» de sa trajectoire, soit «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{ellipt.}\,\text{(☿)}}\;</math>», par utilisation de l'aspect « vitesse aréolaire constante égale à <math>\;\dfrac{C_{\text{(☿)}}}{2}\;</math>» de la loi des aires <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\vert C_{\text{(☿)}} \vert}{2}\;T_{\text{révol.}\,\text{ellipt.}\,\text{(☿)}} = \pi\;a_{\text{(☿)}}\;b_{\text{(☿)}}\;</math>» <math>\;\big[</math>aire de l'intérieur d'une ellipse, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Exemples_d'aire_de_surface_classique|exemples d'aire de surface classique]] (à retenir) » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ou, avec <math>\;b_{\text{(☿)}} = a_{\text{(☿)}}\;\sqrt{1 - e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}}^{\,2}}</math> <math>\;\bigg[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » où <math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;b = \sqrt{p\;a}\;</math> dans lequel <math>\;p = a \left( 1 - e^2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;b = a\;\sqrt{1 - e^2}\bigg]</math>, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\vert C_{\text{(☿)}} \vert}{2}\;T_{\text{révol.}\,\text{ellipt.}\,\text{(☿)}}</math>}} <math>= \pi\;a_{\text{(☿)}}^{\,2}\;\sqrt{1 - e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}}^{\,2}}\;</math>» d'où «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{ellipt.}\,\text{(☿)}} = \dfrac{2\;\pi\;a_{\text{(☿)}}^{\,2}\;\sqrt{1 - e_{\text{orbite},\, \text{(☿)}}^{\,2}}}{\vert C_{\text{(☿)}} \vert} \simeq \dfrac{2 \times \pi \times \left( 0,3871 \times 149,6\;10^9 \right)^2 \times \sqrt{1 - \left( 0,206 \right)^2}}{2,720\;10^{15}}\;s \simeq 7,581\;10^6\;s\;</math>» c'est-à-dire la même valeur de période de révolution de la planète « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic que celle trouvée en supposant une trajectoire circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(☿)}} = a_{\text{(☿)}} \simeq 0,3871\;ua\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{ellipt.}\,\text{(☿)}}</math>}} <math>= T_{\text{révol.}\,\text{circul.}\,\text{(☿)}} \simeq 87,98\;j \simeq 88\;j\;</math>».</ref>, <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Vénus (♀) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♀)}} = 0,723\;ua\;</math>»<ref name="ua" />, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♀)}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{0,723 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 35,12\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♀)}}</math>}} <math>\simeq 35\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♀)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 0,723 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 19,35\;10^6\;s \simeq 224,59\;j \simeq 225\;j\;</math>»<ref name="1 j" />,<br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Mars (♂) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♂)}} = 1,524\;ua\;</math>»<ref name="ua" />, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♂)}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{1,524 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 24,19\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♂)}}</math>}} <math>\simeq 24\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♂)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 1,524 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 59,22\;10^6\;s \simeq 687,31\;j \simeq 687\;j\;</math>»<ref name="1 j" /> ou {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♂)}} \simeq</math>}} <math>1,88\;an\;</math>»<ref name="1 an" /> ; * dans le cas des <math>\;4\;</math> [[w:Planète_géante|planètes géantes]] toutes situées au-delà de « Mars (♂) » on trouve respectivement <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Jupiter (♃) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♃)}} = 5,203\;ua\;</math>»<ref name="ua" />, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♃)}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{5,203 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 13,08\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♃)}}</math>}} <math>\simeq 13\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♃)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 5,203 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 373,58\;10^6\;s \simeq 4335,65\;j \simeq 4336\;j\;</math>»<ref name="1 j" /> ou {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♃)}} \simeq</math>}} <math>11,87\;an \simeq 12\;an\;</math>»<ref name="1 an" />, <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Saturne (♄) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♄)}} = 9,537\;ua\;</math>»<ref name="ua" />, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♄)}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{9,537 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 9,670\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♄)}}</math>}} <math>\simeq 9,7\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♄)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 9,537 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 927,08\;10^6\;s \simeq 10759,5\;j \simeq 10760\;j\;</math>»<ref name="1 j" /> ou {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♄)}} \simeq</math>}} <math>29,46\;an \simeq 29,5\;an\;</math>»<ref name="1 an" />, <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Uranus (♅) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♅)}} = 19,19\;ua\;</math>»<ref name="ua" />, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♅)}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{19,19 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 6,817\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♅)}}</math>}} <math>\simeq 6,8\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♅)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 19,19 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 2646,13\;10^6\;s \simeq 30710,4\;j \simeq 30710\;j\;</math>»<ref name="1 j" /> ou {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♅)}}</math>}} <math>\simeq 84,08\;an \simeq 84\;an\;</math>»<ref name="1 an" />, <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>pour « Neptune (♆) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♆)}} = 30,07\;ua\;</math>»<ref name="ua" />, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♆)}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{30,07 \times 149,6\; 10^9}} \simeq 5,446\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♆)}}</math>}} <math>\simeq 5,4\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♆)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 30,07 \times 149,6\; 10^9 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}}\;s \simeq 5190,38\;10^6\;s \simeq 60238,4\;j \simeq 60238\;j\;</math>»<ref name="1 j" /> ou {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(♆)}}</math>}} <math>\simeq 164,92\;an \simeq 165\;an\;</math>»<ref name="1 an" />. === Mouvement circulaire d'un satellite de la Terre === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La plupart des satellites de la « Terre (♁) » ont, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, une trajectoire elliptique dont le centre de la « Terre (♁) » est un des foyers et dont l'excentricité est non nulle mais quelques uns d'entre eux sont lancés avec des C.I<ref name="C.I." />. telles que leur trajectoire soit circulaire de centre de la « Terre (♁) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}ici nous ne nous intéressons qu'aux satellites de la « Terre (♁) » ayant une trajectoire circulaire dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. {{Al|5}}Dans l'exemple du mouvement circulaire des satellites terrestres le centre attractif est le centre de la « Terre (♁) », la vitesse du satellite terrestre sur son orbite supposée circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}\;</math>» est {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}</math>}} <math>= \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}}}\;</math>»<ref name="vitesse de mouvement circulaire de M dans champ de gravitation newtonien" /> dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle » et «<math>\;m_{\text{♁}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre (♁) », <br />{{Al|5}}{{Transparent|Dans l'exemple du mouvement circulaire des satellites terrestres le centre attractif est le centre de la « Terre (♁) », }}la période de révolution du satellite terrestre à trajectoire circulaire de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}\;</math>» dans le référentiel géocentrique est «<math>\;T_{\text{révolution},\,\text{Satellite}} = \sqrt{\dfrac{4\;\pi^2\;r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}}\;</math>» : * dans le cas du satellite naturel terrestre « la Lune (☽) », décrivant une trajectoire quasi-circulaire<ref> L'excentricité de l'orbite lunaire autour de la Terre étant «<math>\;e_{\text{orbite},\,\text{(☽)}} \simeq 0,0549\;</math>» peut être, en 1^ère approximation, considérée comme nulle d'où une trajectoire de « la Lune (☽) » quasi-circulaire dans le référentiel géocentrique.</ref> de rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(☽)}} = 0,0025695\;ua\;</math><ref name="ua" /> soit <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(☽)}} \simeq 384,4\;10^6\;m\;</math>», on trouve une vitesse orbitale {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(☽)}}</math>}} <math>\simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 6,0\; 10^{24}}{384,4\; 10^6}} \simeq 1,0203\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit approximativement «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(☽)}} \simeq 1,0\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et une période de révolution dans le référentiel géocentrique {{Nobr|«<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(☽)}} \simeq</math>}} <math>\sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 384,4\; 10^6 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 6,0\; 10^{24}}}\;s \simeq 2,3671\;10^6\;s \simeq 27,472\;j \simeq 27,5\;j\;</math>»<ref name="1 j" /> définissant le « [[w:Mois lunaire#Mois sidéral|mois sidéral]] lunaire » ; * dans le cas des satellites artificiels terrestres décrivant une trajectoire circulaire, on trouve une vitesse orbitale et une période de révolution dans le référentiel géocentrique dépendant du rayon de l'orbite circulaire décrite «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(sat. artific.)}}\;</math>» soit <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>avec «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(sat. artif.)}} = 6500\;km\;</math>» <math>\;\big(</math>soit à <math>\;100\;km\;</math> d'altitude<math>\big)</math>, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(sat. artif. à}\,100\,km\,\text{d'alt.)}} \simeq \dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 6,0\; 10^{24}}{6,5\; 10^6} \simeq 7,847\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit {{Nobr|«<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(sat. artif. à}\,100\,km\,\text{d'alt.)}} \simeq</math>}} <math>7,85\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(sat. artif. à}\,100\,km\,\text{d'alt.)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 6,5\; 10^6 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 6,0\; 10^{24}}}\;s \simeq 5204,89\;s \simeq 1,4458\;h \simeq 1\;h\;26\;min\;45\;s\;</math>», <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>avec «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(sat. artif.)}} = 6400\;km\;</math>» <math>\;\big(</math>soit au ras du sol terrestre<math>\big)\;</math><ref> Ce qui n'est évidemment pas réaliste compte-tenu des obstacles possibles.</ref>, «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(sat. artif. au ras du sol)}} \simeq \dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 6,0\; 10^{24}}{6,4\; 10^6} \simeq 7,907\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» soit «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(sat. artif. au ras du sol)}} \simeq</math> <math>7,9\; km \cdot s^{-1}\;</math>» c'est-à-dire approximativement «<math>\;8\; km \cdot s^{-1}\;</math>» et «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(sat. artif. au ras du sol)}} \simeq \sqrt{\dfrac{4 \times \pi^2 \times \left( 6,4\; 10^6 \right)^3}{6,67\;10^{-11} \times 6,0\; 10^{24}}}\;s \simeq 5085,24\;s \simeq 1,4126\;h \simeq 1\;h\;24\;min\;45\;s\;</math>», <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>quand l'altitude «<math>\;h = r_{\text{(sat. artific.)}} - R_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref name="rayon terrestre"> La Terre (♁) étant assimilée à une boule de rayon «<math>\;R_{\text{(♁)}} \simeq 6400\;km\;</math>».</ref> du satellite terrestre <math>\;\nearrow\;</math> on note que « sa vitesse circulaire <math>\;v_{\text{circul.},\,\text{Satellite}}</math> <math>\;\searrow\;</math> comme <math>\;\dfrac{1}{\sqrt{R_{\text{(♁)}} + h}}\;</math>»<ref name="rayon terrestre" /> et que « sa période de révolution <math>\;T_{\text{révolution},\,\text{Satellite}}</math> <math>\;\nearrow\;</math> comme <math>\;\sqrt{\left( R_{\text{(♁)}} + h \right)^3}\;</math>»<ref name="rayon terrestre" />. == Établissement direct de la 3^ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite ou d'une planète == {{Al|5}}Les mouvements de satellite <math>\;\big(</math>considéré comme ponctuel<math>\big)\;</math> autour de la Terre ou de planète <math>\;\big(</math>également considérée comme ponctuelle<math>\big)\;</math> autour du Soleil étant des mouvements à force centrale de centre de force respectif « le centre de la Terre » ou « celui du Soleil » conservative, avec une interaction entre satellite et Terre ainsi qu'entre planète et Soleil gravitationnelle <math>\;\big(</math>donc attractive<math>\big)\;</math> correspondant à une force newtonienne<ref name="force newtonienne" />, ces mouvements, sous C.I<ref name="C.I." />. à préciser, sont elliptiques<ref name="mouvement elliptique dans le cas d'interaction newtonienne attractive" /> ; {{Al|5}}on peut donc appliquer, à ces derniers, la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler"> '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]]''' <math>\;\big[</math>hypothèse que son professeur de mathématiques '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]]''' lui enseigna <math>\;\big(</math>ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants<math>\big)\;</math> à l’[[w:Université_Eberhard_Karl_de_Tübingen|Université de Tübingen]] alors que l’enseignement officiel que '''[[w:Michael_Maestlin|M. Mæstlin]]''' donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big]\;</math> affirmant <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Nicolas_Copernic|N. Copernic]]'''<math>\big)\;</math> que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1600</math>, poursuivi pour ses convictions religieuses <math>\;\big(</math>il était ministre du [[w:Luthéranisme|culte luthérien]]<math>\big)\;</math> et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome <math>\;\big(</math>danois<math>\big)\;</math> '''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]]''', ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais <math>\;\big(</math>d’après '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]'''<math>\big)\;</math> étant incapable de les exploiter correctement <math>\;\big[</math>'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' ne croyait pas à l’héliocentrisme de '''[[w:Nicolas_Copernic|Copernic]]''', ni d’ailleurs au géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]''', l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil <math>\;\big(</math>et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' demande alors à '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]''' de calculer l’orbite précise de '''Mars''', travail que ce dernier commence en <math>\;1603\;</math> et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1^ères lois, sa 3^ème loi étant découverte près de <math>\;10\; ans\;</math> plus tard. <br>{{Al|3}}'''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}} '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]] (1550 - 1631)''' astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]]''' ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du [[w:Nombre_d'or|nombre d'or]] en <math>\;1597</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]] (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168)''' astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'''[[w:Almageste|Almageste]]'' <math>\;\big[</math>une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie<math>\big]\;</math> et un traité de géographie <math>\;\big[</math>une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] (1546 - 1601)''' astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la [[w:SN_1572|Supernova de 1572]] ainsi que la [[w:C/1577_V1|grande comète de 1577]] qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques <math>\;\ldots</math></ref> établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#3ème_loi_de_Kepler|3^ème loi de Kepler]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » énonçant que « le rapport <math>\;\dfrac{a^3}{T^2}</math> <math>\;\big(</math>avec <math>\;a\;</math> le demi-grand axe de l'ellipse décrite par le satellite ou la planète dans sa révolution autour de son centre d'attraction et <math>\;T\;</math> la période de révolution correspondante dans le référentiel galiléen géocentrique pour le satellite ou de Copernic<ref name="Copernic" /> pour la planète<math>\big)\;</math> est une constante indépendante de la masse du satellite ou de la planète subissant l'attraction gravitationnelle de la Terre (♁) ou du Soleil (☉) » et {{Al|5}}parmi les mouvements elliptiques ci-dessus, certains, avec des C.I<ref name="C.I." />. plus restrictives conduisant à une excentricité nulle, correspondent à un « mouvement circulaire » pour lequel la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> s'applique, « le demi-grand axe <math>\;a\;</math> de l'ellipse devant être remplacé par le rayon <math>\;r_{\text{orbite}}\;</math> du cercle ». {{Al|5}}Dans ce paragraphe nous nous proposons de démontrer directement la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> dans ces cas particuliers <math>\;\ldots</math> === Établissement direct de la 3^ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'une planète === {{Al|5}}On applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. à la planète étudiée dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> et on projette sur <math>\;\vec{u}_r</math> <math>\;\big\{</math>vecteur unitaire radial du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>le centre du Soleil (☉)<math>\big]\;</math> de la planète dans le plan de la trajectoire de cette dernière<math>\big\}\;</math> pour déterminer la vitesse linéaire «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou la vitesse angulaire «<math>\;\Omega_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;</math>»<math>\big]\;</math> en fonction du rayon de l’orbite circulaire «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;</math>»<ref name="vitesse angulaire du mouvement circulaire de la planète ou du satellite"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_vitesse_angulaire_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> soit : {{Al|5}}«<math>\;F_{\text{Planète}\,\leftarrow\,\text{(☉)}}\!\left[ r_{\text{orbite},\,\text{Planète}} \right]\; \vec{u}_r = m_{\text{Planète}}\;\vec{a}_{\text{Planète}}(t)\;</math>» soit, en projetant sur <math>\;\vec{u}_r</math>, «<math>\;F_{\text{Planète}\,\leftarrow\,\text{(☉)}}\!\left[ r_{\text{orbite},\,\text{Planète}} \right] = -m_{\text{Planète}}\;r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;\Omega_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,2}\;</math>»<ref name="accélération cylindro-polaire radiale" /> ou «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;\cancel{m_{\text{Planète}}}\;m_{\text{(☉)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,2}} =</math> <math>-\cancel{m_{\text{Planète}}}\;r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;\Omega_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,2}\;</math>» donnant finalement «<math>\;\vert \Omega_{\text{orbite},\,\text{Planète}} \vert = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{Planète}} = r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}\;\vert \Omega_{\text{orbite},\,\text{Planète}} \vert = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}}}\;</math>» ; {{Al|5}}on détermine alors la période de révolution de la planète dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> par «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{Planète}} = \dfrac{2\;\pi}{\vert \Omega_{\text{orbite},\,\text{Planète}} \vert} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}}\;</math>»<ref name="période du mouvement circulaire de la planète ou du satellite"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_période_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la période du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\Bigg\{</math>ou par «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{Planète}} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi\;r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}}{v_{\text{orbite},\,\text{Planète}}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}}\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> puis {{Al|5}}on élève au carré soit «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{Planète}}^{\,2} = 4\;\pi^2\;\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}{T_{\text{révol.}\,\text{Planète}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}{4\;\pi^2}\;</math>» constituant la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> pour les planètes du Système solaire en mouvement circulaire. === Établissement direct de la 3^ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terre === {{Al|5}}On applique la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n." />. au satellite étudié dans le référentiel géocentrique et on projette sur <math>\;\vec{u}_r</math> <math>\;\big\{</math>vecteur unitaire radial du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>le centre de la Terre (♁)<math>\big]\;</math> du satellite dans le plan de la trajectoire de ce dernier<math>\big\}\;</math> pour déterminer la vitesse linéaire «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{satellite}}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou la vitesse angulaire «<math>\;\Omega_{\text{orbite},\,\text{satellite}}\;</math>»<math>\big]\;</math> en fonction du rayon de l’orbite circulaire «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}\;</math>»<ref name="vitesse angulaire du mouvement circulaire de la planète ou du satellite" /> soit : {{Al|5}}«<math>\;F_{\text{satellite}\,\leftarrow\,\text{(♁)}}\!\left[ r_{\text{orbite},\,\text{satellite}} \right]\; \vec{u}_r = m_{\text{satellite}}\;\vec{a}_{\text{satellite}}(t)\;</math>» soit, en projetant sur <math>\;\vec{u}_r</math>, «<math>\;F_{\text{satellite}\,\leftarrow\,\text{(♁)}}\!\left[ r_{\text{orbite},\,\text{satellite}} \right] = -m_{\text{satellite}}\;r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}\;\Omega_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,2}\;</math>»<ref name="accélération cylindro-polaire radiale" /> ou «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;\cancel{m_{\text{satellite}}}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,2}} =</math> <math>-\cancel{m_{\text{satellite}}}\;r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}\;\Omega_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,2}\;</math>» donnant finalement «<math>\;\vert \Omega_{\text{orbite},\,\text{satellite}} \vert = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,3}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{satellite}} = r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}\;\vert \Omega_{\text{orbite},\,\text{satellite}} \vert = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}}}\;</math>» ; {{Al|5}}on détermine alors la période de révolution du satellite dans le référentiel géocentrique par «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{satellite}} = \dfrac{2\;\pi}{\vert \Omega_{\text{orbite},\,\text{satellite}} \vert} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}}\;</math>»<ref name="période du mouvement circulaire de la planète ou du satellite" /> <math>\;\Bigg\{</math>ou par «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{satellite}} =</math> <math>\dfrac{2\;\pi\;r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}}{v_{\text{orbite},\,\text{satellite}}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}}\;</math>»<math>\Bigg\}\;</math> puis {{Al|5}}on élève au carré soit «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{satellite}}^{\,2} = 4\;\pi^2\;\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,3}}{T_{\text{révol.}\,\text{satellite}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi^2}\;</math>» constituant la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> pour les satellites terrestres en mouvement circulaire. {{Al|5}}<u>Complément</u><ref> Hors programme de physique de PCSI.</ref> : Pour le satellite naturel de la « Terre (♁) », à savoir la « Lune (☽) », la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> doit être adaptée car, <u>la masse de la Lune (☽) n'étant pas négligeable devant celle de la Terre (♁)</u>, le référentiel barycentrique du système « Terre (♁), Lune (☽) » <math>\;\big(</math>considérées comme ponctuelles<math>\big)\;</math><ref name="référentiel barycentrique"> Référentiel lié au centre d'inertie <math>\;\big(</math>C.D.I.<math>\big)\;G_{\text{(♁), (☽)}}\;</math> du système « Terre (♁), Lune (☽) » <math>\;\big(</math>considérées comme ponctuelles<math>\big)\;</math> en translation relativement au référentiel géocentrique.</ref> ne s'identifie pas au référentiel géocentrique et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Complément : }}<u>la période de révolution de la « Lune (☽) » dans le référentiel géocentrique</u> <math>\;\big[</math>lié au « centre <math>\;O_{\text{(♁)}}\;</math> de la Terre (♁) » en translation relativement au référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> galiléen<math>\big]\;</math> <u>s'identifiant à celle du</u> « <u>mobile réduit</u> <math>\;M_{\text{(♁), (☽)}} \left( \mu = \dfrac{m_{\text{☽}}\;m_{\text{♁}}}{m_{\text{☽}} + m_{\text{♁}}} \right)\;</math>» <u>du système « Terre (♁), Lune (☽) »</u><ref name="mobile réduit"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Définition|définition]] du mobile réduit d'un système de deux points matériels » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] ».</ref> <u>dans le référentiel barycentrique du système</u>, <u>en supposant que s'applique sur le mobile réduit</u> <math>\;M_{\text{(♁), (☽)}}\;</math> <u>la force d'attraction gravitationnelle que la Terre (♁) exerce sur la Lune (☽)</u> «<math>\;\vec{F}_{\text{☽}\,\leftarrow\,\text{♁}}\;</math>»<ref name="force à imposer au mobile réduit"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Recherche_de_la_force_à_imposer_au_mobile_réduit_pour_que_son_mouvement_barycentrique_s'identifie_au_mouvement_relatif_de_M2_par_rapport_à_M1_et_conséquence|recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁ et conséquence]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] ».</ref> de norme «<math>\;\Vert \vec{F}_{\text{☽}\,\leftarrow\,\text{♁}} \Vert = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m_{\text{☽}}}{\left[ O_{\text{(♁)}}L \right]^2}\;</math>» <math>\;\big[</math>«<math>\;L\;</math> étant le centre de la Lune (☽) »<math>\big]\;</math> laquelle s'écrivant encore, en utilisant la définition du mobile réduit du système « Terre (♁), Lune (☽) »<ref name="mobile réduit" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;O_{\text{(♁)}}L = G_{\text{(♁), (☽)}}M_{\text{(♁), (☽)}}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\Vert \vec{F}_{\text{☽}\,\leftarrow\,\text{♁}} \Vert</math>}} <math>= \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}\;\mu}{\left[ G_{\text{(♁), (☽)}}M_{\text{(♁), (☽)}} \right]^2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;m_{\text{tot}} = m_{\text{☽}} + m_{\text{♁}}\big)</math>, s'interprète en considérant que <u>la force à appliquer au</u> « <u>mobile réduit</u> <math>\;M_{\text{(♁), (☽)}} \left( \mu \right)\;</math>» <u>dans le référentiel barycentrique du système « Terre (♁), Lune (☽) » résulte d'une interaction gravitationnelle de</u> « <u>centre</u> <math>\;G_{\text{(♁), (☽)}} \left( m_{\text{tot}} \right)\;</math>», d'où {{Al|11}}{{Transparent|Complément : }}le mouvement barycentrique du mobile réduit étant un mouvement à force centrale conservative de centre de force <math>\;G_{\text{(♁), (☽)}} \left( m_{\text{tot}} \right)\;</math> on en déduit que la période de révolution du « mobile réduit <math>\;M_{\text{(♁), (☽)}}\;</math>» du système « Terre (♁), Lune (☽) » dans le référentiel barycentrique de ce dernier s'écrit «<math>\;T_{\text{révol.}\,M_{\text{(♁), (☽)}}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{\left[ G_{\text{(♁), (☽)}}M_{\text{(♁), (☽)}} \right]^3}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}}\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Complément : }}la période de révolution de la « Lune (☽) » dans le référentiel géocentrique s'obtenant par «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(☽)}} = T_{\text{révol.}\,M_{\text{(♁), (☽)}}}\;</math>» on en déduit, avec la définition du mobile réduit du système {{Nobr|« Terre (♁),}} Lune (☽) »<ref name="mobile réduit" />, «<math>\;T_{\text{révol.}\,\text{(☽)}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{\left[ O_{\text{(♁)}}L \right]^3}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{(☽)}}^{\,3}}{\mathcal{G}\;m_{\text{tot}}}}\;</math>» soit {{Al|11}}{{Transparent|Complément : }}l'adaptation de la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> au mouvement géocentrique de la « Lune (☽) » «<math>\;\dfrac{r_{\text{orbite},\,\text{(☽)}}^{\,3}}{T_{\text{révol.}\,\text{(☽)}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G} \left[ m_{\text{(♁)}} + m_{\text{(☽)}} \right]}{4\;\pi^2}\;</math>». == Généralisation de la 3^ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète ou d'un satellite == {{Al|5}}La 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> appliquée à un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> uniquement soumis à une force newtonienne attractive conservative de centre de force <math>\;O\;</math> quand <math>\;M\;</math> décrit un mouvement elliptique a été établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#3ème_loi_de_Kepler|3^ème loi de Kepler]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », elle énonce que « le rapport <math>\;\dfrac{a^3}{T^2}</math> <math>\;\big(</math>avec <math>\;a\;</math> le demi-grand axe de l'ellipse décrite par <math>\;M\;</math> dans sa révolution autour de son centre de force <math>\;O\;</math> et <math>\;T\;</math> la période de révolution correspondante dans le référentiel d'étude galiléen<math>\big)\;</math> est une constante indépendante de <math>\;m\;</math>» ; {{Al|5}}sa démonstration dans le cas d'un mouvement elliptique étant un complément relativement au programme de physique de PCSI <math>\;\big(</math>seule sa démonstration dans le cas d'un mouvement circulaire étant au programme<math>\big)\;</math> nous l'avons redémontré dans le cas particulier d'un mouvement circulaire de planète du Système solaire dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> ou de satellite terrestre dans le référentiel géocentrique {{Nobr|<math>\;\big(</math>voir}} les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Établissement_direct_de_la_3ème_loi_de_Kepler_dans_le_cas_particulier_d'un_mouvement_circulaire_d'une_planète|établissement direct de la 3^ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'une planète]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Établissement_direct_de_la_3ème_loi_de_Kepler_dans_le_cas_particulier_d'un_mouvement_circulaire_d'un_satellite_autour_de_la_Terre|établissement direct de la 3^ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terre]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> et nous nous proposons ici de généraliser, sans démonstration, ce cas particulier au cas général d'un mouvement elliptique. === Généralisation de la 3^ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète === {{Al|5}}On admet qu’on obtient la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> pour une planète du Système solaire décrivant une trajectoire elliptique dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> adaptée à partir de celle pour une planète à orbite circulaire dans le même référentiel en remplaçant le rayon de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe de l’orbite elliptique sans autre modification d’où <center>«<math>\;\dfrac{a_{\text{orbite},\,\text{Planète}}^{\,3}}{T_{\text{révol.}\,\text{Planète}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}}{4\;\pi^2}\;</math>».</center> === Généralisation de la 3^ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terre === {{Al|5}}On admet qu’on obtient la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler" /> pour un satellite terrestre décrivant une trajectoire elliptique dans le référentiel géocentrique adaptée à partir de celle pour un satellite à orbite circulaire dans le même référentiel en remplaçant le rayon de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe de l’orbite elliptique sans autre modification d’où <center>«<math>\;\dfrac{a_{\text{orbite},\,\text{satellite}}^{\,3}}{T_{\text{révol.}\,\text{satellite}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi^2}\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Champ newtonien, lois de Kepler|Mouv. d'un pt dans un champ de force cent. conserv. : Champ newtonien, lois de Kepler]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires|Mouv. d'un pt dans un champ de force cent. conserv. : Satellites géostationnaires]] }} cvizv6lp4j3ghhl4aas9bmm4wjfevgc 0 75509 987235 986690 2026-10-10T18:27:34Z Phl7605 31541 987235 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 18 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.</center> == Définition et 1^ère propriété des satellites géostationnaires, diverses informations les concernant == === Définition d'un satellite géostationnaire === {{Définition|titre = Satellite géostationnaire| contenu= {{Al|5}}Un satellite géostationnaire est un satellite « artificiel » de la Terre (♁) qui, à tout instant, reste à la verticale d’un même point de la surface terrestre ; « il paraît donc immobile à un observateur lié à la Terre (♁) ».}} === 1^ère propriété d'un satellite géostationnaire === {{Al|5}}Pour que le satellite géostationnaire paraisse immobile à un observateur lié à la Terre (♁), il est nécessaire qu’il ait * même vitesse angulaire, dans le référentiel géocentrique, que le point de la surface terrestre qu’il surplombe, ou encore * même période, {{Transparent|angulaire, dans le référentiel géocentrique, que le point de la surface terrestre qu’il surplombe}}c'est-à-dire la période de rotation d’un point de la surface terrestre dans le référentiel géocentrique, laquelle définit le « [[w:Jour_sidéral|jour sidéral]] » soit <math>\;1\; j = 23\; h\; 56\; min\; 4\; s\;</math>» ; <center>ainsi la période de révolution d'un satellite géostationnaire dans le référentiel géocentrique vaut <br />«<math>\;T_{\text{révolution},\,\text{sat. géostat.}} = 86164\;s = 23\; h\; 56\; min\; 4\; s = 1\; j\;</math>»<ref name="jour sidéral, jour synodique"> [[File:Périodes sidérale et synodique de la Terre.png|thumb|Schéma expliquant le distinction entre périodes sidérale et synodique de la Terre (♁)]] On distingue * la « [[w:Période_de_révolution#Types|période de rotation sidérale]] » qui est la durée au bout de laquelle la planète retrouve la même orientation par rapport aux étoiles environnantes et * la « [[w:Période_synodique|période de rotation synodique]] » qui est la durée au bout de laquelle la planète retrouve la même orientation par rapport à l’étoile autour de laquelle elle tourne ; {{Al|3}}dans le cas de la Terre (♁) la période sidérale est «<math>\;23\; h\; 56\; min\; 4\; s\;</math>», au bout de cette durée la Terre (♁) a fait exactement un tour <math>\;\big(</math>sur elle-même<math>\big)\;</math> dans le référentiel géocentrique mais <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le cas de la Terre (♁) }}elle a aussi avancé sur l’orbite qu’elle décrit autour du Soleil (☉) dans le référentiel de Copernic d’un angle «<math>\;\alpha \simeq \dfrac{1}{365,25}\; 2\;\pi\; rad\;</math>», il faut donc qu’elle fasse encore «<math>\;\dfrac{\alpha}{2\;\pi}\;</math>» tour sur elle-même pour qu’elle retrouve la même orientation par rapport au Soleil (☉) soit <br>{{Al|3}}{{Transparent|dans le cas de la Terre (♁) }}une « période synodique<math>\;\simeq\;</math>période sidérale<math>\;\times \left( 1 + \dfrac{1}{365,25} \right) \simeq 24\; h\;</math>».{{clr}}</ref>.</center> === Conséquence du caractère non galiléen du référentiel géocentrique sur une durée approximative supérieure à 3 jours et compensation des perturbations engendrées === {{Al|5}}Si le référentiel géocentrique était parfaitement galiléen, une fois le satellite géostationnaire positionné, il n’y aurait pas besoin de lui fournir de l’énergie car « son positionnement le plaçant à une distance suffisamment éloignée de la Terre (♁) pour pouvoir négliger l’atmosphère »<ref name="atmosphère terrestre"> Nous verrons que la distance séparant un satellite géostationnaire du point qu’il surplombe est <math>\;5,5\;</math> fois le rayon de la Terre et à cette altitude l’atmosphère est quasi-inexistante ; <br>{{Al|3}}l’atmosphère à l’équateur se décompose à partir du sol terrestre en : * « troposphère » qui s’étend entre <math>\;0\;</math> et <math>\;13\;</math> à <math>\;16\; km\;</math> d’altitude où la température <math>\;\searrow\;</math> quand l’altitude <math>\;\nearrow</math>, * « stratosphère » s’étendant jusqu'à <math>\;50\; km\;</math> d’altitude où la température <math>\;\nearrow\;</math> avec l’altitude jusqu'à <math>\;0\; \text{°}C\;</math> et abritant une bonne partie de la couche d’ozone, * « mésosphère » <math>\;\big(</math>les ballons sonde y terminent leur vie<math>\big)\;</math> de <math>\;50\;</math> à <math>\;80\; km\;</math> où la température <math>\;\searrow\;</math> jusqu’à <math>\;-80\; \text{°}C\;</math> quand l’altitude <math>\nearrow</math>, * « thermosphère » <math>\;\big(</math>lieu de production des aurores boréales<math>\big)\;</math> qui s’étend entre <math>\;80\;</math> et <math>\;350\;</math> à <math>\;800\; km\;</math> d’altitude où la température <math>\;\nearrow\;</math> avec l’altitude et * « exosphère » <math>\;\big(</math>lieu de circulation des géostationnaires et des navettes spatiales<math>\big)\;</math> s’étendant jusqu’à <math>\;50000\; km\;</math> d’altitude ; {{Al|3}}les satellites géostationnaires se situant donc dans la partie haute de l’exosphère et la densité de cette dernière étant inférieure à celle du vent solaire au voisinage de la Terre (♁) dès l’altitude de <math>\;1000\; km\;</math> <math>\;\big(</math>vent solaire : flux de plasma constitué essentiellement d’ions et d’électrons éjectés de la haute atmosphère du Soleil<math>\big)</math>, on peut, en 1^ère approximation, négliger la présence d’atmosphère.</ref>, l’inexistence des forces de frottement des satellites géostationnaires sur l'atmosphère entraîne la conservation de leur énergie mécanique mais <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}en réalité, le caractère galiléen du référentiel géocentrique, par rapport au galiléen de référence qui est le référentiel de Copernic<ref name="Copernic"> '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>.</ref>, n’a qu’une durée limitée «<math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;3\; j\;</math> si on travaille à <math>\;1\; \%\;</math> près »<ref name="durée maximale pour que le référentiel géocentrique soit galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_de_l'inertie_et_référentiels_galiléens#Caractère_«_quasi_galiléen_»_du_référentiel_géocentrique_pour_une_durée_d'expérience_n'excédant_pas_trois_jours_(terrestres)|caractère quasi galiléen du référentiel géocentrique pour une durée d'expérience n'excédant pas trois jours (terrestres)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}il est nécessaire de rectifier régulièrement le positionnement du satellite <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Compensation des perturbations engendrées à échéance supérieure à trois jours</u> : un géostationnaire <math>\;\big(</math>contrairement à la plupart des autres satellites<math>\big)\;</math> est guidé depuis la Terre par un système de « contrôle d’altitude et d’orbite », ce système commandant la mise à feu de réacteurs permettant la compensation des « diverses perturbations de la trajectoire »<ref name="autres perturbations"> Il n’y a pas que le caractère non galiléen du référentiel géocentrique qui perturbe le positionnement du géostationnaire, citons comme autres perturbations : l’irrégularité gravitationnelle <math>\;\big(</math>les sous-sols ne sont pas uniformes<math>\big)</math>, la pression de radiation solaire <math>\;\big\{</math>le rayonnement solaire étant aussi un faisceau de photons, ceux-ci peuvent exercer une force de poussée quand ils rencontrent un objet solide par transfert de quantité de mouvement <math>\;\big(</math>correspondant à une réflexion ou une absorption<math>\big)</math>, ce principe expliquant le fonctionnement des [[w:Voile_solaire|voiles solaires]]<math>\big\}</math>, l'attraction lunaire <math>\;\big\{</math>laquelle combinée avec le caractère non galiléen du référentiel géocentrique conduit à l'introduction de « pseudo-forces des marées lunaires » <math>\big[</math>voir le paragraphe « [[Caractère_galiléen_approché_de_quelques_référentiels_d'utilisation_courante_-_1#Étude_du_mouvement_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_géocentrique_non_galiléen_tenant_compte_de_l'influence_de_la_Lune|étude du mouvement d'un point matériel dans le référentiel géocentrique non galiléen tenant compte de l'influence de la Lune]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] »<math>\big]\big\}</math>.</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Compensation des perturbations engendrées à échéance supérieure à trois jours : }}de ce fait le satellite utilise progressivement ses réserves de carburant lesquelles, finissant par s’épuiser, limitent la durée d’exploitation du géostationnaire à une dizaine d’années. === Autres informations sur les satellites géostationnaires === {{Al|5}}<u>Fin de vie d'un géostationnaire</u> : Peu avant l’épuisement de la réserve d’« ergols »<ref name="ergol"> Substance homogène constituée d’un mélange de comburant et carburant utilisée dans un système propulsif à réaction.</ref> nécessaire à la rectification du positionnement du géostationnaire, celle-ci est utilisée pour placer ce dernier sur leur « orbite de rebut »<ref name="orbite de rebut"> Encore appelée « orbite-poubelle ».</ref> située à plus de <math>\;300\; km\;</math> au-dessus de leur orbite nominale<ref name="explication du positionnement de l'orbite de rebut"> On les place au-dessus car les placer au-dessous entraînerait un risque de collision plus important avec leur successeur et les envoyer se désintégrer dans l’atmosphère demanderait beaucoup trop d’énergie <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big\{</math>une fois ce nouveau positionnement effectué, on vide les réservoirs puis on les dépressurise quand cela est possible <math>\;\big(</math>afin de se prémunir d’une explosion suite à une collision avec un objet céleste<math>\big)\;</math> et tous les circuits électriques sont coupés après décharge des batteries <math>\;\big(</math>pour éviter que le satellite n’interfère avec les autres satellites près desquels il va passer<math>\big)\;</math> le satellite est alors en « mort programmée »<ref name="autres morts de satellite"> Il y a d’autres morts possibles : « mort-né » quand le lancement échoue, « mort subite » avec la perte d’un organe essentiel, « mort anticipée » quand le satellite continue à fonctionner mais ne peut plus assurer sa mission avec satisfaction et « mort retardée » lorsqu'on veut prolonger sa durée de vie <math>\;\big\{</math>pour les géostationnaires de télécommunications qui fonctionnent bien on interrompt le contrôle de l’inclinaison <math>\;\big(</math>laquelle doit être nulle pour que la trajectoire du géostationnaire reste dans le plan équatorial<math>\big)\;</math> qui coûte très cher en énergie pour prolonger leur durée de vie de plusieurs années avec bien sûr une autre mission<math>\big\}</math>.</ref><math>\big\}</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Fin de vie d'un géostationnaire : }}cette « orbite de rebut » présente un point d’anomalie où ont tendance à s’accumuler les satellites morts, proche du méridien «<math>\;75\; \text{° est}\;</math>» où se manifeste une modification de l’attraction gravitationnelle due vraisemblablement à la présence du « massif Himalayen » <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Historique</u> : L’orbite géostationnaire est encombrée puisqu'il y a plus de «<math>\;250\;</math> satellites »<ref> Ce qui, compte-tenu de l’altitude de l’orbite <math>\;\simeq 36000\; km</math>, correspond à une distance moyenne entre satellites de <math>\;1000\; km\;</math> approximativement et nécessite un positionnement du satellite sur son orbite avec une précision d’environ <math>\;50\; km</math> <math>\;\big(</math>pour que chaque satellite n’influence pas son voisin<math>\big)</math>.</ref>, le 1^er satellite géostationnaire a été lancé par les États-Unis en <math>\;1963</math>, pays qui sera le seul pendant les dix années suivantes à faire des lancements au nombre d’au moins <math>\;5\;</math> par année, puis l'U.R.S.S. s’y est attelé et maintenant toutes les puissances astronautiques en font <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Utilité des géostationnaires</u> : La majeure partie concerne des satellites de télécommunications mais on y trouve également des satellites météorologiques <math>\;\big(</math>avec une charge utile de télécommunications en plus de leur charge utile principale d’observation de la Terre<math>\big)</math>. == Localisation équatoriale d'un satellite géostationnaire == [[File:Satellite artificiel terrestre.png|thumb|400px|Trajectoire d'un satellite artificiel terrestre dans le référentiel géocentrique avec représentation de la Terre dans le but de positionner le satellite relativement à la surface terrestre]] {{Al|5}}Dans le référentiel géocentrique le mouvement d’un satellite artificiel terrestre est situé dans un plan contenant le centre <math>\;O\;</math> de force gravitationnelle c'est-à-dire le centre de la Terre (♁), lequel est un des foyers de l'ellipse décrite par le satellite <math>\;\big(</math>voir ci-contre où le plan orbital est incliné par rapport au plan équatorial de la Terre (♁), la trace au sol du plan du mouvement ayant une inclinaison fixe par rapport au plan équatorial terrestre<math>\big)</math> ; {{Al|5}}une conséquence de ceci est que le satellite a deux positions «<math>\;E_1\;</math> et <math>\;E_2\;</math> de son orbite à la verticale de l'équateur terrestre » <math>\;\big(</math>«<math>\;E_1\;</math> et <math>\;E_2\;</math>» sont fixes dans le référentiel géocentrique mais tournent dans le référentiel terrestre d’Est en Ouest, ce ne sont donc pas les mêmes points de l’équateur terrestre qui sont à la verticale de «<math>\;E_1\;</math> et <math>\;E_2\;</math>»<math>\big)</math>, toutes les autres positions de l'orbite du satellite étant à la verticale de points de l’hémisphère Nord ou de l’hémisphère Sud<ref> Sur le schéma toutes les positions de l'orbite du satellite situées à droite de <math>\;E_1E_2\;</math> surplombent des points de l'hémisphère Nord et toutes celles situées sur la gauche des points de l'hémisphère Sud.</ref> ; {{Al|5}}dans le cas usuel où le satellite tourne d’Ouest vers l’Est, on en déduit qu’observateur terrestre « verra » le satellite se déplacer suivant le mouvement composé de son « mouvement principal vers l’Est »<ref name="déplacement d'un satellite dans le référentiel terrestre"> Nous plaçant dans le cas général où le satellite tourne d'Ouest vers l'Est avec une période de révolution dans le référentiel géocentrique de <math>\;1\;h\;</math> par exemple, l’observateur tournant dans le même sens mais plus lentement, la période de révolution étant <math>\;\simeq 24\;h</math>, nous en déduisons que le satellite a une composante de mouvement terrestre vers l'Est.</ref> et d'un « mouvement secondaire vers l'hémisphère Sud pour un observateur de l'hémisphère Nord » ou vice-versa avec une « lente dérive d’Est en Ouest »<ref name="dérive d'Est en Ouest"> Ce qui signifie qu’à chaque révolution du satellite <math>\;\big(</math>en supposant que sa période dans le référentiel géocentrique soit de <math>\;1\;h\big)\;</math> le satellite surplombe un point de l’équateur de plus en plus vers l’Ouest {{Nobr|<math>\;\bigg\{</math>après}} une période de «<math>\;1\;h\;</math>» <math>\;E_1</math> <math>\;\big(</math>ou <math>\;E_2\big)\;</math> s’est déplacé de <math>\;\dfrac{1}{24}\;</math> de tour vers l’Ouest<math>\bigg\}</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Dans le cas représenté ci-contre nous ne sommes donc pas dans la condition géostationnaire d'un satellite. {{Al|5}}<u>Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire</u> : une condition nécessaire pour qu'un satellite terrestre soit géostationnaire pour tous les points fixes de la Terre est que le plan orbital du satellite considéré ne soit pas incliné par rapport au plan équatorial de la Terre (♁) <math>\;\big[</math><u>inclinaison nulle</u><math>\big]\;</math> et ainsi toutes les positions du satellite sont de « type <math>\;E_1\;</math> ou <math>\;E_2\;</math>» c'est-à-dire à la verticale de l’équateur <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : }}en conséquence un observateur terrestre verra toujours le satellite d'inclinaison nulle à la verticale de l’équateur de la {{Nobr|Terre (♁)}} mais, a priori il observera encore, sauf si on impose au satellite d'autres conditions pour qu'il soit géostationnaire, * un « mouvement principal vers l’Est »<ref name="déplacement d'un satellite dans le référentiel terrestre" /> dans la mesure où la période de révolution du satellite dans le référentiel géocentrique est inférieure à la période de rotation de la Terre sur elle-même et * une « lente dérive d’Est en Ouest » <math>\;\big[</math>plus précisément après chaque période de révolution du satellite à inclinaison nulle dans le référentiel géocentrique le point de l'équateur terrestre surplombé par le satellite est décalé vers l'Ouest par rapport à l'observation précédente<ref name="dérive d'Est en Ouest - bis"> En supposant que la période de révolution du satellite à inclinaison nulle dans le référentiel géocentrique soit de <math>\;1\;h</math>, le point de l’équateur <math>\;E_0\;</math> initialement surplombé par le satellite s’étant déplacé dans le référentiel géocentrique après une révolution de satellite de <math>\;\dfrac{1}{24}\;</math> de tour vers l’Est, c'est donc le point de l'équateur <math>\;E_{-1}\;</math> situé <math>\;\dfrac{1}{24}\;</math> de tour vers l'Ouest avant <math>\;E_0\;</math> qui est surplombé par le satellite après la révolution considérée et <br>{{Al|3}}le point de l’équateur <math>\;E_0\;</math> sera de nouveau surplombé par le satellite après la révolution envisagée après une durée «<math>\; 1\;h + \dfrac{1\;h}{24} = 1\;h\; 2\; min\; 30\; s\;</math>».</ref><math>\big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Inclinaison nécessaire au plan de l'orbite d'un satellite pour qu'il soit géostationnaire : }}Pour obtenir un satellite géostationnaire, il est nécessaire de <u>le placer dans un plan équatorial</u> mais cette condition n’est pas suffisante <math>\;\ldots</math> == Détermination de l'altitude d'un satellite géostationnaire == {{Al|5}}Nous nous proposons de déterminer la (ou les) condition(s) nécessaire(s) à imposer à un satellite pour qu'il soit géostationnaire <math>\;\big[</math>condition(s) supplémentaire(s) relativement au caractère équatorial de sa trajectoire <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Satellites_géostationnaires#Localisation_équatoriale_d'un_satellite_géostationnaire|localisation équatoriale d'un satellite géostationnaire]] » précédent<math>\big)\big]\;</math> traduisant la « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Satellites_géostationnaires#1ère_propriété_d'un_satellite_géostationnaire|1^ère propriété d'un satellite géostationnaire]] » déterminée plus haut dans ce chapitre précisant sa période de révolution dans le référentiel géocentrique «<math>\;T_{\text{révolution},\,\text{sat. géostat.}} = 86164\;s = 23\; h\; 56\; min\; 4\; s = 1\; j\;</math>»<ref name="jour sidéral, jour synodique" /> . === Nature uniforme du mouvement d'un satellite géostationnaire === {{Al|5}}<u>Rappel</u> : Un satellite géostationnaire devant rester à la verticale d’un même point de la surface terrestre et celle-ci tournant à une vitesse angulaire constante dans le référentiel géocentrique, il doit en être de même du satellite dans le référentiel géocentrique d’où la nature <u>uniforme</u> du mouvement du satellite dans le géocentrique de vitesse angulaire «<math>\;\Omega_{\text{sat. géostat.}\,/\,\text{géocent.}} = \dfrac{2\;\pi}{T_{\text{révolution},\,\text{sat. géostat.}}}\;</math>». === Nature circulaire du mouvement d'un satellite géostationnaire === {{Al|5}}Un satellite géocentrique ayant un mouvement elliptique dont « le centre de la Terre (♁) <math>\;O\;</math> est un des foyers » et la loi des aires lui étant applicable «<math>\;r_{\text{sat. géostat.}}^{\,2}\;\Omega_{\text{sat. géostat.}\,/\,\text{géocent.}} = C\;</math>» avec «<math>\;C\;</math> la constante des aires et <math>\;r_{\text{sat. géostat.}}\;</math> le rayon polaire <math>\;\big(</math>repérage polaire de pôle <math>\;O\big)\;</math> du satellite dans le plan de son mouvement <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le plan équatorial<math>\big)\;</math>» on déduit de «<math>\;\Omega_{\text{sat. géostat.}\,/\,\text{géocent.}} = cste\;</math>» la constance du rayon polaire du satellite géostationnaire soit «<math>\;r_{\text{sat. géostat.}} = cste'\;</math>» et par suite la nature <u>circulaire</u> de son mouvement dans le géocentrique. === Détermination de l'altitude d'un satellite géostationnaire === {{Al|5}}Appliquant au satellite terrestre de mouvement circulaire prévu pour être géostationnaire la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler"> '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]]''' <math>\;\big[</math>hypothèse que son professeur de mathématiques '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]]''' lui enseigna <math>\;\big(</math>ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants<math>\big)\;</math> à l’[[w:Université_Eberhard_Karl_de_Tübingen|Université de Tübingen]] alors que l’enseignement officiel que '''[[w:Michael_Maestlin|M. Mæstlin]]''' donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big]\;</math> affirmant <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Nicolas_Copernic|N. Copernic]]'''<math>\big)\;</math> que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1600</math>, poursuivi pour ses convictions religieuses <math>\;\big(</math>il était ministre du [[w:Luthéranisme|culte luthérien]]<math>\big)\;</math> et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome <math>\;\big(</math>danois<math>\big)\;</math> '''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]]''', ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais <math>\;\big(</math>d’après '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]'''<math>\big)\;</math> étant incapable de les exploiter correctement <math>\;\big[</math>'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' ne croyait pas à l’héliocentrisme de '''[[w:Nicolas_Copernic|Copernic]]''', ni d’ailleurs au géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]''', l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil <math>\;\big(</math>et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' demande alors à '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]''' de calculer l’orbite précise de '''Mars''', travail que ce dernier commence en <math>\;1603\;</math> et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1^ères lois, sa 3^ème loi étant découverte près de <math>\;10\; ans\;</math> plus tard. <br>{{Al|3}}'''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}} '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]] (1550 - 1631)''' astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]]''' ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du [[w:Nombre_d'or|nombre d'or]] en <math>\;1597</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]] (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168)''' astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'''[[w:Almageste|Almageste]]'' <math>\;\big[</math>une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie<math>\big]\;</math> et un traité de géographie <math>\;\big[</math>une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] (1546 - 1601)''' astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la [[w:SN_1572|Supernova de 1572]] ainsi que la [[w:C/1577_V1|grande comète de 1577]] qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques <math>\;\ldots</math></ref> à savoir «<math>\;\dfrac{r_{\text{sat. géostat.}}^{\,3}}{T_{\text{révolution},\,\text{sat. géostat.}}^{\,2}} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{4\;\pi^2}\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{♁}} \simeq 5,98\;10^{24}\;kg \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre (♁) » on en déduit «<math>\;r_{\text{sat. géostat.}} = \sqrt[3]{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;T_{\text{révolution},\,\text{sat. géostat.}}^{\,2}}{4\;\pi^2}}\;</math>» soit numériquement <math>\;r_{\text{sat. géostat.}} \simeq</math> <math>\sqrt[3]{\dfrac{6,67\;10^{-11} \times 5,98\;10^{24} \times \left( 86164 \right)^2}{4\;\pi^2}} \simeq 42,174\;10^6\;m\;</math> ou «<math>\;r_{\text{sat. géostat.}} \simeq 42174\;km\;</math>» et par suite {{Al|5}}l'altitude d'un satellite géostationnaire doit être «<math>\;z_{\text{sat. géostat.}} = r_{\text{sat. géostat.}} - R_{\text{(♁)}}\;</math>» dans laquelle «<math>\;R_{\text{(♁)}} \simeq 6378\;km \simeq 6400\;km\;</math> est le rayon de la Terre (♁) à l'équateur » donnant numériquement <math>\;z_{\text{sat. géostat.}} \simeq \left( 42174 - 6378 \right)\, km \simeq 35796\; km\;</math> soit finalement <center>«<math>\;z_{\text{sat. géostat.}} \simeq 36000\; km\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On vérifie aisément qu'un satellite terrestre « en mouvement circulaire dans le plan équatorial à l'altitude <math>\;z_{\text{sat.}} \simeq 36000\; km\;</math>» est effectivement géostationnaire. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes|Mouv. d'un pt dans un chp de force cent. conserv. : Cas part. du mouv. circ., sat., planèt.]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne|Mouv. d'un pt dans un chp de force cent. conserv. : Énerg. méca du pt mat. soum. à une force newton.]] }} jfq9swe5jjj20ajkclqisqdt8kbnox6 0 75523 987236 986692 2026-10-10T18:29:17Z Phl7605 31541 987236 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 19 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.</center> == Rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences == {{Al|5}}Le champ de force newtonien<ref name="force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Force_newtonienne_subie_par_le_point_matériel_M|force newtonienne subie par le point matériel M]] (définition) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Repérage_sphérique_de_pôle_et_d'axe_fixés_d'un_point_dans_la_composante_d'espace_du_référentiel_d'étude|repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> avec <math>\;k \in \mathbb{R}^{*} \left\lbrace \begin{array}{c} > 0\;\text{pour une force répulsive}\\ < 0\;\text{pour une force attractive}\end{array}\right\rbrace\Bigg]\;</math> étant conservatif et « dérivant » du champ d’énergie potentielle <math>\;\big(</math>newtonien<math>\big)\;</math><ref name="caractère conservatif d'une force newtonienne et énergie potentielle newtonienne"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Caractère_conservatif_d’une_force_newtonienne_et_énergie_potentielle_«_newtonienne_»_du_point_M_la_subissant|caractère conservatif d'une force newtonienne et énergie potentielle newtonienne du point M la subissant]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> à l'infini », on peut écrire <br />{{Al|5}}« la conservation de l’énergie mécanique <math>\;E_m(t)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> uniquement soumis à ce champ de force newtonien »<ref name="2ème intégrale 1ère du mouvement d'un point uniquement soumis à une force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#2ème_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_uniquement_soumis_à_un_champ_newtonien|2^ème intégrale {{1re}} du mouvement d'un point uniquement soumis à un champ newtonien]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big[E_{m,\,0}\;</math> étant l'énergie mécanique initiale<math>\big]\;</math> <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) + \dfrac{k}{r(t)} = E_{m,\,0}\;</math>» dans laquelle <br /><math>\;\vec{V}_M(t)\;</math> est le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude.</center> {{Al|5}}En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> uniquement soumis à un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> »<ref name="applicabilité de la loi des aires au mouvement d'un point uniquement soumis à une force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#2ème_conséquence_:_applicabilité_de_la_loi_des_aires_au_mouvement_du_point_uniquement_soumis_à_un_champ_newtonien|2^ème conséquence : applicabilité de la loi des aires au mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien]] (conséquence de la [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#1ère_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_uniquement_soumis_à_un_champ_newtonien|{{1re}} intégrale {{1re}} du mouvement d'un point uniquement soumis à un champ newtonien]]) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> à savoir «<math>\;r^2\!(t)\;\dot{\theta}(t) = C\;</math>» dans laquelle «<math>\;C =</math> <math>\dfrac{\vec{\sigma}_O(0) \cdot \vec{u}_z}{m}\;</math> est la constante des aires »<ref name="loi des aires"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Établissement_de_la_«_loi_des_aires_»|établissement de la loi des aires]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\bigg[</math>la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point<ref name="1ère intégrale 1ère du mouvement d'un point uniquement soumis à une force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#1ère_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_uniquement_soumis_à_un_champ_newtonien|{{1re}} intégrale {{1re}} du mouvement d'un point uniquement soumis à un champ newtonien]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> divisé par sa masse » sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> exprimée en polaire<ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> soit «<math>\;\dfrac{\vec{\sigma}_O(t)}{m} \cdot \vec{u}_z = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z\;</math>»<math>\bigg]</math> et <math>\;\theta(t)\;</math> l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> dans son repérage polaire<ref name="repérage cylindro-polaire" /> de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du plan du mouvement de <math>\;M\;</math><ref name="nature plane ou rectiligne du mouvement de M uniquement soumis à une force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#1ère_conséquence_:_nature_plane_(ou_rectiligne)_du_mouvement_du_point_uniquement_soumis_à_un_champ_newtonien|{{1re}} conséquence : nature plane (ou rectiligne) du mouvement du point uniquement soumis à un champ newtonien]] (conséquence de la [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#1ère_intégrale_1ère_du_mouvement_d’un_point_uniquement_soumis_à_un_champ_newtonien|{{1re}} intégrale {{1re}} du mouvement d'un point uniquement soumis à un champ newtonien]]) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br />{{Al|18}}{{Transparent|En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » }}la constante des aires dépendant des C.I<ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref>. pouvant être évaluée, après avoir choisi comme « axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math> le support de <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> dirigé de <math>\;O\;</math> vers <math>\;M_0\;</math>» avec «<math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \overrightarrow{Ox}\,,\,\vec{V}_0 \right)}\;</math> et <math>\;V_0 = \Vert \vec{V}_0 \Vert\;</math>», selon «<math>\;C = r_0\;V_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>», <br />{{Al|18}}{{Transparent|En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » }}on peut : * utiliser les <math>\;2\;</math> 1^ères variables de Binet<ref name="Binet"> '''[[w:Jacques_Philippe_Marie_Binet|Jacques Philippe Marie Binet]] (1786 - 1856)''' mathématicien et astronome français, on lui doit, dans le domaine des mathématiques, entre autres, une étude assez détaillée des fonctions eulériennes <math>\;\big[</math>[[w:Fonction_gamma|fonction gamma]] et [[w:Fonction_bêta|fonction bêta]]<math>\big]\;</math> ainsi que le calcul du n^ième terme de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] et, dans le domaine de l'astronomie, ces formules connues sous le nom de « formules de Binet » permettant d'exprimer les composantes polaires de la vitesse et de l'accélération quand cette dernière est centrale ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Leonardo__Fibonacci|Leonardo Fibonacci]] (vers 1175 - vers 1250)''' mathématicien italien connu pour son introduction de la [[w:Suite_de_Fibonacci|suite de Fibonacci]] mais a aussi joué un rôle essentiel pour insérer le [[w:Mathématiques_arabes|savoir mathématique des musulmans]], notamment des [[w:Chiffres_arabes|chiffres indo-arabes]], dans le monde de l'Occident.</ref> «<math>\;u = \dfrac{1}{r}(\theta)\;</math> et <math>\;u' = \dfrac{du}{d \theta}(\theta)\;</math>» définissant respectivement la {{1re}} et 2^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> <math>\;\big(</math>la définition de la 2^ème variable de {{Nobr|Binet<ref name="Binet" />}} nécessitant <math>\;C \neq 0\big)</math> <math>\;\big[</math>introduites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_des_variables_de_Binet|définition des variables de Binet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> ainsi que la formule de Binet<ref name="Binet" /> relative au carré de la vitesse<ref name="1ère formule de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#1ère_formule_de_Binet_(ou_formule_de_Binet_relative_au_carré_de_la_vitesse)|{{1re}} formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse)]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, ce qui permet de réécrire la conservation de l'énergie mécanique selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{m\;C^2}{2} \left\lbrace {u'}^2\! \left[ \theta(t) \right] + u^2\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + k\; u\! \! \left[ \theta(t) \right] = E_{m,\,0}\;</math>» ou * utiliser la notion d’énergie potentielle effective<ref name="énergie potentielle effective d'un point ayant un mouvement à force centrale conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Définition_de_l’énergie_potentielle_effective_du_point_M_ayant_un_mouvement_à_force_centrale_conservative|définition de l'énergie potentielle effective du point M ayant un mouvement à force centrale conservative]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_\theta^2 + U(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> la réécriture de la conservation de l’énergie mécanique selon «<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_r^2(t) + U_{\text{eff}}\! \left[ r(t) \right]</math> <math>= E_{m,\,0}\;</math>» ou encore selon «<math>\;E_m(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="abus d'écriture"> Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; <br>{{Al|3}}ainsi <math>\;E_m(t)\;</math> représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;E_m</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ainsi }}<math>\;E_m(r)\;</math> représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;E_m</math>, <br>{{Al|3}}or cette dernière « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» qui est notée comme la {{1re}} « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» est évidemment distincte de celle-ci <math>\Rightarrow</math> abus d'écriture, la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» étant la fonction composée de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» laquelle est « fonction de la variable <math>\;t\;</math>».</ref>. == Expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif, application au champ de gravitation solaire ou terrestre == === Rappel de l’expression de la vitesse linéaire d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire === {{Al|5}}La « vitesse linéaire »<ref name="vitesse linéaire"> La « vitesse linéaire » d'un point <math>\;M\;</math> doit être identifiée ici comme la norme du vecteur vitesse de ce point soit «<math>\;v_M = \Vert \vec{V}_M \Vert\;</math>».</ref> d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\big[</math>le mouvement circulaire du point <math>\;M\;</math> étant de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math><ref name="mouvement circulaire de M soumis à force newtonienne attractive nécessairement de centre O"> La trajectoire d'un point matériel soumis uniquement à une force newtonienne attractive étant une conique de foyer <math>\;O</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> c'est-à-dire, avec des conditions initiales permettant une trajectoire bornée, une ellipse dont le centre de force <math>\;O\;</math> est l'un des foyers et, sous conditions initiales plus particulières où l'excentricité de l'ellipse est nulle, un cercle de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>les deux foyers d'une ellipse d'excentricité nulle étant confondus avec son centre de symétrie<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}Aussi le mouvement circulaire d'un point matériel uniquement soumis à une force newtonienne attractive étant nécessairement de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> il est inutile de le préciser <math>\;\ldots</math></ref><math>\big]\;</math> a une expression établie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Application_au_cas_d'une_force_newtonienne_attractive|application au cas d'une force newtonienne attractive]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », expression dépendant du rayon <math>\;r_0\;</math> du cercle <math>\;\big(</math>donc de valeur constante<math>\big)\;</math> égale à «<math>\;v(r_0) = \sqrt{\dfrac{-k}{m\;r_0}}\;</math>»<ref name="à retrouver"> Cette expression est à retrouver selon la méthode exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_vitesse_angulaire_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservative]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en remplaçant <math>\;F(r_0)\;</math> par <math>\;\dfrac{k}{r_0^2}\;</math> et en utilisant <math>\;v(r_0) = r_0\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math> avec <math>\;\dot{\theta}\;</math> la vitesse angulaire du point <math>\;M\;</math> sur le cercle qu'il décrit.</ref> ; * dans le cas d'un champ de force gravitationnel la constante «<math>\;k\;</math> est égale à <math>\;-\mathcal{G}\;m_O\;m\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle, <math>\;m_O\;</math> étant la masse de la source de centre <math>\;O\;</math>» et * dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «<math>\;k = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0} < 0\;</math>» dans laquelle «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> avec <math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique {{Nobr|<math>\;\big[</math>plus}} la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\;0,05\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref>, <math>\;q_O\;</math> est la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre <math>\;O\;</math> et <math>\;q\;</math> la charge de <math>\;M</math> <math>\;\big(q\;</math> étant de signe contraire à <math>\;q_O\big)\;</math>». === Expression de l’énergie cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire === {{Al|5}}L’énergie cinétique d’un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> s’écrivant «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; m\; v^2(t)\;</math>», on obtient l’énergie cinétique d’un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> en y reportant l’expression de la vitesse du point rappelée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_de_l’expression_de_la_vitesse_linéaire_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|rappel de l'expression de la vitesse linéaire d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;v(r_0) = \sqrt{\dfrac{-k}{m\;r_0}}\;</math>»<ref name="à retrouver" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;K_M(t) = \dfrac{1}{2}\; m\; \dfrac{-k}{m\;r_0}\;</math>» soit finalement «<math>\;K_M(t) = \dfrac{-k}{2\;r_0}\;</math>» ; * dans le cas d'un champ de force gravitationnel «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_O\;m\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle, <math>\;m_O\;</math> étant la masse de la source de centre <math>\;O\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_O\;m}{2\;r_0}\;</math>» et * dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «<math>\;k = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0} < 0\;</math>» dans laquelle «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> avec <math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" />, <math>\;q_O\;</math> étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre <math>\;O\;</math> et <math>\;q\;</math> la charge de <math>\;M</math> <math>\;\big(q\;</math> étant de signe contraire à <math>\;q_O\big)\;</math>» d'où «<math>\;K_M(t) = \dfrac{-q_O\;q}{8\;\pi\;\varepsilon_0\;r_0}\;</math>». === Rappel de l’expression de l’énergie potentielle newtonienne d’un point matériel et expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire === {{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> ayant été mentionnée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r}\;</math> avec choix de sa référence<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l'infini », on en déduit que * l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif <math>\;\big(k < 0\big)\;</math><ref name="force newtonienne" /> est «<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r} < 0,\;\;\forall\;r \neq \infty\;</math> et * celle{{Transparent|l'énergie potent}}d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(k > 0\big)\;</math><ref name="force newtonienne" /> {{Transparent|est }}«<math>\;U(r) = \dfrac{k}{r} > 0,\;\;\forall\;r \neq \infty</math>. {{Al|5}}De l'expression de l’énergie cinétique d’un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Expression_de_l’énergie_cinétique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre «<math>\;K_M(t) = \dfrac{-k}{2\;r_0}\;</math>» et de la définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> soit «<math>\;E_m(t) = K_M(t) + \dfrac{k}{r(t)}\;</math>» on en déduit {{Al|5}}l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> selon {{Nobr|«<math>\;E_m(t) =</math>}} <math>\dfrac{-k}{2\;r_0} + \dfrac{k}{r_0}\;</math>» soit finalement «<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{k}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" />. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On constate que «<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{k}{2\;r_0} < 0\;</math>» c'est-à-dire l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> est liée aux énergies cinétique «<math>\;K_M(r_0) = \dfrac{-k}{2\;r_0} > 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - bis"> Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; <br>{{Al|3}}ainsi <math>\;K_M(t)\;</math> représente l'image de la fonction « énergie cinétique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;K_M</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ainsi }}<math>\;K_M(r)\;</math> représente l'image de la fonction « énergie cinétique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;K_M</math>, <br>{{Al|3}}or cette dernière « énergie cinétique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» qui est notée comme la {{1re}} « énergie cinétique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» est évidemment distincte de celle-ci <math>\Rightarrow</math> abus d'écriture, la fonction « énergie cinétique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» étant la fonction composée de la fonction « énergie cinétique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» laquelle est « fonction de la variable <math>\;t\;</math>».</ref> et potentielle «<math>\;U(r_0) = \dfrac{k}{r_0} > 0\;</math>» du point selon <center>«<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{U(r_0)}{2} < 0\;</math>» et «<math>\;E_m(r_0) = -K_M(r_0) < 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<u>La propriété de l'énergie mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M \left( m \right)\;</math> <u>dans un champ de force newtonien attractif</u> «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> à savoir «<math>\;E_m(t) = \dfrac{U\!\left[ r(t) \right]}{2} < 0\;</math>»<ref name="propriété équivalente du mouvement circulaire de M dans un champ de force newtonien attractif"> Compte-tenu de la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m(t) = K_M(t) + U\!\left[ r(t) \right]\;</math>» on déduit du lien entre énergies mécanique et potentielle dans un champ de force newtonien attractif {{Nobr|«<math>\;E_m(t) =</math>}} <math>\dfrac{U\!\left[ r(t) \right]}{2} < 0\;</math>» celui entre énergies mécanique et cinétique «<math>\;K_M(t) = E_m(t) - U\!\left[ r(t) \right] = -\dfrac{U\!\left[ r(t) \right]}{2} = -E_m(t)\;</math>» soit «<math>\;E_m(t) = -K_M(t) < 0\;</math>».</ref> est <u>caractéristique de la nature circulaire du mouvement</u> de <math>\;M\;</math> dans ce champ de force newtonien attractif <math>\;\big(</math>caractérisation admise<math>\big)\;</math><ref name="caractérisation énergétique du mouvement circulaire de M dans un champ de force newtonien attractif"> Pour établir la caractérisation il faudrait démontrer la réciproque à savoir « si les énergie mécanique et potentielle d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif <math>\;\vec{F}(M) =</math> <math>\dfrac{k}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math> sont liées par <math>\;E_m(t) = \dfrac{U\!\left[ r(t) \right]}{2} < 0\;</math> alors le point matériel décrit un mouvement circulaire de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math>» <math>\;\bigg[</math>pour le démontrer il faut d'abord établir, à partir de <math>\;E_m(t) < 0,\;\;\forall\;t</math>, que la trajectoire de <math>\;M\;</math> est elliptique <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_nature_de_la_conique_décrite_par_le_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_suivant_le_signe_de_l’énergie_mécanique|en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big)\;</math> puis, à partir de <math>\;E_m(t) = \dfrac{U\!\left[ r(t) \right]}{2} = \dfrac{k}{2\;r(t)}\;</math> et de la constance de <math>\;E_m(t)</math>, que la coordonnée radiale <math>\;r(t)\;</math> du point <math>\;M\;</math> est constant {{Nobr|c'est-à-dire}} que le mouvement de <math>\;M\;</math> est effectivement circulaire<math>\bigg]</math>.</ref>. === En complément, cas d’un champ de force coulombien attractif === <center>Non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I<ref> Toutefois ce cas pourrait être posé en exercice c'est donc la raison pour laquelle il est présenté comme complément de cours.</ref>. mais néanmoins traité car il ne présente aucune difficulté apparente.</center> {{Al|5}}Dans le cas où le point matériel <math>\;M \left( m \right)</math>, de charge <math>\;q</math>, soumis à un champ de force coulombien attractif où «<math>\;k = \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0} < 0\;</math>» dans laquelle «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.\;</math> avec <math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" />, <math>\;q_O\;</math> étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(q_O\;</math> étant de signe contraire à <math>\;q\big)\;</math>», décrit un mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0</math>, l'expression de son énergie mécanique {{Nobr|«<math>\;E_m(r_0)</math>}} <math>= \dfrac{k}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_de_l’expression_de_l’énergie_potentielle_newtonienne_d’un_point_matériel_et_expression_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> se réécrit selon «<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{q_O\;q}{8\;\pi\;\varepsilon_0\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> <math>\;\bigg[</math>l’énergie potentielle étant {{Nobr|«<math>\;U(r_0)</math>}} <math>= \dfrac{q_O\;q}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="rappel énergie potentielle dans un champ newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_de_l’expression_de_l’énergie_potentielle_newtonienne_d’un_point_matériel_et_expression_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et l’énergie cinétique «<math>\;K(r_0) = -\dfrac{q_O\;q}{8\;\pi\;\varepsilon_0\;r_0} > 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - bis" />{{,}}<ref name="rappel énergie cinétique d'un point en mouvement circulaire dans un champ coulombien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Expression_de_l’énergie_cinétique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] (dans le cas d'un champ coulombien attractif) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, nous vérifions que la propriété «<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{U(r_0)}{2}\;</math> ou <math>\;E_m(r_0) = -K_M(r_0)\;</math>» caractérise encore la nature circulaire du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le cas d'un champ de force coulombien attractif<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Exemple</u> : Atome d'hydrogène dans son état fondamental traité dans le cadre de la mécanique classique en considérant que l'électron gravite autour du noyau d'hydrogène en décrivant une trajectoire circulaire de rayon égal au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental à savoir «<math>\;r_0 \simeq 0,53\;\text{Å}\;</math>»<ref name="Å"> L'angström de symbole «<math>\;\text{Å}\;</math>» est une unité de longueur adaptée à la [[w:Physique_atomique|physique atomique]], sa valeur est «<math>\;1\;\text{Å} = 10^{-10}\;m = 0,1\;nm\;</math>» ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Anders_Jonas_Ångström|Anders Jonas Ångström]] (1814 - 1874)''' est un astronome et physicien suédois du XIX^ème siècle, c'est l'un des fondateurs de la [[w:Spectroscopie#Histoire|spectroscopie]].</ref> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple : }}l'énergie mécanique de l'état fondamental de l'électron en mouvement circulaire dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène <math>\;\big(</math>ou encore l'énergie mécanique de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental<math>\big)\;</math> s'écrit «<math>\;E_{m,\,0} = -\dfrac{e^2}{8\;\pi\;\varepsilon_0\;r_0} < 0\;</math>» avec <math>\;e \simeq 1,602\;10^{-19}\;C\;</math> la charge élémentaire <math>\;\big(</math>le noyau d'hydrogène et l'électron étant respectivement de charge <math>\;+e\;</math> et <math>\;-e\big)</math>, la référence de l'énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> de l'électron dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène étant à l'infini, soit «<math>\;E_{m,\,0} = -\dfrac{\left( 1,602\;10^{-19} \right)^2 \times 9\;10^9}{2 \times 0,53\;10^{-10}}\;J\;</math>» ou encore, en utilisant une unité d'énergie adaptée à la [[w:Physique_atomique|physique atomique]] à savoir l'« électronvolt <math>\;\big(</math>de symbole <math>\;eV\big)\;</math>», «<math>\;E_{m,\,0} = -\dfrac{1,602\;10^{-19} \times 9\;10^9}{2 \times 0,53\;10^{-10}}\;eV\;</math>»<ref name="électronvolt"> On rappelle qu'en notant <math>\;\left[ e \right] \simeq 1,602\;10^{-19}\;</math> le nombre mesurant la charge élémentaire <math>\;\big(</math>donc sans unité<math>\big)\;</math> «<math>\;1\; eV = \left[ e \right] J \simeq 1,602\; 10^{-19}\; J\;</math>» ou «<math>\;1\; J = \dfrac{1}{\left[ e \right]}\;eV \simeq \dfrac{1}{1,602\; 10^{-19}}\; eV\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\alpha\; J =</math>}} <math>\dfrac{\alpha}{\left[ e \right]}\;eV \simeq \dfrac{\alpha}{1,602\; 10^{-19}}\; eV\;</math>», on passe donc d’une mesure en <math>\;J\;</math> à la mesure correspondante en <math>\;eV\;</math> en divisant la {{1re}} par «<math>\;\left[ e \right]\;</math>» c'est-à-dire en remplaçant «<math>\;e^2\;</math>» par «<math>\;e\;</math>».</ref> soit «<math>\;E_{m,\,0} \simeq -13,59\;eV\;</math>» correspondant effectivement à l’énergie de l’atome d’hydrogène dans son état fondamental<ref> On peut être surpris de cette excellente correspondance car de nos jours on sait que le traitement de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la mécanique classique n'est plus recevable, l'électron dans un atome ne pouvant pas être considéré comme une particule mais comme une onde de matière <math>\;\big\{</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_dualité_onde-particule#L'onde_de_matière_de_de_Broglie|l'onde de matière de de Broglie]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] » <math>\;\big[</math>'''[[w:Louis_de_Broglie|Louis Victor de Broglie]] (1892 - 1987)''' <math>\;\big(</math>se prononce « Brogle »<math>\big)\;</math> est un mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1929\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}l'ensemble des positions possibles de l'électron pondérées par la densité volumique de probabilité de présence de ce dernier <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Introduction_au_monde_quantique_:_interprétation_probabiliste#Densité_volumique_de_probabilité_de_présence_d'une_particule_massique_ou_non_massique|densité volumique de probabilité de présence d'une particule massique ou non massique]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> définissant le nuage électronique de l'atome d'hydrogène, le seul traitement recevable de nos jours doit être fait dans le cadre de la [[w:Mécanique_ondulatoire|mécanique ondulatoire]] <math>\;\ldots</math></ref>. === Cas d’un champ de force newtonien gravitationnel === {{Al|5}}Dans le cas où le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> soumis à un champ de force newtonien gravitationnel où «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_O\;m\;</math>», «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> étant la constante de gravitation universelle, <math>\;m_O\;</math> la masse de la source de centre <math>\;O\;</math>»<ref name="seuls exemples de gravitation au programme de physique de PCSI"> Nous traitons le cas général d'une source dont la répartition de masse est à symétrie sphérique mais en fait seuls les exemples de gravitations solaire et terrestre sont explicites dans le programme de physique de P.C.S.I..</ref>, a un mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0</math>, l'expression de son énergie mécanique {{Nobr|«<math>\;E_m(r_0)</math>}} <math>= \dfrac{k}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_de_l’expression_de_l’énergie_potentielle_newtonienne_d’un_point_matériel_et_expression_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|rappel de l'expression de l'énergie potentielle newtonienne d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)\;</math> se réécrit «<math>\;E_m(r_0) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_O\;m}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> <math>\;\bigg[</math>l’énergie potentielle étant {{Nobr|«<math>\;U(r_0)</math>}} <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_O\;m}{r_0} < 0\;</math>»<ref name="rappel énergie potentielle dans un champ newtonien attractif" /> et l’énergie cinétique «<math>\;K(r_0) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_O\;m}{2\;r_0} > 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - bis" />{{,}}<ref name="rappel énergie cinétique d'un point en mouvement circulaire dans un champ newtonien gravitationnel"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Expression_de_l’énergie_cinétique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|expression de l'énergie cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] (dans le cas d'un champ gravitationnel) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, nous vérifions que la propriété «<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{U(r_0)}{2}\;</math> ou <math>\;E_m(r_0) = -K_M(r_0)\;</math>» caractérise encore la nature circulaire du mouvement de <math>\;M\;</math> dans le cas d'un champ de force newtonien gravitationnel<math>\bigg]</math>. {{Al|5}}<u>Exemples</u> :<math>\;\succ\;</math>Dans le champ de force gravitationnel solaire, «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}\;m\;</math>» où «<math>\;m_{\text{(☉)}}\;</math>» est la masse du Soleil (☉) de centre <math>\;O</math>, nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement circulaire de rayon «<math>\;r_0\;</math>» dans le champ de force gravitationnel solaire «<math>\;E_m(r_0) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}\;m}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" />, l’énergie potentielle étant «<math>\;U(r_0) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}\;m}{r_0} < 0\;</math>» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> «<math>\;K_M(r_0) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☉)}}\;m}{2\;r_0} > 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - bis" />. {{Al|5}}{{Transparent|Exemples :}}<math>\;\succ\;</math>Dans le champ de force gravitationnel terrestre, «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m\;</math>» où «<math>\;m_{\text{(♁)}}\;</math>» est la masse de la Terre (♁) de centre <math>\;O</math>, nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement circulaire de rayon «<math>\;r_0\;</math>» dans le champ de force gravitationnel terrestre «<math>\;E_m(r_0) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" />, l’énergie potentielle étant «<math>\;U(r_0) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r_0} < 0\;</math>» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> «<math>\;K_M(r_0) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{2\;r_0} > 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - bis" />. == En complément, détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif en fonction de l’excentricité == {{Al|5}}La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif<ref name="force newtonienne" /> en fonction de l’excentricité de la conique suivi par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais <br />{{Al|5}}elle permet d’aborder la discussion de la nature de la conique des paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_vérification_de_la_nature_de_la_conique_décrite_par_le_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif_compte-tenu_du_signe_de_l’énergie_mécanique|en complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l'énergie mécanique]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_nature_de_la_conique_décrite_par_le_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_suivant_le_signe_de_l’énergie_mécanique|en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique]] » plus bas dans ce chapitre <math>\;\big(</math>discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente<ref name="autre façon de discuter de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien"> Cette discussion sera revue au chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme attendue du programme de physique de P.C.S.I..</ref><math>\big)</math>. === Méthode adoptée : utiliser l’expression de l’énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l’équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre « p » et de l’excentricité « e » de cette dernière === {{Al|5}}On rappelle la nature plane <math>\;\big(</math>ou rectiligne<math>\big)\;</math> du mouvement d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\;</math> avec <math>\;k \in \mathbb{R}^{*} \left\lbrace \begin{array}{c} > 0\;\text{pour une force répulsive}\\ < 0\;\text{pour une force attractive}\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|On rappelle }}que l'énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» s’écrit, en variables de Binet<ref name="Binet" /> dans le cas où la constante des aires du mouvement <math>\;C\;</math> est <math>\;\neq 0</math>, selon l'expression fournie au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] (utiliser les deux 1^ères variables de Binet) » plus haut dans ce chapitre «<math>\;E_m(t) = \dfrac{m\;C^2}{2} \left\lbrace {u'}^2\! \left[ \theta(t) \right] + u^2\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace + k\; u\! \! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <math>\;\big\{\theta\;</math> étant l'abscisse angulaire de <math>\;M\;</math> dans <math>\;\left( xOy \right)\big\}\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|On rappelle }}que l’équation polaire de la conique décrite par le point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» est<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Application_de_la_r.f.d.n._dans_un_référentiel_galiléen_et_«_détermination_de_l’équation_polaire_de_la_trajectoire_par_utilisation_de_la_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale_»|application de la r.f.d.n. dans un référentiel galiléen et détermination de l'équation polaire de la trajectoire par utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Nature_de_la_trajectoire|nature de la trajectoire]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> : * dans le cas d’un champ de force newtonien attractif c'est-à-dire si «<math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math> le paramètre de la conique, <math>\;e\;</math> l'excentricité de cette dernière et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal"> L'axe focal de la conique ou portion de conique étant orienté du centre de force <math>\;O\;</math> <math>\;\big(</math>le foyer ou un des foyers de la conique<math>\big)\;</math> vers le point le plus proche <math>\;\big[</math>c'est-à-dire le « péricentre » pour une ellipse, le « sommet » pour une parabole ou le « sommet » pour l'une ou l'autre branche d'une hyperbole<math>\big]</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Choix_communs_de_repérage_polaire_des_coniques_dont_O_est_le_(ou_un_des)_foyer(s)|choix communs de repérage polaire des coniques dont O est le (ou un des) foyer(s)]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(\theta)} = \dfrac{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}{p}\;</math>» et «<math>\;{u'}(\theta) = \dfrac{-e\; \sin(\theta - \varphi)}{p}\;</math>» ou * dans le cas d’un champ de force newtonien répulsif c'est-à-dire si «<math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» «<math>\;r = \dfrac{-p}{1 - e\; \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» avec <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k}\;</math> le paramètre de la conique, <math>\;e\;</math> l'excentricité de cette dernière et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(\theta)} = \dfrac{-1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}{p}\;</math>» et «<math>\;{u'}(\theta) = \dfrac{-e\; \sin(\theta - \varphi)}{p}\;</math>». === Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point === {{Al|5}}Reportant les expressions des {{1re}} et 2^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> du point <math>\;M\;</math> dans le champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;\left( r = OM\,,\,\theta \right)\;</math> sont les coordonnées polaires du repérage de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> c'est-à-dire «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}{p}\;</math> et <math>\;{u'}(\theta) = \dfrac{-e\; \sin(\theta - \varphi)}{p}\;</math>»<ref name="énergie mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif en variables de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Méthode_adoptée_:_utiliser_l’expression_de_l’énergie_mécanique_du_point_M_dans_un_champ_de_force_newtonien_en_variables_de_Binet_simultanément_à_l’équation_polaire_de_la_trajectoire_de_M_en_fonction_du_paramètre_«_p_»_et_de_l’excentricité_«_e_»_de_cette_dernière|méthode adoptée : utiliser l'expression de l'énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l'équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre “ p ” et de l'excentricité “ e ” de cette dernière]] (dans le cas d'un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> en variables de Binet<ref name="Binet"/> »<ref name="énergie mécanique de M dans un champ de force newtonien en variables de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Méthode_adoptée_:_utiliser_l’expression_de_l’énergie_mécanique_du_point_M_dans_un_champ_de_force_newtonien_en_variables_de_Binet_simultanément_à_l’équation_polaire_de_la_trajectoire_de_M_en_fonction_du_paramètre_«_p_»_et_de_l’excentricité_«_e_»_de_cette_dernière|méthode adoptée : utiliser l'expression de l'énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l'équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre “ p ” et de l'excentricité “ e ” de cette dernière]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{m\;C^2}{2} \left[ {u'}^2\! \left( \theta \right) + u^2\! \left( \theta \right) \right] + k\; u\! \! \left( \theta \right)\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter"> Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; <br>{{Al|3}}ainsi <math>\;E_m(t)\;</math> représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;E_m</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ainsi }}<math>\;E_m(\theta)\;</math> représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;\theta\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;E_m</math>, <br>{{Al|3}}or cette dernière « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;\theta\;</math>» qui est notée comme la {{1re}} « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» est évidemment distincte de celle-ci <math>\Rightarrow</math> abus d'écriture, la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» étant la fonction composée de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable <math>\;\theta\;</math>» laquelle est « fonction de la variable <math>\;t\;</math>».</ref> on obtient : {{Al|5}}«<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{m\;C^2}{2} \left\lbrace \dfrac{(-e)^2\; \sin^2(\theta - \varphi)}{p^2} + \dfrac{\left[ 1 + e\; \cos(\theta - \varphi) \right]^2}{p^2} \right\rbrace + k\; \dfrac{1 + e\; \cos(\theta - \varphi)}{p}\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> dans laquelle on utilise «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>m\;C^2 = -k\;p\;</math>» ce qui permet de mettre «<math>\;\dfrac{k}{2\;p}\;</math>» en facteur dans l'ensemble des termes soit «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{k}{2\;p} \left\lbrace -e^2\; \sin^2(\theta - \varphi) - \left[ 1 + e\; \cos(\theta - \varphi) \right]^2 + 2\; \left[ 1 + e\; \cos(\theta - \varphi) \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{k}{2\;p} \left[ -e^2\; \sin^2(\theta - \varphi) - 1 - e^2\; \cos^2(\theta - \varphi) - 2\;e\; \cos(\theta - \varphi) + 2 + 2\;e\; \cos(\theta - \varphi) \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> et en faisant les simplifications évidentes, <center>«<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{k}{2\;p} \left[ 1 - e^2 \right] = \dfrac{-k}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L’énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien attractif étant conservée doit impérativement être « indépendante de <math>\;\theta\;</math>», si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}«<math>\;k\;</math> étant <math>\;< 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-k = \vert k \vert\;</math>», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{\vert k \vert}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" />. === Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point === {{Al|5}}Reportant les expressions des {{1re}} et 2^ème variables de Binet<ref name="Binet" /> en fonction de l'abscisse angulaire <math>\;\theta\;</math> du point <math>\;M\;</math> dans le champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;\left( r = OM\,,\,\theta \right)\;</math> sont les coordonnées polaires du repérage de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> c'est-à-dire «<math>\;u(\theta) = \dfrac{e\; \cos(\theta - \varphi) - 1}{p}\;</math> et <math>\;{u'}(\theta) = \dfrac{-e\; \sin(\theta - \varphi)}{p}\;</math>»<ref name="énergie mécanique de M dans un champ de force newtonien répulsif en variables de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Méthode_adoptée_:_utiliser_l’expression_de_l’énergie_mécanique_du_point_M_dans_un_champ_de_force_newtonien_en_variables_de_Binet_simultanément_à_l’équation_polaire_de_la_trajectoire_de_M_en_fonction_du_paramètre_«_p_»_et_de_l’excentricité_«_e_»_de_cette_dernière|méthode adoptée : utiliser l'expression de l'énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l'équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre “ p ” et de l'excentricité “ e ” de cette dernière]] (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> en variables de Binet<ref name="Binet"/> »<ref name="énergie mécanique de M dans un champ de force newtonien en variables de Binet" /> «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{m\;C^2}{2} \left[ {u'}^2\! \left( \theta \right) + u^2\! \left( \theta \right) \right] + k\; u\! \! \left( \theta \right)\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> on obtient : {{Al|5}}«<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{m\;C^2}{2} \left\lbrace \dfrac{(-e)^2\; \sin^2(\theta - \varphi)}{p^2} + \dfrac{\left[ e\; \cos(\theta - \varphi) - 1 \right]^2}{p^2} \right\rbrace + k\; \dfrac{e\; \cos(\theta - \varphi) - 1}{p}\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> dans laquelle on utilise «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k}</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>m\;C^2 = k\;p\;</math>» ce qui permet de mettre «<math>\;\dfrac{k}{2\;p}\;</math>» en facteur dans l'ensemble des termes soit «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{k}{2\;p} \left\lbrace e^2\; \sin^2(\theta - \varphi) + \left[ e\; \cos(\theta - \varphi) - 1 \right]^2 + 2\; \left[ e\; \cos(\theta - \varphi) - 1 \right] \right\rbrace\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades {{Nobr|«<math>\;E_m(\theta) =</math>}} <math>\dfrac{k}{2\;p} \left[ e^2\; \sin^2(\theta - \varphi) + e^2\; \cos^2(\theta - \varphi) + 1 - 2\;e\; \cos(\theta - \varphi) + 2\;e\; \cos(\theta - \varphi) - 2 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> et en faisant les simplifications évidentes, <center>«<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{k}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" />.</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : L’énergie mécanique du point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif étant conservée doit impérativement être « indépendante de <math>\;\theta\;</math>», si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}«<math>\;k\;</math> étant <math>\;> 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;k = \vert k \vert\;</math>», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{\vert k \vert}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" />, c'est-à-dire la même expression que dans le cas d'un champ newtonien attractif. == En complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l’énergie mécanique == {{Al|5}}<u>Préambule</u> : « La [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Détermination_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif_en_fonction_de_l’excentricité_de_la_conique_décrite_par_le_point|détermination de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point]] » traitée dans un paragraphe plus haut dans ce chapitre n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder ci-dessous la vérification de la nature de la conique <math>\;\big(</math>discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente<ref name="autre façon de discuter de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif</u> : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_répulsive_(k_>_0)|cas d'une force newtonienne répulsive (k > 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la trajectoire du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> est une branche d’hyperbole dont <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> est un des foyers, le foyer non contourné par la branche en question, nous devons donc vérifier, dans ce cas, que l’excentricité de la conique est effectivement <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math> quelles que soient les C.I<ref name="C.I." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : }}or l’énergie mécanique du point <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> s'écrivant selon {{Nobr|«<math>\;E_m(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) + \dfrac{k}{r(t)}\;</math>»<ref name="énergie mécanique dans un champ de force newtonien"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> étant, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;k > 0\big)</math>, la somme de deux termes «<math>\;> 0\;</math>» vérifie «<math>\;E_m(t) > 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et par suite, {{Al|5}}{{Transparent|Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : }}de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique que le point décrit<ref name="énergie mécanique d'un point M dans un champ newtonien répulsif en fonction de l'excentricité de la trajectoire décrite par M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Détermination_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif_en_fonction_de_l’excentricité_de_la_conique_décrite_par_le_point|détermination de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{k}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> laquelle est nécessairement «<math>\;> 0\;</math>», nous en déduisons <math>\;e^2 > 1\;</math> et, comme <math>\;e</math>, par définition, est <math>\;\geqslant 0</math>, «<math>\;e > 1\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.V."> Ce Qu'il Fallait Vérifier.</ref>. d'où <center>la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif<ref name="force newtonienne" /> est <br />une branche d'hyperbole dont <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> est le foyer non contourné par la branche en question.</center> == En complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l’énergie mécanique == {{Al|5}}<u>Préambule</u> : « La [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Détermination_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_de_l’excentricité_de_la_conique_décrite_par_le_point|détermination de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le point]] » traitée dans un paragraphe plus haut dans ce chapitre n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet d’aborder ci-dessous l'identification de la nature de la conique suivant le signe de l'énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\big(</math>discussion qui n’est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I. sous cette forme mais qui ne présente, a priori, aucune difficulté apparente<ref name="autre façon de discuter de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien" /><math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif</u> : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la trajectoire du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> est une conique <math>\;\big(</math>ou branche de conique en ce qui concerne l’hyperbole<math>\big)\;</math> dont <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> est le <math>\;\big(</math>ou l'un des<math>\big)\;</math> foyer(s) <math>\;\big(</math>le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant le foyer contourné par la branche d'hyperbole en question<math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}la nature de la conique dépendant du positionnement de l'excentricité «<math>\;e\;</math>» de cette dernière relativement à «<math>\;1\;</math>» : une ellipse si <math>\;e\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1</math>, une parabole si <math>\;e\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> et une branche d'hyperbole si <math>\;e\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1</math>, la valeur de <math>\;e\;</math> dépendant des C.I<ref name="C.I." />. ; {{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}or l’énergie mécanique du point <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> s'écrivant selon {{Nobr|«<math>\;E_m(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2}(t) + \dfrac{k}{r(t)}\;</math>»<ref name="énergie mécanique dans un champ de force newtonien" /> étant, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif <math>\;\big(</math>correspondant à <math>\;k < 0\big)</math>, la somme d'un {{1er}} terme «<math>\;> 0\;</math>» et d'un 2^nd «<math>\;< 0\;</math>» correspond à «<math>\;E_m(t) \left\lbrace \begin{array}{c} < \\ = \\ > \end{array} \right\rbrace 0\;</math>» suivant la comparaison des valeurs absolues des deux termes et par suite, {{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le {{Nobr|point<ref name="énergie mécanique d'un point M dans un champ newtonien attractif en fonction de l'excentricité de la trajectoire décrite par M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Détermination_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_de_l’excentricité_de_la_conique_décrite_par_le_point|détermination de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>}} «<math>\;E_m(\theta) = \dfrac{-k}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> dans laquelle le {{1er}} facteur étant «<math>\;> 0\;</math>», nous en déduisons que <center>«<math>\;e^2 - 1\;</math>» est du signe de «<math>\;E_m(\theta)\;</math>»<ref name="abus d'écriture - ter" /> ou,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}comme l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien est conservée, <center>«<math>\;e^2 - 1\;</math>» est du signe de l'énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} + \dfrac{k}{r_0}\;</math>»<ref name="énergie mécanique dans un champ de force newtonien" /> de ce dernier, soit :</center> {{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», <math>\;e^2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\;</math> et comme <math>\;e</math>, par définition, est <math>\;\geqslant 0</math>, nous en déduisons {{Nobr|«<math>\;e < 1\;</math>»}} c'est-à-dire que « la conique décrite par <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale négative est une ellipse »<ref name="à retenir"> À retenir et bien sûr à savoir justifier <math>\;\big(</math>la justification la plus simple étant vue aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Tracé_du_diagramme_d’énergies_potentielle_effective_et_mécanique_du_point_dans_le_champ_de_force_newtonien_attractif|tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point dans le champ de force newtonien attractif]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Discussion_suivant_la_valeur_d’énergie_mécanique_initiale_du_point|discussion suivant la valeur d'énergie mécanique initiale du point]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big)</math>.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;0\;</math>», <math>\;e^2\;</math> est <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> et comme <math>\;e</math>, par définition, est <math>\;\geqslant 0</math>, nous en déduisons {{Nobr|«<math>\;e = 1\;</math>»}} c'est-à-dire que « la conique décrite par <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale nulle est une parabole »<ref name="à retenir" />, {{Al|5}}{{Transparent|Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : }}<math>\;\succ\;</math>si «<math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\;e^2\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;1\;</math> et comme <math>\;e</math>, par définition, est <math>\;\geqslant 0</math>, nous en déduisons {{Nobr|«<math>\;e > 1\;</math>»}} c'est-à-dire que « la branche de conique décrite par <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale positive est une branche d'hyperbole, celle contournant le centre de force <math>\;O\;</math>»<ref name="à retenir" />. {{Al|5}}<u>Remarques</u> : Les conditions sur l'énergie mécanique initiale du point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /> pour déterminer la nature de la conique suivie par <math>\;M\;</math> peuvent se réécrire en conditions sur la norme du vecteur vitesse initiale de <math>\;M\;</math> en fonction de la coordonnée radiale initiale de ce dernier selon : <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + \dfrac{k}{r_0} < 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert < \sqrt{\dfrac{-2\;k}{m\;r_0}}\;</math>», la trajectoire est une ellipse dont <math>\;O\;</math> est un des foyers, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + \dfrac{k}{r_0} = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert = \sqrt{\dfrac{-2\;k}{m\;r_0}}\;</math>», la trajectoire est une parabole dont <math>\;O\;</math> est le foyer et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}<math>\;\succ\;</math>pour «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^2 + \dfrac{k}{r_0} > 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert > \sqrt{\dfrac{-2\;k}{m\;r_0}}\;</math>», la trajectoire est une branche d'hyperbole dont <math>\;O\;</math> est l'un des deux foyers, celui contourné par la branche en question. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}«<math>\;\sqrt{\dfrac{-2\;k}{m\;r_0}}\;</math>» est la vitesse minimale de lancement que doit avoir le point matériel <math>\;M\;</math> en sa position de lancement distante de <math>\;r_0\;</math> du centre de force <math>\;O\;</math> pour que le point <math>\;M\;</math> puisse s'arracher à l'attraction de centre <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>car seules une parabole et une branche d'hyperbole ont une distance maximale d'éloignement infinie<math>\big)</math>. == Expression de l’énergie mécanique d'un point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoire == {{Al|5}}La seule exigence du programme de physique de P.C.S.I. est de généraliser l'expression de l'« énergie mécanique d'un point <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif {{Nobr|«<math>\;\vec{F}(M)</math>}} <math>= \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> en fonction du rayon <math>\;r_0\;</math> du cercle décrit par <math>\;M\;</math>»<ref name="énergie mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon du cercle décrit par M"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_de_l’expression_de_l’énergie_potentielle_newtonienne_d’un_point_matériel_et_expression_de_l’énergie_mécanique_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|rappel de l'expression de l'énergie potentielle d'un point matériel et expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> «<math>\;E_m(r_0) = \dfrac{k}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> au cas d’un mouvement elliptique de demi-grand axe <math>\;a\;</math> sans exiger une démonstration, mais {{Al|5}}néanmoins la démonstration ne présentant aucune difficulté à partir de l’expression de l’énergie mécanique en fonction de l’excentricité<ref name="énergie mécanique d'un point M dans un champ newtonien attractif en fonction de l'excentricité de la trajectoire décrite par M" /> sera exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Établissement_de_l’énergie_mécanique_du_point_en_mouvement_elliptique_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_demi_grand_axe_de_sa_trajectoire|établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire]] » plus bas dans ce chapitre. === Établissement de l’énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoire === {{Al|5}}L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> en fonction de l'excentricité <math>\;e\;</math> de la conique décrite par le point <math>\;M\;</math><ref name="énergie mécanique d'un point M dans un champ newtonien attractif en fonction de l'excentricité de la trajectoire décrite par M" /> étant «<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;p} \left[ 1 - e^2 \right]\;</math>» et {{Al|5}}le demi-grand axe «<math>\;a\;</math>» d'une ellipse étant lié au paramètre «<math>\;p\;</math>» et à l'excentricité «<math>\;e\;</math>» de cette dernière<ref name="lien entre a, p et e d'une ellipse"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_ellipse|principales propriétés d'une ellipse]] (on définit le paramètre par …) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il faut savoir retrouver l'explicitation de <math>\;p\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> et <math>\;e\;</math> comme indiqué dans ce paragraphe.</ref> selon «<math>\;p = a \left( 1 - e^2 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{1 - e^2} = a\;</math>», {{Al|5}}on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe «<math>\;a\;</math>» selon <center>«<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;a} < 0\;</math>» à retenir.</center> === Généralisation au cas d’un mouvement elliptique de l’expression de l’énergie mécanique d’un point M en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif === {{Al|5}}Nous reprenons la généralisation exposée aux paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Généralisation_de_la_3ème_loi_de_Kepler_au_cas_d'un_mouvement_elliptique_d'une_planète|généralisation de la 3^ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Généralisation_de_la_3ème_loi_de_Kepler_au_cas_d'un_mouvement_elliptique_d'un_satellite_autour_de_la_Terre|généralisation de la 3^ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terre]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » à partir de l'établissement de la 3^ème loi de Kepler<ref name="Kepler"> '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]] (1571 - 1630)''' est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]]''' <math>\;\big[</math>hypothèse que son professeur de mathématiques '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]]''' lui enseigna <math>\;\big(</math>ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants<math>\big)\;</math> à l’[[w:Université_Eberhard_Karl_de_Tübingen|Université de Tübingen]] alors que l’enseignement officiel que '''[[w:Michael_Maestlin|M. Mæstlin]]''' donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big]\;</math> affirmant <math>\;\big(</math>avec '''[[w:Nicolas_Copernic|N. Copernic]]'''<math>\big)\;</math> que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; <br>{{Al|3}}en <math>\;1600</math>, poursuivi pour ses convictions religieuses <math>\;\big(</math>il était ministre du [[w:Luthéranisme|culte luthérien]]<math>\big)\;</math> et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome <math>\;\big(</math>danois<math>\big)\;</math> '''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]]''', ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais <math>\;\big(</math>d’après '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]'''<math>\big)\;</math> étant incapable de les exploiter correctement <math>\;\big[</math>'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' ne croyait pas à l’héliocentrisme de '''[[w:Nicolas_Copernic|Copernic]]''', ni d’ailleurs au géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]''', l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil <math>\;\big(</math>et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de '''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]]'''<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|T. Brahe]]''' demande alors à '''[[w:Johannes_Kepler|J. Kepler]]''' de calculer l’orbite précise de '''Mars''', travail que ce dernier commence en <math>\;1603\;</math> et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1^ères lois, sa 3^ème loi étant découverte près de <math>\;10\; ans\;</math> plus tard. <br>{{Al|3}}'''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}} '''[[w:Michael_Maestlin|Michæl Mæstlin]] (1550 - 1631)''' astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de '''[[w:Johannes_Kepler|Johannes Kepler]]''' ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du [[w:Nombre_d'or|nombre d'or]] en <math>\;1597</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Claude_Ptolémée|Ptolémée]] (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168)''' astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'''[[w:Almageste|Almageste]]'' <math>\;\big[</math>une somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie<math>\big]\;</math> et un traité de géographie <math>\;\big[</math>une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain<math>\big]</math>. <br>{{Al|3}}'''[[w:Tycho_Brahe|Tycho Brahe]] (1546 - 1601)''' astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la [[w:SN_1572|Supernova de 1572]] ainsi que la [[w:C/1577_V1|grande comète de 1577]] qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques <math>\;\ldots</math></ref> dans le cas d'un mouvement circulaire <math>\;\big(</math>généralisation dont on admet la validité pour tout mouvement de point matériel dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /><math>\big)\;</math> consistant <br />{{Al|5}}à remplacer le rayon <math>\;r_0\;</math> de l'orbite supposée circulaire du point par le demi-grand axe <math>\;a\;</math> de la trajectoire elliptique réellement suivie par le point {{Al|5}}en admettant son applicabilité à l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> pour passer d'un mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> à un mouvement elliptique de demi-grand axe <math>\;a\;</math> d'où {{Al|5}}de l'expression d'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> en mouvement circulaire de rayon <math>\;r_0\;</math> dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /> «<math>\;E_{m,\,\text{circul}}(r_0) = \dfrac{k}{2\;r_0} < 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> on déduit {{Al|21}}celle d'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> en mouvement elliptique de demi-grand axe <math>\;a\;</math> dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /> «<math>\;E_{m,\,\text{ellipt}} = \dfrac{k}{2\;a} < 0\;</math>» à retenir. == En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique == {{Al|5}}La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel à mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /> en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est <math>\;\big[</math>toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique <math>\;\big(</math>laquelle est à retenir<math>\big)\;</math> en étant de signe opposé <math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> en fonction de l'excentricité <math>\;e\;</math> de la conique décrite par le point <math>\;M\;</math><ref name="énergie mécanique d'un point M dans un champ newtonien attractif en fonction de l'excentricité de la trajectoire décrite par M" /> étant «<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;p} \left[ 1 - e^2 \right]\;</math>» et {{Al|5}}le demi axe focal «<math>\;a\;</math>» d'une hyperbole étant lié au paramètre «<math>\;p\;</math>» et à l'excentricité «<math>\;e\;</math>» de cette dernière<ref name="lien entre a, p et e d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (on définit le paramètre par …) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il faut savoir retrouver l'explicitation de <math>\;p\;</math> en fonction de <math>\;a\;</math> et <math>\;e\;</math> comme indiqué dans ce paragraphe.</ref> selon «<math>\;p = a \left( e^2 - 1 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{e^2 - 1} = a\;</math>», {{Al|5}}on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> en mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal «<math>\;a\;</math>» selon <center>«<math>\;E_m = -\dfrac{k}{2\;a} = \dfrac{\vert k \vert}{2\;a} > 0\;</math>» à retrouver si besoin est.</center> == En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la trajectoire hyperbolique == {{Al|5}}La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif<ref name="force newtonienne" /> en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est <math>\;\big[</math>toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique <math>\;\big(</math>à retenir<math>\big)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif <math>\;\big(</math>pour la même valeur absolue de constante <math>\;k\big)\;</math> en étant de signe opposé <math>\;\ldots\big]</math>. {{Al|5}}L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> en fonction de l'excentricité <math>\;e\;</math> de la conique décrite par le point <math>\;M\;</math><ref name="énergie mécanique d'un point M dans un champ newtonien répulsif en fonction de l'excentricité de la trajectoire décrite par M" /> étant «<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;p} \left[ e^2 - 1 \right]\;</math>» et {{Al|5}}le demi axe focal «<math>\;a\;</math>» d'une hyperbole étant lié au paramètre «<math>\;p\;</math>» et à l'excentricité «<math>\;e\;</math>» de cette dernière<ref name="lien entre a, p et e d'une hyperbole" /> selon «<math>\;p = a \left( e^2 - 1 \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{e^2 - 1} = a\;</math>», {{Al|5}}on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\big(k > 0\big)\;</math> en fonction du demi axe focal «<math>\;a\;</math>» de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point selon <center>«<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;a} > 0\;</math>» à retrouver si besoin est.</center> == En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusion == {{Al|5}}Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne" /> par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais {{Al|5}}toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique <math>\Rightarrow</math> à savoir refaire. === Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien attractif === {{Al|5}}Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k \neq 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre<ref name="énergie potentielle effective d'un point ayant un mouvement à force centrale conservative" /> «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_\theta^2 + U(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;C\;</math> la constante des aires<ref name="loi des aires" /> du mouvement du point<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}sachant que le paramètre <math>\;p\;</math> de la conique décrite par le point <math>\;M\;</math> s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif <math>\;\big(k < 0\big)</math>, selon «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math>»<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;C^2 = -k\;p\;</math>», {{Al|5}}l'expression de l'énergie potentielle effective de <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien attractif se réécrit, en fonction du paramètre <math>\;p\;</math> de la conique suivie par <math>\;M</math>, selon «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = -\dfrac{k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» ou, en mettant «<math>\;-\dfrac{k\;p}{2\;r^2} = \dfrac{\vert k \vert\;p}{2\;r^2}\;</math>» <math>\;\big(</math>on rappelle que <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\big)\;</math> en facteur <center>«<math>\;U_{\text{eff}}(r) = -\dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 - \dfrac{2\;r}{p} \right) = \dfrac{\vert k \vert\;p}{2\;r^2} \left( 1 - \dfrac{2\;r}{p} \right)\;</math>» à retrouver si besoin est.</center> === Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif === {{Al|5}}L'intégrale {{1re}} énergétique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien quelconque «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k \neq 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> évoquée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «<math>\;E_m(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="abus d'écriture" />, se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif <math>\;\big(k < 0\big)</math>, selon <center>«<math>\;E_m(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 - \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 - \dfrac{2\;r}{p} \right) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> dans laquelle <br />«<math>\;- \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 - \dfrac{2\;r}{p} \right) = \dfrac{\vert k \vert\;p}{2\;r^2} \left( 1 - \dfrac{2\;r}{p} \right) = U_{\text{eff}}(r)\;</math>» est l'énergie potentielle effective de <math>\;M\;</math> et <br />{{Al|25}}«<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}_0^{\,2} + U_{\text{eff}}(r_0)\;</math>» {{Transparent|est }}son énergie mécanique initiale <br />{{Al|123}}dans le champ de force newtonien attractif <math>\;\big(k < 0\big)</math>.</center> === Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif === [[File:Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif.png|thumb|400px|Tracés superposés des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif (k < 0), états lié et de diffusion]] {{Al|5}}<u>Diagramme d'énergie potentielle effective</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre en noir<math>\big)</math> : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle effective <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> en fonction du paramètre de position <math>\;r</math>, d'équation «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = - \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 - \dfrac{2\;r}{p} \right) =</math> <math>\dfrac{-k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>quand <math>\;r \rightarrow 0^{+}</math>, <math>\;U_{\text{eff}}(r) \sim \dfrac{-k\;p}{2\;r^2} \rightarrow +\infty</math>, quand <math>\;r \rightarrow +\infty</math>, <math>\;U_{\text{eff}}(r) \sim \dfrac{k}{r} \rightarrow 0^{-}</math>, <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> s'annule pour <math>\;r = \dfrac{p}{2}\bigg]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Diagramme d'énergie potentielle effective }}son tracé nécessite le calcul de «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = (-2)\;\dfrac{-k\;p}{2\;r^3} - \dfrac{k}{r^2} = \dfrac{k\;p}{r^3} \left( 1 - \dfrac{r}{p} \right)\;</math>», la recherche de son <math>\;\big(</math>ou ses<math>\big)\;</math> zéro(s) <math>\;\big[</math>il n'y en a qu'un seul <math>\;r_1 = p\big]\;</math> ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position <math>\;\bigg\{</math>« sur <math>\;\left] 0\,,\,r_1 \right[</math>, <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» le {{1er}} facteur étant <math>\;< 0\;</math> et le 2^nd <math>\;> 0\;</math> alors que « sur <math>\;\left] r_1\,,\,+\infty \right[</math>, <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r)\;</math> est <math>\;> 0\;</math>» le {{1er}} et le 2^nd facteurs étant tous deux <math>\;< 0\bigg\}\;</math> d'où «<math>\;U_{\text{eff}}(r) \searrow\;</math> sur <math>\;\left] 0\,,\,r_1 \right[\;</math>» puis «<math>\;\nearrow\;</math> sur <math>\;\left] r_1\,,\,+\infty \right[\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Diagramme d'énergie potentielle effective }}la courbe que nous appellerons par la suite <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)\;</math> <math>\;\big[</math>avec pour point générique <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\big]\;</math> admet une asymptote <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des énergies «<math>\;r_{\text{asympt}} = 0\;</math>», coupe l'axe du paramètre de position en «<math>\;r = \dfrac{p}{2}\;</math>», admet un minimum pour «<math>\;r_1 =</math> <math>p\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{eff, min}} = U_{\text{eff}}(r_1) = \dfrac{k}{2\;p} < 0\;</math>» et une autre asymptote <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du paramètre de position «<math>\;U_{\text{eff, asympt}} = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Diagramme d'énergie mécanique</u> <math>\;\big(</math>voir ci-dessus en bleu, vert ou rouge<math>\big)</math> : tracé de la courbe d’énergie mécanique c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> en fonction du paramètre de position <math>\;r</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Diagramme d'énergie mécanique }}il s'agit, dans chacun des trois cas considérés, d'une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne"/> <math>\;\big[</math>dans la suite nous appellerons <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> chacune de ces trois courbes et <math>\;P_m\;</math> le point générique de la courbe considérée<math>\big]</math>. === Discussion suivant la valeur d’énergie mécanique initiale du point === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » : {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_d'un_point_matériel_en_chute_libre|diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre]] » explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. ainsi que « le [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Cas_où_le_point_matériel_est_lancé_vers_le_haut_avec_une_vitesse_initiale_verticale_à_partir_d'une_position_d'altitude_quelconque|cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque]] » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\big(</math>mais sans aucune difficulté de compréhension<math>\big)</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.E.H.N.A.|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.]] (pendule élastique horizontal non amorti) » non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. <math>\;\big(</math>mais particulièrement utile pour exposer la méthode<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}<math>\;\succ\;</math>« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “ 1a ”]] (pendule pesant simple non amorti) » ainsi que « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans des C.I. “ 1b ” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] (pour déterminer à quelle condition le mouvement est oscillatoire ou révolutif) ». {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}Ci-dessous les <u>grandes lignes adaptées au diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique</u> d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM</math> <math>\;\big(</math>définissant le paramètre de position de <math>\;M\big)\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes }}après avoir tracé les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique possibles de <math>\;M\;</math><ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Tracé_du_diagramme_d’énergies_potentielle_effective_et_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif|tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point M dans le champ de force newtonien attractif]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes }}on recherche les éventuels « murs d'énergie potentielle effective » correspondant aux « valeurs du paramètre de position <math>\;r_{\text{mur}}\;</math>» pour lesquelles «<math>\;E_m(r_{\text{mur}}) =</math> <math>U_{\text{eff}}(r_{\text{mur}})\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> c'est-à-dire «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(r_{\text{mur}}) = 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - tetra"> Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; <br>{{Al|3}}ainsi <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(t)\;</math> représente l'image de la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|ainsi }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(r)\;</math> représente l'image de la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» et cette fonction est notée <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2</math>, <br>{{Al|3}}or cette dernière « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» qui est notée comme la {{1re}} « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» est évidemment distincte de celle-ci <math>\Rightarrow</math> abus d'écriture, la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable <math>\;t\;</math>» étant la fonction composée de la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable <math>\;r\;</math>» laquelle est « fonction de la variable <math>\;t\;</math>».</ref> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes }}on en déduit les « zones interdites » correspondant aux « domaines de paramètre de position <math>\;r_{\text{interdit}}\;</math> répondant à <math>\;E_m(r_{\text{interdit}}) < U_{\text{eff}}(x_{\text{interdit}})\;</math>» c'est-à-dire les zones qui nécessiteraient «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(r_{\text{interdit}}) < 0\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans ces zones la courbe d'énergie mécanique <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> se trouve strictement au-dessous de la courbe d'énergie potentielle effective <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)</math>, correspondant à <math>\;\overline{P_{u_{\text{eff}}}P_m}\; \widehat{=}\; \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 < 0\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe"> La signification de <math>\;\widehat{=}\;</math> étant « est représenté par <math>\;\big(</math>ou représente<math>\big)\;</math>» <math>\;\big(</math>l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique<math>\big)</math>.</ref><math>\bigg]</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Discussion</u> : Sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique du point <math>\;M\;</math> dans le champ de force newtonien attractif<ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif" />, on observe que l'énergie mécanique initiale de <math>\;M\;</math> «<math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} + \dfrac{k}{r_0}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vec{V}_0\;</math> vecteur vitesse initiale de <math>\;M\;</math> et <math>\;r_0 = OM_0</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position initiale de <math>\;M\big)\;</math> est nécessairement supérieure à un minimum égal à «<math>\;U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p} < 0\;</math> dans lequel <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math> avec <math>\;C = V_0\;r_0\;\sin(\alpha_0)\;</math>» <math>\;\Big[\alpha_0\;</math> étant l'angle orienté entre <math>\;\overrightarrow{OM_0}\;</math> et <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> du mouvement de <math>\;M\Big]</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Discussion : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>Si «<math>\;E_{m,\,0} = U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p} < 0\;</math>» <math>\;\big(</math>courbe d'énergie mécanique en noir<ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif" /><math>\big)</math>, le point matériel <math>\;M\;</math> est dans un <u>état lié à mouvement circulaire</u> car «<math>\;r = p,\;\;\forall\;t\;</math> et <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 = 0,\;\;\forall\;t\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dot{r} = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ; il faut, pour que ceci soit réalisé, que <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}<math>\;\dot{r}_0\;</math> soit nulle c'est-à-dire que «<math>\;\alpha_0 = \widehat{\left( \overrightarrow{OM_0}\,,\, \vec{V}_0 \right)} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;C = \pm V_0\;r_0\;</math> ainsi que <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k} = \dfrac{m\;V_0^{\,2}\;r_0^{\,2}}{-k}\;</math>» et par suite que <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}«<math>\;r_0 = p = \dfrac{m\;V_0^{\,2}\;r_0^{\,2}}{-k}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_0 = \sqrt{\dfrac{-k}{m\;r_0}}\;</math>» correspondant effectivement à la norme du vecteur vitesse initiale nécessaire à un mouvement circulaire <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_de_l’expression_de_la_vitesse_linéaire_d’un_point_matériel_en_mouvement_circulaire_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_rayon_de_la_trajectoire|rappel de l'expression de la vitesse linéaire d'un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Discussion : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>Si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left] U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p}\,,\, 0 \right[\;</math>» <math>\;\big(</math>courbe d'énergie mécanique en rouge<ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif" /><math>\big)</math>, le point matériel <math>\;M\;</math> est dans un <u>état lié à mouvement elliptique</u> <math>\;\big[</math>on peut affirmer que la trajectoire est une ellipse dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont <math>\;O\;</math> est le <math>\;\big(</math>un des<math>\big)\;</math> foyer(s)<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" /><math>\big]\;</math> car on observe la présence de deux murs d’énergie potentielle effective, <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}celui de gauche définissant la distance minimale d’approche «<math>\;r_P\;</math>» et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}celui de droite {{Al|2}}{{Transparent|définissant }}la distance maximale d’éloignement «<math>\;r_A\;</math>», <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : celui de gauche }}correspondant tous deux à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «<math>\;\dot{r}_{P\,\text{ou}\,A} = 0\;</math>» ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}les distances minimale d'approche «<math>\;r_P\;</math>» et maximale d'éloignement «<math>\;r_A\;</math>» peuvent être déterminées algébriquement comme solutions de l'équation «<math>\;E_{m,\,0} = U_{\text{eff}}(r)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{-k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» c'est-à-dire l'équation du 2^ème degré de <math>\;r\;</math> suivante «<math>\;r^2 - \dfrac{k}{E_{m,\,0}}\;r + \dfrac{k\;p}{2\;E_{m,\,0}} = 0\;</math>» de discriminant «<math>\;\Delta = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} - 2\;\dfrac{k\;p}{E_{m,\,0}} = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{2\;p\;E_{m,\,0}}{k} \right) = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \right) > 0\;</math>» {{Nobr|<math>\;\bigg(</math>le}} 2^ème facteur étant <math>\;> 0\;</math> car <math>\;U_{\text{eff, min}} < E_{m,\,0} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;0 < \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} < 1\bigg)\;</math> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}l'existence de deux racines réelles distinctes toutes deux <math>\;> 0</math>, le « produit des racines étant <math>\;\dfrac{k\;p}{2\;E_{m,\,0}} > 0\;</math>» et la « somme <math>\;\dfrac{k}{E_{m,\,0}} > 0\;</math>» ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}on en déduit «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}r_P = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} - \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \right)} = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} \left[ 1 - \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}} \right]\\ r_A = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} + \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \right)} = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} \left[ 1 + \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}} \right]\end{array}\right\rbrace\;</math>» ou, avec <math>\;U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k}{2} = p\;U_{\text{eff, min}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} = p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}</math>, <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} r_P = p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} \left[ 1 - \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}} \right] = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} - \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right] < p\\ r_A = p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} \left[ 1 + \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}} \right] = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right] > p\end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref name="comparaison de rP et rA à p dans le cas d'un mouvement elliptique"> Posant «<math>\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} = x > 1\;</math>», il faut, pour constater que «<math>\;r_P\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;p\;</math>», vérifier «<math>\;x - \sqrt{x^2 - x}\;\;\overset{\text{?}}{<}\;\;1\;</math> <math>\overset{x > 1}{\;\Leftrightarrow\;}</math> <math>\;0 < x - 1 \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;\sqrt{x^2 - x}\;</math>» ou «<math>\;\left( x - 1 \right)^2 \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;x^2 - x\;</math>» soit, après développement du {{1er}} membre, «<math>\;x^2 - 2\;x + 1 \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;x^2 - x\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;-x + 1 \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;x \;\overset{\text{?}}{\;>\;}\;1\;</math> ce qui est vrai » d'où «<math>\;x - \sqrt{x^2 - x} < 1,\;\;\forall\;x > 1\;</math>» ;<br>{{Al|39}}de même il faut, pour constater que «<math>\;r_A\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;p\;</math>», vérifier «<math>\;x + \sqrt{x^2 - x}\;\;\overset{\text{?}}{>}\;\;1\;</math> <math>\overset{x > 1}{\;\Leftrightarrow\;}</math> <math>\;\sqrt{x^2 - x} \;\overset{\text{?}}{\;>\;}\;1 - x < 0\;</math> ce qui est vrai dans la mesure où le {{1er}} membre est <math>\;> 0\;</math> et le 2^nd <math>\;< 0\;</math>» d'où «<math>\;x + \sqrt{x^2 - x} > 1,\;\;\forall\;x > 1\;</math>».</ref> ;</center> {{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}<u>remarques</u> : ayant établi auparavant que la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans ces C.I<ref name="C.I." />. de lancement est une ellipse dont <math>\;O\;</math> est un des foyers, d'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans laquelle <math>\;\left( r = OM\,,\,\theta \right)\;</math> sont les coordonnées polaires du repérage de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement, <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math> le paramètre de l'ellipse, <math>\;e\;</math> l'excentricité de cette dernière et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\bigg]\;</math><ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" /> nous en déduisons <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : remarques : }}<math>\;r_P = \dfrac{p}{1 + e} = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} - \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{1 + e} = \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} - \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\;</math>» d'où «<math>\;e = \dfrac{1}{\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} - \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}} - 1 =</math> <math>\dfrac{\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} \right]} - 1 = \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right] - 1\;</math>» ou, après simplification évidente, «<math>\;e = \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\;</math>» ainsi que <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : remarques : }}<math>\;r_A = \dfrac{p}{1 - e} = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{1 - e} = \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\;</math>» d'où «<math>\;e = 1 - \dfrac{1}{\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}} =</math> <math>1 - \dfrac{\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} - \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} \right]} = 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} - \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right]\;</math>» ou, après simplification évidente, la même expression de l'excentricité «<math>\;e = \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\;</math>» et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : remarques : }}le demi-grand axe <math>\;a\;</math> de l'ellipse grâce à «<math>\;2\;a = r_P + r_A = 2\;p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;a = p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}\;</math>» ou, avec <math>\;U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p\;U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2}</math>, «<math>\;a = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}}\;</math>» en accord avec l'« [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Établissement_de_l’énergie_mécanique_du_point_en_mouvement_elliptique_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_demi_grand_axe_de_sa_trajectoire|établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire]] » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;a}\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|Discussion : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>Si «<math>\;E_{m,\,0} = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>courbe d'énergie mécanique en vert<ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif" /><math>\big)</math>, le point matériel <math>\;M\;</math> est dans un <u>état de diffusion critique</u><ref name="diffusion critique"> La diffusion est dite « critique » car elle correspond à une vitesse radiale nulle à l'infini et comme la vitesse orthoradiale l’est aussi <math>\;\bigg\{</math>par loi des aires «<math>\;r\;V_\theta = C\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V_\theta = \dfrac{C}{r} \rightarrow 0\;</math> quand <math>\;r \rightarrow +\infty\;</math>»<math>\bigg\}</math>, le vecteur vitesse dans une diffusion « critique » est nul à l'infini.</ref> car on observe la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective dont l'abscisse définit la distance minimale d'approche «<math>\;r_P = \dfrac{p}{2}\;</math>» ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}ayant établi auparavant que la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans ces C.I<ref name="C.I." />. de lancement est une parabole de foyer <math>\;O</math>, d'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans laquelle <math>\;\left( r = OM\,,\,\theta \right)\;</math> sont les coordonnées polaires du repérage de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement, <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math> le paramètre de la parabole et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>cette dernière constante restant à déterminer par C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\bigg]\;</math><ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" /> nous vérifions que le sommet de la parabole décrite par <math>\;M\;</math> a pour coordonnée radiale «<math>\;r(\theta = \varphi) = \dfrac{p}{2}\;</math>» en accord avec la distance minimale d'approche «<math>\;r_P = \dfrac{p}{2}\;</math>» précédemment trouvée par diagramme énergétique. {{Al|5}}{{Transparent|Discussion : }}<math>\;\blacktriangleright\;</math>Si «<math>\;E_{m,\,0} \in \left] 0\,,\, +\infty \right[\;</math>» <math>\;\big(</math>courbe d'énergie mécanique en bleu<ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien attractif" /><math>\big)</math>, le point matériel <math>\;M\;</math> est dans un <u>état de diffusion à mouvement hyperbolique</u> <math>\;\big[</math>on peut affirmer que la trajectoire est une branche d'hyperbole dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont <math>\;O\;</math> est le <math>\;\big(</math>un des<math>\big)\;</math> foyer(s)<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" /><math>\big]\;</math> car on observe <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}d'une part la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse définissant la distance minimale d'approche «<math>\;r_P < \dfrac{p}{2}\;</math>» laquelle correspond à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «<math>\;\dot{r}_P = 0\;</math>» et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}d'autre part l'existence d'une « vitesse radiale résiduelle à l'infini <math>\;\dot{r}_\infty > 0\;</math> telle que <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}_\infty^{\,2} = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="diffusion non critique"> Cette diffusion peut être qualifiée de « non critique » car elle correspond à une vitesse radiale non nulle à l'infini bien que la vitesse orthoradiale y soit nulle <math>\;\bigg\{</math>par loi des aires {{Nobr|«<math>\;r\;V_\theta =</math>}} <math>C\;</math>» <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;V_\theta =</math>}} <math>\dfrac{C}{r} \rightarrow 0\;</math> quand <math>\;r \rightarrow +\infty\;</math>»<math>\bigg\}</math>, le vecteur vitesse dans une diffusion « non critique » est radial et non nul à l'infini <math>\;\big(</math>dans la mesure où il a été démontré auparavant que la trajectoire de <math>\;M\;</math> est une branche d'hyperbole, le vecteur vitesse résiduel à l'infini a pour direction l'une des asymptotes de cette hyperbole<math>\big)</math>.</ref> ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}la distance minimale d'approche «<math>\;r_P\;</math>» peut être déterminée algébriquement comme solution positive de l'équation «<math>\;E_{m,\,0} = U_{\text{eff}}(r)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{-k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» c'est-à-dire l'équation du 2^ème degré de <math>\;r\;</math> suivante «<math>\;r^2 - \dfrac{k}{E_{m,\,0}}\;r + \dfrac{k\;p}{2\;E_{m,\,0}} = 0\;</math>» de discriminant «<math>\;\Delta = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} - 2\;\dfrac{k\;p}{E_{m,\,0}} = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{2\;p\;E_{m,\,0}}{k} \right) = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \right) > 0\;</math>» {{Nobr|<math>\;\bigg(</math>le}} 2^ème facteur étant <math>\;> 0\;</math> car <math>\;U_{\text{eff, min}} < 0\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} < 0\bigg)\;</math> d'où <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}l'existence de deux racines réelles distinctes dont une seule est <math>\;> 0</math>, le « produit des racines étant <math>\;\dfrac{k\;p}{2\;E_{m,\,0}} < 0\;</math>» ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}on en déduit «<math>\;r_P = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} + \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}} \right)} = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} \left[ 1 - \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}} \right]\;</math>»<ref> En effet avec <math>\;k < 0\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} > 0\;</math> on en déduit <math>\;\sqrt{\dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}}} = \dfrac{-k}{E_{m,\,0}}</math>.</ref> ou, avec <math>\;U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k}{2} = p\;U_{\text{eff, min}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} = p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}</math>, {{Nobr|«<math>\;r_P</math>}} <math>= p\;\dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} \left[ 1 - \sqrt{1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}} \right] = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} - \dfrac{U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}} \right] = p \left[ \dfrac{-\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}} \right] < \dfrac{p}{2}\;</math>»<ref name="comparaison de rP à p/2 dans le cas d'un mouvement hyperbolique"> Posant «<math>\;\dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} = x > 0\;</math>», il faut, pour constater que «<math>\;r_P\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{p}{2}\;</math>», vérifier «<math>\;-x + \sqrt{x^2 + x}\;\;\overset{\text{?}}{<}\;\;\dfrac{1}{2}\;</math> <math>\overset{x > 0}{\;\Leftrightarrow\;}</math> <math>\;0 < \sqrt{x^2 + x} \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;x + \dfrac{1}{2}\;</math>» ou «<math>\;x^2 + x \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;\left( x + \dfrac{1}{2} \right)^{\!2}\;</math>» soit, après développement du 2^ème membre, «<math>\;x^2 + x \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;x^2 + x + \dfrac{1}{4}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;0 \;\overset{\text{?}}{\;<\;}\;\dfrac{1}{4}\;</math> ce qui est vrai » d'où «<math>\;-x + \sqrt{x^2 + x} < \dfrac{1}{2},\;\;\forall\;x > 0\;</math>».</ref> ; <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : }}<u>remarques</u> : ayant établi auparavant que la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans ces C.I<ref name="C.I." />. de lancement est une branche d'hyperbole dont <math>\;O\;</math> est un des foyers, celui contourné par la branche, d'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans laquelle <math>\;\left( r = OM\,,\,\theta \right)\;</math> sont les coordonnées polaires du repérage de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement, <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math> le paramètre de l'hyperbole, <math>\;e\;</math> l'excentricité de cette dernière et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>ces deux dernières constantes restant à déterminer par {{Nobr|C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\bigg]\;</math><ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" />}} nous en déduisons <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : remarques : }}<math>\;r_P = \dfrac{p}{1 + e} = p \left[ \dfrac{-\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{1 + e} = \dfrac{-\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}}\;</math>» d'où l'expression de l'excentricité de l'hyperbole {{Nobr|«<math>\;e =</math>}} <math>\dfrac{1}{\dfrac{-\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}}} - 1 = \dfrac{\dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}}}{-\dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \left[ \dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} \right]} - 1 = \dfrac{E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}} \vert} \left[ \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}} \right] - 1\;</math>» ou, après simplification évidente, {{Nobr|«<math>\;e =</math>}} <math>\sqrt{1 + \dfrac{E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}}\;</math>» et <br />{{Al|10}}{{Transparent|Discussion : remarques : }}le demi axe focal <math>\;a\;</math> de l'hyperbole grâce à «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>»<ref name="lien entre a, p et e d'une hyperbole" /> ou, en utilisant <math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}}</math>, «<math>\;a = \dfrac{p}{\dfrac{E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}} = p\;\dfrac{\vert U_{\text{eff, min}} \vert}{E_{m,\,0}}\;</math>» ou, avec <math>\;U_{\text{eff, min}} = \dfrac{k}{2\;p}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p\;\vert U_{\text{eff, min}} \vert = \dfrac{\vert k \vert}{2}</math>, «<math>\;a = \dfrac{\vert k \vert}{2\;E_{m,\,0}} = \dfrac{-k}{2\;E_{m,\,0}}\;</math>» en accord avec le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_expression_de_l’énergie_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_demi_axe_focal_dans_un_mouvement_hyperbolique|complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique]] » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «<math>\;E_m = \dfrac{-k}{2\;a} = \dfrac{\vert k \vert}{2\;a}\;</math>». == En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif, état de diffusion == {{Al|5}}Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif<ref name="force newtonienne" /> par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais {{Al|5}}toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique <math>\Rightarrow</math> à savoir refaire. === Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien répulsif === {{Al|5}}Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k \neq 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre<ref name="énergie potentielle effective d'un point ayant un mouvement à force centrale conservative" /> «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;V_\theta^2 + U(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dfrac{C^2}{r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;C\;</math> la constante des aires<ref name="loi des aires" /> du mouvement du point<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}sachant que le paramètre <math>\;p\;</math> de la conique décrite par le point <math>\;M\;</math> s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(k > 0\big)</math>, selon «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k}\;</math>»<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d’une_force_newtonienne_répulsive_(k_>_0)|cas d'une force newtonienne répulsive (k > 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;m\;C^2 = k\;p\;</math>», {{Al|5}}l'expression de l'énergie potentielle effective de <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(</math>k > 0\big)\;</math> se réécrit, en fonction du paramètre <math>\;p\;</math> de la conique suivie par <math>\;M</math>, selon {{Nobr|«<math>\;U_{\text{eff}}(r) =</math>}} <math>\dfrac{k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» ou, en mettant «<math>\;\dfrac{k\;p}{2\;r^2}\;</math>» en facteur <center>«<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 + \dfrac{2\;r}{p} \right)\;</math>» à retrouver si besoin est.</center> === Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif === {{Al|5}}L'intégrale {{1re}} énergétique d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien quelconque «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k \neq 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> évoquée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Rappel_:_conservation_de_l'énergie_mécanique_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_newtonien,_conséquences|rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences]] (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «<math>\;E_m(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="abus d'écriture" />, se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(k > 0\big)</math>, selon <center>«<math>\;E_m(r) = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 + \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 + \dfrac{2\;r}{p} \right) = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> dans laquelle <br />«<math>\;\dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 + \dfrac{2\;r}{p} \right) = U_{\text{eff}}(r)\;</math>» est l'énergie potentielle effective de <math>\;M\;</math> et <br />{{Al|25}}«<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}_0^{\,2} + U_{\text{eff}}(r_0)\;</math>» {{Transparent|est }}son énergie mécanique initiale <br />{{Al|123}}dans le champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(k > 0\big)</math>.</center> === Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif === [[File:Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif (k > 0), état de diffusion]] {{Al|5}}<u>Diagramme d'énergie potentielle effective</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre en noir<math>\big)</math> : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle effective <math>\;U_{\text{eff}}\;</math> en fonction du paramètre de position <math>\;r</math>, d'équation «<math>\;U_{\text{eff}}(r) = \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \left( 1 + \dfrac{2\;r}{p} \right) =</math> <math>\dfrac{k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>quand <math>\;r \rightarrow 0^{+}</math>, <math>\;U_{\text{eff}}(r) \sim \dfrac{k\;p}{2\;r^2} \rightarrow +\infty</math>, quand <math>\;r \rightarrow +\infty</math>, <math>\;U_{\text{eff}}(r) \sim \dfrac{k}{r} \rightarrow 0^{+}</math>, <math>\;U_{\text{eff}}(r)\;</math> ne s'annule jamais<math>\bigg]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Diagramme d'énergie potentielle effective }}son tracé nécessite le calcul de «<math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r) = (-2)\;\dfrac{k\;p}{2\;r^3} - \dfrac{k}{r^2} = -\dfrac{k\;p}{r^3} \left( 1 + \dfrac{r}{p} \right)\;</math>», la recherche de son <math>\;\big(</math>ou ses<math>\big)\;</math> zéro(s) <math>\;\big[</math>il n'y en a aucun<math>\big]\;</math> ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position <math>\;\bigg\{</math>« sur <math>\;\left] 0\,,\,+\infty \right[</math>, <math>\;\dfrac{d U_{\text{eff}}}{dr}(r)\;</math> est <math>\;< 0\;</math>»<math>\bigg\}\;</math> d'où «<math>\;U_{\text{eff}}(r) \searrow\;</math> sur <math>\;\left] 0\,,\,+\infty \right[\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Diagramme d'énergie potentielle effective }}la courbe que nous appellerons par la suite <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)\;</math> <math>\;\big[</math>avec pour point générique <math>\;P_{u_{\text{eff}}}\big]\;</math> admet une asymptote <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des énergies «<math>\;r_{\text{asympt}} = 0\;</math>» et une autre asymptote <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du paramètre de position «<math>\;U_{\text{eff, asympt}} = 0\;</math>» en restant au-dessus de cette dernière. {{Al|5}}<u>Diagramme d'énergie mécanique</u> <math>\;\big(</math>voir ci-contre en rouge<math>\big)</math> : tracé de la courbe d’énergie mécanique c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> en fonction du paramètre de position <math>\;r</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Diagramme d'énergie mécanique }}il s'agit d'une droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne"/> <math>\;\big[</math>dans la suite nous appellerons <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> cette courbe et <math>\;P_m\;</math> le point générique de cette dernière<math>\big]</math>. === Commentaire du diagramme === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » rappelés plus haut dans ce chapitre au paragraphe « diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusion, [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Discussion_suivant_la_valeur_d’énergie_mécanique_initiale_du_point|discussion suivant la valeur d'énergie mécanique initiale du point]] (préliminaire) », nous précisons ci-dessous <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}les <u>grandes lignes adaptées au diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique</u> d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[</math>dans lequel <math>\;r = OM</math> <math>\;\big(</math>définissant le paramètre de position de <math>\;M\big)\;</math> est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]</math> : {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : les grandes lignes }}après avoir tracé les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique possibles de <math>\;M\;</math><ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Tracé_du_diagramme_d’énergies_potentielle_effective_et_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif|tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point M dans le champ de force newtonien répulsif]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : les grandes lignes }}on recherche les éventuels « murs d'énergie potentielle effective » correspondant aux « valeurs du paramètre de position <math>\;r_{\text{mur}}\;</math>» telles que «<math>\;E_m(r_{\text{mur}}) = U_{\text{eff}}(r_{\text{mur}})\;</math>»<ref name="abus d'écriture" /> {{Nobr|c'est-à-dire}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(r_{\text{mur}}) = 0\;</math>»<ref name="abus d'écriture - tetra" /> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : les grandes lignes }}on en déduit les « zones interdites » correspondant aux « domaines de paramètre de position <math>\;r_{\text{interdit}}\;</math> répondant à <math>\;E_m(r_{\text{interdit}}) < U_{\text{eff}}(x_{\text{interdit}})\;</math>» c'est-à-dire les zones qui nécessiteraient «<math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2(r_{\text{interdit}}) < 0\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans ces zones la courbe d'énergie mécanique <math>\;\left( \Gamma_m \right)\;</math> se trouve strictement au-dessous de la courbe d'énergie potentielle effective <math>\;\left( \Gamma_{u_{\text{eff}}} \right)</math>, correspondant à <math>\;\overline{P_{u_{\text{eff}}}P_m}\; \widehat{=}\; \dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}^2 < 0\;</math><ref name="signification du signe égal surmonté d'un accent circonflexe" /><math>\bigg]</math> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>Commentaire du diagramme</u> : L'énergie mécanique initiale du point <math>\;M\;</math> dans le champ de force newtonien répulsif <math>\;\big(k > 0\big)\;</math> «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} + \dfrac{k}{r_0}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec <math>\;\vec{V}_0\;</math> vecteur vitesse initiale de <math>\;M\;</math> et <math>\;r_0 = OM_0</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position initiale de <math>\;M\big)\;</math> étant la somme de deux termes <math>\;> 0\;</math> « est nécessairement <math>\;> 0\;</math>» <math>\;\big(</math>ce qu'on vérifie effectivement sur le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point <math>\;M\;</math> dans le champ de force newtonien répulsif<ref name="tracé des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique de M dans un champ de force newtonien répulsif" /><math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}sur ce diagramme on constate que le point matériel <math>\;M\;</math> est dans un <u>état de diffusion à mouvement hyperbolique</u> <math>\;\big[</math>on peut affirmer que la trajectoire est une branche d'hyperbole dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont <math>\;O\;</math> est le <math>\;\big(</math>un des<math>\big)\;</math> foyer(s)<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" /><math>\big]\;</math> car on observe <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}d'une part la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse définissant la distance minimale d'approche «<math>\;r_P\;</math>» laquelle correspond à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «<math>\;\dot{r}_P = 0\;</math>» et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}d'autre part l'existence d'une « vitesse radiale résiduelle à l'infini <math>\;\dot{r}_\infty > 0\;</math> telle que <math>\;\dfrac{1}{2}\;m\;\dot{r}_\infty^{\,2} = E_{m,\,0}\;</math>»<ref name="diffusion non critique" /> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}la distance minimale d'approche «<math>\;r_P\;</math>» peut être déterminée algébriquement comme solution positive de l'équation «<math>\;E_{m,\,0} = U_{\text{eff}}(r)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_{m,\,0} =</math> <math>\dfrac{k\;p}{2\;r^2} + \dfrac{k}{r}\;</math>» c'est-à-dire l'équation du 2^ème degré de <math>\;r\;</math> suivante «<math>\;r^2 - \dfrac{k}{E_{m,\,0}}\;r - \dfrac{k\;p}{2\;E_{m,\,0}} = 0\;</math>» de discriminant «<math>\;\Delta = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} + 2\;\dfrac{k\;p}{E_{m,\,0}} = \dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 + \dfrac{2\;p\;E_{m,\,0}}{k} \right) > 0\;</math>» <math>\;\big(</math>le 2^ème facteur étant <math>\;> 0\;</math> car <math>\;k > 0\;</math> et <math>\;E_{m,\,0} > 0\big)\;</math> d'où l'existence de deux racines réelles distinctes dont une seule est <math>\;> 0</math>, le « produit des racines étant <math>\;-\dfrac{k\;p}{2\;E_{m,\,0}} < 0\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}on en déduit «<math>\;r_P = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} + \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{k^2}{E_{m,\,0}^{\,2}} \left( 1 + \dfrac{2\;p\;E_{m,\,0}}{k} \right)} = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} \left[ 1 + \sqrt{1 + \dfrac{2\;p\;E_{m,\,0}}{k}} \right]\;</math>» ou, en introduisant l'« énergie potentielle effective pour la valeur de paramètre de position particulière <math>\;p\;</math> égale à <math>\;U_{\text{eff}}(p) = \dfrac{3\;k}{2\;p}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k}{2} = p\;\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} = p\;\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}</math>, «<math>\;r_P = p\;\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} \left[ 1 + \sqrt{1 + \dfrac{p}{\dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}}}} \right] = p\;\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} \left[ 1 + \sqrt{1 + \dfrac{3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}} \right]\;</math>» soit <center>«<math>\;r_P = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}} \right]\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}graphiquement, sur le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Tracé_du_diagramme_d’énergies_potentielle_effective_et_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif|diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point M dans le champ de force newtonien répulsif]] » représenté plus haut dans ce chapitre avec <math>\;E_{m,\,0} = 3\;U_{\text{eff}}(p)\;</math> on trouve graphiquement «<math>\;r_P \simeq 0,5\;p\;</math>» et algébriquement «<math>\;r_P = p \times \left[ \dfrac{1}{9} + \sqrt{\dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{9}} \right] \simeq 0,4625\;p\;</math>» ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : }}<u>remarques</u> : ayant établi auparavant que la trajectoire de <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif est une branche d'hyperbole dont <math>\;O\;</math> est un des foyers, celui non contourné par la branche, d'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{-p}{1 - e\;\cos(\theta - \varphi)} = \dfrac{p}{e\;\cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans laquelle <math>\;\left( r = OM\,,\,\theta \right)\;</math> sont les coordonnées polaires du repérage de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> du plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> contenant son mouvement, <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k}\;</math> le paramètre de l'hyperbole, <math>\;e\;</math> l'excentricité de cette dernière et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>ces deux dernières constantes restant à déterminer par {{Nobr|C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\bigg]\;</math><ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" />}} nous en déduisons <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : remarques : }}<math>\;r_P = \dfrac{p}{e - 1} = p \left[ \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}} \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{e - 1} = \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\;</math>» d'où l'expression de l'excentricité de l'hyperbole {{Nobr|«<math>\;e =</math>}} <math>\dfrac{1}{\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}} + 1 = \dfrac{-\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}{-\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \left[ \dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} \right]} + 1 = \dfrac{3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)} \left[ -\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}} + \sqrt{\dfrac{U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}} + \dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}} \right] + 1\;</math>» ou, après simplification évidente, {{Nobr|«<math>\;e =</math>}} <math>\sqrt{1 + \dfrac{3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>sur le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Tracé_du_diagramme_d’énergies_potentielle_effective_et_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif|diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point M dans le champ de force newtonien répulsif]] » représenté plus haut dans ce chapitre avec <math>\;E_{m,\,0} = 3\;U_{\text{eff}}(p)\;</math> on trouve une excentricité d'hyperbole «<math>\;e = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \simeq 3,16\;</math>»<math>\bigg]\;</math> et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Commentaire du diagramme : remarques : }}le demi axe focal <math>\;a\;</math> de l'hyperbole grâce à «<math>\;a = \dfrac{p}{e^2 - 1}\;</math>»<ref name="lien entre a, p et e d'une hyperbole" /> ou, en utilisant <math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}</math>, «<math>\;a = \dfrac{p}{\dfrac{3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}} = p\;\dfrac{U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}\;</math>» ou, avec <math>\;U_{\text{eff}}(p) =</math> <math>\dfrac{3\;k}{2\;p}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;p\;U_{\text{eff}}(p) = \dfrac{3\;k}{2}</math>, «<math>\;a = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}}\;</math>» en accord avec le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_expression_de_l’énergie_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif_en_fonction_du_demi_axe_focal_de_la_trajectoire_hyperbolique|complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal dans la trajectoire hyperbolique]] » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «<math>\;E_m = \dfrac{k}{2\;a}\;</math>». == En exercice, détermination de la loi horaire donnant l’abscisse angulaire « θ » d'un point M lors de la diffusion critique de ce dernier dans un champ de force newtonien attractif == {{Al|5}}La détermination de la loi horaire donnant l’abscisse angulaire «<math>\;\theta\;</math>» d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de la diffusion critique de ce dernier dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> en fonction du temps <math>\;t</math> <math>\;\Big[r = OM\;</math> étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]\;</math> est un exercice très classique à savoir traité, la diffusion critique<ref name="diffusion critique" /> correspondant à une trajectoire parabolique de <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement, d'équation polaire «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + \cos(\theta - \varphi)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>dans laquelle <math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k}\;</math> est le paramètre de la parabole et <math>\;\varphi\;</math> l'angle que fait l'axe focal<ref name="axe focal" /> avec l'axe polaire <math>\;\overrightarrow{Ox}</math> <math>\;\big(</math>cette dernière constante restant à déterminer par C.I<ref name="C.I." />.<math>\big)\bigg]\;</math><ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien" /> ; {{Al|5}}on exprime « la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}\;</math> de <math>\;M\;</math>» en fonction de «<math>\;r</math>, la distance le séparant du foyer <math>\;O\;</math>» par utilisation de la loi des aires «<math>\;r^2\;\dot{\theta} = C\;</math>» soit «<math>\;\dot{\theta} = \dfrac{C}{r^2}\;</math>» et, {{Al|5}}en utilisant l’équation polaire de la trajectoire de <math>\;M\;</math> rappelée ci-dessus «<math>\;r = \dfrac{p}{1 + \cos(\theta - \varphi)}\;</math>», on en déduit « la vitesse angulaire <math>\;\dot{\theta}\;</math> de <math>\;M\;</math>» en fonction de «<math>\;\theta\;</math> l'abscisse angulaire du point » soit {{Nobr|«<math>\;\dot{\theta} =</math>}} <math>\dfrac{C}{p^2}\; \left[ 1 + \cos(\theta - \varphi) \right]^2\;</math>» ou encore, en passant en angle moitié, «<math>\;\dot{\theta} = \dfrac{4\;C}{p^2}\; \cos^4\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right)\;</math>»<ref> On a utilise la formule de trigonométrie <math>\;1 + \cos(\alpha) = 2\;\cos^2\! \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)</math>.</ref> c'est-à-dire une équation différentielle non linéaire du {{1er}} ordre en <math>\;\theta(t)\;</math> dont la méthode d'intégration consiste à séparer les variables<ref name="intégration d'une équation non linéaire du 1er ordre"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Équations_différentielles#Exemple_d'une_équation_différentielle_non_linéaire_du_1er_ordre|exemple d'une équation différentielle non linéaire du {{1er}} ordre]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; {{Al|5}}on intègre donc «<math>\;\dfrac{d \theta}{dt} = \dfrac{4\;C}{p^2}\; \cos^4\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right)\;</math>» en séparant les variables selon «<math>\;\dfrac{d \theta}{\cos^4\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right)} = \dfrac{4\;C}{p^2}\;dt\;</math>» et, <br />{{Al|5}}{{Transparent|on intègre donc }}{{Al|55}}en remarquant que «<math>\;\dfrac{d \beta}{\cos^4(\beta)} = \dfrac{1}{\cos^2(\beta)}\; \dfrac{d \beta}{\cos^2(\beta)} = \left[ 1 + \tan^2(\beta) \right]\; d \left[ \tan(\beta) \right]\;</math>», on peut réécrire l’équation à intégrer selon <center>«<math>\;\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right]\; 2\;d \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right] = \dfrac{4\;C}{p^2}\;dt\;</math>» ou <br />«<math>\;\left[ 1 + \tan^2\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right]\; d \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right] = \dfrac{2\;C}{p^2}\;dt\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}en intégrant entre «<math>\;\theta = 0\;</math> et <math>\;\theta\;</math>» dans le membre de gauche et entre «<math>\;t = 0\;</math> et <math>\;t\;</math>» dans celui de droite, «<math>\;\left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) + \dfrac{1}{3}\;\tan^3\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right] - \left[ \tan\! \left( \dfrac{- \varphi}{2} \right) + \dfrac{1}{3}\;\tan^3\! \left( \dfrac{- \varphi}{2} \right) \right] = \dfrac{2\;C}{p^2}\;t\;</math>» ou <center>«<math>\;t = \dfrac{p^2}{2\;C} \left\lbrace \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) + \dfrac{1}{3}\;\tan^3\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right] + \left[ \tan\! \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) + \dfrac{1}{3}\;\tan^3\! \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math>»</center> {{Al|5}}définissant la loi horaire de l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif sous la forme «<math>\;t = t(\theta)\;</math>»<ref> L'inversion en «<math>\;\theta = \theta(t)\;</math>» correspondant à la résolution d'une équation algébrique du 3^ème degré est, a priori, non réalisable <math>\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut transformer le facteur «<math>\;\dfrac{p^2}{2\;C}\;</math>» <math>\;\big(</math>homogène à un temps<math>\big)\;</math> du 2^ème membre de la « loi horaire de l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif écrite sous la forme <math>\;t = t(\theta)\;</math>» en utilisant la coordonnée polaire du sommet <math>\;r_P = \dfrac{p}{2}\;</math> et la vitesse instantanée algébrisée correspondante «<math>\;v_P = V_{\theta,\,P}\;</math>»<ref> En effet au sommet <math>\;P\;</math> de la parabole la vitesse radiale étant nulle, le vecteur unitaire tangentiel <math>\;\vec{\tau}\;</math> de la base locale de Frenet <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_1er_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> peut se confondre avec le vecteur unitaire orthoradial <math>\;\vec{u}_\theta\;</math> de la base polaire liée à <math>\;P\;</math> et par suite leur composante respective du vecteur vitesse en <math>\;P\;</math> aussi {{Nobr|«<math>\;v_P = \vec{V}_P \cdot \vec{\tau} =</math>}} <math>\vec{V}_P \cdot \vec{u}_\theta = V_{\theta,\,P}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou base<math>\big)\;</math> de {{Nobr|Serret-Frenet}} <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> déterminée par «<math>\;r_P\;V_{\theta,\,P} =</math> <math>C\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{p}{2}\;v_P = C\;</math>» d'où «<math>\;\dfrac{p}{2\;C} =</math> <math>\dfrac{1}{v_P}\;</math> et <math>\;\dfrac{p^2}{2\;C} = \dfrac{p}{v_P} = \dfrac{2\;r_p}{v_P}\;</math>» ce qui permet de réécrire la « loi horaire de l'abscisse angulaire du point <math>\;M\;</math> en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif » selon <center>«<math>\;t = \dfrac{2\;r_p}{v_P} \left\lbrace \left[ \tan\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) + \dfrac{1}{3}\;\tan^3\! \left( \dfrac{\theta - \varphi}{2} \right) \right] + \left[ \tan\! \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) + \dfrac{1}{3}\;\tan^3\! \left( \dfrac{\varphi}{2} \right) \right] \right\rbrace\;</math>».</center> == En exercice, étude de la diffusion d’un point M lancé de l’infini dans un champ de force newtonien attractif, exemple de diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète == {{Al|5}}Il s'agit ici de présenter l'étude de la diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> d’un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> quand ce dernier est lancé de l'infini avec un vecteur vitesse initiale non nul <math>\;\Big[</math>C.I<ref name="C.I." />. particulières <math>\;\Big\{ r(0) : \infty\,,</math> <math>\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0} \Big\}\;</math> mais les plus usuelles lors d'une diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /><math>\Big]\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> dans lequel <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[r = OM\;</math> étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]</math> ; {{Al|5}}cette étude n'étant pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme « diffusion non critique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif quelconque » <math>\;\big[</math>même si son cas particulier « diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète » doit être considéré comme une information indispensable à connaître pour comprendre comment les humains peuvent explorer le Système solaire à moindre coût<math>\big]\;</math> est très classique, elle est donc traitée en exercice <math>\;\big(</math>à savoir refaire<math>\big)</math>. === Conditions initiales de lancement === [[File:Diffusion de point matériel dans un champ de force newtonien de centre O - conditions initiales.png|thumb|400px|Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> de centre <math>\;O\;</math> et le choix du repère cartésien dans le plan du mouvement de <math>\;M</math>]] {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> est lancé dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> dans lequel <math>\;k\;</math> est <math>\;< 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" />, de centre de force <math>\;O</math>, avec * une « distance initiale <math>\;r_0</math>, entre <math>\;M_0\;</math> et le centre attractif <math>\;O</math>, <math>\;\infty\;</math>» et * un « vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> connu par sa norme <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert = v_0\;</math> ainsi que sa direction repérée par son <u>paramètre d’impact</u> <math>\;h\;</math> c'est-à-dire <u>la distance orthogonale entre son support et le centre attractif</u> <math>\;O\;</math>»<ref name="nature de la trajectoire de diffusion non critique"> On rappelle que, dans le cas de la diffusion non critique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, le point décrit une branche d'hyperbole dont le centre de force <math>\;O\;</math> est un des foyers, celui contourné par la branche en question <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Application_de_la_r.f.d.n._dans_un_référentiel_galiléen_et_«_détermination_de_l’équation_polaire_de_la_trajectoire_par_utilisation_de_la_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale_»|application de la r.f.d.n. dans un référentiel galiléen et détermination de l'équation polaire de la trajectoire par utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale]] » et « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d'une_force_newtonienne_attractive_(k_<_0)|cas d'une force newtonienne attractive (k < 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir le schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On vérifie qu'il s'agit d'une diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> car l'« énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} \cancel{ +\; \dfrac{k}{r_0}}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Choix de l'axe polaire</u> : L’axe polaire «<math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» est choisi de même direction et de même sens que «<math>\;\vec{V}_0\;</math>» <math>\;\big[</math>compte-tenu de la nature de la trajectoire suivie par le point <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> c'est-à-dire une branche hyperbolique dont <math>\;O\;</math> est un des foyers, celui contourné par la branche<ref name="nature de la trajectoire de diffusion non critique" />, « <u>le support de</u> <math>\;\vec{V}_0\;</math> <u>est une des asymptotes de la branche hyperbolique</u> »<math>\big]</math>, ceci correspond alors à «<math>\;\theta = +\pi\;</math> pour <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Choix de l'axe polaire : }}<u>conséquence</u> : la base polaire en la position initiale <math>\;M_0\;</math> étant «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_r(M_0) = -\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_\theta(M_0) = -\vec{u}_y \right\rbrace\;</math>», la « vitesse orthoradiale initiale est <math>\;V_{\theta,\,0} = 0\;</math>» et comme la « coordonnée radiale de <math>\;M_0\;</math> est <math>\;r_0 : +\infty\;</math>», la détermination de la constante des aires <math>\;C\;</math> par «<math>\;r_0\;V_{\theta,\,0}\;</math>» correspond à une forme indéterminée «<math>\;\infty \times 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> il est donc nécessaire de procéder autrement pour l’évaluer. === Évaluation de la constante des aires === {{Al|5}}On rappelle la « définition de la constante des aires <math>\;C = \dfrac{\vec{\sigma}_O(0)}{m} \cdot \vec{u}_z\;</math>»<ref name="définition de la constante des aires"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_de_la_constante_des_aires_«_C_»|définition de la constante des aires C]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle «<math>\;\vec{\sigma}_O(0) = \overrightarrow{OM_0} \wedge m\;\vec{V}_0\;</math> est le vecteur moment cinétique initial du point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> par rapport à <math>\;O\;</math>» et {{Nobr|«<math>\;\vec{u}_z\;</math>}} le vecteur unitaire <math>\;\perp\;</math> au plan du mouvement de <math>\;M\;</math> orientant les angles de ce dernier » <math>\Rightarrow</math> «<math>\;C = \left[ \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z\;</math>» ou encore {{Al|5}}en levant l'indétermination due à <math>\;\Vert \overrightarrow{OM_0} \Vert : \infty\;</math> selon «<math>\;C = \left\lbrace \left[ \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HM_0} \right] \wedge \vec{V}_0 \right\rbrace \cdot \vec{u}_z = \left[ \overrightarrow{OH} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z + \left[ \overrightarrow{HM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z\;</math>»<ref name="distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle"> Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> soit, compte-tenu de la nullité du 2^ème terme {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{HM_0} \wedge \vec{V}_0</math>}} <math>= \vec{0}\;</math> <math>\;\big(</math>les deux vecteurs étant colinéaires<math>\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left[ \overrightarrow{HM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z = 0\;</math>», «<math>\;C = \left[ \overrightarrow{OH} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z\;</math>» et {{Al|5}}en explicitant les vecteurs du produit vectoriel par leurs composantes cartésiennes «<math>\;C = \left[ h\;\vec{u}_y \wedge v_0\;\vec{u}_x \right] \cdot \vec{u}_z\;</math>» soit finalement la valeur de la constante des aires dans ces C.I<ref name="C.I." />. de lancement :<center>«<math>\;C = -v_0\;h\;</math>»<ref> On pouvait aussi déterminer cette valeur de constante des aires en considérant que le scalaire «<math>\;\left[ \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z\;</math>» peut être identifié au moment scalaire du vecteur <math>\;\vec{V}_0\;</math> appliqué en <math>\;M_0\;</math> relativement à l'axe passant par <math>\;O\;</math> de vecteur directeur <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\big\{</math>notion calquée sur celle de moment scalaire d'une force en remplaçant cette dernière par un vecteur vitesse <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Définition_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ|définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|On pouvait aussi déterminer cette valeur de constante des aires }}en adaptant la méthode exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#2ème_méthode_de_détermination_du_moment_scalaire_d'une_force_par_rapport_à_un_axe_Δ,_notion_de_bras_de_levier_de_la_force_relativement_à_l'axe|2^ème méthode de détermination du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ, notion de bras de levier de la force relativement à l'axe]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit * après avoir constaté que <math>\;\overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0\;</math> est colinéaire à <math>\;\vec{u}_z</math>, chercher quel est le sens de ce vecteur <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0\;</math> est dans le sens de <math>\;-\vec{u}_z\;</math>» d'où «<math>\;\left[ \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z = C < 0\;</math>», * déterminer le bras de levier de <math>\;\vec{V}_0\;</math> relativement à l'axe passant par <math>\;O\;</math> de vecteur directeur <math>\;\vec{u}_z\;</math> c'est-à-dire la distance orthogonale séparant le support de <math>\;\vec{V}_0\;</math> de cet axe soit un bras de levier égal à <math>\;h\;</math> d'où «<math>\;\bigg\vert \!\left[ \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z \bigg\vert = \vert C \vert = v_0\;h\;</math>» et finalement, * en associant les deux résultats «<math>\;\left[ \overrightarrow{OM_0} \wedge \vec{V}_0 \right] \cdot \vec{u}_z = C = -v_0\;h\;</math>».</ref> à savoir retrouver.</center> === Détermination des grandeurs caractéristiques de la trajectoire === {{Al|5}}On rappelle que la trajectoire d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k < 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" />, lancé avec des C.I<ref name="C.I." />. de diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" />, est une branche d'hyperbole dont <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> est un des foyers, celui contourné par la branche en question<ref name="nature de la trajectoire de diffusion non critique" /> ; ci-dessous on précise quelques grandeurs caractéristiques de cette trajectoire. ==== Paramètre de la branche d’hyperbole ==== {{Al|5}}Le paramètre <math>\;p\;</math> de la branche d’hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif <math>\;k < 0\;</math> étant égal à «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{-k} > 0\;</math>» se réécrit, en utilisant l'évaluation de la constante des aires à savoir «<math>\;C = -v_0\;h\;</math>», sous la forme <center>«<math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k} > 0\;</math>».</center> ==== Demi axe focal de la branche d’hyperbole ==== {{Al|5}}Le demi axe focal <math>\;a\;</math> de la branche d’hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif <math>\;k < 0\;</math> peut se déterminer à l'aide de l'expression de l'énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2} \cancel{ +\; \dfrac{k}{r_0}} = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2}\;</math> en fonction du demi axe focal <math>\;a\;</math>» à savoir «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{-k}{2\;a}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_expression_de_l’énergie_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif_en_fonction_du_demi_axe_focal_dans_un_mouvement_hyperbolique|en complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> d'où «<math>\;a = \dfrac{-k}{2\;E_{m,\,0}} > 0\;</math>» ou, avec «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2}\;</math>», <center>«<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>».</center> ==== Demi axe non focal de la branche d'hyperbole ==== {{Al|5}}Sachant que le « support du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> en la position initiale <math>\;M_0\;</math> située à l'infini du centre de force <math>\;O\;</math> est une asymptote de la branche d'hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif <math>\;k < 0\;</math>», «<math>\;O\;</math> étant un des foyers de l'hyperbole en question », {{Al|5}}{{Transparent|Sachant }}que le demi axe non focal <math>\;b\;</math> d'une hyperbole est égal à la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes<ref name="demi axe non focal d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (on établit que la longueur FH₁ = …) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|Sachant }}que le « paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> de <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif » est la « distance orthogonale entre le support de <math>\;\vec{V}_0\;</math> et le centre attractif</u> <math>\;O\;</math>», {{Al|5}}nous en déduisons la valeur du demi axe non focal de la branche d'hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif, <center>«<math>\;b = h\;</math>».</center> ==== Excentricité de la branche d’hyperbole ==== {{Al|5}}L'« excentricité d'une hyperbole étant définie par <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math>» avec «<math>\;c\;</math> la distance séparant le centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole<ref name="centre C de l'hyperbole"> Noter <math>\;C\;</math> le centre de l'hyperbole ne peut prêter à confusion avec la constante des aires <math>\;C\;</math> d'où cet abus de notation.</ref> <math>\;\big(</math>ou point d'intersection des asymptotes<math>\big)\;</math> à l'un ou l'autre de ses deux foyers »<ref name="définition de l'excentricité d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Définition_bifocale_d'une_hyperbole|définition bifocale d'une hyperbole]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et {{Al|5}}la « distance <math>\;c\;</math> séparant le centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole<ref name="centre C de l'hyperbole" /> à l'un quelconque de ses deux foyers » étant liée aux « demi axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math>» par «<math>\;c^2 = a^2 + b^2\;</math>»<ref name="lien entre c, a et b d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c = \sqrt{a^2 + b^2}\;</math>» d'où {{Al|5}}par définition de l'excentricité d'une hyperbole «<math>\;e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^{\!\!2}}\;</math>» ; {{Al|5}}de la détermination du demi axe focal «<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Demi_axe_focal_de_la_branche_d’hyperbole|demi axe focal de la branche d'hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et non focal «<math>\;b = h\;</math>»<ref name="demi axe non focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Demi_axe_non_focal_de_la_branche_d’hyperbole|demi axe non focal de la branche d'hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> on en déduit l'expression cherchée de l'excentricité de la branche d'hyperbole «<math>\;e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{h}{\dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}}} \right)^{\!\!2}}\;</math>» soit <center>«<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} > 1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On peut aussi utiliser le « lien existant entre le paramètre <math>\;p\;</math> d'une hyperbole, son demi axe focal <math>\;a\;</math> et son excentricité <math>\;e\;</math>» à savoir «<math>\;p = a \left( e^2 - 1 \right)\;</math>»<ref name="lien entre a, p et e d'une hyperbole" /> <math>\Rightarrow</math> l'« excentricité <math>\;e\;</math> en fonction du paramètre <math>\;p\;</math> et du demi axe focal <math>\;a\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p}{a}}\;</math>» puis {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : On peut aussi utiliser }}les évaluations de «<math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k} > 0\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Paramètre_de_la_branche_d’hyperbole|paramètre de la branche d'hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et de «<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> que l'on injecte dans «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p}{a}}\;</math>», ce qui donne «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k}}{\dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}}}}\;</math>» soit, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}après simplification évidente, «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} > 1\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on peut utiliser la définition du paramètre d'une hyperbole «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>»<ref name="principales propriétés d'une hyperbole"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Principales_propriétés_d'une_hyperbole|principales propriétés d'une hyperbole]] (à retenir) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> pour en déduire le demi axe non focal <math>\;b\;</math> en fonction du demi axe focal <math>\;a\;</math> et du paramètre <math>\;p\;</math> soit «<math>\;b = \sqrt{a\;p}\;</math>» puis {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : on peut utiliser }}la connaissance de «<math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k} > 0\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> et de «<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> pour vérifier l'expression de «<math>\;b\;</math>» par réinjection dans «<math>\;b = \sqrt{a\;p} = \sqrt{\dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}}\;\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k}}\;</math>» soit, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}après simplification évidente, «<math>\;b = h\;</math>». ==== Angle d’inclinaison « β » des asymptotes avec l’axe focal ==== [[File:Diffusion de point matériel dans un champ de force newtonien de centre O - trajectoire.png|thumb|500px|Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif de centre <math>\;O</math>, le choix du repère cartésien et les principales grandeurs caractéristiques de la trajectoire hyperbolique de <math>\;M</math>]] {{Al|5}}De la détermination du demi axe non focal «<math>\;b = h\;</math>»<ref name="demi axe non focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> et du demi axe focal «<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif <math>\;\big(k < 0\big)</math>, on peut en déduire l’« angle d’inclinaison <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\beta\;</math> des asymptotes sur l’axe focal<ref name="axe focal" /> » <math>\;\big(</math>dont le positionnement reste à expliciter<math>\big)\;</math> par «<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente"> Voir la définition et les propriétés de la fonction <math>\;\arctan()\;</math> dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Fonctions_trigonométriques_inverses#Fonction_inverse_de_la_fonction_tangente_:_fonction_arctangente|fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> »<ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> soit «<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{h}{\dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}}} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » et finalement <center>«<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k} \right) = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{\vert k \vert} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)</math>.</center> ==== Angle polaire « φ » de l’axe focal ==== {{Al|5}}On constate sur le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_d’inclinaison_«_β_»_des_asymptotes_avec_l’axe_focal|angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal]] » ci-dessus que l'« angle polaire <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\varphi\;</math> de l'axe focal<ref name="axe focal" /> de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif <math>\;\big(k < 0\big)\;</math>» est égal à l'« angle d’inclinaison <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\beta\;</math> de la {{1re}} asymptote <math>\;\big(</math>le support de <math>\;\vec{V}_0\big)\;</math> sur l’axe focal<ref name="axe focal" /> » soit <center>«<math>\;\varphi = \beta = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)</math>.</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aussi pour déterminer l'« angle polaire <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\varphi\;</math> de l'axe focal<ref name="axe focal" /> de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif <math>\;\big(k < 0\big)\;</math>» utiliser les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \theta(t = 0) = \pi\\ r(t = 0) : \infty\\ \vec{V}(t = 0) = \vec{V}_0\end{array} \right\rbrace\;</math> en variables de Binet<ref name="Binet" /> à l'aide de l'équation polaire de la trajectoire de <math>\;M\;</math> «<math>\;r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}\;</math>»<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien attractif" /> dont on déduit les deux 1^ères variables de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(\theta)} = \dfrac{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}{p} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\;\cos(\theta - \varphi)\;</math> et <math>\;u'(\theta) = \dfrac{du}{d \theta}(\theta) = -\dfrac{e}{p}\;\sin(\theta - \varphi)\;</math>»<ref name="variables de Binet"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Définition_des_variables_de_Binet|définition des variables de Binet]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, les C.I<ref name="C.I." />. se réécrivant en variables de Binet<ref name="Binet" /> et en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> «<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = -C\;u'(\theta)\;</math>»<ref name="expression de Binet de Vr"> Voir le paragraphe [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Généralités#Expression_de_Binet_de_la_composante_radiale_du_vecteur_vitesse_de_M|expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M]] du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} u(\theta = \pi) \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{r(t = 0)} \!\!&=&\!\! 0\\ u'(\theta = \pi) \!\!&=&\!\! \dfrac{V_r(t = 0)}{-C} \!\!&=&\!\! \dfrac{v_0}{C}\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\Big[</math>en effet <math>\;V_r(t = 0) = -\Vert \vec{V}_0 \Vert =</math> <math>-v_0\;</math> car <math>\;u_r(\theta = \pi) = -\vec{u}_x\Big]\;</math> d'où {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;u(\theta = \pi) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\;\cos(\pi - \varphi) = 0\;</math> ou <math>\;\dfrac{1}{p} - \dfrac{e}{p}\;\cos(\varphi) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\cos(\varphi) = \dfrac{1}{e} > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;u'(\theta = \pi) = \dfrac{v_0}{C} = \dfrac{v_0}{-v_0\;h}\;</math><ref> On rappelle que <math>\;C = -v_0\;h</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Évaluation_de_la_constante_des_aires|évaluation de la constante des aires]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ou <math>\;u'(\theta = \pi) = -\dfrac{1}{h}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-\dfrac{e}{p}\;\sin(\pi - \varphi) = -\dfrac{1}{h}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{e}{p}\;\sin(\varphi) = -\dfrac{1}{h}\;</math>» soit finalement «<math>\;\sin(\varphi) = \dfrac{p}{e\;h} > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] 0\,,\, +\pi \right[\;</math> et, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en regroupant les deux conséquences des signes de <math>\;\cos(\varphi)\;</math> et de <math>\;\sin(\varphi)</math>, on en déduit «<math>\;\varphi \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» ce qui permet d'inverser «<math>\;\tan(\varphi) = \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} = \dfrac{\dfrac{p}{e\;h}}{\dfrac{1}{e}} = \dfrac{p}{h} = \dfrac{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k}}{h}\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> ou «<math>\;\tan(\varphi) = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k}\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;\varphi = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on notera toutefois que cette façon de déterminer <math>\;\varphi\;</math> dans le cas de la diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> d'un point <math>\;M\;</math> lancé de l'infini dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif est à éviter car elle est nettement plus calculatoire que celle consistant à utiliser les expressions précédemment trouvées des demi axes focal et non focal <math>\;\ldots</math> ==== Distance minimale d’approche ==== {{Al|5}}La « distance minimale d'approche <math>\;r_P\;</math> du point <math>\;M\;</math> lancé de l'infini sur la branche d'hyperbole suivie par ce point lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif » étant la « coordonnée radiale du sommet de cette branche » se détermine, à l'aide de l'équation polaire de cette dernière «<math>\;r(\theta) = \dfrac{p}{1 + e\;\cos(\theta - \varphi)}\;</math>»<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien attractif" />, selon «<math>\;r_P = r(\theta = \varphi) = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>» puis {{Al|5}}l'injection, dans «<math>\;r_P = \dfrac{p}{1 + e}\;</math>», des expressions du « paramètre <math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k} > 0\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif" /> et de l'« excentricité <math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} > 1\;</math>»<ref name="excentricité de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Excentricité_de_la_branche_d’hyperbole|excentricité de la branche d'hyperbole]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> de la branche d'hyperbole suivie par le point lors de sa diffusion non critique<ref name="diffusion non critique" /> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif nous conduit à «<math>\;r_P = \dfrac{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k}}{1 + \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}}}\;</math>» soit, en multipliant haut et bas par «<math>\;-k > 0\;</math>», <center>«<math>\;r_P = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{-k + \sqrt{k^2 + m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}} = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{\vert k \vert + \sqrt{k^2 + m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}}\;</math>» <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)</math>.</center> === Angle de diffusion === {{Définition| titre = Angle de diffusion lors de la diffusion d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien| contenu = {{Al|5}}L'angle de diffusion <math>\;D\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> lancé de l'infini avec un vecteur vitesse <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> est l'angle orienté dont tourne <math>\;M\;</math> dans le plan de son mouvement lors de sa diffusion hyperbolique complète par le centre de force <math>\;O\;</math> soit <center>«<math>\;D = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\,\vec{V}_{\infty} \right)}\;</math>» où <math>\;\vec{V}_{\infty}\;</math> est le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à la sortie de l'« espace champ de force newtonien ».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le support de <math>\;\vec{V}_0\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> située à l'infini du centre de force <math>\;O\;</math> définissant la {{1re}} asymptote de la branche hyperbolique suivie par <math>\;M\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}{{Al|9}}celui de <math>\;\vec{V}_\infty\;</math> passant par la position finale <math>\;M_\infty\;</math> également située à l'infini du centre de force <math>\;O</math>, la 2^ème asymptote de la branche hyperbolique suivie par <math>\;M</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'angle de diffusion de <math>\;M\;</math> lancé de l'infini dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> s'écrit encore «<math>\;D = \widehat{\left( \vec{V}_{1^{\text{ère}}\,\text{asymptote}}\,,\,\vec{V}_{2^{\text{ème}}\,\text{asymptote}} \right)}\;</math>». {{Al|5}}<u>Évaluation</u> : Dans le cas d'un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> attractif on constate, sur le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_d’inclinaison_«_β_»_des_asymptotes_avec_l’axe_focal|angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal]] » plus haut dans ce chapitre, * d'une part, que l'« angle de diffusion <math>\;D\;</math> est <math>\;< 0\;</math>», * d'autre part, l'axe focal étant un axe d'antisymétrie de la branche d'hyperbole orientée dans le sens du mouvement de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'« angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal<ref name="angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal"> L'angle d'inclinaison de chaque asymptote sur l'axe focal n'étant pas orienté.</ref> est le même quel que soit l'asymptote c'est-à-dire égal à <math>\;\beta\;</math>» d'où «<math>\;\vert D \vert = \pi - 2\;\beta\;</math>» soit, {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}après regroupement des deux informations, l'expression de l'angle de diffusion selon «<math>\;D = 2\;\beta - \pi < 0\;</math>» ou, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}en reportant l'évaluation de «<math>\;\beta\;</math>»<ref name="angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal de la trajectoire de M en diffusion non critique dans un champ de force newtonien attractif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_d’inclinaison_«_β_»_des_asymptotes_avec_l’axe_focal|angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k} \right) = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{\vert k \vert} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)</math>, la réécriture de l'angle de diffusion selon <center>«<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k} \right) - \pi = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{\vert k \vert} \right) - \pi < 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k < 0\big)</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}on peut trouver une expression plus compacte de l'angle de diffusion <math>\;D\;</math> en remarquant que «<math>\;D = 2\;\beta - \pi\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{D}{2} = \beta - \dfrac{\pi}{2} \in \left] - \dfrac{\pi}{2}\, ,\, 0 \right[\;</math><ref> «<math>\;\beta\;</math>» étant un angle non algébrisé s'écrivant sous la forme d'un <math>\;\arctan()\;</math> prend des valeurs dans l'intervalle «<math>\;\left] 0\,, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» d'où l'appartenance de celles de «<math>\;\beta - \dfrac{\pi}{2}\;</math>».</ref> » et par suite, «<math>\;\dfrac{D}{2}\;</math>» peut être mis sous forme d’un «<math>\;\arctan()\;</math>» à partir de «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{D}{2} \right) = \tan\! \left( \beta - \dfrac{\pi}{2} \right) = -\tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \beta \right) = -\cot(\beta) = -\dfrac{1}{\tan(\beta)} = - \dfrac{1}{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{-k}} = -\dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}\;h} = -\dfrac{\vert k \vert}{m\;v_0^{\,2}\;h}\;</math>» <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)\;</math> d'où, en inversant, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{D}{2} =</math>}} <math>-\arctan\! \left( \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}\;h} \right) = -\arctan\! \left( \dfrac{\vert k \vert}{m\;v_0^{\,2}\;h} \right) < 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k\;</math> étant <math>\;< 0\big)\;</math> soit finalement <center>«<math>\;D = -2\;\arctan\! \left( \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}\;h} \right) = -2\;\arctan\! \left( \dfrac{\vert k \vert}{m\;v_0^{\,2}\;h} \right) < 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » <math>\;\big(k < 0\big)</math>.</center> === Exemple de la diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète === {{Al|5}}La technique de la diffusion d'une sonde solaire par le champ de gravitation d'une planète du Système solaire consistant à utiliser volontairement l’attraction d’un corps céleste <math>\;\big(</math>la planète en question<math>\big)\;</math> pour modifier en direction <math>\;\big(</math>et en vitesse<math>\big)\;</math> la trajectoire d’un engin spatial est appelée « [[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle (ou appui gravitationnel)]] », l’objectif étant d’économiser le carburant qui aurait dû être consommé par le moteur-fusée du véhicule pour obtenir le même résultat ; {{Al|5}}toutes les sondes en direction de corps célestes éloignés de la Terre (♁) ont recours à cette méthode. {{Al|5}}<u>Exemple</u> « <u>[[w:Assitance_gravitationnelle#Voyager_2|Voyager 2]]</u> » : « [[w:Assitance_gravitationnelle#Voyager_2|Voyager 2]] » a été lancée en août <math>1977</math>, elle a fait le tour des [[w:Planète géante|planètes géantes]] en restant dans le plan de l’« [[w:Écliptique|écliptique]] »<ref name="écliptique"> Où restent approximativement localisées les planètes du Système solaire.</ref> et a reçu l’[[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] de « Jupiter (♃) en juillet <math>1979\;</math>», de « Saturne (♄) en août <math>1981\;</math>», d’« Uranus (♅) en janvier <math>1986\;</math>» et de « Neptune (♆) en août <math>1989\;</math>» <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}Après le survol de Neptune (♆), la sonde est sortie du plan de l’« [[w:Écliptique|écliptique]] »<ref name="écliptique" /> avec un angle de <math>\;-30\;\text{°}</math>, la plateforme portant une partie des instruments ayant alors été désactivée avec cependant certains instruments restés fonctionnels pour permettre de continuer de recueillir des données sur l’environnement, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), }}« [[w:Assitance_gravitationnelle#Voyager_2|Voyager 2]] » a ensuite franchi les limites d’influence principale de l’« [[w:Héliosphère|héliosphère]] »<ref name="héliosphère"> Zone en forme de bulle allongée dans l’espace engendrée par les [[w:Vent_solaire|vents solaires]] <math>\;\big[</math>projection, par la haute atmosphère du Soleil (☉), de particules atomiques <math>\;\big(</math>essentiellement protons et électrons<math>\big)\big]</math>.</ref> en « août <math>2007\;</math> à <math>\;84\;ua\;</math><ref name="ua"> « L'[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] de symbole <math>\;ua\;</math>» <math>\;1\;ua \simeq 1,50\;10^{11}\;m\;</math> est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre (♁) autour du Soleil (☉).</ref> du Soleil (☉) » et <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), « Voyager 2 » }}a quitté définitivement le Système solaire magnétique limitée par l’« [[w:Héliopause|héliopause]] » en « novembre <math>2018\;</math>», en se dirigeant vers les constellations du [[w:Sagittaire_(constellation)|Sagittaire]] et du [[w:Paon_(constellation)|Paon]] ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}en « mai <math>\;2019\;</math>» la sonde était approximativement « à <math>\;116\;ua\;</math><ref name="ua" /> du Soleil (☉) » et dans le futur, elle devrait passer à une « distance de <math>\;1,7\;</math> [[w:Année-lumière|années-lumière]]<ref name="année-lumière"> Une [[w:Année-lumière|année-lumière]] est la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une année terrestre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;1\;\text{année-lumière} = c\;T_{\text{révol. (♁) dans Cop}} \simeq \left[ 3\;10^8 \times \left( 365,25 \times 24 \times 3600 \right) \right] m \simeq</math> <math> 9,5\;10^{15}\;m\;</math>» soit «<math>\;1 \;\text{année-lumière} \simeq 10^{13}\;km\;</math>» ou, en comparant à « l'[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] de symbole <math>\;ua</math>, <math>\;1\;ua \simeq 1,50\;10^{8}\;km\;</math>», «<math>\;1 \;\text{année-lumière} \simeq 63000\;ua\;</math>».</ref> de l’étoile {{Nobr|[[w:Ross_248|Ross 248]]}} située dans la constellation d’[[w:Andromède_(constellation)|Andromède]] » dans approximativement <math>\;40000\; ans\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}À chaque [[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] la sonde a vu sa direction changer mais aussi sa vitesse héliocentrique varier : [[File:Appui gravitationnel d'une sonde solaire sur Jupiter.png|thumb|400px|Schéma expliquant l'accélération d'une sonde solaire dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic"> '''[[w:Nicolas_Copernic|Nicolas Copernic]] (1473 - 1543)''' chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » <math>\;\big[</math>consistant à considérer que c'est le [[w:Soleil|Soleil]] et non la Terre qui est au centre du [[w:Système_solaire|Système solaire]]<math>\big]</math>.</ref> par [[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] sur Jupiter (♃)]] {{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}ci-contre le schéma explicatif de la diffusion de la sonde par Jupiter (♃) <math>\;\big[</math>la constante <math>\;k_{\text{(♃)}}\;</math> intervenant dans l'expression de la force newtonienne attractive que Jupiter (♃) exerce sur la sonde étant égale à «<math>\;k_{\text{(♃)}} = -\mathcal{G}\;m_{\text{♃}}\;m\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq</math> <math>6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle, <math>\;m_{\text{♃}} \simeq 1,9\;10^{27}\;kg\;</math> la masse de Jupiter (♃)<ref> Jupiter (♃) est la planète du Système solaire ayant la plus grande masse même si celle-ci reste relativement très faible «<math>\;m_{\text{♃}} \simeq 9,5\;10^{-4}\;m_{\text{☉}}\;</math>» avec <math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;</math> la masse du Soleil (☉) ; <br>{{Al|3}}comparée à la Terre (♁), Jupiter (♃) est relativement de très grande masse «<math>\;m_{\text{♃}} \simeq 318\;m_{\text{♁}}\;</math>» avec <math>\;318\;m_{\text{♁}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre (♁).</ref> et <math>\;m\;</math> la masse de la sonde<ref> Celle-ci valait <math>\;m \simeq 722\;kg\;</math> au lancement avec <math>\;90\;kg\;</math> d'[[w:Ergol|ergols]] et <math>\;105\;kg\;</math> d'instruments.</ref> »<math>\big]</math>, le vecteur vitesse de celle-ci dans le référentiel « jovocentrique »<ref name="référentiel jovocentrique"> Référentiel lié au centre de Jupiter (♃) et en translation par rapport au référentiel de Copernic <math>\;\big[</math>c’est l’analogue du référentiel géocentrique lequel est lié au centre de la Terre (♁) en translation par rapport au référentiel de Copernic<math>\big]</math>.</ref> restant de même norme avant ou après diffusion mais sa direction changeant <math>\;\big(</math>en marron sur le schéma<math>\big)\;</math> et son vecteur vitesse dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> <math>\;\big(</math>en rouge sur le schéma<math>\big)\;</math> étant la somme de son vecteur vitesse dans le référentiel « jovocentrique »<ref name="référentiel jovocentrique" /> <math>\;\big(</math>en marron sur le schéma<math>\big)\;</math> et du vecteur vitesse de Jupiter (♃) dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" /> <math>\;\big(</math>lequel pouvant être estimé inchangé est représenté en bleu sur le schéma<math>\big)\;</math> la composition vectorielle <math>\;\big(</math>en rouge sur le schéma<math>\big)\;</math> engendre une modification en norme ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}ci-contre cette modification correspond à une augmentation de vitesse de la sonde dans le référentiel de {{Nobr|Copernic<ref name="Copernic" />}} car la projection du vecteur vitesse héliocentrique de Jupiter <math>\;\big(</math>en bleu sur le schéma<math>\big)\;</math> est de sens contraire au vecteur vitesse jovocentrique de la sonde <math>\;\big(</math>en marron sur le schéma<math>\big)\;</math> avant diffusion et de même sens après diffusion ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}il serait possible d'obtenir une diminution de vitesse de la sonde dans le référentiel de {{Nobr|Copernic<ref name="Copernic" />}} à condition que la projection du vecteur vitesse héliocentrique de Jupiter soit de même sens que le vecteur vitesse jovocentrique de la sonde avant diffusion et de sens contraire après diffusion <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}Historiquement « [[w:Assitance_gravitationnelle#Voyager_2|Voyager 2]] » a subi, dans le référentiel de Copernic<ref name="Copernic" />, * une diminution de vitesse de <math>\;35\;km \cdot s^{-1}\;</math> à <math>\;28\;km \cdot s^{-1}\;</math> par [[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] sur Jupiter (♃), * une augmentation de vitesse de <math>\;28\;km \cdot s^{-1}\;</math> à <math>\;34\;km \cdot s^{-1}\;</math> par [[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] sur Saturne (♄), * une diminution de vitesse de <math>\;34\;km \cdot s^{-1}\;</math> à <math>\;24\;km \cdot s^{-1}\;</math> par [[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] sur Uranus (♅) et * une augmentation de vitesse de <math>\;24\;km \cdot s^{-1}\;</math> à <math>\;29\;km \cdot s^{-1}\;</math> par [[w:Assistance_gravitationnelle|appui gravitationnel]] sur Neptune (♆) ; {{Al|5}}{{Transparent|Exemple « Voyager 2 » : }}à l'heure actuelle « [[w:Assitance_gravitationnelle#Voyager_2|Voyager 2]] » s’éloigne à une vitesse héliocentrique d’une quinzaine de <math>\;km \cdot s^{-1}\;\ldots</math> == En exercice, étude d’une diffusion d’un point M lancé de l’infini dans un champ de force newtonien répulsif, exemple de la diffusion de Rutherford == {{Al|5}}Il s'agit ici de présenter l'étude de la diffusion d’un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> quand ce dernier est lancé de l'infini avec un vecteur vitesse initiale non nul <math>\;\Big[</math>C.I<ref name="C.I." />. particulières <math>\;\Big\{ r(0) : \infty\,,</math> <math>\vec{V}_M(0) = \vec{V}_0 \neq \vec{0} \Big\}\;</math> dans un champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> dans lequel <math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> <math>\;\Big[r = OM\;</math> étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans le plan <math>\;\left( xOy \right)\;</math> de son mouvement et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> dans <math>\;\left( xOy \right)\Big]</math> ; {{Al|5}}cette étude n'étant pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme « diffusion d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif quelconque » <math>\;\big[</math>bien que son cas particulier « diffusion de Rutherford<ref name="Rutherford"> '''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]] (1871 - 1937)''' physicien et chimiste néo-zélando-britannique, considéré comme le père de la physique nucléaire ; il découvrit les [[w:Particule_α|rayonnements α]] et [[w:Particule_β|rayonnements β]] <math>\;\big\{</math>en <math>\;1899\;</math> à l'« Université McGill de Montréal » <math>\left( 1898\; -\; 1907 \right)\big\}\;</math> ainsi que le fait que « la radioactivité s'accompagne d’une désintégration de l'élément chimique », ce qui lui valut le prix Nobel de chimie en <math>\;1908</math> ; c'est sous sa direction <math>\;\big\{</math>« Université de Manchester » <math>\left( 1907\; -\; 1919 \right)\big\}\;</math> que fut mise en évidence l'existence du noyau atomique <math>\;\big(</math>expérience de Rutherford<math>\big)\;</math> et également lui qui réussit la {{1re}} transmutation artificielle ; puis il devint directeur du laboratoire Cavendish de l’« Université de Cambridge » de <math>\;1919\;</math> à <math>\;1937</math>, ayant eu entre autres pour étudiants <br>{{Al|3}}« '''[[w:James_Chadwick|James Chadwick]] (1891 - 1974)''' physicien britannique <math>\;\big(</math>ayant découvert le neutron en <math>\;1932\;</math> ce qui lui valut le prix Nobel de physique en <math>\;1935\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}« '''[[w:Niels_Bohr|Niels Henrik David Bohr]] (1885 - 1962)''' physicien danois <math>\;\big(</math>ayant montré, entre autres, l’instabilité du modèle d’atome de Rutherford en <math>\;1913</math>, connu pour son apport à l'édification de la [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], lauréat du prix Nobel de physique en <math>\;1922\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}« '''[[w:Robert_Oppenheimer|Julius Robert Oppenheimer]] (1904 - 1967)''' physicien américain qui s'est d'abord distingué en [[w:Physique_théorique|physique théorique]] <math>\;\big(</math>publie des articles importants en [[w:Mécanique_quantique|mécanique quantique]], en [[w:Physique_des_particules|physique des particules]] et en [[w:Physique_nucléaire|physique nucléaire]], également connu pour sa thèse sur la naissance des [[w:Trou_noir|trous noirs]] dans l'[[w:Univers|Univers]]<math>\big)\;</math> puis a assuré la responsabilité de directeur scientifique du [[w:Projet_Manhattan|projet Manhattan]] à partir de février <math>\;1943</math>, ce qui fait qu'il est régulièrement surnommé “ le père de la bombe atomique ” <math>\;\big(</math>bombe que l'on devrait plutôt qualifier de “ nucléaire ”<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>même s'il déclare que les États-Unis auraient dû transmettre plus d'avertissements au Japon avant de [[w:Bombardements_atomiques_d'Hiroshima_et_de_Nagasaki|bombarder Hiroshima et Nagasaki]] il reste partisan de l'usage des bombes “ atomiques ” pour mettre fin à la guerre<math>\big]\;</math>».</ref> d'un hélion<ref name="hélion"> C.-à-d. une particule <math>\;\alpha</math> <math>\;\big(</math>cation <math>\;He^{2\,+}\;</math> ou atome d'Hélium totalement ionisé ou encore noyau d'Hélium<math>\big)</math>.</ref> par le champ électrostatique d’un noyau » soit, quant à lui, précisé dans le programme comme étude documentaire<ref name="expérience de Rutherford"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Approche_documentaire_:_expérience_de_Rutherford|approche documentaire : expérience de Rutherford]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big]\;</math> est très classique, elle est donc traitée en exercice <math>\;\big(</math>à savoir refaire<math>\big)</math>. === Conditions initiales de lancement === [[File:Diffusion de point matériel dans un champ de force newtonien de centre O - conditions initiales.png|thumb|400px|Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> de centre <math>\;O\;</math> et le choix du repère cartésien dans le plan du mouvement de <math>\;M</math>]] {{Al|5}}Le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> est lancé dans un champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> dans lequel <math>\;k\;</math> est <math>\;> 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" />, de centre de force <math>\;O</math>, avec * une « distance initiale <math>\;r_0</math>, entre <math>\;M_0\;</math> et le centre répulsif <math>\;O</math>, <math>\;\infty\;</math>» et * un « vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> connu par sa norme <math>\;\Vert \vec{V}_0 \Vert = v_0\;</math> ainsi que sa direction repérée par son <u>paramètre d’impact</u> <math>\;h\;</math> c'est-à-dire <u>la distance orthogonale entre son support et le centre répulsif</u> <math>\;O\;</math>»<ref name="nature de la trajectoire de diffusion dans un champ de force newtonien répulsif"> On rappelle que, dans le cas de la diffusion d'un point dans un champ de force newtonien répulsif, le point décrit une branche d'hyperbole dont le centre de force <math>\;O\;</math> est un des foyers, celui non contourné par la branche en question <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Application_de_la_r.f.d.n._dans_un_référentiel_galiléen_et_«_détermination_de_l’équation_polaire_de_la_trajectoire_par_utilisation_de_la_formule_de_Binet_relative_à_l’accélération_radiale_»|application de la r.f.d.n. dans un référentiel galiléen et détermination de l'équation polaire de la trajectoire par utilisation de la formule de Binet relative à l'accélération radiale]] » et « nature de la trajectoire dans le [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Cas_d'une_force_newtonienne_répulsive_(k_>_0)|cas d'une force newtonienne répulsive (k > 0)]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\big(</math>voir le schéma ci-contre<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On vérifie que l'« énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} \cancel{ +\; \dfrac{k}{r_0}}\;</math> est <math>\;> 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Choix de l'axe polaire</u> : L’axe polaire «<math>\;\overrightarrow{Ox}\;</math>» est choisi de même direction et de même sens que «<math>\;\vec{V}_0\;</math>» <math>\;\big[</math>compte-tenu de la nature de la trajectoire suivie par le point <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion c'est-à-dire une branche hyperbolique dont <math>\;O\;</math> est un des foyers, celui non contourné par la branche<ref name="nature de la trajectoire de diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" />, « <u>le support de</u> <math>\;\vec{V}_0\;</math> <u>est une des asymptotes de la branche hyperbolique</u> »<math>\big]</math>, ceci correspond alors à «<math>\;\theta = +\pi\;</math> pour <math>\;t = 0\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Choix de l'axe polaire : }}<u>conséquence</u> : la base polaire en la position initiale <math>\;M_0\;</math> étant «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_r(M_0) = -\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_\theta(M_0) = -\vec{u}_y \right\rbrace\;</math>», la « vitesse orthoradiale initiale est <math>\;V_{\theta,\,0} = 0\;</math>» et comme la « coordonnée radiale de <math>\;M_0\;</math> est <math>\;r_0 : +\infty\;</math>», la détermination de la constante des aires <math>\;C\;</math> par «<math>\;r_0\;V_{\theta,\,0}\;</math>» correspond à une forme indéterminée «<math>\;\infty \times 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> il est donc nécessaire de procéder autrement pour l’évaluer. === Évaluation de la constante des aires === {{Al|5}}Identique à celle exposée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Évaluation_de_la_constante_des_aires|évaluation de la constante des aires]] (dans le cas d'une diffusion non critique d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre, on rappelle le résultat <center>«<math>\;C = -v_0\;h\;</math>» à savoir retrouver.</center> === Détermination des grandeurs caractéristiques de la trajectoire === {{Al|5}}On rappelle que la trajectoire d'un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> avec <math>\;k > 0\;</math>»<ref name="force newtonienne" /> est une branche d'hyperbole dont <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> est un des foyers, celui non contourné par la branche en question<ref name="nature de la trajectoire de diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> ; ci-dessous on précise quelques grandeurs caractéristiques de cette trajectoire. ==== Paramètre de la branche d’hyperbole ==== {{Al|5}}Le paramètre <math>\;p\;</math> de la branche d’hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif <math>\;k > 0\;</math> étant égal à «<math>\;p = \dfrac{m\;C^2}{k} > 0\;</math>» se réécrit, en utilisant l'évaluation de la constante des aires à savoir «<math>\;C = -v_0\;h\;</math>», sous la forme <center>«<math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k} > 0\;</math>».</center> ==== Demi axe focal de la branche d’hyperbole ==== {{Al|5}}Le demi axe focal <math>\;a\;</math> de la branche d’hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif <math>\;k > 0\;</math> peut se déterminer à l'aide de l'expression de l'énergie mécanique initiale «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2} \cancel{ +\; \dfrac{k}{r_0}} = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2}\;</math> en fonction du demi axe focal <math>\;a\;</math>» à savoir «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{k}{2\;a}\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#En_complément,_expression_de_l’énergie_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_répulsif_en_fonction_du_demi_axe_focal_de_la_trajectoire_hyperbolique|en complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la trajectoire hyperbolique]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> d'où «<math>\;a = \dfrac{k}{2\;E_{m,\,0}} > 0\;</math>» ou, avec «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;v_0^{\,2}\;</math>», <center>«<math>\;a = \dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>».</center> ==== Demi axe non focal de la branche d'hyperbole ==== {{Al|5}}Sachant que le « support du vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> en la position initiale <math>\;M_0\;</math> située à l'infini du centre de force <math>\;O\;</math> est une asymptote de la branche d'hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif <math>\;k > 0\;</math>», «<math>\;O\;</math> étant un des foyers de l'hyperbole en question », {{Al|5}}{{Transparent|Sachant }}que le demi axe non focal <math>\;b\;</math> d'une hyperbole est égal à la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes<ref name="demi axe non focal d'une hyperbole" /> et {{Al|5}}{{Transparent|Sachant }}que le « paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la diffusion de <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif » est la « distance orthogonale entre le support de <math>\;\vec{V}_0\;</math> et le centre répulsif</u> <math>\;O\;</math>», {{Al|5}}nous en déduisons la valeur du demi axe non focal de la branche d'hyperbole suivie par <math>\;M\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif, <center>«<math>\;b = h\;</math>».</center> ==== Excentricité de la branche d’hyperbole ==== {{Al|5}}L'« excentricité d'une hyperbole étant définie par <math>\;e = \dfrac{c}{a}\;</math>» avec «<math>\;c\;</math> la distance séparant le centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole<ref name="centre C de l'hyperbole" /> <math>\;\big(</math>ou point d'intersection des asymptotes<math>\big)\;</math> à l'un ou l'autre de ses deux foyers »<ref name="définition de l'excentricité d'une hyperbole" /> et {{Al|5}}la « distance <math>\;c\;</math> séparant le centre <math>\;C\;</math> de l'hyperbole<ref name="centre C de l'hyperbole" /> à l'un qulconque de ses deux foyers » étant liée aux « demi axes focal <math>\;a\;</math> et non focal <math>\;b\;</math>» par «<math>\;c^2 = a^2 + b^2\;</math>»<ref name="lien entre c, a et b d'une hyperbole" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;c = \sqrt{a^2 + b^2}\;</math>» d'où {{Al|5}}par définition de l'excentricité d'une hyperbole «<math>\;e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} = \sqrt{1 + \left( \dfrac{b}{a} \right)^{\!\!2}}\;</math>» ; {{Al|5}}de la détermination du demi axe focal «<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Demi_axe_focal_de_la_branche_d’hyperbole_2|demi axe focal de la branche d'hyperbole]] (suivie par M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et non focal «<math>\;b = h\;</math>»<ref name="demi axe non focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Demi_axe_non_focal_de_la_branche_d’hyperbole_2|demi axe non focal de la branche d'hyperbole]] (suivie par M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> on en déduit l'expression cherchée de l'excentricité de la branche d'hyperbole «<math>\;e = \sqrt{1 + \left( \dfrac{h}{\dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}}} \right)^{\!\!2}}\;</math>» soit <center>«<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} > 1\;</math>».</center> {{Al|5}}<u>Remarques</u> : On peut aussi utiliser le « lien existant entre le paramètre <math>\;p\;</math> d'une hyperbole, son demi axe focal <math>\;a\;</math> et son excentricité <math>\;e\;</math>» à savoir «<math>\;p = a \left( e^2 - 1 \right)\;</math>»<ref name="lien entre a, p et e d'une hyperbole" /> <math>\Rightarrow</math> l'« excentricité <math>\;e\;</math> en fonction du paramètre <math>\;p\;</math> et du demi axe focal <math>\;a\;</math>» c'est-à-dire «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p}{a}}\;</math>» puis {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : On peut aussi utiliser }}les évaluations de «<math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k} > 0\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Paramètre_de_la_branche_d’hyperbole_2|paramètre de la branche d'hyperbole]] (suivie par M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> et de «<math>\;a = \dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> que l'on injecte dans «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{p}{a}}\;</math>», ce qui donne «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k}}{\dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}}}}\;</math>» soit, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}après simplification évidente, «<math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} > 1\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}on peut utiliser la définition du paramètre d'une hyperbole «<math>\;p = \dfrac{b^2}{a}\;</math>»<ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> pour en déduire le demi axe non focal <math>\;b\;</math> en fonction du demi axe focal <math>\;a\;</math> et du paramètre <math>\;p\;</math> soit «<math>\;b = \sqrt{a\;p}\;</math>» puis {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : on peut utiliser }}la connaissance de «<math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k} > 0\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> et de «<math>\;a = \dfrac{-k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> pour vérifier l'expression de «<math>\;b\;</math>» par réinjection dans «<math>\;b = \sqrt{a\;p} = \sqrt{\dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}}\;\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k}}\;</math>» soit, {{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}après simplification évidente, «<math>\;b = h\;</math>». ==== Angle d’inclinaison « β » des asymptotes avec l’axe focal ==== [[File:Diffusion de point matériel dans un champ de force newtonien de centre O - trajectoire - bis.png|thumb|500px|Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif de centre <math>\;O</math>, le choix du repère cartésien et les principales grandeurs caractéristiques de la trajectoire hyperbolique de <math>\;M</math>]] {{Al|5}}De la détermination du demi axe non focal «<math>\;b = h\;</math>»<ref name="demi axe non focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> et du demi axe focal «<math>\;a = \dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}} > 0\;</math>»<ref name="demi axe focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif <math>\;\big(k > 0\big)</math>, on peut en déduire l’« angle d’inclinaison <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\beta\;</math> des asymptotes sur l’axe focal<ref name="axe focal" /> » <math>\;\big(</math>dont le positionnement reste à expliciter<math>\big)\;</math> par «<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{b}{a} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> »<ref name="principales propriétés d'une hyperbole" /> soit «<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{h}{\dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}}} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » et finalement <center>«<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> ».</center> ==== Angle polaire « φ » de l’axe focal ==== {{Al|5}}On constate sur le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_d’inclinaison_«_β_»_des_asymptotes_avec_l’axe_focal_2|angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal]] (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » ci-dessus que l'« angle polaire <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\varphi\;</math> de l'axe focal<ref name="axe focal" /> de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif <math>\;\big(k > 0\big)\;</math>» est positif et égal au « supplément de l’angle d’inclinaison <math>\;\big(</math>non algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\beta\;</math> de la {{1re}} asymptote <math>\;\big(</math>le support de <math>\;\vec{V}_0\big)\;</math> sur l’axe focal<ref name="axe focal" /> » soit <center>«<math>\;\varphi = \pi - \beta = \pi - \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> ».</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut aussi pour déterminer l'« angle polaire <math>\;\big(</math>algébrisé<math>\big)</math> <math>\;\varphi\;</math> de l'axe focal<ref name="axe focal" /> de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif » utiliser les C.I<ref name="C.I." />. <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \theta(t = 0) = \pi\\ r(t = 0) : \infty\\ \vec{V}(t = 0) = \vec{V}_0\end{array} \right\rbrace\;</math> en variables de Binet<ref name="Binet" /> à l'aide de l'équation polaire de la trajectoire de <math>\;M\;</math> «<math>\;r(\theta) = \dfrac{-p}{1 - e\;\cos(\theta - \varphi)} = \dfrac{p}{e\;\cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>»<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien répulsif" /> dont on déduit les deux 1^ères variables de Binet<ref name="Binet" /> «<math>\;u(\theta) = \dfrac{1}{r(\theta)} = \dfrac{e\;\cos(\theta - \varphi) - 1}{p} = -\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\;\cos(\theta - \varphi)\;</math> et <math>\;u'(\theta) = \dfrac{du}{d \theta}(\theta) = -\dfrac{e}{p}\;\sin(\theta - \varphi)\;</math>»<ref name="variables de Binet" />, les C.I<ref name="C.I." />. se réécrivant en variables de {{Nobr|Binet<ref name="Binet" />}} et en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> «<math>\;V_r(t) = \dot{r}(t) = -C\;u'(\theta)\;</math>»<ref name="expression de Binet de Vr" /> selon <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} u(\theta = \pi) \!\!&=&\!\! \dfrac{1}{r(t = 0)} \!\!&=&\!\! 0\\ u'(\theta = \pi) \!\!&=&\!\! \dfrac{V_r(t = 0)}{-C} \!\!&=&\!\! \dfrac{v_0}{C}\end{array}\right\rbrace</math> <math>\;\Big[</math>en effet <math>\;V_r(t = 0) =</math> <math>-\Vert \vec{V}_0 \Vert = -v_0\;</math> car <math>\;u_r(\theta = \pi) = -\vec{u}_x\Big]\;</math> d'où {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;u(\theta = \pi) = 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-\dfrac{1}{p} + \dfrac{e}{p}\;\cos(\pi - \varphi) = 0\;</math> ou <math>\;-\dfrac{1}{p} - \dfrac{e}{p}\;\cos(\varphi) = 0\;</math>» soit finalement «<math>\;\cos(\varphi) = -\dfrac{1}{e} < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] -\pi\,,\,-\dfrac{\pi}{2} \right[ \cup \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[\;</math> ainsi que {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;u'(\theta = \pi) = \dfrac{v_0}{C} = \dfrac{v_0}{-v_0\;h}\;</math><ref> On rappelle que <math>\;C = -v_0\;h</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Évaluation_de_la_constante_des_aires_2|évaluation de la constante des aires]] (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> ou <math>\;u'(\theta = \pi) = -\dfrac{1}{h}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-\dfrac{e}{p}\;\sin(\pi - \varphi) = -\dfrac{1}{h}\;</math> ou <math>\;-\dfrac{e}{p}\;\sin(\varphi) = -\dfrac{1}{h}\;</math>» soit finalement «<math>\;\sin(\varphi) = \dfrac{p}{e\;h} > 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\varphi \in \left] 0\,,\, +\pi \right[\;</math> et, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}en regroupant les deux conséquences des signes de <math>\;\cos(\varphi)\;</math> et de <math>\;\sin(\varphi)</math>, on en déduit «<math>\;\varphi \in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[\;</math>» ce qui n'autorise pas l'inversion de «<math>\;\tan(\varphi) = \dfrac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} = \dfrac{\dfrac{p}{e\;h}}{-\dfrac{1}{e}} = -\dfrac{p}{h} =</math> <math>-\dfrac{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k}}{h}\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> ou «<math>\;\tan(\varphi) = -\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <math>\;\arctan\! \left( -\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right) \in \left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, 0 \right[\;</math><ref name="fonction arctangente" /> soit finalement, <math>\;\varphi\;</math> étant de même tangente mais <math>\;\in \left] +\dfrac{\pi}{2}\,,\, +\pi \right[</math>, <center>«<math>\;\varphi = \pi + \arctan\! \left( -\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right) = \pi - \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}on notera toutefois que cette façon de déterminer <math>\;\varphi\;</math> dans le cas de la diffusion d'un point <math>\;M\;</math> lancé de l'infini dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif est à éviter car elle est nettement plus calculatoire que celle consistant à utiliser les expressions précédemment trouvées des demi axes focal et non focal <math>\;\ldots</math> ==== Distance minimale d’approche ==== {{Al|5}}La « distance minimale d'approche <math>\;r_P\;</math> du point <math>\;M\;</math> lancé de l'infini sur la branche d'hyperbole suivie par ce point lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif » étant la « coordonnée radiale du sommet de cette branche » se détermine, à l'aide de l'équation polaire de cette dernière «<math>\;r(\theta) = \dfrac{p}{e\;\cos(\theta - \varphi) - 1}\;</math>»<ref name="équation polaire de la trajectoire de M dans un champ de force newtonien répulsif" />, selon «<math>\;r_P = r(\theta = \varphi) = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>» puis {{Al|5}}l'injection, dans «<math>\;r_P = \dfrac{p}{e - 1}\;</math>», des expressions du « paramètre <math>\;p = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k} > 0\;</math>»<ref name="paramètre de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif" /> et de l'« excentricité <math>\;e = \sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} > 1\;</math>»<ref name="excentricité de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Excentricité_de_la_branche_d’hyperbole_2|excentricité de la branche d'hyperbole]] (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> de la branche d'hyperbole suivie par le point lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif nous conduit à «<math>\;r_P = \dfrac{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{k}}{\sqrt{1 + \dfrac{m^2\;v_0^{\,4}\;h^2}{k^2}} - 1}\;</math>» soit, en multipliant haut et bas par «<math>\;k > 0\;</math>», <center>«<math>\;r_P = \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h^2}{\sqrt{k^2 + m^2\;v_0^{\,4}\;h^2} - k}\;</math>».</center> === Angle de diffusion === {{Al|5}}La définition de l'angle de diffusion d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien ne dépend pas du caractère répulsif ou attractif du champ de force, elle est donc celle donnée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_de_diffusion|angle de diffusion]] (lors de la diffusion dans un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre soit mathématiquement <center>«<math>\;D = \widehat{\left( \vec{V}_0\,,\,\vec{V}_{\infty} \right)}\;</math>» où <br /><math>\;\vec{V}_{\infty}\;</math> est le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à la sortie de l'« espace champ de force newtonien », <br /><math>\;\vec{V}_0\;</math> étant le vecteur vitesse de <math>\;M\;</math> à l'entrée de cet espace.{{Al|44}}</center> {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le support de <math>\;\vec{V}_0\;</math> passant par la position initiale <math>\;M_0\;</math> située à l'infini du centre de force <math>\;O\;</math> définissant la {{1re}} asymptote de la branche hyperbolique suivie par <math>\;M\;</math> et {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}{{Al|9}}celui de <math>\;\vec{V}_\infty\;</math> passant par la position finale <math>\;M_\infty\;</math> également située à l'infini du centre de force <math>\;O</math>, la 2^ème asymptote de la branche hyperbolique suivie par <math>\;M</math>, {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'angle de diffusion de <math>\;M\;</math> lancé de l'infini dans un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif s'écrit encore «<math>\;D = \widehat{\left( \vec{V}_{1^{\text{ère}}\,\text{asymptote}}\,,\,\vec{V}_{2^{\text{ème}}\,\text{asymptote}} \right)}\;</math>». {{Al|5}}<u>Évaluation</u> : Dans le cas d'un champ de force newtonien<ref name="force newtonienne" /> répulsif on constate, sur le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_d’inclinaison_«_β_»_des_asymptotes_avec_l’axe_focal_2|angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal]] (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre, * d'une part, que l'« angle de diffusion <math>\;D\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», * d'autre part, l'axe focal étant un axe d'antisymétrie de la branche d'hyperbole orientée dans le sens du mouvement de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> l'« angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal<ref name="angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal" /> est le même quel que soit l'asymptote c'est-à-dire égal à <math>\;\beta\;</math>» d'où «<math>\;\vert D \vert = \pi - 2\;\beta\;</math>» soit, {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}après regroupement des deux informations, l'expression de l'angle de diffusion selon «<math>\;D = \pi - 2\;\beta > 0\;</math>» ou, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}en reportant l'évaluation de «<math>\;\beta\;</math>»<ref name="angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal de la trajectoire de M en diffusion dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_d’inclinaison_«_β_»_des_asymptotes_avec_l’axe_focal_2|angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal]] (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> selon «<math>\;\beta = \arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> », la réécriture de l'angle de diffusion selon <center>«<math>\;D = \pi - 2\;\arctan\! \left( \dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}on peut trouver une expression plus compacte de l'angle de diffusion <math>\;D\;</math> en remarquant que «<math>\;D = \pi - 2\;\beta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{D}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \beta \in \left] 0\,,\, + \dfrac{\pi}{2} \right[\;</math><ref> «<math>\;\beta\;</math>» étant un angle non algébrisé s'écrivant sous la forme d'un <math>\;\arctan()\;</math> prend des valeurs dans l'intervalle «<math>\;\left] 0\,, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;-\beta\;</math>» prend des valeurs dans l'intervalle «<math>\;\left] -\dfrac{\pi}{2}\,,\, 0 \right[\;</math>» d'où l'appartenance de celles de «<math>\;\dfrac{\pi}{2} - \beta\;</math>».</ref> » et par suite, «<math>\;\dfrac{D}{2}\;</math>» peut être mis sous forme d’un «<math>\;\arctan()\;</math>» à partir de «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{D}{2} \right) = \tan\! \left( \dfrac{\pi}{2} - \beta \right) = \cot(\beta) = \dfrac{1}{\tan(\beta)} = \dfrac{1}{\dfrac{m\;v_0^{\,2}\;h}{k}} = \dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}\;h}\;</math>» d'où, en inversant, {{Nobr|«<math>\;\dfrac{D}{2} =</math>}} <math>\arctan\! \left( \dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}\;h} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » soit finalement <center>«<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{k}{m\;v_0^{\,2}\;h} \right) > 0\;</math><ref name="fonction arctangente" /> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : }}<u>Remarque</u> : Le lien entre les deux expressions de <math>\;D\;</math> peut se déduire de la formule «<math>\;\pi - 2\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) = 2\;\arctan(x),\;\;\forall\;x\;\in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math>»<ref name="fonction arctangente" /> <math>\;\big[</math>trop marginale pour être retenue<math>\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : Remarque : }}en effet, d'une part, les deux expressions, pour <math>\;x \in \mathbb{R}^{+\,*}</math>, ont le même domaine de valeurs «<math>\;\left] 0\,,\, +\pi \right[\;</math>» compte-tenu de «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} \arctan(x) \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\\ \arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\end{array} \right\rbrace\;</math>» et {{Al|5}}{{Transparent|Évaluation : Remarque : en effet, }}d'autre part, «<math>\;y = \pi - 2\;\arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) \in \left] 0\,,\, +\pi \right[\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{y}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» s'inversant en «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{y}{2} \right) = \tan\! \left[ \dfrac{\pi}{2} - \arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) \right] \in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math>» <math>\Leftrightarrow</math> «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{y}{2} \right) = \cot\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) \right] = \dfrac{1}{\tan\! \left[ \arctan\! \left( \dfrac{1}{x} \right) \right]} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{x}} = x \in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math>» <math>\Rightarrow</math>, dans la mesure où «<math>\;\dfrac{y}{2} \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>», l'inversion de «<math>\;\tan\! \left( \dfrac{y}{2} \right) = x \in \mathbb{R}^{+\,*}\;</math>» en «<math>\;\dfrac{y}{2} = \arctan(x) \in \left] 0\,,\, +\dfrac{\pi}{2} \right[\;</math>» et par suite «<math>\;y = 2\;\arctan(x) \in \left] 0\,,\, +\pi \right[\;</math>» C.Q.F.D<ref name="C.Q.F.D."> Ce Qu'il Fallait Démontrer.</ref>. === Exemple de la diffusion de Rutherford d’une particule « α » par un noyau d'« Au » === {{Al|5}}La diffusion d'un faisceau monocinétique de particules <math>\;\alpha\;</math> par une feuille d'<math>Au\;</math> disposée perpendiculairement au faisceau incident de projectiles a mis en évidence l’existence d’un noyau chargé positivement de « très petite dimension »<ref> À l’époque de cette expérience, le résultat obtenu, de façon très approximative, était que « la dimension du noyau représente la fraction <math>\;\dfrac{1}{10^{\,4}}\;</math> de la dimension de l’atome » mais, de nos jours, de façon un peu plus précise, « la dimension du noyau représente la fraction <math>\;\dfrac{1}{10^{\,5}}\;</math> de la dimension de l’atome ».</ref> au centre d’un atome d’<math>Au</math> ; {{Al|5}}cette expérience <math>\;\big(</math>connue sous le nom d'« expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" /> »<math>\big)\;</math> a été réalisée par « '''[[w:Hans_Geiger|Hans Geiger]]''' »<ref name="Geiger"> '''[[w:Hans_Geiger|Johannes Wilhelm Geiger]] (1882 - 1945)''' <math>\;\big(</math>plus connu sous le nom de '''Hans Geiger'''<math>\big)\;</math> est un physicien allemand ayant travaillé comme assistant d''''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]]''' de <math>\;1907\;</math> à <math>\;1912\;</math> à l'« Université de Manchester » puis, à partir de <math>\;1912</math>, dans le laboratoire d’étude de la radioactivité à l'« Institut national allemand de science et 9technologie de Berlin » qu'il a mis en place ; il reprend à Berlin en <math>\;1919\;</math> ses recherches interrompues par la {{1re}} guerre mondiale, puis quitte Berlin pour Kiel en <math>\;1925\;</math> où il met au point, avec un de ses étudiants de doctorat '''[[w:Walther_Müller|Walther Müller]] (1905 - 1979)''' physicien allemand, le « compteur Geiger » en <math>\;1928\;\ldots</math></ref> et « '''[[w:Ernest_Marsden|Ernest Marsden]]''' »<ref name="Marsden"> '''[[w:Ernest_Marsden|Ernest Marsden]] (1889 - 1970)''' est un physicien néo-zélandais, étudiant d’'''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]]''' en <math>\;1908\;</math> à l'« Université de Manchester » où il réalisa avec '''[[w:Hans_Geiger|Hans Geiger]]''' l'expérience « de Rutherford » ; en <math>\;1914\;</math> il s'installa à l'« Université Victoria de Wellington en Nouvelle-Zélande » et fonda en <math>\;1926\;</math> le D.S.I.R. <math>\;\big(</math>Department of Scientific and Industrial Research<math>\big)\;</math> de Nouvelle-Zélande <math>\;\ldots</math></ref> sous la direction de « '''[[w:Ernest_Rutherford|Ernest Rutherford]]''' »<ref name="Rutherford" /> en <math>\;1909</math> ; les résultats obtenus à cette époque étaient si étonnants qu’il fallut à '''[[w:Ernest_Rutherford|E.Rutherford]]'''<ref name="Rutherford" /> deux années pour en comprendre les conséquences logiques et formuler une théorie satisfaisante publiée en <math>\;1911\;</math><ref name="étude documentaire sur expérience de Rutherford"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_potentielle_effective,_états_lié_et_de_diffusion#Approche_documentaire_:_expérience_de_Rutherford|approche documentaire : expérience de Rutherford]] » du chap.<math>13</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » présentant l'étude documentaire de l'expérience de Rutherford.</ref>. {{Al|5}}<u>Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion<ref name="hélion" /> sur un noyau d'or</u> : L'angle de diffusion de la « particule <math>\;\alpha\;</math>» par le « noyau d’<math>Au\;</math>» centré en <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force newtonienne<ref name="force newtonienne" /> répulsive agissant sur la particule <math>\;\alpha\big)\;</math> en fonction du « paramètre d’impact <math>\;h\;</math> de la particule projectile <math>\;\alpha\;</math> relativement à la particule cible noyau d'<math>Au\;</math>» est <center>«<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{k}{m_{\alpha}\;v_0^{\,2}\;h} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> »<ref name="angle de diffusion d'un point lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Angle_de_diffusion_2|angle de diffusion]] (dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;v_0\;</math>» la norme du vecteur vitesse initiale de la particule <math>\;\alpha</math>, «<math>\;m_{\alpha} \simeq 4\;u\;</math>»<ref name="unité de masse atomique unifiée"> L'« [[w:Unité_de_masse_atomique_unifiée|unité de masse atomique unifiée]] » de symbole «<math>\;u\;</math>» est une unité de mesure standard <math>\;\bigg(</math>remplaçant l'« unité de masse atomique » de symbole « uma » représentant «<math>\;\dfrac{1}{16}\;</math> de la masse d'un atome de <math>^{16}O\;</math>», unité devenue obsolète<math>\bigg)</math>, utilisée pour exprimer la masse des atomes et des ions monoatomiques <math>\;\big(</math>elle peut aussi l'être pour exprimer la masse des molécules et des ions polyatomiques mais les valeurs étant alors plus grandes, le faire est nettement moins intéressant<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}«<math>\;1\;u\;</math>» étant définie comme «<math>\;\dfrac{1}{12}\;</math> de la masse d'un atome de <math>^{12}C\;</math>» et cette dernière se calculant à partir de la masse molaire atomique du <math>\;^{12}C\;</math> «<math>\;M_{^{12}C} \simeq 12\;g \cdot mol^{-1} = 12\;10^{-3}\;kg \cdot mol^{-1}\;</math>» par {{Nobr|«<math>\;m_{\text{atome de }^{12}C}</math>}} <math>= \dfrac{M_{^{12}C}}{\mathcal{N}}\;</math>» dans laquelle <math>\;\mathcal{N} = 6,022\,140\, 76\;10^{23}\;mol^{-1}\;</math> est la [[w:Nombre_d'Avogadro|constante d'Avogadro]] <math>\;\big[</math>décision de la [[w:Conférence_générale_des_poids_et_mesures|Conférence Générale des Poids et Mesures]] <math>\;\big(</math>ou CGPM<math>\big)\;</math> valable à partir du <math>\;20\;mai\;2019\big]\;</math> d'où <math>\;1\;u \simeq \dfrac{1}{12} \times \dfrac{12}{6,022\,140\,76\;10^{23}}\;g \simeq 1,661\;10^{-24}\;g = 1,661\;10^{-27}\;kg</math> ; <br>{{Al|3}}l'atome de <math>^{12}C\;</math> contenant <math>\;12\;</math> nucléons <math>\;\big(6\;</math> protons et <math>\;6\;</math> neutrons<math>\big)</math>, les protons étant de masse voisine de celle des neutrons, nous en déduisons <math>\;\big(</math>en négligeant le [[w:Liaison_nucléaire#Défaut_de_masse|défaut de masse du noyau]] dans la masse de ce dernier<math>\big)\;</math> que «<math>\;1\;u\;</math>» est approximativement la masse d'un nucléon et que la masse d'une particule contenant <math>\;A\;</math> nucléons est approximativement «<math>\;A\;u\;</math>». <br>{{Al|3}}'''[[w:Amedeo_Avogadro|Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro]] (1776 - 1856)''' est un physicien et chimiste du [[w:Piémont|Piémont]] <math>\;\big(</math>région actuelle de l'Italie<math>\big)\;</math> à qui on doit essentiellement la [[w:Loi_d'Avogadro|loi d'Avogadro Ampère]] qu'il énonça en <math>\;1811\;</math> et proposée indépendamment par '''Ampère''' en <math>\;1814</math>, celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:André-Marie_Ampère|André-Marie Ampère]] (1775 - 1836)''', mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'[[w:Électronique|électronique]] de la matière.</ref> étant la masse de cette dernière,</center> {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}dans lequel «<math>\;k = \dfrac{Z_{Au}\;Z_{He}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.</math>, <math>\;\big[\varepsilon_0\;</math> étant la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" /><math>\big]</math>, <math>\;Z_{Au} = 79\;</math> le [[w:Nombre_de_charge|nombre de charges]] du noyau d'<math>Au</math>, <math>\;Z_{He} = 2\;</math> [[w:Nombre_de_charge|celui]] de la particule <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;e \simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;</math> la [[w:Charge_élémentaire|charge élémentaire]] » ; {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}notant « <math>\;K_{\alpha,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m_{\alpha}\;v_0^{\,2}\;</math> l'énergie cinétique de lancement de la particule <math>\;\alpha\;</math><ref name="particule alpha non relativiste"> En effet la particule <math>\;\alpha\;</math> utilisée pour l'expérience de Rutherford est non relativiste car telle que <math>\;v_0 \lesssim \dfrac{c}{10}\;</math> où <math>\;c\;</math> est la vitesse limite d'une particule massique <math>\;\big(</math>ou célérité de la lumière dans le vide<math>\big)</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_l'énergie_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude_à_partir_des_grandeurs_d'inertie_et_cinématique_du_point|définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point]] (condition de vitesse pour que l'énergie cinétique du point soit newtonienne) » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> égale à l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}\;</math> de la particule projectile », l'angle de diffusion de la « particule <math>\;\alpha\;</math>» par le « noyau d’<math>Au\;</math>» peut être réécrit selon «<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{\dfrac{Z_{Au}\;Z_{He}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}{2\;K_{\alpha,\,0}\;h} \right)\;</math>» soit finalement <center>«<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{Z_{Au}\;Z_{He}\;e^2}{8\;\pi\;\varepsilon_0\;K_{\alpha,\,0}\;h} \right) = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0}\;h} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » car <math>\;Z_{He} = 2\;</math> et <math>\;K_{\alpha,\,0} = E_{m,\,0}</math> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}historiquement l'énergie cinétique du faisceau monocinétique incident de particules <math>\;\alpha\;</math> était «<math>\;K_{\alpha,\,0} \simeq</math> <math>8,5\;MeV\;</math><ref name="mégaélectronvolt"> On rappelle qu'en notant <math>\;\left[ e \right] \simeq 1,602\;10^{-19}\;</math> le nombre mesurant la charge élémentaire <math>\;\big(</math>donc sans unité<math>\big)\;</math> «<math>\;1\; MeV = \left[ e \right] MJ \simeq 1,602\; 10^{-13}\; J\;</math>» ou encore «<math>\;1\; MeV = 10^6\; eV\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#cite_note-%C3%A9lectronvolt-27|²⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> » <math>\;\bigg[\!\Rightarrow</math>, dans l'hypothèse où la particule <math>\;\alpha\;</math> a une énergie cinétique newtonienne, <math>\;v_0 = \sqrt{\dfrac{2\;K_{\alpha,\,0}}{m_{\alpha}}} \simeq \sqrt{\dfrac{2 \times \left( 8,5 \times 1,6\;10^{-13} \right)}{4 \times 1,66\;10^{-27}}} \simeq 2,02\;10^7\;m \cdot s^{-1} \simeq 20\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math><ref> On rappelle la masse de la particule <math>\;\alpha</math>, <math>\;m_{\alpha} \simeq 4\;u\;</math> avec <math>\;1\;u \simeq 1,66\;10^{-27}\;kg</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#cite_note-unité_de_masse_atomique_unifiée-107|¹⁰⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math>.</ref> <math>\;<\;</math> à <math>\;\dfrac{c}{10} \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}</math>, ce qui valide l'hypothèse d'une expression newtonienne de l'énergie cinétique de la particule <math>\;\alpha\bigg]</math>, nous en déduisons l'expression numérique de l'« angle de diffusion de la particule <math>\;\alpha\;</math> par le noyau d’<math>Au\;</math> » en fonction du « paramètre d’impact <math>\;h\;</math> de la particule projectile <math>\;\alpha\;</math> relativement à la particule cible noyau d'<math>Au\;</math>» à partir de l'expression algébrique de cet angle de diffusion {{Nobr|«<math>\;D =</math>}} <math>2\;\arctan\! \left( \dfrac{Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0}\;h} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » ou «<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h} \right)\;</math><ref name="électronvolt" />{{,}}<ref name="fonction arctangente" /> » soit «<math>\;D \simeq 2 \; \arctan\! \left[ \dfrac{79 \times 1,6\;10^{-19} \times 9\;10^9}{\left( 8,5\;10^6 \right) \; h} \right] \simeq 2 \; \arctan\! \left( \dfrac{1,338\;10^{-14}}{h_{\text{en}\,m}} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » ou encore, en exprimant <math>\;h\;</math> en fermis<ref name="fm"> <math>\;1\; fm = 10^{-15}\; m</math> <math>\;\big(</math>symbole du fentomètre ou du fermi, cette dernière appellation historique étant en hommage à '''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]]'''<math>\big)\;</math> unité particulièrement bien adapté à la physique nucléaire. <br>{{Al|3}}'''[[w:Enrico_Fermi|Enrico Fermi]] (1901 - 1954)''', physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en <math>\;1938\;</math> pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents.</ref> «<math>\;D_{\text{en}\,rad} \simeq 2 \; \arctan\! \left( \dfrac{13,38}{h_{\text{en}\,fm}} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » ou, en exprimant l'angle de diffusion en degrés, «<math>\;D_{\text{en °}} \simeq \dfrac{180}{\pi} \times 2 \; \arctan\! \left( \dfrac{13,38}{h_{\text{en}\,fm}} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » soit [[File:Expérience de Rutherford - angle diffusion coulombienne en fonction du paramètre d'impact.png|thumb|400px|Tracé de l'angle de diffusion coulombienne <math>\;D\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> sur un noyau d'<math>Au\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la {{1re}} sur le 2^nd dans l'expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" />]] <center>«<math>\;D_{\text{en °}} \simeq 114,6 \; \arctan\! \left( \dfrac{13,38}{h_{\text{en}\,fm}} \right)\;</math><ref name="fonction arctangente" /> » ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}voir ci-contre le tracé de la courbe de diffusion coulombienne c'est-à-dire de l'angle de diffusion «<math>\;D_{\text{en °}}\;</math>» de la particule projectile «<math>\;\alpha\;</math>» sur la particule cible « noyau d'<math>Au\;</math>» en fonction du paramètre d’impact «<math>\;h_{\text{en}\,fm}\;</math>» de la particule projectile sur la particule cible en tenant compte exclusivement de l'interaction coulombienne entre les deux et en se plaçant dans le cadre de la cinétique newtonienne ; {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}avec une énergie cinétique initiale modérée de la particule <math>\;\alpha\;</math> on constate un accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion <math>\;\big(</math>courbe ci-contre<math>\big)\;</math> et celui effectué avec des résultats expérimentaux <math>\;\big(</math>non fourni<math>\big)</math>. {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}La distance minimale d'approche <math>\;r_P\;</math> d'une particule <math>\;\alpha\;</math> d'énergie cinétique initiale «<math>\;K_{\alpha,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m_{\alpha}\;v_0^{\,2}\;</math>» lors de sa diffusion coulombienne sur un noyau d'<math>Au\;</math> dépend du paramètre d'impact «<math>\;h\;</math>» de la particule projectile sur la particule cible selon «<math>\;r_P = \dfrac{m_\alpha\;v_0^{\,2}\;h^2}{\sqrt{k^2 + m_\alpha^{\,2}\;v_0^{\,4}\;h^2} - k}\;</math>»<ref name="distance minimale d'approche d'un point lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Distance_minimale_d’approche_2|distance minimale d'approche]] (dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.</ref> dans laquelle «<math>\;k =</math> <math>\dfrac{Z_{Au}\;Z_{He}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math>» avec «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\;10^9\;U.S.I.</math>, <math>\;\big[\varepsilon_0\;</math> étant la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]]<ref name="permittivité d'un milieu" /><math>\big]</math>, <math>\;Z_{Au} = 79\;</math> le [[w:Nombre_de_charge|nombre de charges]] du noyau d'<math>Au</math>, <math>\;Z_{He} = 2\;</math> [[w:Nombre_de_charge|celui]] de la particule <math>\;\alpha\;</math> et <math>\;e \simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;</math> la [[w:Charge_élémentaire|charge élémentaire]] » ; en remplaçant «<math>\;m_{\alpha}\;v_0^{\,2}\;</math>» par «<math>\;2\;K_{\alpha,\,0}\;</math>» <math>\;\big[</math>encore égale à <math>\;2\;E_{m,\,0}\big]\;</math> la distance minimale d'approche se réécrit «<math>\;r_P = \dfrac{2\;K_{\alpha,\,0}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;Z_{He}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + 4\;K_{\alpha,\,0}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;Z_{He}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}\;</math>» ou, en simplifiant après report de <math>\;Z_{He} = 2</math>, <center>«<math>\;r_P = \dfrac{K_{\alpha,\,0}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + K_{\alpha,\,0}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}\;</math>» ou «<math>\;r_P = \dfrac{E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}\;</math><ref name="électronvolt" /> » ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}numériquement, avec «<math>\;E_{m,\,0} = K_{\alpha,\,0} \simeq 8,5\;MeV\;</math><ref name="mégaélectronvolt" /> », la distance minimale d'approche <math>\;r_P\;</math> d'une particule <math>\;\alpha\;</math> d'énergie cinétique initiale «<math>\;K_{\alpha,\,0}\;</math>» lors de sa diffusion coulombienne sur un noyau d'<math>Au\;</math> se calcule en fonction du paramètre d'impact «<math>\;h\;</math>» de la particule projectile sur la particule cible selon {{Nobr|«<math>\;r_P \simeq</math>}} <math>\dfrac{8,5\;10^6\;h^2}{\sqrt{\left( 79 \times 1,6\;10^{-19} \times 9\;10^9 \right)^{2} + \left( 8,5\;10^6 \right)^{2}\;h^2} - 79 \times 1,6\;10^{-19} \times 9\;10^9} \simeq \dfrac{8,5\;10^6\;h^2}{\sqrt{1,2941\;10^{-14} + 7,225\;10^{13}\;h^2} - 1,1376\;10^{-7}} \simeq \dfrac{h^2}{\sqrt{1,7912\;10^{-28} + h^2} - 1,3384\;10^{-14}}\;</math>» ou encore, en exprimant <math>\;h\;</math> et <math>\;r_P\;</math> en fermis<ref name="fm" />, [[File:Expérience de Rutherford - distance minimale d'approche coulombienne en fonction du paramètre d'impact.png|thumb|400px|Tracé de la distance minimale d'approche coulombienne <math>\;r_P\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> sur un noyau d'<math>Au\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la {{1re}} sur le 2^nd dans l'expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" />]] <center>«<math>\;r_{P,\,\text{en}\,fm} \simeq \dfrac{h_{\text{en}\,fm}^{\,2}}{\sqrt{179,12 + h_{\text{en}\,fm}^{\,2}} - 13,384}\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}voir ci-contre le tracé de la courbe de la distance minimale d'approche «<math>\;r_{P,\,\text{en}\,fm}\;</math>» de la particule projectile «<math>\;\alpha\;</math>» sur la particule cible « noyau d'<math>Au\;</math>» en fonction du paramètre d’impact «<math>\;h_{\text{en}\,fm}\;</math>» de la particule projectile sur la particule cible en tenant compte exclusivement de l'interaction coulombienne entre les deux et en se plaçant dans le cadre de la cinétique newtonienne ; sur la courbe ci-contre on peut vérifier graphiquement que la distance minimale d’approche «<math>\;r_{P,\,\text{en}\,fm} \searrow\;</math> quand <math>\;h_{\text{en}\,fm} \searrow\;</math>» avec « une limite finie non nulle <math>\;r_{P,\,\text{min. en}\,fm} \simeq 27\;fm\;</math> quand <math>\;h_{\text{en}\,fm} \rightarrow 0\;</math>»<ref name="distance minimale d'approche coulombienne à paramètre d'impact nul dans expérience de Rutherford"> La distance minimale d'approche coulombienne «<math>\;r_{P} = \dfrac{E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}\;</math>» de la particule projectile «<math>\;\alpha\;</math>» sur la particule cible « noyau d'<math>Au\;</math>» est définie par une forme indéterminée <math>\;\dfrac{0}{0}\;</math> pour le paramètre d'impact <math>\;h = 0</math> ; la levée de l'indétermination nécessite de transformer le dénominateur «<math>\;\text{dén} = \sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}pour cela on factorise le dénominateur «<math>\;\text{dén} = \sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math>» par «<math>\;\dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;</math>» d'où «<math>\;\text{dén} = \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\; \left[ \sqrt{1 + \left( \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}{Z_{Au}\;e} \right)^{\!\!2}\;h^2} - 1 \right]\;</math>» dans lequel on fait un « développement limité de <math>\;\sqrt{1 + \left( \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}{Z_{Au}\;e} \right)^{\!\!2}\;h^2} = \left[ 1 + \left( \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}{Z_{Au}\;e} \right)^{\!\!2}\;h^2 \right]^{\!\frac{1}{2}}\;</math> à l'ordre un en l'infiniment petit <math>\;h^2\;</math>» ce qui donne «<math>\;\sqrt{1 + \left( \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}{Z_{Au}\;e} \right)^{\!\!2}\;h^2} \simeq</math> <math>1 + \dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}{Z_{Au}\;e} \right)^{\!\!2}\;h^2\;</math> à l'ordre un en <math>\;h^2\;</math>» <math>\;\bigg[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|développements limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » <math>\Rightarrow</math> D.L. à l'ordre un de <math>\;(1 + \varepsilon)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math> au voisinage de zéro «<math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon\;</math>» avec <math>\;n = \dfrac{1}{2}\bigg]\;</math> soit finalement «<math>\;\text{dén} \simeq \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\; \left[ \dfrac{1}{2}\,\left( \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}{Z_{Au}\;e} \right)^{\!\!2}\;h^2 \right]</math> <math>= \dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}}{2\;Z_{Au}\;e}\;h^2\;</math> à l'ordre un en <math>\;h^2\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on en déduit «<math>\;r_{P} = \dfrac{E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}} \simeq \dfrac{E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h^2}{\dfrac{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}}{2\;Z_{Au}\;e}\;h^2} \simeq \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}\;</math> à l'ordre zéro en <math>\;h^2\;</math>» d'où «<math>\;r_{P}(h = 0) = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}} = r_{P,\,\text{min}}\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>on}} constate que le minimum de la distance minimale d'approche coulombienne d'une particule <math>\;\alpha\;</math> est inversement proportionnel à l'énergie cinétique initiale de la particule projectile<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}numériquement, avec <math>\;E_{m,\,0} = K_{\alpha,\,0} \simeq 8,5\;MeV</math>, on obtient «<math>\;r_{P}(h = 0) = \dfrac{2 \times 79 \times 1,6\;10^{-19} \times 9 \;10^9}{8,5\;10^6} \simeq 26,8\;10^{-15}\;m\;</math>» soit finalement «<math>\;r_{P,\,\text{min}} \simeq 26,8\;fm\;</math>». <br>{{Al|3}}Ce résultat algébrique «<math>\;r_{P}(h = 0) = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}} = r_{P,\,\text{min}}\;</math>» pouvait s'obtenir plus rapidement sachant, * d'une part, qu'un paramètre d'impact <math>\;h = 0\;</math> entraîne une trajectoire rectiligne de la particule <math>\;\alpha\;</math> le long du support de son vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math>, plus exactement la trajectoire est la demi-droite issue de <math>\;M_0</math> <math>\;\big[</math>position initiale de la particule située à l'infini<math>\big]\;</math> et s'arrêtant à <math>\;M_P</math> <math>\;\big[</math>position correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance <math>\;r_{P}(h = 0)\;</math> du centre de force <math>\;O\big]\;</math> parcourue dans un sens puis dans l'autre avec «<math>\;h = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> une constante des aires <math>\;C = 0\;</math>» et, * d'autre part, que la position <math>\;M_P</math> <math>\;\big[</math>correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance <math>\;r_{P}(h = 0)\;</math> du centre de force <math>\;O\big]\;</math> se caractérise par un vecteur vitesse nul {{Nobr|<math>\;\big(</math>absence}} de vitesse orthoradiale en toute position due à <math>\;C = 0\;</math> et absence de vitesse radiale en la position <math>\;M_P\big]\;</math> donc une énergie cinétique nulle <math>\Rightarrow</math> l'énergie mécanique en cette position s'écrit «<math>\;E_{m,\,P} = \mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M_p) = \dfrac{Z_{He}\;Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P}(h = 0)}\;</math>» ou «<math>\;E_{m,\,P,\,\text{en}\,eV} = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P}(h = 0)}\;</math>» car <math>\;Z_{He} = 2\;</math> et sa conservation nous conduit à «<math>\;\dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P}(h = 0)} = E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;</math>» d'où le résultat cherché «<math>\;r_{P}(h = 0) = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}} = r_{P,\,\text{min}}\;</math>».</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}avec une énergie cinétique initiale modérée de la particule <math>\;\alpha\;</math> on constate un accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche en fonction du paramètre d’impact <math>\;\big(</math>courbe ci-contre<math>\big)\;</math> et celui effectué avec des résultats expérimentaux<ref name="obtention des résultats expérimentaux de rp en fonction de h"> S'il n'y a pas d'obstacles insurmontables à l'obtention des résultats expérimentaux concernant l'angle de diffusion <math>\;D\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> il n'en est pas de même pour celle des résultats expérimentaux concernant la distance minimale d'approche <math>\;r_P\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h</math> ; <br>{{Al|3}}une façon pour contourner la difficulté consiste à exprimer <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;D\;</math> et de <math>\;h\;</math> dans l'hypothèse d'une diffusion exclusivement coulombienne c'est-à-dire <br>{{Al|3}}utiliser «<math>\;D = 2\;\arctan\! \left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h} \right)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h} = \tan\! \left( \dfrac{D}{2} \right)\;</math>» d'une part et <br>{{Al|3}}{{Transparent|utiliser }}«<math>\;r_P = \dfrac{E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}} = \dfrac{h}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h} \right)^{\!\!2} + 1} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h}}\;</math>» d'autre part, que l'on peut réécrire en fonction de <math>\;D\;</math> et de <math>\;h\;</math> selon «<math>\;r_P</math> <math>= \dfrac{h}{\sqrt{\tan^2\! \left( \dfrac{D}{2} \right) + 1} - \tan\! \left( \dfrac{D}{2} \right)} = \dfrac{h}{\dfrac{1}{\cos\! \left( \dfrac{D}{2} \right)} - \tan\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}\;</math>» <math>\;\bigg[</math>on rappelle que <math>\;1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}\bigg]\;</math> soit encore «<math>\;r_P = \dfrac{h\;\cos\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}{1 - \sin\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}\;</math>» ; <br>{{Al|3}}en conclusion les résultats expérimentaux de <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> peuvent s'obtenir en reportant ceux de <math>\;D\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> dans «<math>\;r_P = \dfrac{h\;\cos\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}{1 - \sin\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}\;</math>» <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>non fourni<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>dans la mesure où il y a accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux concernant l'angle de diffusion, il y a automatiquement accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux concernant la distance minimale d'approche puisque ceux-ci ont été obtenus à partir de ceux concernant l'angle de diffusion<ref name="obtention des résultats expérimentaux de rp en fonction de h" /><math>\big]</math>, {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}mais dès que l'énergie cinétique initiale de la particule <math>\;\alpha\;</math> devient « grande », une différence entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche en fonction du paramètre d’impact <math>\;\big(</math>dans le cadre d'une diffusion exclusivement coulombienne traitée en dynamique newtonienne, courbe semblable à celle affichée ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> et celui effectué avec des résultats expérimentaux<ref name="obtention des résultats expérimentaux de rp en fonction de h - bis"> Pour tenter de déterminer les résultats expérimentaux concernant <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> on utilise la méthode expliquée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#cite_note-obtention_des_résultats_expérimentaux_de_rp_en_fonction_de_h-114|¹¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre, mais la formule obtenue dans cette note explicitant <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;D\;</math> et de <math>\;h\;</math> à savoir «<math>\;r_P = \dfrac{h\;\cos\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}{1 - \sin\! \left( \dfrac{D}{2} \right)}\;</math>» nécessitant que la diffusion soit purement coulombienne ne donne les résultats expérimentaux de <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> uniquement si la diffusion est purement coulombienne c'est-à-dire s'il y a accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux de l'angle de diffusion ; <br>{{Al|3}}dans le cas où il y a désaccord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux de l'angle de diffusion pour <math>\;h \in \left[ 0\,,\, h_{\text{désacc}} \right]\;</math> cela signifie que, sur cet intervalle, la diffusion n'est pas purement coulombienne <math>\Rightarrow</math> les valeurs expérimentales de <math>\;r_P\;</math> pour <math>\;h \in \left[ 0\,,\, h_{\text{désacc}} \right]\;</math> ne sont plus acceptables <math>\;\big(</math>pour obtenir les vraies valeurs il faudrait donc essayer de les trouver directement, ce que nous ne tenterons pas<math>\big)\;</math> mais, si nous pouvions tracer la courbe expérimentale de <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> sur <math>\;h \in \left[ 0\,,\, h_{\text{désacc}} \right]\;</math> et la comparer à celle calculée de <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> en diffusion purement coulombienne sur le même intervalle, nous observerions un désaccord <math>\;\big(</math>l'accord entre les deux courbes n'étant réalisé que pour <math>\;h > h_{\text{désacc}}\big)\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>non fourni<math>\big)\;</math> s'observe au voisinage du paramètre d'impact nul<ref name="différence entre courbes théorique et expérimentale donnant rP en fonction de h"> En pratique il suffit que l'énergie cinétique initiale de la particule <math>\;\alpha\;</math> dépasse une trentaine de <math>\;MeV\;</math> pour qu'une différence entre les deux courbes commence à être observée et plus le dépassement est marqué, plus la discordance est importante. <br>{{Al|3}}<u>Remarques</u> : La détermination de la distance minimale d'approche <math>\;r_P = \dfrac{E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}\;h^2}{\sqrt{\left( \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \right)^{\!\!2} + E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}^{\,2}\;h^2} - \dfrac{Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0}}\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> lors de sa diffusion sur le noyau d'<math>Au\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la {{1re}} sur le 2^nd nécessite un traitement de dynamique newtonienne et elle devient théoriquement fausse <math>\;\big(</math>pour <math>\;h \neq 0\big)\;</math> en dynamique relativiste dans laquelle la loi des aires ne s'applique théoriquement pas <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarques : }}L'énergie cinétique initiale de la particule <math>\;\alpha\;</math> restera newtonienne pour <math>\;v_0 \lesssim \dfrac{c}{10} \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math> soit <math>\;K_0 = \dfrac{1}{2}\;m_\alpha\;v_0^{\,2} \lesssim \dfrac{1}{2} \times \left( 4 \times 1,66\;10^{-27} \right) \times \left( 3\;10^7 \right)^2 \simeq 2,99\;10^{-12}\;J\;</math> ou <math>\;K_0 \lesssim 18,7\;MeV \simeq 20\;MeV</math>, au-delà la dynamique relativiste devrait être utilisée et la formule précédente donnant <math>\;r_P\;</math> en fonction de <math>\;h\;</math> devient théoriquement fausse <math>\;\big(</math>mais nous n'aborderons pas le traitement dans le cadre de la dynamique relativiste et admettrons que la formule précédente reste une approche plus ou moins acceptable<math>\big)\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}{{Transparent|Remarques : }}Toutefois, pour <math>\;h = 0</math>, le mouvement de diffusion coulombienne de la particule <math>\;\alpha\;</math> par le noyau d'<math>Au\;</math> étant rectiligne le long du support de son vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0</math> <math>\;\big\{</math>plus exactement la trajectoire est la demi-droite issue de <math>\;M_0</math> <math>\;\big[</math>position initiale de la particule située à l'infini<math>\big]\;</math> et s'arrêtant à <math>\;M_P</math> <math>\;\big[</math>position correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance <math>\;r_{P}(h = 0)\;</math> du centre de force <math>\;O\big]\;</math> parcourue dans un sens puis dans l'autre<math>\big\}\;</math> que l'énergie cinétique initiale <math>\;K_0\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> soit newtonienne ou relativiste, et <br>{{Al|15}}{{Transparent|Remarques : Toutefois, pour h = 0, }}la conservation de l'énergie mécanique de la particule <math>\;\alpha\;</math> lors de sa diffusion coulombienne par le noyau d'<math>Au\;</math> restant applicable en dynamique relativiste avec une énergie cinétique nulle en la position <math>\;M_P</math> <math>\;\big[</math>correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance <math>\;r_{P}(h = 0)\;</math> du centre de force <math>\;O\big]\;</math> et une énergie potentielle d'interaction électrostatique {{Nobr|«<math>\;\mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M_p)</math>}} <math>= \dfrac{Z_{He}\;Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P}(h = 0)}\;</math>», nous en déduisons, dans le cadre de la dynamique relativiste, que «<math>\;E_{m,\,P} = \mathcal{E}_{p,\,\text{élec}}(M_p) = \dfrac{Z_{He}\;Z_{Au}\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P}(h = 0)}\;</math>» est égale à «<math>\;E_{m,\,0} = K_0\;</math>» ou {{Nobr|«<math>\;E_{m,\,P,\,\text{en}\,eV}</math>}} <math>= \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P}(h = 0)}\;</math>» <math>\;\big(</math>car <math>\;Z_{He} = 2\big)</math> <math>\;=\;</math> à «<math>\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV} = K_{0,\,\text{en}\,eV}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;r_{P}(h = 0) = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}} = r_{P,\,\text{min}}\;</math>» <math>\;\big(</math>la même formule qu'en dynamique newtonienne<math>\big)</math>.</ref>. {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : }}<u>Remarque</u> : Nous n'avons tenu compte que de l’interaction coulombienne entre le noyau d'<math>Au\;</math> et la particule <math>\;\alpha\;</math> car l’interaction nucléaire forte <math>\big(</math>résiduelle<math>\big)\;</math><ref name="interaction nucléaire forte"> En fait l'« [[w:Interaction_forte|interaction nucléaire forte]] » s'exerce entre les particules constitutives du proton « [[w:Quark|les quarks]] » lesquels n'existent pas à l'état libre <math>\;\bigg\{</math>il faut trois quarks pour former un proton <math>\;\big[2\;u\;\big(</math>up<math>\big)\;</math> et <math>\;1\;d\;\big(</math>down<math>\big)\big]\;</math> les 1^ers étant de charge individuelle <math>\;+\dfrac{2}{3}\;e\;</math> et le 2^ème de charge individuelle <math>\;-\dfrac{1}{3}\;e\;</math> d'où la charge du proton <math>\;2 \times \left( +\dfrac{2}{3}\;e \right) + \left( -\dfrac{1}{3}\;e \right) = +e</math>, il faut aussi trois quarks pour former un neutron <math>\;\big[1\;u\;\big(</math>up<math>\big)\;</math> et <math>\;2\;d\;\big(</math>down<math>\big)\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> charge du neutron <math>\;\left( +\dfrac{2}{3}\;e \right) + 2 \times \left( -\dfrac{1}{3}\;e \right)</math> <math>= 0\bigg\}</math>, l'« interaction nucléaire forte » étant à très courte portée de l'ordre de <math>\;1\;fm</math>, ce qui signifie qu'au-delà de l'estimation de sa portée l'« [[w:Interaction_forte|interaction nucléaire forte]] » peut être considérée comme nulle ; <br>{{Al|3}}une conséquence de la très courte portée de l'« [[w:Interaction_forte|interaction nucléaire forte]] » entre « [[w:Quark|quarks]] » étant que l'interaction exercée entre « [[w:Quark|quarks]] » de deux nucléons de noyaux différents ne se manifestant que si les nucléons se côtoient, on peut penser qu'elle s’exerce entre les noyaux mais cette interaction entre noyaux n'est que la résultante des interactions entre « [[w:Quark|quarks]] » <math>\;\big[</math>pour éviter cette ambiguïté, on parlera d'« interaction nucléaire forte résiduelle » entre noyaux <math>\;\big(</math>sans que ce soit systématique<math>\big)\big]</math>.</ref> qui s'exerce également entre les deux étant à très courte portée n’intervient que lorsque les particules projectile et cible sont au contact, ce qui nécessite que la « distance minimale d’approche <math>\;r_P\;</math><ref name="définition de la distance minimale d'approche"> C.-à-d. la distance séparant la particule <math>\;\alpha\;</math> et le noyau d'<math>Au\;</math> en les supposant tous les deux ponctuels.</ref> soit <math>\;\lesssim\;</math> à <math>\;R_{\text{noyau d'}Au} + R_{\text{noyau d'}He}</math> <math>\;\big(R_{\text{noyau d'}Au} \simeq 8,1\;fm\;</math> et <math>\;R_{\text{noyau d'}He} \simeq 1,9\;fm\;</math> étant respectivement le rayon du noyau d'<math>Au\;</math><ref name="rayon de noyau à grand A"> Le rayon d'un noyau de [[w:Nombre_de_masse|nombre de masse]] <math>\;A > 16</math> <math>\;\big(</math>celui de l'<math>Au\;</math> étant <math>\;197\big)\;</math> s'évalue par <math>\;R_{\text{noyau},\,A} \simeq R_0\;\sqrt[3]{A}\;</math> avec <math>\;R_0 \simeq 1,4\;fm\;</math> soit <math>\;R_{\text{noyau d'}Au} \simeq 1,4 \times \sqrt[3]{197} \simeq 8,1\;fm</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[w:Noyau_atomique#Taille_et_forme|taille et forme]] » de l'article « [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]] » de wikipedia<math>\big]</math>.</ref> et celui de la particule <math>\;\alpha\;</math><ref name="rayon de noyau à faible A"> Le rayon d'un noyau de [[w:Nombre_de_masse|nombre de masse]] <math>\;A < 16</math> <math>\;\big(</math>celui de l'<math>He\;</math> étant <math>\;4\big)\;</math> s'évalue par <math>\;R_{\text{noyau},\,A} \simeq {R'}_0\;\sqrt[3]{A}\;</math> avec <math>\;{R'}_0 \simeq 1,2\;fm\;</math> soit <math>\;R_{\text{noyau d'}He} \simeq 1,2 \times \sqrt[3]{4} \simeq 1,9\;fm</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[w:Noyau_atomique#Taille_et_forme|taille et forme]] » de l'article « [[w:Noyau_atomique|noyau atomique]] » de wikipedia<math>\big]</math>.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;r_P \lesssim 10\;fm\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : }}l'énergie cinétique initiale maximale d'une particule <math>\;\alpha\;</math> lors de sa diffusion sur un noyau d'<math>Au\;</math> pour que celle-ci reste uniquement coulombienne est «<math>\;K_{0,\,\text{max}} = E_{m,\,0,\,\text{max}}\;</math> définie par <math>\;r_{P,\,\text{min}}(K_{0,\,\text{max}}) = r_{P,\,K_0}(h = 0) = 10\;fm\;</math>» avec «<math>\;r_{P,\,K_0}(h = 0) = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;E_{m,\,0,\,\text{en}\,eV}}\;</math>»<ref name="rP pour paramètre d'impact nul"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#cite_note-distance_minimale_d'approche_coulombienne_à_paramètre_d'impact_nul_dans_expérience_de_Rutherford-113|¹¹³]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> dont on déduit {{Nobr|«<math>\;K_{0,\,\text{max},\,\text{en}\,eV} =</math>}} <math>E_{m,\,0,\,\text{max},\,\text{en}\,eV} = \dfrac{2\;Z_{Au}\;e}{4\;\pi\;\varepsilon_0\;r_{P,\,\text{min}}(K_{0,\,\text{max}})} \simeq \dfrac{2 \times 79 \times 1,6\; 10^{-19} \times 9\;10^9}{\left( 10\;10^{-15} \right)}\;eV \simeq 22,75\;10^6\;eV\;</math>» soit «<math>\;K_{0,\,\text{max}} \simeq 23\;MeV\;</math>» <math>\;\big(</math>correspondant à une valeur d'énergie cinétique de particule <math>\;\alpha\;</math> très légèrement relativiste<ref name="condition pour qu'une particule alpha ait une énergie cinétique newtonienne"> L'énergie cinétique d'une particule <math>\;\alpha\;</math> de vitesse <math>\;v_0\;</math> restera newtonienne pour <math>\;v_0 \lesssim \dfrac{c}{10} \simeq 30\,000\;km \cdot s^{-1}\;</math> soit <math>\;K_0 = \dfrac{1}{2}\;m_\alpha\;v_0^{\,2} \lesssim \dfrac{1}{2} \times \left( 4 \times 1,66\;10^{-27} \right) \times \left( 3\;10^7 \right)^2 \simeq 2,99\;10^{-12}\;J\;</math> ou <math>\;K_0 \lesssim 18,7\;MeV \simeq 20\;MeV</math>.</ref><math>\big)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : }}en conclusion, « si l'énergie cinétique initiale <math>\;K_0\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> lors de sa diffusion sur un noyau d'<math>Au\;</math> est <math>\;\lesssim 23\;MeV\;</math>», l'interaction entre les particules projectile et cible est purement coulombienne ce qui se manifeste par l'accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec des résultats expérimentaux d'une part et d'autre part par l'accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux<ref name="obtention des résultats expérimentaux de rp en fonction de h - bis" />, [[File:Expérience de Rutherford - angle diffusion coulombienne en fonction du paramètre d'impact - bis.png|thumb|right|400px|Tracé de l'angle de diffusion coulombienne <math>\;D\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> sur un noyau d'<math>Au\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la {{1re}} sur le 2^nd dans l'expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" /> et nécessité d'intervention de l'[[w:Interaction_nucléaire_forte|interaction nucléaire forte]] (résiduelle) aux faibles valeurs de paramètre d'impact pour une énergie cinétique initiale de la particule <math>\;\alpha\;</math> suffisamment grande]] [[File:Expérience de Rutherford - distance minimale d'approche coulombienne en fonction du paramètre d'impact - bis.png|thumb|left|400px|Tracé de la distance minimale d'approche coulombienne <math>\;r_P\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> sur un noyau d'<math>Au\;</math> en fonction du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> de la {{1re}} sur le 2^nd dans l'expérience de Rutherford<ref name="Rutherford" /> et nécessité d'intervention de l'[[w:Interaction_nucléaire_forte|interaction nucléaire forte]] (résiduelle) aux faibles valeurs de paramètre d'impact pour une énergie cinétique initiale de la particule <math>\;\alpha\;</math> suffisamment grande]] {{Al|102}}« si l'énergie cinétique initiale <math>\;K_0\;</math> de la particule <math>\;\alpha\;</math> lors de sa diffusion sur un noyau {{Nobr|d'<math>Au\;</math>}} est <math>\;\gtrsim 23\;MeV\;</math>» <math>\;\big(</math>par exemple <math>\;30\;MeV\big)</math>, * l'interaction entre les particules projectile et cible est purement coulombienne pour un paramètre d'impact <math>\;h \gtrsim h_{\text{désacc}}\;</math> avec <math>\;h_{\text{désacc}}\;</math> la valeur du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> pour laquelle la distance minimale d'approche <math>\;r_P(h)\;</math> est égale à <math>\;R_{\text{noyau d'}Au} + R_{\text{noyau d'}He}\;</math> <math>\;\big(R_{\text{noyau d'}Au}\;</math> et <math>\;R_{\text{noyau d'}He}\;</math> étant respectivement le rayon du noyau d'<math>Au\;</math><ref name="rayon de noyau à grand A" /> et celui de la particule <math>\;\alpha\;</math><ref name="rayon de noyau à faible A" /><math>\big)\;</math> ce qui se manifeste par l'accord, pour <math>\;h \gtrsim h_{\text{désacc}}</math>, entre le tracé calculé de la courbe de diffusion<ref name="courbe de diffusion"> Cette courbe de diffusion a pour équation numérique, dans le cas où <math>\;K_0 = 30\;MeV</math>, «<math>\;D_{\text{en °}} \simeq 114,6 \; \arctan\! \left( \dfrac{3,791}{h_{\text{en}\,fm}} \right)\;</math>».</ref> et celui effectué avec des résultats expérimentaux d'une part <math>\;\big(</math>voir courbe ci-contre à droite<math>\big)\;</math> et d'autre part par l'accord, toujours pour <math>\;h \gtrsim h_{\text{désacc}}</math>, entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche<ref name="courbe de distance minimale d'approche"> Cette courbe de distance minimale d'approche a pour équation numérique, dans le cas où <math>\;K_0 = 30\;MeV</math>, «<math>\;r_{P,\,\text{en}\,fm} \simeq \dfrac{h_{\text{en}\,fm}^{\,2}}{\sqrt{(3,791)^2 + h_{\text{en}\,fm}^{\,2}} - 3,791}\;</math>».</ref> et celui effectué avec les résultats expérimentaux<ref name="obtention des résultats expérimentaux de rp en fonction de h - bis" /> <math>\;\big(</math>voir courbe ci-contre à gauche<math>\big)</math>, mais * l'[[w:Interaction_nucléaire_forte|interaction nucléaire forte]] <math>\big(</math>résiduelle<math>\big)\;</math> intervenant aussi pour un paramètre d'impact <math>\;h \lesssim h_{\text{désacc}}\;</math> ce qui se manifeste par un désaccord, pour <math>\;h \lesssim h_{\text{désacc}}</math>, entre le tracé calculé de la courbe de diffusion <math>\;\big[</math>calcul utilisant uniquement l'interaction coulombienne<math>\big]\;</math><ref name="courbe de diffusion" /> et celui effectué avec des résultats expérimentaux <math>\;\big[</math>faisant intervenir les deux interactions coulombienne et [[w:Interaction_nucléaire_forte|nucléaire forte]] {{Nobr|<math>\big(</math>résiduelle<math>\big)\big]</math>}} <math>\;\big(</math>voir courbe ci-dessus à droite<math>\big)\;</math> ainsi qu'un désaccord potentiel, pour <math>\;h \lesssim h_{\text{désacc}}</math>, entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche <math>\;\big[</math>calcul utilisant uniquement l'interaction coulombienne<math>\big]\;</math><ref name="courbe de distance minimale d'approche" /> et le tracé éventuel qui serait effectué avec des résultats expérimentaux dans la mesure où ceux-ci seraient obtenus {{Nobr|directement<ref name="obtention des résultats expérimentaux de rp en fonction de h - bis" />}} <math>\;\big(</math>et non obtenus par la méthode décrite en note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#cite_note-obtention_des_résultats_expérimentaux_de_rp_en_fonction_de_h-114|¹¹⁴]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big)</math> <math>\;\big(</math>voir courbe ci-dessus à gauche<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Rappel de la méthode permettant d'accéder à un ordre de grandeur de la dimension du noyau cible dans une expérience de Rutherford</u><ref name="Rutherford" /> : * Utiliser un faisceau monocinétique de particules <math>\;\alpha\;</math> suffisamment énergétique <math>\;\big[</math>une énergie cinétique initiale <math>\;K_0 \simeq 30\;MeV\;</math> suffit<math>\big]</math>, * relever les valeurs d'angle de diffusion <math>\;D\;</math> du faisceau sur un noyau d'<math>Au\;</math> présélectionné par le détecteur pour différentes valeurs du paramètre d'impact <math>\;h\;</math> puis tracer la courbe de diffusion expérimentale, * superposer à cette courbe de diffusion expérimentale la courbe de diffusion théorique ne tenant compte que de la diffusion coulombienne et observer que la concordance entre les deux n'est plus réalisée pour des faibles valeurs de paramètre d'impact, plus exactement pour <math>\;h \lesssim h_{\text{désacc}}</math> avec évaluation de <math>\;h_{\text{désacc}}</math> <math>\;\big[</math>avec <math>\;K_0 \simeq 30\;MeV</math>, <math>\;h_{\text{désacc}} \simeq 4,9\;fm\big]</math>, * identifier la valeur du minimum expérimental de la distance minimale d'approche <math>\;r_{P,\,\text{min},\,\text{exp}}\;</math> à la valeur de distance minimale d'approche de diffusion coulombienne pour <math>\;h_{\text{désacc}}</math> <math>\;\big[</math>cette valeur de paramètre d'impact correspondant à la limite d'intervention de l'[[w:Interaction_nucléaire_forte|interaction nucléaire forte]] <math>\big(</math>résiduelle<math>\big)</math>, <math>\;r_P(h_{\text{désacc},\,\text{coulomb}})\;</math> est de même valeur avec ou sans l'utilisation de cette interaction<math>\big]\;</math> soit {{Nobr|«<math>\;r_{P,\,\text{min},\,\text{exp}} =</math>}} <math>r_P(h_{\text{désacc},\,\text{coulomb}})\;</math>» <math>\;\big[</math>avec <math>\;K_0 \simeq 30\;MeV</math>, <math>\;r_P(h_{\text{désacc},\,\text{coulomb}}) \simeq 10\;fm\big]</math>, « la valeur de <math>\;r_{P,\,\text{min},\,\text{exp}}\;</math> correspondant à celle de <math>\;R_{\text{noyau d'}Au} + R_{\text{noyau d'}He}\;</math>» <math>\;\big(R_{\text{noyau d'}Au}\;</math> et <math>\;R_{\text{noyau d'}He}\;</math> étant respectivement le rayon du noyau d'<math>Au\;</math> et celui de la particule <math>\;\alpha\big)\;</math> dans la mesure à l'[[w:Interaction_nucléaire_forte|interaction nucléaire forte]] <math>\big(</math>résiduelle<math>\big)\;</math> étant à très courte portée, son intervention nécessite le contact entre les particules projectile et cible d'où <center>l'ordre de grandeur du noyau d'<math>Au\;</math> «<math>\;R_{\text{noyau d'}Au} \lesssim r_{P,\,\text{min},\,\text{exp}} \simeq 10\;fm\;</math>»<ref> Ce résultat final étant, en pratique, indépendant de l'énergie cinétique initiale du faisceau de particules <math>\;\alpha</math>.</ref>.</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires|Mouv. d'un pt dans un champ de force central conservatif : Satellites géostationnaires]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques|Mouv. d'un pt dans un champ de force central conservatif : Vitesses cosmiques]] }} hbeoye8pqp23qyhgbejddhir3b6aj66 0 75607 987237 986693 2026-10-10T18:30:53Z Phl7605 31541 987237 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 20 | niveau = 14 | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne/]] | suivant = }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.</center> == Ordre de grandeur de la « vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse » dans le référentiel géocentrique, 1^ère vitesse cosmique d'une sonde terrestre == {{Al|5}}Nous avons établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Mouvement_circulaire_d'un_satellite_de_la_Terre|mouvement circulaire d'un satellite de la Terre]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » l’expression de la vitesse circulaire d’un satellite terrestre en fonction du rayon «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}\;</math>» de son orbite dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen"> On rappelle que le référentiel géocentrique est quasi-galiléen dans la mesure où on envisage une durée d'observation <math>\;\lesssim 3\;j</math>.</ref> selon «<math>\;v_{\text{orb. circul.},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}}}}\;</math>»<ref name="vitesse de mouvement circulaire de M dans champ de gravitation newtonien"> Expression à retenir et qu’il faut savoir retrouver très rapidement par « r.f.d.n. projetée sur <math>\;\vec{u}_r\;</math>» tel que cela a été exposé au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Expression_de_la_vitesse_angulaire_du_mouvement_circulaire_de_centre_O_du_point_M_uniquement_soumis_à_une_force_centrale_conservative|expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point uniquement soumis à une force centrale conservative]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » en précisant la forme de la force.</ref> dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle » et «<math>\;m_{\text{(♁)}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre (♁) » ; {{Al|5}}un satellite terrestre en mouvement circulaire est dit « en orbite basse » si le rayon de sa trajectoire est tel que «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{Satellite}} \simeq R_{\text{(♁)}}\;</math>» <math>\;\big[</math>avec <math>\;R_{\text{(♁)}} \simeq 6380\;km\;</math> le rayon de la Terre (♁) assimilée à une boule<math>\big]\;</math> d'où la réécriture de la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> selon «<math>\;v_{\text{orb. circul. basse},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}}}\;</math>» ou, {{Al|5}}sachant que l’intensité du champ de gravitation terrestre s'y exprime selon «<math>\;G_{\text{(♁)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}} = G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}\;</math>», la réécriture de la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> en fonction du rayon de la Terre et de l'intensité du champ de gravitation terrestre au niveau du sol selon <center>«<math>\;v_{\text{orb. circul. basse},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}\;</math>» <math>\;\big(</math>à retenir<math>\big)</math>, <br />définissant la 1^ère vitesse cosmique d'une sonde terrestre <math>\;\big(</math>dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /><math>\big)</math>.</center> {{Al|5}}Numériquement «<math>\;G_{\text{(♁)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;6,0\;10^{24}}{\left( 6,38\;10^6 \right)^2} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math>» d'où «<math>\;v_{\text{orb. circul. basse},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{9,83 \times 6,38\;10^6} \simeq 7900\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{orb. circul. basse},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq 7,9\;km \cdot s^{-1} \simeq 8\;km \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\;\big(</math>ordre de grandeur à retenir<math>\big)</math>, <br />ordre de grandeur de la 1^ère vitesse cosmique d'une sonde terrestre <math>\;\big(</math>dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /><math>\big)</math>.</center> == Définition de la « vitesse de libération d'une sonde terrestre » dans le référentiel géocentrique == {{Al|5}}<u>Remarque</u> : pour être plus précis au lieu de « vitesse de libération d'une sonde terrestre » on devrait dire « vitesse de libération de l'attraction de la Terre (♁) d'une sonde terrestre ». === États lié ou de diffusion d’une sonde terrestre suivant sa vitesse au point de lancement distant de « r₀ » du centre de la Terre dans le référentiel géocentrique === {{Al|5}}Ayant établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Énergie_mécanique_du_point_matériel_soumis_à_une_force_newtonienne#Tracé_du_diagramme_d’énergies_potentielle_effective_et_mécanique_d'un_point_dans_un_champ_de_force_newtonien_attractif|tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » qu’« <u>un état lié</u> d’un point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans un champ de force newtonien attractif<ref name="force newtonienne"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Champ_newtonien,_lois_de_Kepler#Force_newtonienne_subie_par_le_point_matériel_M|force newtonienne subie par le point matériel M]] (définition) » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> » «<math>\;\vec{F}(M) = \dfrac{k}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>» <math>\;\Bigg[</math>dans lequel <math>\;r = OM\;</math> est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Repérage_sphérique_de_pôle_et_d'axe_fixés_d'un_point_dans_la_composante_d'espace_du_référentiel_d'étude|repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> et <math>\;\vec{u}_r(M)\;</math> le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de force<math>\big)\;</math> liée à <math>\;M\;</math><ref name="repérage sphérique" /> avec <math>\;k \in \mathbb{R}^{-,\,*}\Bigg]\;</math> <u>correspond à une énergie mécanique</u> de celui-ci dans le champ de force newtonien «<math>\;E_{m,\,M} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2} + \dfrac{k}{r} < 0\;</math>» <math>\;\big(</math>la référence de l’énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> étant à l’infini<math>\big)\;</math> et qu’« <u>un état de diffusion</u> du même point matériel <math>\;M \left( m \right)\;</math> dans le même champ de force newtonien attractif » <u>nécessite une énergie mécanique</u> du point dans le champ de force newtonien «<math>\;E_{m,\,M} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_M^{\,2} + \dfrac{k}{r} \geqslant 0\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence de l’énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l'infini<math>\big)</math>, {{Al|5}}nous pouvons appliquer ces résultats au cas d'une sonde terrestre dans le champ de force newtonien gravitationnel de la Terre (♁) où «<math>\;k = -\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m\;</math>» dans laquelle «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> est la constante de gravitation universelle, <math>\;m_{\text{(♁)}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> la masse de la Terre (♁) et <math>\;m\;</math> la masse de la sonde terrestre », ce qui donne * un <u>état lié</u> pour la sonde terrestre si son énergie mécanique, dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" />, «<math>\;E_{m,\,\text{sonde}} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\text{sonde}}^{\,2} - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence de l’énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l'infini<math>\big)</math>, * un <u>état de diffusion</u> pour la sonde terrestre si son énergie mécanique, dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" />, «<math>\;E_{m,\,\text{sonde}} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_{\text{sonde}}^{\,2} - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r}\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence de l’énergie potentielle<ref name="référence d'énergie potentielle" /> à l'infini<math>\big)</math>. {{Al|5}}Considérant la sonde terrestre en une position initiale située à la distance <math>\;r_0\;</math> du centre <math>\;O\;</math> de la Terre (♁) avec un vecteur vitesse initiale <math>\;\vec{V}_0\;</math> dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" />, nous pouvons réécrire la condition pour que la sonde soit dans un état lié ou de diffusion en termes de vitesse initiale, la sonde étant * dans un <u>état lié</u> si «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r_0}\;</math> est <math>\;< 0\;</math>» c'est-à-dire si « la norme du vecteur vitesse initiale <math>\;v(r_0)\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;\sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_0}}\;</math>» et * dans un <u>état de diffusion</u> si «<math>\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;m\;\vec{V}_0^{\,2} - \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}\;m}{r_0}\;</math> est <math>\;\geqslant 0\;</math>» c'est-à-dire si « la norme du vecteur vitesse initiale <math>\;v(r_0)\;</math> est <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;\sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_0}}\;</math>». {{Al|5}}en conclusion, pour être arrachée à l’attraction terrestre, la sonde doit avoir, en son point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre <math>\;O\;</math> de la Terre (♁), « une vitesse <math>\;v(r_0) \geqslant \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_0}}\;</math>», cette limite inférieure correspondant à une trajectoire parabolique. === Définition de la « vitesse de libération, dans le référentiel géocentrique, d’une sonde terrestre » en un point de lancement distant de « r₀ » du centre de la Terre === {{Définition| titre=Vitesse de libération d'une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique| contenu = {{Al|5}}La vitesse de libération d’une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> en un point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre <math>\;O\;</math> de la Terre (♁) est la vitesse minimale à lui communiquer au point de lancement dans le référentiel d'étude * pour qu’elle puisse s’arracher de l’attraction terrestre ou * pour qu'elle soit dans un état de diffusion ou encore * pour que sa trajectoire soit parabolique <math>\;\big(</math>raison pour laquelle la vitesse de libération est encore appelée « vitesse parabolique »<math>\big)</math>.}} {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : D'après le paragraphe précédent « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#États_lié_ou_de_diffusion_d’une_sonde_terrestre_suivant_sa_vitesse_au_point_de_lancement_distant_de_«_r0_»_du_centre_de_la_Terre_dans_le_référentiel_géocentrique|états lié ou de diffusion d'une sonde terrestre suivant sa vitesse au point de lancement distant de r₀ du centre de la Terre dans le référentiel géocentrique]] » on en déduit que « la vitesse de libération d'une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> en un point de lancement distant de <math>\;r_0\;</math> du centre <math>\;O\;</math> de la Terre (♁), <math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» s'écrit selon <center>«<math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_0}}\;</math>» <math>\;\big(\searrow\;</math> quand <math>\;r_0 \nearrow\big)\;</math> avec <br />«<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{(♁)}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> masse de la Terre (♁) ».</center> === Généralisation : vitesse de libération d’une sonde d’une planète (ou d’un satellite naturel) en un point de lancement distant de « r₀ » du centre de la planète (ou du centre du satellite naturel) dans le référentiel « planétocentrique » (ou « satellocentrique ») === {{Définition| titre=Vitesse de libération d'une sonde planétaire dans le référentiel « planétocentrique »| contenu = {{Al|5}}La vitesse de libération d’une sonde planétaire<ref name="sonde planétaire"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète étudiée du Système solaire.</ref> dans le référentiel « planétocentrique »<ref name="planétocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète étudiée du Système solaire en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « planétocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, planète dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100}\;</math> pour que le référentiel « planétocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> en un point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre <math>\;O\;</math> de la planète est la vitesse minimale à lui communiquer au point de lancement dans le référentiel d'étude * pour qu’elle puisse s’arracher de l’attraction planétaire ou * pour qu'elle soit dans un état de diffusion ou encore * pour que sa trajectoire soit parabolique <math>\;\big(</math>raison pour laquelle la vitesse de libération est encore appelée « vitesse parabolique »<math>\big)</math>.}} {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : Par analogie avec le paragraphe précédent « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Définition_de_la_«_vitesse_de_libération,_dans_le_référentiel_géocentrique,_d’une_sonde_terrestre_»_en_un_point_de_lancement_distant_de_«_r0_»_du_centre_de_la_Terre|définition de la vitesse de libération, dans le référentiel géocentrique, d'une sonde terrestre en un point de lancement distant de r₀ du centre de la Terre]] » on en déduit que « la vitesse de libération d'une sonde planétaire<ref name="sonde planétaire" /> dans le référentiel « planétocentrique »<ref name="planétocentrique" /> en un point de lancement distant de <math>\;r_0\;</math> du centre de la planète, <math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{planétoc}}}\;</math>» s'écrit selon <center>«<math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{planétoc}}} = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{Planète}}}{r_0}}\;</math>» <math>\;\big(\searrow\;</math> quand <math>\;r_0 \nearrow\big)\;</math> avec <br />«<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{Planète}}</math> masse de la Planète ».</center> {{Définition| titre=Vitesse de libération d'une sonde satellitaire dans le référentiel « satellocentrique »| contenu = {{Al|5}}La vitesse de libération d’une sonde satellitaire<ref name="sonde satellitaire"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation du satellite naturel étudié d'une planète du Système solaire.</ref> dans le référentiel « satellocentrique »<ref name="satellocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre du satellite naturel étudié d'une planète du Système solaire, référentiel en translation par rapport au référentiel « planétocentrique » <math>\;\big[</math>lequel est supposé {{Nobr|quasi-galiléen,}} voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « satellocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, satellite nat. dans }\mathcal{R}_{\text{planétoc}}}}{100}\;</math> pour que le référentiel « satellocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « planétocentrique » l'est.</ref> en un point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre du satellite naturel d'une planète est la vitesse minimale à lui communiquer au point de lancement dans le référentiel d'étude * pour qu’elle puisse s’arracher de l’attraction satellitaire ou * pour qu'elle soit dans un état de diffusion ou encore * pour que sa trajectoire soit parabolique <math>\;\big(</math>raison pour laquelle la vitesse de libération est encore appelée « vitesse parabolique »<math>\big)</math>.}} {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : Par analogie avec le paragraphe précédent « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Définition_de_la_«_vitesse_de_libération,_dans_le_référentiel_géocentrique,_d’une_sonde_terrestre_»_en_un_point_de_lancement_distant_de_«_r0_»_du_centre_de_la_Terre|définition de la vitesse de libération, dans le référentiel géocentrique, d'une sonde terrestre en un point de lancement distant de r₀ du centre de la Terre]] » on en déduit que « la vitesse de libération d'une sonde satellitaire<ref name="sonde satellitaire" /> dans le référentiel « satellocentrique »<ref name="satellocentrique" /> en un point de lancement distant de <math>\;r_0\;</math> du centre du satellite naturel de la planète considérée, <math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{satellooc}}}\;</math>» s'écrit selon <center>«<math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{satelloc}}} = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{Satellite nat.}}}{r_0}}\;</math>» <math>\;\big(\searrow\;</math> quand <math>\;r_0 \nearrow\big)\;</math> avec <br />«<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{Satellite nat.}}</math> masse du Satellite naturel de la planète considérée ».</center> == Ordre de grandeur de la « vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse » dans le référentiel géocentrique, 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre et lien avec sa 1^ère vitesse cosmique == === Ordre de grandeur de la « vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse » dans le référentiel géocentrique, 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre === [[File:The Earth seen from Apollo 17 (AS17-148-22727).jpg|thumb|300px|La Terre vue depuis [[w:Apollo_17|Apollo 17]]<ref name="Apollo 17"> Dernière mission américaine du [[w:Programme_Apollo|programme spatial Apollo]] à emmener des hommes à la surface de la Lune (☽) entre le <math>\;7\;</math> et le <math>\;19\;</math> décembre <math>\;1972</math> ; l'équipage d'[[w:Apollo_17|Apollo 17]] comprend le pilote du vaisseau '''[[w:Ronald_Evans_'astronaute)|Ronald Ellwill Evans]]''' <math>\;\big[</math>qui reste en orbite autour de la Lune<math>\big]</math>, '''[[w:Eugene_Cernan|Eugène Andrew Cernan]]''' le commandant <math>\;\big[</math>qui descendra sur la Lune<math>\big]\;</math> et '''[[w:Harrison_Schmitt|Harrison Hagan Schmitt]]''' le copilote du [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>qui,}} en tant que copilote du [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]], descendra évidemment sur la Lune, c'est aussi le 1^er scientifique <math>\;\big(</math>géologue dont les connaissances doivent faciliter l'étude du terrain et la collecte des roches lunaires<math>\big)\;</math> à faire partie d'une mission spatiale<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}le [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]] utilisé permettra aux deux astronautes '''[[w:Eugene_Cernan|Cernan]]''' et '''[[w:Harrison_Schmitt|Schmitt]]''' de rester <math>\;3\;j\;</math> sur la Lune en faisant des [[w:Sortie_extravéhiculaire|sorties extravéhiculaires (EVA)]] d'une durée maximale de <math>\;8\;h</math>, les déplacements pouvant être assurés à l'aide d'un [[w:Astromobile|astromobile (ou rover) lunaire]], au cours de cette mission sur le sol lunaire <math>\;110\;kg\;</math> de roches sont collectés et <math>\;36\;km\;</math> y sont parcourus ; on dénombre de nombreuses [[w:Apollo_17#Les_expériences_du_module_de_service_et_de_commande|expériences réalisées dans le module de servie et de commande]] ainsi que de nombreuses [[w:Apollo_17#Les_autres_expériences_scientifiques_sur_le_sol_lunaire|autres expériences scientifiques accomplies sur le sol lunaire]], figurent également dans la mission des [[w:Apollo_17#Les_expériences_biologiques|expériences biologiques]] <math>\;\ldots</math></ref> en <math>\;1972\;</math><ref> Photographie prise par l'équipage d'[[w:Apollo_17|Apollo 17]] le <math>\;7\;</math> décembre <math>\;1972</math>.</ref>]] {{Al|5}}La vitesse de libération d’une sonde terrestre dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> en un point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre <math>\;O\;</math> de la Terre (♁) s'exprimant selon «<math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{r_0}}\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{(♁)}} \simeq 6,0\;10^{24}\;kg\;</math> masse de la Terre (♁) » et {{Al|5}}une sonde terrestre étant dite « en orbite basse » si sa distance au centre <math>\;O\;</math> de la Terre (♁) est telle que «<math>\;r_0 \simeq R_{\text{(♁)}}\;</math>» <math>\;\big[</math>avec <math>\;R_{\text{(♁)}} \simeq 6380\;km\;</math> le rayon de la Terre (♁) assimilée à une boule<math>\big]</math>, on en déduit la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> selon «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}}}\;</math>» ou {{Al|5}}sachant que l’intensité du champ de gravitation terrestre s'y exprime selon «<math>\;G_{\text{(♁)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}} = G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}\;</math>», la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> en fonction du rayon de la Terre et de l'intensité du champ de gravitation terrestre au niveau du sol selon <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{2\;G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}\;</math>» <math>\;\big(</math>à retenir<math>\big)</math>, <br />définissant la 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre <math>\;\big(</math>dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /><math>\big)</math>.</center> {{Al|5}}Numériquement «<math>\;G_{\text{(♁)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♁)}}}{R_{\text{(♁)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;6,0\;10^{24}}{\left( 6,38\;10^6 \right)^2} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;</math>» d'où «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 9,83 \times 6,38\;10^6} \simeq 11200\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq 11,2\;km \cdot s^{-1} \simeq 11\;km \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\;\big(</math>ordre de grandeur à retenir<math>\big)</math>, <br />ordre de grandeur de la 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre <math>\;\big(</math>dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /><math>\big)</math>.</center> === Lien entre les deux 1^ères vitesses cosmiques d'une sonde terrestre === {{Al|5}}Ayant respectivement établi dans les paragraphes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Ordre_de_grandeur_de_la_«_vitesse_circulaire_d'un_satellite_terrestre_en_orbite_basse_»_dans_le_référentiel_géocentrique,_1ère_vitesse_cosmique_d'une_sonde_terrestre|ordre de grandeur de la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 1^ère vitesse cosmique d'une sonde terrestre]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Ordre_de_grandeur_de_la_«_vitesse_de_libération_d'une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_»_dans_le_référentiel_géocentrique,_2ème_vitesse_cosmique_d'une_sonde_terrestre|ordre de grandeur de la vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre]] » l'expression de la 1^ère et de la 2^nde vitesses cosmiques d'une sonde terrestre à savoir «<math>\;v_{\text{orb. circul. basse},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}\;</math>» et «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{2\;G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}}\;</math>» on en déduit aisément <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} = v_{\text{orb. circul. basse},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\sqrt{2}\;</math>» dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /> c'est-à-dire <br />« 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre » <math>\;=\;</math> « 1^ère vitesse cosmique de la même sonde terrestre <math>\;\times\; \sqrt{2}\;</math>», lien à retenir.</center> === En complément, ordre de grandeur de la vitesse de libération d’une sonde planétaire en orbite basse (ou d’une sonde « satellitaire » en orbite basse) dans le référentiel « planétocentrique » (ou « satellocentrique ») === ==== Ordre de grandeur de la vitesse de libération d’une sonde planétaire en orbite basse dans le référentiel « planétocentrique » ==== {{Al|5}}La vitesse de libération d’une sonde planétaire<ref name="sonde planétaire" /> dans le référentiel « planétocentrique »<ref name="planétocentrique" /> en un point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre de la Planète du Système solaire s'exprimant selon {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{planétoc}}}</math>}} <math>= \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{Planète}}}{r_0}}\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{Planète}}\;</math> masse de la Planète » et {{Al|5}}une sonde planétaire<ref name="sonde planétaire" /> étant dite « en orbite basse » si sa distance au centre de la Planète est telle que «<math>\;r_0 \simeq R_{\text{Planète}}\;</math>» <math>\;\big[</math>avec <math>\;R_{\text{Planète}}\;</math> le rayon de la Planète assimilée à une boule<math>\big]</math>, on en déduit la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde planétaire<ref name="sonde planétaire" /> en orbite basse dans le référentiel « planétocentrique »<ref name="planétocentrique" /> selon «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{planétoc}}} \simeq \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{Planète}}}{R_{\text{Planète}}}}\;</math>» ou {{Al|5}}sachant que l’intensité du champ de gravitation de la Planète s'y exprime selon «<math>\;G_{\text{Planète},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Planète}}}{R_{\text{Planète}}^{\,2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Planète}}}{R_{\text{Planète}}} = G_{\text{Planète},\,0}\;R_{\text{Planète}}\;</math>», la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde planétaire<ref name="sonde planétaire" /> en orbite basse dans le référentiel « planétocentrique »<ref name="planétocentrique" /> en fonction du rayon de la Planète et de l'intensité du champ de gravitation de la Planète au niveau du sol selon <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{planétoc}}} \simeq \sqrt{2\;G_{\text{Planète},\,0}\;R_{\text{Planète}}}\;</math>».</center> {{Al|5}}Numériquement pour les <math>\;7\;</math> autres planètes du Système solaire par ordre de distance <math>\;\nearrow\;</math> au Soleil (☉) : * dans le cas des <math>\;4\;</math> [[w:Planète_tellurique|planètes telluriques]] dont la « Terre (♁) » est la 3^ème en partant du « Soleil (☉) » on trouve respectivement [[File:Mercury shadown.jpg|thumb|Photo de Mercure prise par [[w:Mariner_10|Mariner 10]]]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Mercure (☿) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(☿)}} \simeq 2440\;km \simeq 0,383\;R_{\text{(♁)}}\;</math>» et sa masse «<math>\;m_{\text{(☿)}} \simeq 3,30\;10^{23}\;kg \simeq 0,055\;m_{\text{(♁)}}\;</math>», l'intensité du champ de gravitation de Mercure (☿) au niveau du sol s'estime à {{Nobr|«<math>\;G_{\text{(☿)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☿)}}}{R_{\text{(☿)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;3,30\;10^{23}}{\left( 2,44\;10^6 \right)^2} \simeq 3,70\;m \cdot s^{-2} \simeq</math>}} <math>0,376\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde mercurienne<ref name="sonde mercurienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Mercure (☿) ».</ref> en orbite basse dans le référentiel « mercurocentrique »<ref name="mercurocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Mercure (☿) » en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « mercurocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (☿) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 0,88\;j \simeq 21\;h\;</math> pour que le référentiel « mercurocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{mercuroc}}}</math>}} <math>\simeq \sqrt{2 \times 3,70 \times 2,44\;10^6} \simeq 4250\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{mercuroc}}} \simeq 4,25\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « mercurocentrique »<ref name="mercurocentrique" />, <br /> voir ci-contre une photo de Mercure prise par [[w:Mariner_10|Mariner 10]] entre <math>\;1974\;</math> et <math>\;1975</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Mercure (☿) », }}<u>remarque</u> : historiquement il y a eu peu de missions vers Mercure (☿) car cette planète est trop proche du Soleil (☉) <math>\;\big[</math>c’est la planète la moins explorée du Système solaire<math>\big]</math> ; une 1^ère approche de Mercure (☿) fut accomplie par la sonde américaine « [[w:Mariner_10|Mariner 10]] » entre <math>\;1974\;</math> et <math>\;1975</math> <math>\;\big(</math>elle a frôlé <math>\;3\;</math> fois la planète et s’est rapprochée au mieux à <math>\;327\; km\big)</math>, puis la sonde américaine « [[w:Messenger|Messenger]] » lancée en <math>\;2004</math>, a survolé <math>\;2\;</math> fois Mercure (☿) en janvier et octobre <math>\;2008</math> <math>\;\big(</math>1^ère observation de la face cachée<math>\big)\;</math> et a été placée en orbite en mars <math>\;2011</math> <math>\;\big(</math>avec un péricentre situé à <math>\;200\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;15200\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{mercuroc}}} \simeq 12\; h\big)\;</math> pour réaliser, entre autres, une cartographie complète de sa surface <math>\;\big(</math>fin de mission initialement prévue en mars <math>\;2013\;</math> retardée jusqu'en mars <math>\;2015\;</math> sur une orbite plus rapprochée : même péricentre et nouvel apocentre à <math>\;10300\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{mercuroc}}}</math> <math>\simeq 8\; h\big)</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Mercure (☿) », remarque : }}une sonde euro-japonaise « [[w:BepiColombo|BepiColombo]] »<ref name="Colombo"> '''[[w:Giuseppe_Colombo_(mathématicien)|Giuseppe Colombo]] (1920 - 1984)''' dit '''Bepi Colombo''' mathématicien, astronome et ingénieur italien connu pour ces travaux en [[w:Mécanique_spatiale|astrodynamique]], la mission euro-japonaise lancée pour étudier Mercure (☿) a été baptisée « [[w:BepiColombo|BepiColombo]] » en son honneur.</ref> a été lancée en octobre <math>\;2018\;</math> par [[w:Ariane_5|Ariane 5]] : après un vol de transit de <math>\;7\; ans\;</math> et le recours à <math>\;9\;</math> reprises de l’[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] des [[w:Planète_tellurique|planètes telluriques]] <math>\;\big[</math>une 1^ère fois la Terre (♁), les deux fois suivantes Vénus (♀) et les six dernières fois Mercure (☿)<math>\big]</math>, les orbiteurs [[w:BepiColombo#L'orbiteur_MPO|européen MPO]] et [[w:BepiColombo#L'orbiteur_magnétosphérique_(MMO)|japonais MMO]] doivent être placés en orbite en décembre <math>\;2025</math>, orbite peu excentrée pour le 1^er <math>\;\big(</math>avec un péricentre situé à <math>\;480\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;1500\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{mercuroc}}} \simeq 2,3\; h\;</math> pour étudier l’intérieur et la surface de la planète<math>\big)\;</math> et plus excentrée pour le 2^nd <math>\;\big(</math>avec un péricentre situé à <math>\;590\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;11640\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{mercuroc}}} \simeq 9,2\; h\;</math> pour étudier entre autres la magnétosphère de la planète<math>\big)</math> ; un atterrisseur initialement prévu a vu son projet abandonné par restrictions budgétaires <math>\;\big(</math>fin de mission prévue en <math>\;2026\;</math> ou <math>\;2027\big)</math> ; pour information la température de surface varie entre <math>\;-183\; \text{°C}</math> <math>\;\big\{</math>sur la face visible de Mercure (☿)<math>\big\}</math> et <math>\;427\; \text{°C}</math> <math>\;\big\{</math>sur la face cachée de Mercure (☿) <math>\;\big[</math>on a longtemps pensé que Mercure (☿) présentait toujours la même face au Soleil (☉) car sa période de rotation propre <math>\;58,6\;j\;</math> est approximativement la moitié que sa [[w:Période_synodique|période synodique]] <math>\;115,8\;j\;</math><ref name="périodes synodique et de révolution de Mercure"> À ne pas confondre avec sa [[w:Période_de_révolution|période sidérale]] <math>\;\big[</math>c'est-à-dire de révolution autour du Soleil (☉) dans le référentiel de Copernic<math>\big]\;</math> égale à <math>\;87,96\;j</math>.</ref>, mais ceci n'est qu'une apparence vue de la Terre (♁) contrairement à ce qui se passe dans la situation de la Lune pour laquelle il existe réellement une face cachée de la Lune<ref name="face cachée de la Lune"> La raison de l'existence d'une face cachée de la Lune (☽) étant que la période de rotation propre de cette dernière est la même que sa période de révolution autour de la Terre (♁) à savoir <math>\;27,3\;j\;</math> dans le référentiel géocentrique.</ref><math>\big]\big\}</math> ; [[File:Venus-real_color.jpg|thumb|300px|Vénus en vraies couleurs vue par [[w:Mariner_10|Mariner 10]]]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Vénus (♀) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(♀)}} \simeq 6050\;km \simeq 0,948\;R_{\text{(♁)}}\;</math>» et sa masse «<math>\;m_{\text{(♀)}} \simeq 4,87\;10^{24}\;kg \simeq</math> <math>0,81\;m_{\text{(♁)}}\;</math>», l'intensité du champ de gravitation de Vénus (♀) au niveau du sol s'estime à «<math>\;G_{\text{(♀)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♀)}}}{R_{\text{(♀)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;4,87\;10^{24}}{\left( 6,05\;10^6 \right)^2} \simeq</math> <math>8,87\;m \cdot s^{-2} \simeq 0,902\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde vénusienne<ref name="sonde vénusienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Vénus (♀) ».</ref> en orbite basse dans le référentiel « vénusocentrique »<ref name="vénusocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Vénus (♀) » en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « vénusocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (♀) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 2,25\;j\;</math> pour que le référentiel « vénusocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{vénusoc}}} \simeq</math>}} <math>\sqrt{2 \times 8,87 \times 6,05\;10^6} \simeq 10360\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{vénusoc}}} \simeq 10,36\;km \cdot s^{-1} \simeq 10,4\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « vénusocentrique »<ref name="vénusocentrique" />, <br /> voir ci-contre une photo de Vénus prise par [[w:Mariner_10|Mariner 10]] en février <math>\;1974</math> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Vénus (♀) », }}<u>remarque</u> : historiquement, après quelques tentatives américaines et soviétiques infructueuses, un 1^er survol de Vénus (♀) fut réussi par la sonde américaine « [[w:Mariner_2|Mariner 2]] » en août <math>\;1962</math> {{Nobr|<math>\;\big(</math>elle}} est passée à <math>\;34850\; km\;</math> de la surface et a permis d’observer une atmosphère dense, une température élevée et une absence de champ magnétique<math>\big)</math>, puis, après de nouveaux échecs, la sonde soviétique « [[w:Venera_4|Venera 4]] » a pénétré l’atmosphère de Vénus en juin <math>\;1967\;</math> avec envoi d’informations jusqu’à <math>\;25\; km\;</math> du sol puis, après encore quelques échecs, la sonde soviétique « [[w:Venera_7|Venera 7]] » a, en août <math>\;1970</math>, largué une sonde de pénétration de l’atmosphère avec survie en surface <math>\;\big(</math>malgré une pression <math>\;93\;</math> fois celle de la surface terrestre<math>\big)</math> ; les sondes soviétiques [[w:Venera_13|Venera 13]] et [[w:Venera_14|Venera 14]] lancées le <math>\;30\;</math> octobre et le <math>\;4\;</math> novembre <math>\;1981\;</math> à <math>\;5\;j\;</math> d'intervalle donnèrent les 1^ères photos couleurs de la surface planétaire en mars <math>\;1982\;</math> puis la sonde américaine [[w:Magellan_(sonde_spatiale)|Magellan]] lancée en <math>\;1989\;</math> fut mise en orbite et réalisa, entre <math>\;1990\;</math> et <math>\;1994</math>, une cartographie complète de la surface avec une résolution horizontale inférieure à <math>\;100\;m</math> ; la sonde européenne [[w:Venus_Express|Vénus Express]] a été lancée en novembre <math>\;2005\;</math> et placée, en avril <math>\;2006</math>, sur une orbite très allongée {{Nobr|<math>\;\big(</math>avec}} un péricentre situé à <math>\;250\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;66000\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{vénusoc}}} \simeq 24\; h\big)</math>, ce qui a permis de collecter, jusqu'en décembre <math>\;2014</math>, des informations cruciales sur la structure, la chimie et la dynamique de l'atmosphère vénusienne ; pour information l'atmosphère est composée à <math>\;96,5\;\%\;</math> de <math>\;CO_2\;</math> et <math>\;3,5\;\%\;</math> de <math>\;N_2\;</math> avec une pression au sol de <math>\;93\;bar</math>, la température de surface de Vénus (♀) varie entre <math>\;446\;\text{°C}\;</math> et <math>\;470\;\text{°C}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Vénus (♀) », remarque : }}actuellement il ne reste qu'une seule sonde en orbite autour de Vénus (♀), la sonde japonaise [[w:Akatsuki_(sonde_spatiale)|Akatsuki]] lancée en mai <math>\;2010\;</math> laquelle, après avoir raté sa mise en orbite en décembre <math>\;2010\;</math> par défaut de propulsion, poursuivit sur une trajectoire héliocentrique jusqu'en décembre <math>\;2015\;</math> où une mise en orbite vénusienne très allongée fut enfin réussie <math>\;\big(</math>avec un péricentre situé à <math>\;300\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;80000\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{vénusoc}}} \simeq 30\; h\big)</math>, la mission de cette sonde étant de comprendre comment Vénus (♀) est devenue très chaude et sèche avec un fort effet de serre ; de nos jours aucun retour de sonde sur Terre n’a été effectué ni même n'est envisagé ; [[File:OSIRIS Mars true color.jpg|thumb|300px|La planète Mars vue par la caméra OSIRIS de la [[w:Rosetta (sonde spatiale)|sonde spatiale Rosetta]]<ref name="sonde Rosetta"> « [[w:Rosetta (sonde spatiale)|Rosetta]] » est une mission spatiale européenne dont l'objectif principal est de recueillir des données sur la composition du noyau de la [[w:Comète|comète]] « [[w:67P/Tchourioumov-Guérassimenko|67P/Tchourioumov-Guérassimenko]] » {{Nobr|<math>\;\big(</math>surnommée}} « Tchouri »<math>\big)\;</math> et sur son comportement à l'approche du Soleil (☉) <math>\;\big\{</math>la comète choisie a un noyau bilobé, la taille <math>\;\big(</math>en <math>\;km\big)\;</math> de son lobe principal est <math>\;4,1\;\text{x}\;3,2\;\text{x}\;1,3\;</math> et celle de son lobe secondaire <math>\;2,5\;\text{x}\;2,5\;\text{x}\;2,0</math>, sa masse de <math>\;1,0\;10^{13}\;kg</math>, au moment de sa découverte sa période de révolution autour du Soleil était de <math>\;6,55\;ans</math>, son périhélie de <math>\;1,26\;ua\;</math> et son aphélie de <math>\;5,74\;ua</math> <math>\;\big[</math>« l'[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] de symbole <math>\;ua\;</math>» <math>\;1\;ua \simeq 1,50\;10^{11}\;m\;</math> est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre (♁) autour du Soleil (☉)<math>\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}pour cela la sonde « [[w:Rosetta (sonde spatiale)|Rosetta]] » doit se placer en orbite autour de la comète puis poser sur le noyau de celle-ci un atterrisseur ; <br>{{Al|3}}la sonde « [[w:Rosetta (sonde spatiale)|Rosetta]] » est lancée le <math>\;2\;</math> mars <math>\;2004</math>, bénéficie d'une 1^ère [[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) le <math>\;4\;</math> mars <math>\;2005\;</math> puis d'une 2^ème [[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de Mars (♂) le <math>\;25\;</math> février <math>\;2007</math> <math>\;\big(</math>c'est au cours de cette manœuvre que la photo est prise<math>\;\big)</math> et enfin d'une dernière [[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) le <math>\;13\;</math> novembre <math>\;2009</math> ; <br>{{Al|3}}c'est entre le <math>\;6\;</math> août et le <math>\;31\;</math> octobre <math>\;2014\;</math> que la mise en orbite de [[w:Rosetta (sonde spatiale)|Rosetta]] autour de la comète visée se réalise <math>\;\big(</math>le <math>\;31\;</math> octobre <math>\;2014\;</math> la sonde orbite autour de la comète à une distance de <math>\;30\;km\;</math> de celle-ci, à cette distance la force gravitationnelle exercée par la comète sur la sonde est suffisante pour maintenir cette dernière en orbite autour de la 1^ère sans fournir d'énergie mais le champ de gravitation est si faible que la vitesse circulaire y est de <math>\;10\;cm \cdot s^{-1}\;</math> dans le référentiel cométocentrique ; <br>{{Al|3}}le <math>\;12\;</math> novembre <math>\;2014\;</math> l'atterrisseur « Philæ » se pose sur la comète après une descente d'une durée de <math>\;7\;h</math>, l'intensité du champ de gravitation de la comète au niveau de son noyau est si faible <math>\;\big(\simeq 10^{-4}\;m \cdot s^{-2}\big)\;</math> qu'il est nécessaire d'amarrer l'atterrisseur « Philæ » au sol de la comète <math>\;\big(</math>cette phase ne se passe pas sans quelques difficultés, deux rebondissements et retombée finale dans une position inclinée mais finalement l'atterrissage est réussi<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}le <math>\;13\;</math> août <math>\;2015\;</math> la comète passe au plus près du Soleil (☉) à une distance de <math>\;189,5\; 10^6\;km = 1,26\;ua\;</math> de ce dernier et la mission se poursuit jusqu'au <math>\;30\;</math> septembre <math>\;2016\;</math> date correspondant un éloignement trop grand du Soleil pour permettre le renouvellement énergétique. <br>{{Al|3}}'''[[w:Klim_Tchourioumov|Klim Ivanovitch Tchourioumov]] (1937 - 2016)''' est un astronome soviétique ukrainien à qui on doit, avec '''[[w:Svetlana_Guérassimenko|Svetlana Ivanovna Guérassimenko]]''', la découverte de la [[w:Comète|comète]] « [[w:67P/Tchourioumov-Guérassimenko|67P/Tchourioumov-Guérassimenko]] » le <math>\;21\;</math> septembre <math>\,1969\;</math> ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Svetlana_Guérassimenko|Svetlana Ivanovna Guérassimenko]] (née en 1945)''' est une astronome soviétique ukrainienne à qui on doit, avec '''[[w:Klim_Tchourioumov|Klim Ivanovitch Tchourioumov]]''', la découverte de la [[w:Comète|comète]] « [[w:67P/Tchourioumov-Guérassimenko|67P/Tchourioumov-Guérassimenko]] » le <math>\;9\;</math> septembre <math>\,1969</math> de façon officieuse <math>\;\big(</math>elle croyait en fait avoir photographié une autre comète<math>\big)\;</math> et finalement le <math>\;21\;</math> septembre <math>\,1969</math>.</ref> lancée en mars <math>\;2004</math>]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Mars (♂) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(♂)}} \simeq 3390\;km \simeq 0,531\;R_{\text{(♁)}}\;</math>» et sa masse «<math>\;m_{\text{(♂)}} \simeq 6,42\;10^{23}\;kg \simeq</math> }\;kg</math><math>0,107\;m_{\text{(♁)}}\;</math>», l'intensité du champ de gravitation de Mars (♂) au niveau du sol s'estime à «<math>\;G_{\text{(♂)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♂)}}}{R_{\text{(♂)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;6,42\;10^{23}}{\left( 3,39\;10^6 \right)^2} \simeq</math> <math>3,73\;m \cdot s^{-2} \simeq 0,379\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde martienne<ref name="sonde martienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Mars (♂) ».</ref> en orbite basse dans le référentiel « aréocentrique »<ref name="aréocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Mars (♂) » en translation par rapport au référentiel de Copernic <math>\;\big[</math>« aréocentrique » est formé à partir d’« Arès » dieu grec assimilé au dieu romain « Mars », l’étude de la surface de la planète Mars (♂) étant appelée l’« aréographie » et celle de la composition de son sol l'« aréologie » <math>\;\big(</math>de même que l’étude de la surface de la planète Terre (♁) est appelée la « géographie » et celle de la composition de son sol la « géologie »<math>\big)\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « aréocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (♂) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 6,87\;j\;</math> pour que le référentiel « aréocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{aréoc}}}</math>}} <math>\simeq \sqrt{2 \times 3,73 \times 3,39\;10^6} \simeq 5029\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{aréoc}}} \simeq 5,029\;km \cdot s^{-1} \simeq 5,0\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « aréocentrique »<ref name="aréocentrique" />, <br /> voir ci-contre une photo de Mars prise fin février <math>\;2007\;</math> par la sonde européenne [[w:Rosetta (sonde spatiale)|Rosetta]]<ref name="sonde Rosetta" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Mars (♂) », }}<u>remarque</u> : historiquement, un 1^er survol de Mars (♂) fut accompli par la sonde américaine « [[w:Mariner_4|Mariner 4]] » en <math>\;1964</math>, mais les soviétiques furent les 1^ers à poser une sonde sur le sol martien avec l’atterrisseur « [[w:Mars_3|Mars 3]] » en <math>\;1971</math> <math>\;\big(</math>toutefois la sonde ne survécut que <math>\;20\; s\big)</math>, ce sont néanmoins les américains qui récoltèrent le plus d’informations sur le sol martien grâce aux deux atterrisseurs du [[w:Programme_Viking|programme Viking]] accompagnés de leur orbiteurs {{Nobr|<math>\;\big(</math>sondes}} [[w:Viking_1|Viking 1]] et [[w:Viking_2|Viking 2]] lancées en août et septembre <math>\;1975\big)</math> <math>\;\big[</math>la sonde [[w:Viking_1|Viking 1]] décrivit, à partir de juin <math>\;1976\;</math> et pendant un mois, une orbite elliptique allongée <math>\;\big(</math>avec un péricentre situé à <math>\;1513\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;33000\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{aréoc}}} \simeq 24,7\; h\big)\;</math> pour trouver un site d'atterrissage pour son atterrisseur lequel se posa début juillet <math>\;1976\;</math> pour analyser le sol martien et faire des relevés météorologiques jusqu'en novembre <math>\;1982</math>, l'orbiteur poursuivant avec prises de vue systématiques de la surface martienne, la sonde [[w:Viking_2|Viking 2]] quant à elle décrivit, à partir de août <math>\;1976\;</math> une orbite elliptique de même caractéristique que celle de [[w:Viking_1|Viking 1]] puis un peu plus allongée <math>\;\big(</math>avec un péricentre situé à <math>\;1500\; km\;</math> et un apocentre à <math>\;35500\; km\;</math> de la surface planétaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{\text{révol. sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{aréoc}}} \simeq 27,3\; h\big)\;</math> pour valider, avec les informations fournies par [[w:Viking_1|Viking 1]], le site d'atterrissage pour l'atterrisseur de [[w:Viking_2|Viking 2]] lequel se posa début septembre <math>\;1976\;</math> avec la même mission que l'atterrisseur de [[w:Viking_1|Viking 1]] jusqu'en avril <math>\;1980</math>, l'orbiteur de [[w:Viking_2|Viking 2]] poursuivant avec la même mission que celui de [[w:Viking_1|Viking 1]] mais avec rapprochement progressif du péricentre de son orbite jusqu'à <math>\;300\;km\;</math> de la surface martienne et survol du satellite naturel de Mars (♂) « [[w:Déimos_(lune)|Déimos]] » jusqu'à sa mise hors service fin juillet <math>\;1978\big]</math> ; il y eut d'autres missions américaines importantes comme [[w:Mars_Global_Surveyor|Mars Global Surveyer]] pour étudier de <math>\;1997\;</math> à <math>\;2006\;</math> l'atmosphère et la surface de Mars (♂) sur une [[w:Orbite_héliosynchrone|orbite héliosynchrone]]<ref name="orbite héliosynchrone"> Un satellite placé sur une telle orbite passe au-dessus d'un point de la surface martienne donné à la même heure solaire locale, l'éclairement solaire du lieu observé ne varie pratiquement pas d'un cliché à un autre <math>\;\ldots</math></ref>, [[w:Mars_Pathfinder|Mars Pathfinder]] sonde lancée en décembre <math>\;1996</math>, qui s'est posée sur la surface martienne en juillet <math>\;1997\;</math> et a permis, pour la 1^ère fois, l'utilisation d'un [[w:Astromobile|astromobile]] jusqu'à fin septembre <math>\;1997</math>, [[w:Mars_Explorer_Rover|Mars Explorer Rover]] mission double avec lancements successifs des sondes en juin et juillet <math>\;2003</math> <math>\;\big[</math>la 1^ère sonde atterrit en début janvier <math>\;2004\;</math> avec utilisation de l'[[w:Astromobile|astromobile]] « [[w:Spirit_(rover)|Spirit]] » jusqu'à fin mars <math>\;2010\;</math> date à laquelle il s'enlisa, la 2^ème sonde atterrit en fin janvier <math>\;2004\;</math> avec utilisation de l'[[w:Astromobile|astromobile]] « [[w:Opportunity|Opportunity]] » jusqu'à février <math>\;2019\;</math> date à laquelle le contact fut perdu, la mission de ces deux [[w:Astromobile|astromobiles]] étant d'étudier l'aréologie de la planète et en particulier le rôle joué par l'eau dans l'histoire de cette dernière<math>\big]</math>, [[w:Mars_Science_Laboratory|Mars Science Laboratory]] sonde américaine lancée fin novembre <math>\;2011</math>, s'étant posée début août <math>\;2012\;</math> avec déploiement de l'[[w:Astromobile|astromobile]] « [[w:Mars_Science_Laboratory#Le_rover_Curiosity|Curiosity]] » cinq fois plus lourd que ces prédécesseurs dont le but est la recherche d'un environnement favorable à l'apparition de la vie et l'analyse de la composition minéralogique, la mission s'acheva au bout <math>\;1\;an\;</math> et <math>\;10\;mois\;</math> comme prévu ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Mars (♂) », remarque : }}il existe des missions en cours à l'heure actuelle comme [[w:Mars_Express|Mars Express]] mission européenne lancée début juin <math>\;2003\;</math> dans le but de recueillir des données sur la surface, l'atmosphère, l'ionosphère et le sous-sol de la planète à l'aide d'un orbiteur et d'un petit atterrisseur [[w:Beagle_2|Beagle 2]] <math>\;\big(</math>lequel réussit son atterrissage fin décembre <math>\;2003\;</math> mais échoua dans son déploiement<math>\big)</math>, cette mission ayant permis et promettant encore jusqu'en fin <math>\;2020\;</math> d'obtenir de nombreux résultats scientifiques ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Mars (♂) », remarque : }}il existe aussi des projets comme le [[w:Programme_Aurora|programme Aurora]] européen composé d'une série de missions spatiales dont le but ultime est l'élaboration d'une mission habitée vers Mars (♂) dans les années <math>\;2030\;</math> ou, à plus brèves échéances, [[w:Mars_2020_(astromobile)|Mars 2020]] sonde américaine dont le lancement est prévu en juillet <math>\;2020\;</math> avec le déploiement au sol d'un [[w:Astromobile|astromobile]] semblable à « [[w:Mars_Science_Laboratory#Le_rover_Curiosity|Curiosity]] » et d'un mini hélicoptère « [[w:Mars_Helicopter_Scout|Mars Helicopter Scout]] » dont le principal objectif est la collecte d'échantillons dans le but de les ramener sur Terre <math>\;\big[</math>voir le projet de [[w:Mission_de_retour_d'échantillons_martiens|mission de retour d'échantillons martiens]] sur Terre<math>\big]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Mars (♂) », remarque : }}de nos jours aucun retour d’échantillons vers la Terre (♁) n’a encore été réalisé ; * dans le cas des <math>\;4\;</math> [[w:Planète_géante|planètes géantes]] toutes situées au-delà de « Mars (♂) » on trouve respectivement [[File:Jupiter.jpg|thumb|300px|Jupiter vue par [[w:Voyager_2|Voyager 2]] en <math>\;1979</math>]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Jupiter (♃) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(♃)}} \simeq 69910\;km \simeq 10,96\;R_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref name="Rayon de Jupiter"> Jupiter (♃) est une planète gazeuse qui possède un noyau solide très en profondeur, de la taille de la Terre (♁), entouré d’un noyau liquide <math>\;\big[</math>noyaux solide et liquide composés essentiellement d’hydrogène<math>\big]\;</math> et de couches gazeuses de moins en moins denses <math>\;\big[</math>composées à <math>\;86\; \%\;</math> d’hydrogène et à <math>\;13\; \%\;</math> d’hélium en quantité moléculaire <math>\;\big(</math>ou à <math>\;93\; \%\;</math> d’hydrogène et à <math>\;7\; \%\;</math> d’hélium en quantité atomique<math>\big)</math> <math>\;\big(</math>ou encore à <math>\;75\; \%\;</math> d’hydrogène et à <math>\;24\; \%\;</math> d’hélium en masse<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}le rayon qui est fourni est le rayon de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) ; <br>{{Al|3}}l’atmosphère de Jupiter (♃) comprend 3 couches : * la plus externe, probablement vers <math>\;100\; km\;</math> de profondeur, est formée de nuages de glace d’ammoniac, * la suivante, vers <math>\;120\; km\;</math> km de profondeur, composée de nuages d’hydrogénosulfure d’ammonium et * la dernière, vers <math>\;150\; km\;</math> de profondeur, de nuages d’eau et de glace ; {{Al|3}}la température moyenne de l’atmosphère est <math>\;-148\; \text{°C}</math> <math>\;\big[</math>alors qu'au centre de Jupiter (♃) elle doit monter à <math>\;20000\; \text{°C}\;</math> conséquence de la compression gravitationnelle lente de la planète<math>\big]</math>, les vents dans l'atmosphère de Jupiter (♃) sont violents <math>\;\big(</math>près de <math>\;600\; km \cdot h^{-1}\big)\;</math> et on y observe, dans l'hémisphère sud, la [[w:Grande_Tache_rouge|Grande Tache rouge]] <math>\;\big[</math>découverte par Cassini en <math>\;1665\big]\;</math> correspondant à un gigantesque [[w:Anticyclone|anticyclone]], de nos jours de la taille de la Terre (♁) <math>\;\big[</math>mais sa taille est en phase de lente diminution avec le temps <math>\;\big(</math>à la fin du XIX^ème siècle elle faisait trois fois la taille de la Terre<math>\big)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Jupiter (♃) possède un système de plusieurs anneaux très fins composés de particules de poussières, découverts en <math>\;1979</math>, et de très nombreux satellites <math>\;\big(79\;</math> ayant été confirmés et seulement <math>\;50\;</math> nommés<math>\big)</math> ;<br>{{Al|3}}'''[[w:Giovanni_Domenico_Cassini|Giovanni Domenico Cassini]] (1625 - 1712)''' est un astronome et ingénieur né en [[w:Duché_de_Savoie|Savoie]] et naturalisé français en <math>\;1673</math>, on lui doit antre autres, outre la découverte de la [[w:Grande_Tache_rouge|Grande Tache rouge]] en <math>\;1665</math>, la mesure de la vitesse de rotation de Jupiter (♃), Mars (♂) et Vénus (♀) la même année, la découverte de <math>\;4\;</math> satellites de Saturne (♄) <math>\;\big[</math>[[w:Japet_(lune)|Japet]] en <math>\;1671</math>, [[w:Rhéa_(lune)|Rhéa]] en <math>\;1672</math>, [[w:Théthys_(lune)|Théthys]] et [[w:Dioné_(lune)|Dioné]] en <math>\;1684\big]\;</math> ainsi que celle de la [[w:Division_de_Cassini|division de Cassini]] des anneaux de Saturne (♄) en <math>\;1675\;\dots</math></ref> et sa masse «<math>\;m_{\text{(♃)}} \simeq 1,90\;10^{27}\;kg \simeq</math> <math>318\;m_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref> Ou encore «<math>\;m_{\text{(♃)}} \simeq 1,90\;10^{27}\;kg \simeq 9,5\;10^{-4}\;m_{\text{(☉)}} \simeq \dfrac{m_{\text{(☉)}}}{1000}\;</math>».</ref>, l'intensité du champ de gravitation de Jupiter (♃) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à {{Nobr|«<math>\;G_{\text{(♃)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♃)}}}{R_{\text{(♃)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;1,90\;10^{27}}{\left( 69,91\;10^6 \right)^2} \simeq 25,93\;m \cdot s^{-2}</math>}} <math>\simeq 2,64\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde jovienne<ref name="sonde jovienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Jupiter (♃) ».</ref> en orbite basse<ref name="sonde de planète gazeuse en orbite basse"> C.-à-d. en orbite au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁).</ref> dans le référentiel « jovocentrique »<ref name="jovocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Jupiter (♃) » en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « jovocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (♃) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 43,4\;j \simeq 1,3\;mois\;</math> pour que le référentiel « jovocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{jovoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 25,93 \times 69,91\;10^6} \simeq</math>}} <math>60210\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{jovoc}}} \simeq 60,2\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « jovocentrique »<ref name="jovocentrique" />, <br />voir ci-contre une photo de Jupiter prise en juillet <math>\;1979\;</math> par la sonde américaine [[w:Voyager_2|Voyager 2]] ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », }}<u>remarque</u> : historiquement, un 1^er survol de Jupiter (♃) fut réussi par la sonde américaine « [[w:Pioneer_10|Pioneer 10]] » en décembre <math>\;1973</math> <math>\;\big[</math>passée à <math>\;130000\; km\;</math> de Jupiter (♃)<math>\big]</math>, puis par « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » en décembre <math>\;1974</math> <math>\;\big[</math>passée à <math>\;34000\; km\;</math> de Jupiter (♃)<math>\big]</math>, les deux sondes fournirent les 1^ères images rapprochées de l’atmosphère jovienne <math>\;\big(</math>en y survivant<math>\big)\;</math> et de plusieurs de ses satellites ; six ans plus tard les sondes américaines « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » en mars <math>\;1979\;</math> puis « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en juillet <math>\;1979\;</math> améliorèrent les connaissances des satellites, découvrirent les anneaux de Jupiter (♃), confirmèrent la nature anticyclonique de la [[w:Grande_Tache_rouge|grande tache rouge]] et poursuivirent en direction de Saturne (♄), Uranus (♅), Neptune (♆) et <math>\;48\;</math> de leurs satellites ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}on note ensuite le lancement de la sonde américaine « [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] » en octobre <math>\;1989\;</math> laquelle, après un voyage de <math>\;6\;ans\;</math> au cours duquel elle a eu recours à l’[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) à <math>\;2\;</math> reprises puis à celle de Vénus (♀), est placée en orbite autour de Jupiter (♃) en décembre <math>\;1995</math> <math>\;\big[</math>une 1^ère révolution correspondant à un apocentre situé à <math>\;20\;10^6\;km</math> <math>\simeq 286\;R_{\text{(♃)}}\;</math> et un péricentre à <math>\;4\;R_{\text{(♃)}} \simeq 280000\;km\;</math> de la couche de pression <math>\;1\;bar\;</math> <math>\Rightarrow</math> une période de révolution autour de Jupiter (♃) de <math>\;7\; mois\;</math> suivi de révolutions de période réduite à <math>\;2\; mois\;</math> par positionnement du péricentre à <math>\;11\;R_{\text{(♃)}} \simeq 770000\;km\;</math> de la couche de pression <math>\;1\;bar\;</math> dans le but d'éviter la région centrale<math>\big]</math>, mission qui devait s'achever en décembre <math>\;1997\;</math> mais qui est prolongée deux fois de suite jusqu'en septembre <math>\;2003</math>, date à laquelle la sonde est précipitée vers Jupiter (♃) pour désintégration <math>\;\big[</math>dans le but d'éviter une contamination éventuelle par des bactéries terrestres du satellite [[w:Europe_(lune)|Europe]] susceptible d’abriter la vie<math>\big]</math> ; [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] a étudié <math>\;4\;</math> des satellites de Jupiter (♃) : <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}<math>\;\succ\;</math>[[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]], le plus gros satellite du Système solaire de rayon «<math>\;R_{\text{Ganymède}} \simeq 2630\; km\;</math>», possédant une surface travaillée par des [[w:Tectonique|forces tectoniques]] avec une grande abondance de glace d’eau en surface et un champ magnétique <math>\;\big(</math>ce qui est l’exception pour un satellite du Système solaire<math>\big)</math>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}<math>\;\succ\;</math>[[w:Callisto_(lune)|Callisto]], le plus éloigné de Jupiter (♃), possédant un noyau de roches important entouré d’une couche de glace d’eau, fortement cratérisée, <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}<math>\;\succ\;</math>[[w:Europe_(lune)|Europe]] susceptible d’abriter un océan sous la croûte de glace et <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}<math>\;\succ\;</math>[[w:Io_(lune)|Io]], le plus proche de Jupiter (♃), possédant une activité volcanique importante avec un tore de plasma centré sur son orbite ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}il y a actuellement une sonde américaine [[w:Juno_(sonde_spatiale)|Juno]] lancée en <math>\;2011\;</math> et placée en orbite autour de Jupiter (♃) début juillet <math>\;2016\;</math> dont la mission est de collecter des données sur les couches internes de Jupiter (♃), la composition de son atmosphère et les caractéristiques de sa magnétosphère <math>\;\big[</math>le péricentre de la sonde est situé à <math>\;4200\;km \simeq 0,06\;R_{\text{(♃)}}\;</math> et l'apocentre à <math>\;8,1\;10^6\;km</math> <math>\simeq 116\;R_{\text{(♃)}}\;</math> de la couche de pression <math>\;1\;bar\;</math> <math>\Rightarrow</math> une période de révolution de la sonde autour de Jupiter (♃) de <math>\;53\; j\big]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Jupiter (♃) », remarque : }}de nos jours aucun retour de sonde vers la Terre (♁) n’est envisagé ; [[File:Saturn during Equinox.jpg|thumb|450px|Saturne vue par la sonde [[w:Cassini_(sonde_spatiale)|Cassini]] en <math>\;2008</math>]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Saturne (♄) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(♄)}} \simeq 58230\;km \simeq 9,13\;R_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref name="Rayon de Saturne"> Saturne (♄) est une planète gazeuse à noyau rocheux de silicates et de fer très en profondeur, entouré d’hydrogène d'abord métallique puis liquide et enfin gazeux ; <br>{{Al|3}}le rayon qui est fourni est le rayon de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) ; <br>{{Al|3}}la haute atmosphère de Saturne (♄) est composée à <math>\;93,2\; \%\;</math> d’hydrogène et à <math>\;6,7\; \%\;</math> d’hélium en quantité moléculaire <math>\;\big(</math>ou à <math>\;96,5\; \%\;</math> d’hydrogène et à <math>\;3,5\; \%\;</math> d’hélium en quantité atomique<math>\big)</math> <math>\;\big(</math>ou encore à <math>\;87\; \%\;</math> d’hydrogène et à <math>\;12,5\; \%\;</math> d’hélium en masse<math>\big)\big]</math>, elle comporte encore des traces de méthane, d’éthane, d’ammoniac, d’acétylène et de phosphine «<math>\;PH_3\;</math>», les nuages les plus en altitude sont composés de cristaux d’ammoniac, les nuages les plus bas semblent constitués d’hydrosulfure d’ammonium ou d’eau ; <br>{{Al|3}}la température moyenne de l’atmosphère au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) est <math>\;-139\; \text{°C}</math> <math>\;\big[</math>alors qu'au centre de Saturne (♄) elle doit monter à <math>\;12000\; \text{°C}\;</math> conséquence de la compression gravitationnelle lente de la planète mais vraisemblablement aussi d'une pluie de gouttelettes d’hélium tombant en profondeur dans une mer d’hydrogène et dégageant de la chaleur par friction<math>\big]</math>, la vitesse du vent dans l'atmosphère de Saturne (♄) peut atteindre <math>\;1800\; km \cdot h^{-1}\big)\;</math> <math>\Rightarrow</math> l’atmosphère est agité de violents orages pouvant durer très longtemps <math>\;\big(</math>jusqu’à <math>\;8\; mois\big)</math> ; <br>{{Al|3}}Saturne (♄) possède un système d’anneaux composés de particules de glace et de poussière, et de très nombreux satellites <math>\;\big(82\;</math> ayant été identifiés et seulement <math>\;53\;</math> confirmés et nommés<math>\big)</math>.</ref> et sa masse {{Nobr|«<math>\;m_{\text{(♄)}}</math>}} <math>\simeq 5,68\;10^{26}\;kg \simeq 94,7\;m_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref> Ou encore «<math>\;m_{\text{(♄)}} \simeq 5,68\;10^{26}\;kg \simeq 2,8\;10^{-4}\;m_{\text{(☉)}} \simeq 30\;\%\;m_{\text{(♃})}\;</math>».</ref>, l'intensité du champ de gravitation de Saturne (♄) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à {{Nobr|«<math>\;G_{\text{(♄)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♄)}}}{R_{\text{(♄)}}^{\,2}} \simeq</math>}} <math>\dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;5,68\;10^{26}}{\left( 58,23\;10^6 \right)^2} \simeq 11,17\;m \cdot s^{-2}</math> <math>\simeq 1,14\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde saturnienne<ref name="sonde saturnienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Saturne (♄) ».</ref> en orbite basse<ref name="sonde de planète gazeuse en orbite basse" /> dans le référentiel « saturnocentrique »<ref name="saturnocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Saturne (♄) » en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « saturnocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (♄) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 107,6\;j \simeq 3,6\;mois\;</math> pour que le référentiel « saturnocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{saturnoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 11,17 \times 58,23\;10^6} \simeq</math>}} <math>36070\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{saturnoc}}} \simeq 36,1\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « saturnocentrique »<ref name="saturnocentrique" />, <br />voir ci-dessus à droite une photo de Saturne prise en <math>\;2008\;</math> par l'orbiteur américain [[w:Cassini_(sonde_spatiale)|Cassini]] ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Saturne (♄) », }}<u>remarque</u> : historiquement, un 1^er survol de Saturne (♄) fut réussi par la sonde américaine « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » le 1^er septembre <math>\;1979</math> <math>\;\big[</math>passée à <math>\;200000\; km\;</math> de Saturne (♄) après être passée à <math>\;34000\; km\;</math> de Jupiter (♃) en décembre <math>\;1974\;</math> elle découvre, autour de Saturne (♄), un anneau supplémentaire « l’anneau <math>\;F\;</math>»<math>\big]</math> ; un à deux an(s) plus tard, après avoir contourné Jupiter (♃) en mars <math>\;1979</math>, la sonde américaine « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » passa à <math>\;124000\; km\;</math> de Saturne (♄) en novembre <math>\;1980\;</math> puis à seulement <math>\;\simeq 7000\; km\;</math> de [[w:Titan_(lune)|Titan]], le plus gros satellite de Saturne (♄) et le 2^ème plus gros satellite du Système solaire <math>\;\big[</math>après [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] satellite de Jupiter (♃)<math>\big]\;</math> de rayon «<math>\;R_{\text{Titan}} \simeq 2575\; km\;</math>», survol ayant mis en évidence une forte teneur en azote de l’atmosphère de [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big[</math>[[w:Titan_(lune)|Titan]] étant le seul satellite à posséder une atmosphère significative à la pression de <math>\;1,5\; bar</math>, celle-ci contenant <math>\;98,4\; \%\;</math> de diazote et <math>\;1,6\; \%\;</math> de méthane<math>\big]</math> puis, après avoir survolé Jupiter (♃) en juillet <math>\;1979</math>, la sonde « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » passa à <math>\;101000\; km\;</math> de Saturne (♄) en août <math>\;1981\;</math> en révélant, entre autres, la finesse des anneaux de Saturne (♄) d'épaisseur <math>\;\simeq 200\; m</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Saturne (♄) », remarque : }}enfin la sonde euro-américaine « [[w:Cassini-Huygens|Cassini-Huygens]] »<ref name="Cassini"> '''[[w:Giovanni_Domenico_Cassini|Giovanni Domenico Cassini]] (1625 - 1712)''' est un astronome et ingénieur né en [[w:Duché_de_Savoie|Savoie]] et naturalisé français en <math>\;1673</math>, on lui doit antre autres, outre la découverte de la [[w:Grande_Tache_rouge|Grande Tache rouge]] en <math>\;1665</math>, la mesure de la vitesse de rotation de Jupiter (♃), Mars (♂) et Vénus (♀) la même année, la découverte de <math>\;4\;</math> satellites de Saturne (♄) <math>\;\big[</math>[[w:Japet_(lune)|Japet]] en <math>\;1671</math>, [[w:Rhéa_(lune)|Rhéa]] en <math>\;1672</math>, [[w:Théthys_(lune)|Théthys]] et [[w:Dioné_(lune)|Dioné]] en <math>\;1684\big]\;</math> ainsi que celle de la [[w:Division_de_Cassini|division de Cassini]] des anneaux de Saturne (♄) en <math>\;1675\;\dots</math></ref>{{,}}<ref name="Huygens"> '''[[w:Christian_Huygens|Christian Huygens]] (1629 – 1695)''' [ou '''Huyghens'''] mathématicien, astronome et physicien néerlandais est essentiellement connu pour sa théorie ondulatoire de la lumière ; dans le domaine de l'astronomie il construisit, avec l'aide de son frère '''Constantijn''', un télescope lequel leur permit, en mars <math>\;1655</math>, d'observer en détail Saturne (♄) et de découvrir l'existence de [[w:Titan_(lune)|Titan]].</ref> lancée en octobre <math>\;1997\;</math> fut placée en orbite de Saturne (♄) en juillet <math>\;2004</math> : <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Saturne (♄) », remarque : }}<math>\;\succ\;</math>l’orbiteur américain [[w:Cassini-Huygens#Caractéristiques_de_la_trajectoire_de_Cassini_dans_le_système_de_Saturne|Cassini]]<ref name="Cassini" /> ne s'est pas contenté de se maintenir sur une orbite autour de Saturne (♄) car sa mission était de survoler la planète et son environnement immédiat en respectant des contraintes de positionnement ; elle envoya des informations sur la planète, sa magnétosphère, ses interactions avec les satellites, les anneaux et le vent solaire <math>\;\big[</math>fin de mission prolongée jusqu’en <math>\;2017\;</math> où elle plongea dans l'atmosphère de Saturne (♄)<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>parmi les autres découvertes de l’orbiteur américain [[w:Cassini-Huygens#Caractéristiques_de_la_trajectoire_de_Cassini_dans_le_système_de_Saturne|Cassini]]<ref name="Cassini" />, on note la mise en évidence en mars <math>\;2006\;</math> des réservoirs d’eau liquide s’échappant en geyser du satellite de Saturne (♄) « [[w:Encelade_(lune)|Encelade]] », celle en juillet <math>\;2006</math> <math>\;\big(</math>confirmée en janvier <math>\;2007\;</math> puis en mars <math>\;2007\big)\;</math> de mers d’hydrocarbure sur le satellite de Saturne (♄) « [[w:Titan_(lune)|Titan]] » puis, en avril <math>\;2013\;</math> l'enregistrement d'images d’un vaste ouragan frappant le pôle nord de Saturne (♄) dont l’œil de <math>\;2000\; km\;</math> de diamètre est <math>\;20\;</math> fois plus large que celui des ouragans terrestres avec des vents supérieurs à <math>\;530\; km \cdot h^{-1}</math> <math>\;\big(</math>il se peut que cet ouragan soit là depuis plusieurs années<math>\big)\big\}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Saturne (♄) », remarque : }}<math>\;\succ\;</math>l’atterrisseur européen [[w:Cassini-Huygens#L'atterrissage de Huygens sur Titan (14 janvier 2005)|Huygens]]<ref name="Huygens" /> se posa avec succès sur [[w:Titan_(lune)|Titan]] le <math>\;14\;</math> janvier <math>\;2005</math>, ce qui permit de transmettre des informations en direction de l'orbiteur [[w:Cassini-Huygens#Caractéristiques_de_la_trajectoire_de_Cassini_dans_le_système_de_Saturne|Cassini]]<ref name="Cassini" /> {{Nobr|<math>\;\big(</math>servant}} de relais pour la Terre<math>\big)\;</math> pendant <math>\;1,5\;h\;</math> avant que ce dernier ne passe sous l'horizon de [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>de plus une moitié des <math>\;1215\;</math> photos prises lors de la descente et au sol fut perdue par suite d'une erreur de programmation<math>\big)</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Saturne (♄) », remarque : }}de nos jours aucun retour de sonde vers la Terre (♁) n’est envisagé ; [[File:Uranus - Voyager 2.jpg|thumb|300px|Photo d'Uranus prise par [[w:Voyager_2|Voyager 2]] en janvier <math>\;1986</math>]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Uranus (♅) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(♅)}} \simeq 25360\;km \simeq 3,97\;R_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref name="Rayon d'Uranus"> Uranus (♅) est une planète géante de glaces de type [[w:Neptune_froid|Neptune froid]] ; <br>{{Al|3}}sa partie la plus extérieure <math>\;\big(</math>là où la pression est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\; bar\big)</math>, considérée comme son atmosphère, est composée, en quantité moléculaire, de <math>\;\simeq 83\; \%\;</math> d’hydrogène, de <math>\;\simeq 15\; \%\;</math> d’hélium, de <math>\;2,3\; \%\;</math> de méthane <math>\;\big(</math>partiellement sous forme de glaces<math>\big)</math>, des traces d’hydrocarbures ainsi que de glaces d’eau et d’ammoniac <math>\;\big(</math>cela dépasse <math>\;100\; \%\;</math> car les pourcentages en hydrogène et hélium ne sont qu'approchés et ont été arrondis<math>\big)</math> ; cette atmosphère peut être décomposée en trois couches : * la troposphère de «<math>\;-300\;</math> à <math>\;50\; km\;</math> d’altitude » où la pression varie de <math>\;100\;</math> à <math>\;0,1\; bar</math>, * la stratosphère de «<math>\;50\;</math> à <math>\;4000\; km\;</math> d’altitude » où la pression varie de <math>\;0,1\;</math> à <math>\;10^{-10}\; bar\;</math> et * la thermosphère/couronne solaire s’étendant de «<math>\;4000\;</math> à <math>\;50000\; km\;</math> d’altitude » ; {{Al|3}}le rayon qui est fourni est le rayon de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) ; <br>{{Al|3}}la température de son atmosphère est la plus basse de celle d’atmosphères existant dans le Système solaire «<math>\;-224\; \text{°C}\;</math> sur la couche de pression <math>\;0,1\; bar</math> <math>\;\big(</math>située à <math>\;56\; km\;</math> d’altitude au-dessus de la couche de pression de <math>\;1\; bar\big)\;</math>», elle pourrait être située au-dessus d’un océan composé d’ammoniac, d’eau et de méthane <math>\;\big(</math>appelé « couche médiane »<math>\big)\;</math> dont la transition serait graduelle sans limite claire avec l’atmosphère précédemment définie et au-dessus d’un noyau solide composé de silicates et de fer d’à peu près la masse de la Terre <math>\;\big[</math>la température et la pression maximales de la couche médiane d’Uranus (♅) sont estimées respectivement à <math>\;7000\; \text{°C}\;</math> et <math>\;6\; Mbar</math>, ce qui aurait pour conséquence une ionisation totale de cette couche avec décomposition du méthane en carbone et en hydrocarbures, la précipitation du carbone dégageant de l’énergie à l’origine des courants de convection permettant la libération d’hydrocarbures dans l’atmosphère<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}Uranus (♅) possède un système de <math>\;13\;</math> anneaux progressivement découverts à partir de <math>\;1977</math>, et de nombreux satellites <math>\;\big(27\;</math> ayant été identifiés et nommés<math>\big)</math>.</ref> et sa masse {{Nobr|«<math>\;m_{\text{(♅)}} \simeq 8,68\;10^{25}\;kg \simeq</math>}} <math>14,5\;m_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref> Ou encore «<math>\;m_{\text{(♅)}} \simeq 8,68\;10^{25}\;kg \simeq 4,3\;10^{-5}\;m_{\text{(☉)}} \simeq 4,6\;\%\;m_{\text{(♃})}\;</math>».</ref>, l'intensité du champ de gravitation d'Uranus (♅) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à {{Nobr|«<math>\;G_{\text{(♅)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♅)}}}{R_{\text{(♅)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;8,68\;10^{25}}{\left( 25,36\;10^6 \right)^2} \simeq 9,00\;m \cdot s^{-2}</math>}} <math>\simeq 0,916\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde uranienne<ref name="sonde uranienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Uranus (♅) ».</ref> en orbite basse<ref name="sonde de planète gazeuse en orbite basse" /> dans le référentiel « uranocentrique »<ref name="uranocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Uranus (♅) » en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « uranocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (♅) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 307,1\;j \simeq 10,2\;mois\;</math> pour que le référentiel « uranocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{uranoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 9,00 \times 25,36\;10^6} \simeq</math>}} <math>21365\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{uranoc}}} \simeq 21,4\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « uranocentrique »<ref name="uranocentrique" />, <br />voir ci-contre une photo d'Uranus prise en janvier <math>\;1986\;</math> par la sonde américaine [[w:Voyager_2|Voyager 2]] ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Uranus (♅) », }}<u>remarque</u> : historiquement, il y a eu une seule exploration d’Uranus (♅) par la sonde américaine « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en janvier <math>\;1986\;</math> après un survol de Jupiter (♃) en juillet <math>\;1979\;</math> et de Saturne (♄) en août <math>\;1981</math>, mais aucune autre tentative depuis : « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » est passée à <math>\;81500\; km\;</math> d’Uranus (♅) <math>\;\big\{</math>la sonde a étudié l’atmosphère de la géante glacée, atmosphère unique en raison de la très forte inclinaison de l’axe de rotation de la planète sur le plan de l’orbite «<math>\;97,77\; \text{°}\;</math>» <math>\;\big(</math>inclinaison pouvant résulter d’une collision avec un corps de la taille d’une planète au début de la formation du Système solaire<math>\big)</math>, elle découvre <math>\;10\;</math> nouveaux satellites naturels sur un total, de nos jours, égal à «<math>\;27\;</math>», de nouveaux anneaux <math>\Rightarrow</math> de nos jours un total de «<math>\;13\;</math>» <math>\;\big[</math>il semblerait que ce système d’anneaux soit relativement jeune, contrairement à ceux de Jupiter (♃) et de Saturne (♄), non formé simultanément à Uranus (♅)<math>\big]</math>, un champ magnétique comparable en intensité à celui de la Terre (♁) <math>\;\ldots\big\}</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Uranus (♅) », remarque : }}un projet d'exploration de la planète Uranus (♅), de son atmosphère, de ses anneaux et de ses satellites naturels est envisagé dans une mission [[w:Uranus_orbiter_and_probe|sonde et orbiteur pour Uranus]] {{Nobr|<math>\;\big[</math>l'étude}} actuelle de cette mission prévoyant un lancement dans les <math>\;10\;</math> prochaines années avec l'utilisation d'une [[w:Propulsion_électrique_(spatial)|propulsion électrique]], ce qui donnerait une durée de trajet pour atteindre Uranus (♅) de <math>\;13\;ans\;</math> en utilisant une fois l'[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) mais ce n'est qu'un projet dont la priorité reste à démontrer<math>\big]</math> ; [[File:Neptune Voyager2 color calibrated.png|thumb|300px|Neptune vue par [[w:Voyager_2|Voyager 2]] en août <math>\;1989</math>]] <br /><math>\;\blacktriangleright\;</math>« Neptune (♆) », le rayon de la Planète assimilée à une boule étant «<math>\;R_{\text{(♆)}} \simeq 24620\;km \simeq 3,86\;R_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref name="Rayon de Neptune"> Neptune (♆) est comme Uranus (♅) une planète géante de glaces de type [[w:Neptune_froid|Neptune froid]] ; <br>{{Al|3}}sa partie la plus extérieure <math>\;\big(</math>là où la pression est <math>\;<\;</math> à <math>\;1\; bar\big)</math>, considérée comme son atmosphère, est composée, en quantité moléculaire, de <math>\;84\; \%\;</math> d’hydrogène, de <math>\;12\; \%\;</math> d’hélium, de <math>\;1,5\; \%\;</math> de méthane, des traces d’ammoniac, d’éthane et d’acétylène, sa couleur bleue provenant principalement du méthane qui absorbe la lumière dans les longueurs d’onde du rouge <math>\;\big[</math>toutefois le bleu [[w:Azur_(couleur)|azur]] observé nécessite la présence, dans l'atmosphère, d'autres espèces chimiques non encore identifiées simultanément à celle du méthane, la couleur due au seul méthane étant le bleu [[w:Aigue-marine_(couleur)|aigue-marine]] comme celle de l'atmosphère d'Uranus (♅)<math>\big]</math> ; cette atmosphère peut être décomposée en trois couches : * la troposphère où la pression varie de <math>\;\simeq 50\;</math> à <math>\;0,1\; bar\;</math> et la température <math>\;\searrow\;</math> quand l'altitude <math>\;\big[</math>mesurée par rapport à la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁)<math>\big]</math> <math>\;\nearrow</math>, <math>\;\big\{</math>due à la présence d'une source interne de chaleur au sein de la planète, non encore identifiée, la température au niveau où la pression vaut <math>\;1\;bar\;</math> étant «<math>\;-201,15\;\text{°C}\;</math>» et celle de la région supérieure de la troposphère où la pression vaut <math>\;0,1\;bar\;</math> «<math>\;-221,4\;\text{°C}\;</math>»<math>\big\}</math>, * la stratosphère où la pression varie de <math>\;0,1\;</math> à <math>\;10^{-10}\; bar\;</math> et la température <math>\;\nearrow\;</math> quand l'altitude <math>\;\big[</math>mesurée par rapport à la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁)<math>\big]</math> <math>\;\nearrow</math>, <math>\;\big\{</math>due vraisemblablement à une concentration notable d'hydrocarbures dans la stratosphère suggérant une augmentation de température consécutive à la [[w:Photolyse|photolyse]], entre autres du méthane, par les ultra-violets<math>\big\}</math>, * la thermosphère où la pression est en deçà de <math>\;10^{-10}\; bar\;</math> et la température anormalement élevée de <math>\;750\;K</math> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire <math>\;477\;\text{°C}\big)</math> <math>\;\big\{</math>température trop élevée pour être expliquée par le rayonnement ultra-violet du Soleil (☉), celui-ci étant trop éloigné de Neptune (♆) <math>\;\ldots\big\}</math> ; {{Al|3}}le rayon qui est fourni est le rayon de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) ; <br>{{Al|3}}la composition interne de Neptune (♆) semble proche de celle d’Uranus (♅) c'est-à-dire un noyau solide composé de silicates et de fer d’à peu près la masse de la Terre surmonté d'une « couche médiane » océan de glace et de liquide formé d'eau, de méthane et d'ammoniac <math>\;\big[</math>la pression maximale de la « couche médiane » étant estimée à <math>\;6\;Mbar\;</math> et sa température maximale à <math>\;7000\;\text{°C}</math>, ce qui aurait pour conséquence une ionisation totale de cette couche avec décomposition du méthane en carbone et en hydrocarbures, la précipitation du carbone dégageant de l’énergie à l’origine des courants de convection permettant la libération d’hydrocarbures dans l’atmosphère<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}une des différences entre Uranus (♅) et Neptune (♆) est l’activité météorologique de cette dernière <math>\;\big\{</math>présence d’un système nuageux dynamique avec des vents atteignant «<math>\;600\; m \cdot s^{-1}\;</math>», entre <math>\;1989\;</math> et <math>\;1994\;</math> observation d'une tempête anticyclonique « la [[w:Grande_Tache_sombre|Grande tache sombre]] dans l'atmosphère de la planète », de taille approximative, lors de sa 1^ère observation, égale à la moitié de celle de la [[w:Grande_Tache_rouge|Grande tache rouge]] de Jupiter (♃) mais, contrairement à cette dernière, de durée nettement plus courte<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}Neptune (♆) possède un système de <math>\;5\;</math> anneaux très peu visibles découverts en <math>\;1984</math>, et <math>\;14\;</math> satellites <math>\;\big(</math>seuls <math>\;3\;</math> étaient connus avant l'arrivée de la sonde [[w:Voyager_2|Voyager 2]] dans le système de la planète<math>\big)</math>.</ref> et sa masse {{Nobr|«<math>\;m_{\text{(♆)}} \simeq 10,24\;10^{25}\;kg</math>}} <math>\simeq 17,1\;m_{\text{(♁)}}\;</math>»<ref> Ou encore «<math>\;m_{\text{(♆)}} \simeq 10,24\;10^{25}\;kg \simeq 5,1\;10^{-5}\;m_{\text{(☉)}} \simeq 5,4\;\%\;m_{\text{(♃})}\;</math>».</ref>, l'intensité du champ de gravitation de Neptune (♆) au niveau de la couche où la pression est la même que celle de l’atmosphère terrestre au sol de la Terre (♁) s'estime à {{Nobr|«<math>\;G_{\text{(♆)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(♆)}}}{R_{\text{(♆)}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;10,24\;10^{25}}{\left( 24,62\;10^6 \right)^2} \simeq</math>}} <math>11,27\;m \cdot s^{-2} \simeq 1,146\;G_{\text{(♁)},\,0}\;</math>» d'où la vitesse de libération d'une sonde neptunienne<ref name="sonde neptunienne"> C.-à-d. une sonde dans le champ de force newtonien de gravitation de la planète « Neptune (♆) ».</ref> en orbite basse<ref name="sonde de planète gazeuse en orbite basse" /> dans le référentiel « neptunocentrique »<ref name="neptunocentrique"> C.-à-d. le référentiel lié au centre de la planète « Neptune (♆) » en translation par rapport au référentiel de Copernic ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « neptunocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (♆) dans }\mathcal{R}_{\text{Cop}}}}{100} \simeq 602,4\;j \simeq 1,6\;an\;</math> pour que le référentiel « neptunocentrique » soit quasi-galiléen.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{neptunoc}}} \simeq</math>}} <math>\sqrt{2 \times 11,27 \times 24,62\;10^6} \simeq 23557\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{neptunoc}}} \simeq 23,6\;km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel « neptunocentrique »<ref name="neptunocentrique" />, <br />voir ci-contre une photo de Neptune prise en août <math>\;1989\;</math> par la sonde américaine [[w:Voyager_2|Voyager 2]] ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|« Neptune (♆) », }}<u>remarque</u> : Neptune (♆) est la seule planète à avoir été découverte par le calcul mathématique et non par l’observation <math>\;\big[</math>l’astronome '''[[w:Alexis_Bouvard|Alexis Bouvard]]'''<ref name="Bouvard"> '''[[w:Alexis_Bouvard|Alexis Bouvard]] (1767 – 1843)''' est un astronome français ayant, entre autres, établi des tables astronomiques pour Jupiter (♃), Saturne (♄) et Uranus (♅), ce sont ces dernières qui s'avérèrent anormales et lui suggérèrent l'existence d'une 8^ème planète restant à découvrir.</ref> avait noté des perturbations inexpliquées sur l’orbite d’Uranus (♅) et conjecturé au début du XIX^ème siècle qu’une 8^ème planète plus lointaine pouvait en être la cause ; les astronomes '''[[w:John_Couch_Adams|John Couch Adams]]'''<ref name="Adams"> '''[[w:John_Couch_Adams|John Couch Adams]] (1819 – 1892)''' est un mathématicien et astronome britannique, dans le domaine de l'astronomie on lui doit essentiellement les calculs de positionnement de la 8^ème planète du Système solaire restant à découvrir à savoir la planète Neptune (♆), calculs qu'il effectua trois ans avant '''[[w:Urbain_Le_Verrier|Le Verrier]]''' mais avec un peu moins de précision ; dans le domaine des mathématiques on lui doit des méthodes numériques d'intégration des [[w:Équation_différentielle_ordinaire|équations différentielles ordinaires]] connues sous le nom de [[w:Méthodes_d'Adams-Bashforth|méthodes d'Adams-Bashforth]] <math>\;\big\{</math>'''Francis Bashforth (1819 - 1912)''' est un mathématicien britannique qui s'intéressa, entre autres, à la [[w:Balistique|balistique]] ainsi qu'aux gouttes de liquide et leur [[w:Tension_superficielle|tension superficielle]]<math>\big\}</math>.</ref> en <math>\;1843\;</math> et '''[[w:Urbain_Le_Verrier|Urbain Le Verrier]]'''<ref name="Le Verrier"> '''[[w:Urbain_Le_Verrier|Urbain Le Verrier]] (1811 – 1877)''' est un astronome et mathématicien français spécialisé en [[w:Mécanique_céleste|mécanique céleste]], un des [[w:Découverte_de_Neptune|découvreurs de la planète Neptune]], considéré comme le fondateur de la [[w:Météorologie|météorologie]] moderne française.</ref> en <math>\;1846\;</math> calculèrent chacun de leur côté et par des méthodes différentes la position prévisible de cette hypothétique planète qui fut observée en septembre <math>\;1846\;</math> par l’astronome '''[[w:Johann_Gottfried_Galle|Johann Gottfried Galle]]'''<ref name="Galle"> '''[[w:Johann_Gottfried_Galle|Johann Gottfried Galle]] (1812 – 1910)''' est un astronome allemand à qui on doit essentiellement l'observation de la planète Neptune (♆).</ref> à <math>\;1\; \text{°}\;</math> près de l’indication de '''[[w:Urbain_Le_Verrier|Urbain Le Verrier]]''' et <math>\;12\; \text{°}\;</math> près de celle d’'''[[w:John_Couch_Adams|Adams]]'''<math>\big]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Neptune (♆) », remarque : }}historiquement, il y a eu une seule exploration de Neptune (♆) par la sonde américaine « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en août <math>\;1989\;</math> après un survol de Jupiter (♃) en juillet <math>\;1979</math>, de Saturne (♄) en août <math>\;1981\;</math> et d’Uranus (♅) en janvier <math>\;1986</math>, mais aucune autre tentative depuis : « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » est passée à <math>\;29240\; km\;</math> de Neptune (♆), <math>\;\big\{</math>la sonde a étudié l’atmosphère de la géante glacée avec découverte de la « [[w:Grande_Tache_sombre|Grande tache sombre]] » manifestation d’une dynamique atmosphérique {{Nobr|<math>\;\big[</math>manifestation}} anticyclonique, laquelle avait disparue <math>\;5\; ans\;</math> plus tard lors d’une observation par le télescope « [[w:Hubble_(télescope_spatial)|Hubble]] »<ref name="Hubble"> '''[[w:Edwin_Hubble|Edwin Powell Hubble]] (1889 - 1953)''' est un astronome américain qui démontra l'existence d'autres [[w:Galaxie|galaxies]] en dehors de la [[w:Voie_lactée|Voie Lactée]] ; en observant le [[w:Décalage_vers_le_rouge|décalage vers le rouge]] du spectre de plusieurs [[w:Galaxie|galaxies]] il établit leur éloignement relatif à une vitesse proportionnelle à leur distance respective, relation sous le nom de [[w:Loi_de_Hubble-Lemaître|loi de Hubble-Lemaître]] ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Georges_Lemaître|Georges Lemaître]] (1894 - 1966)''' astrophysicien belge à qui on doit la théorie de l'[[w:Atome_primitif|atome primitif]] constituant le fondement de la théorie du [[w:Big_Bang|Big Bang]].</ref> avec néanmoins survivance des nuages qui l’accompagnaient, ces derniers pouvant être à l’origine de [[w:Cyclones|cyclones]] dans l'atmosphère de Neptune (♆)<math>\big]</math>, simultanément l'observation par le télescope « [[w:Hubble_(télescope_spatial)|Hubble]] »<ref name="Hubble" /> a mis en évidence l'apparition d’une nouvelle « Grande tache sombre du Nord » restée visible pendant plusieurs années<math>\big\}</math>, elle découvre <math>\;5\;</math> nouveaux satellites naturels sur un total, de nos jours, égal à au moins «<math>\;14\;</math>», de nouveaux anneaux <math>\Rightarrow</math> de nos jours un total de «<math>\;5\;</math>» {{Nobr|<math>\;\big[</math>tout}} comme les anneaux d'Uranus (♅) il semblerait que ce système d’anneaux soit relativement jeune, contrairement à ceux de Jupiter (♃) et de Saturne (♄), non formé simultanément à Neptune (♆)<math>\big]</math>, un champ magnétique fortement incliné par rapport à l’axe de rotation de Neptune (♆) <math>\;\big[</math>mais néanmoins un peu moins que ne l’est le champ magnétique d’Uranus (♅) relativement à son axe de rotation<math>\big]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|« Neptune (♆) », remarque : }}une proposition de projet américain de mise en œuvre d'une sonde avec orbiteur vers Neptune (♆) semblable à celle de [[w:Cassini-Huygens]]<ref name="Cassini" />{{,}}<ref name="Huygens" /> pour Saturne (♄) est encore en débat <math>\;\ldots</math> ==== Ordre de grandeur de la vitesse de libération d’une sonde « satellitaire » en orbite basse dans le référentiel « satellocentrique » ==== {{Al|5}}La vitesse de libération d’une sonde satellitaire<ref name="sonde satellitaire" /> dans le référentiel « satellocentrique »<ref name="satellocentrique" /> en un point de lancement distant de «<math>\;r_0\;</math>» du centre d'un Satellite naturel d'une Planète du Système solaire s'exprimant selon {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib.},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{satelloc}}}</math>}} <math>= \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{Satellite}}}{r_0}}\;</math>» avec «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> constante de gravitation universelle et <math>\;m_{\text{Satellite}}\;</math> masse du Satellite naturel » et {{Al|5}}une sonde satellitaire<ref name="sonde satellitaire" /> étant dite « en orbite basse » si sa distance au centre du Satellite naturel est telle que «<math>\;r_0 \simeq R_{\text{Satellite}}\;</math>» <math>\;\big[</math>avec <math>\;R_{\text{Satellite}}\;</math> le rayon du Satellite naturel assimilée à une boule<math>\big]</math>, on en déduit la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde satellitaire<ref name="sonde satellitaire" /> en orbite basse dans le référentiel « satelloocentrique »<ref name="satellocentrique" /> selon «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{satelloc}}} \simeq \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{Satellite}}}{R_{\text{Satellite}}}}\;</math>» ou {{Al|5}}sachant que l’intensité du champ de gravitation du Satellite naturel s'y exprime selon «<math>\;G_{\text{Satellite},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Satellite}}}{R_{\text{Satellite}}^{\,2}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Satellite}}}{R_{\text{Satellite}}} = G_{\text{Satellite},\,0}\;R_{\text{Satellite}}\;</math>», la réécriture de la vitesse de libération d’une sonde satellitaire<ref name="sonde satellitaire" /> en orbite basse dans le référentiel « satellocentrique »<ref name="satellocentrique" /> en fonction du rayon du Satellite naturel et de l'intensité du champ de gravitation du Satellite naturel au niveau du sol selon [[File:FullMoon2010.jpg|thumb|300px|Lune vue de l'Amérique du Nord en <math>\;2010</math>]] <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{satelloc}}} \simeq \sqrt{2\;G_{\text{Satellite},\,0}\;R_{\text{Satellite}}}\;</math>».</center> {{Al|5}}Nous intéressant tout d’abord au satellite naturel de la Terre (♁) c'est-à-dire la Lune (☽) nous évaluons numériquement la vitesse de libération d’une sonde lunaire<ref name="sonde lunaire"> Historiquement pour envoyer une sonde lunaire il y eut d’abord la nécessité pour cette sonde de quitter l’attraction terrestre : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le <math>\;2\;</math> janvier <math>\;1959\;</math> la 1^ère sonde soviétique « [[w:Luna_1|Luna 1]] » fut lancée en direction de la Lune (☽) <math>\;\Big[</math>le <math>\;3\;</math> janvier, après avoir parcouru <math>\;113000\;km\;</math> <math>\big(</math>soit un peu plus d'un quart de la distance « Terre - Lune »<math>\big)\;</math> [[w:Luna_1|Luna 1]] largua un nuage de sodium gazeux ce qui engendra une traînée lumineuse orange permettant aux astronomes de la suivre <math>\;\big(</math>on peut dire que [[w:Luna_1|Luna 1]] fut la 1^ère comète artificielle<math>\big)\Big]</math>, passa à <math>\;5995\; km\;</math> de la Lune (☽) après <math>\;34\;h\;</math> de vol et fut mise en orbite autour du Soleil (☉) <math>\;\big\{</math>avec un périhélie distant de <math>\;0,9766\;ua\;</math> et un aphélie de <math>\;1,315\;ua\;</math> du centre du Soleil <math>\;\big[</math>« l'[[w:Unité_astronomique|unité astronomique]] de symbole <math>\;ua\;</math>» <math>\;1\;ua \simeq 1,50\;10^{11}\;m\;</math> est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre (♁) autour du Soleil (☉)<math>\big]\;</math> <math>\Rightarrow</math> une période de révolution dans le référentiel de Copernic <math>\;\simeq 1,23\;an\big\}\;</math> le <math>\;12\;</math> juillet <math>\;1959\;</math> en devenant le 1^er satellite artificiel solaire ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le <math>26\;</math> janvier <math>\;1962\;</math> la 1^ère sonde américaine « [[w:Ranger_3|Ranger 3]] » fut lancée en direction de la Lune (☽), passa à <math>\;36793\; km\;</math> de la Lune (☽) après <math>\;2\;j\;</math> de vol <math>\;\Big[</math>ce qui représente un échec dans la mesure où le but ultime de la sonde était de descendre sur la Lune (☽) en transmettant des photos du sol lunaire pendant les <math>\;10\;</math> dernières minutes avant l'impact<math>\big]\;</math> et, après une tentative de réorientation de sa mission primaire en étude de l'espace environnant, perdit contact avec la Terre le <math>\;31\;</math> janvier <math>\;1962</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le 1^er alunissage en douceur fut réalisé, le <math>\;3\;</math> février <math>\;1966</math>, par la sonde soviétique « [[w:Luna_9|Luna 9]] » lancée le <math>\;31\;</math> janvier <math>\;1966</math> <math>\;\big[</math>une fois sur la Lune (☽) elle envoya les 1^ères images panoramiques du site d'alunissage jusqu'à l'épuisement de la batterie c'est-à-dire pendant <math>\;8\;h\big]\;</math> puis, peu de temps après, un 2^ème alunissage en douceur fut réalisé, le <math>\;2\;</math> juin <math>\;1966</math>, par la sonde américaine « [[w:Surveyor_1|Surveyor 1]] » lancée le <math>\;30\;</math> mai <math>\;1966</math> <math>\;\big[</math>la mission se poursuit par l'étude du sol et des séances de photographies du site d'alunissage avant la tombée de la 1^ère nuit lunaire qui débute le <math>\;14\;</math> juin <math>\;1966\;</math> et se termine le <math>\;7\;</math> juillet <math>\;1966\;</math> puis envoie encore quelques photos pendant cette 2^ème journée lunaire jusqu'au <math>\;13\;</math> juillet <math>\;1966\;</math> date à laquelle la batterie fut épuisée, toutefois les études d'ingénierie se poursuivirent jusqu'au <math>\;7\;</math> janvier <math>\;1967\big]</math>. <br>{{Al|3}}Pour envisager des allers – retours « Terre - Lune », il y eut la nécessité de conserver suffisamment d’ergols pour quitter l'attraction lunaire : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le 1^er retour fut réalisé, le <math>\;27\;</math> décembre <math>\;1968</math>, par la sonde américaine « [[w:Apollo_8|Apollo 8]] » lancée le <math>\;21\;</math> décembre <math>\;1968</math> <math>\;\big\{</math>mission correspondant à un vol habité <math>\;\big[3\;</math> astronautes '''[[w:Frank_Borman|Frank Borman]]''' le commandant, '''[[w:Jim_Lovell|Jim Lovell]]''' le pilote du [[w:Module_de_commande_et_de_service_Apollo|module de commande]] et '''[[w:William_A._Anders|William Anders]]''' le pilote du [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]] <math>\;\big(</math>présent même s'il n'y avait aucun alunissage de prévu pour cette mission<math>\big)\big]\;</math> avec mise en orbite lunaire après <math>\;69\;h\;</math> de vol <math>\;\big[</math>la mises à feu des propulseurs dura <math>\;4\;min\;13\;s</math>, le péricentre du [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]] étant situé à <math>\;111,9\;km\;</math> et l'apocentre à <math>\;311,9\;km</math> du sol lunaire <math>\Rightarrow</math> une période de révolution de la sonde autour de la Lune (☽) de <math>\;129\; min \simeq 2\;h\;9\;min\big]</math> <math>\;10\;</math> orbites lunaires puis un nouvel allumage pour se placer sur la trajectoire de retour sur Terre (♁) après <math>\;89\;h\;29\;min\;</math> de vol, enfin, après <math>\;2\;j\;</math> calmes et séparation du module de service, les trois astronautes, serrés dans le module de commande et subissant une décélération maximale de <math>\;9\;g</math>, amerrirent, ils furent récupérés <math>\;43\;min\;</math> après <math>\;\ldots\big\}</math> et, un peu plus tard, le <math>\;14\;</math> août <math>\;1969</math>, les soviétiques réalisèrent un 1^er retour sur Terre avec la sonde automatique « [[w:Zond_7|Zond 7]] » lancée le <math>\;7\;</math> août <math>\;1969</math> <math>\;\big[</math>avec un simple survol de la Lune le <math>\;11\;</math> août <math>\;1969\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>le 1^er retour après alunissage d’un « [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire (ou LEM)]] » fut accompli, le <math>\;24\;</math> juillet <math>\;1969</math>, par la sonde américaine « [[w:Apollo_11|Apollo 11]] » lancée le <math>\;16\;</math> juillet <math>\;1969</math> <math>\;\big\{</math>mission correspondant à un vol habité <math>\;\big[3\;</math> astronautes '''[[w:Neil_Armstrong|Neil Armstrong]]''' le commandant de la mission et pilote du [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]], '''[[w:Buzz_Aldrin|Buzz Aldrin]]''' passager du [[w:Module_lunaire_Apollo|module lunaire]] et '''[[w:Michæl_Collins_(astronaute)|Michæl Collins]]''' le pilote du [[w:Module_de_commande_et_de_service_Apollo|module de commande]] <math>\;\big(</math>le seul à rester en orbite autour de la Lune<math>\big)\big]\;</math> avec séjour de <math>\;21\; h\;</math> sur le sol lunaire à partir du <math>\;20\;</math> juillet <math>\;1969</math> <math>\;\big[</math>le module lunaire [[w:Eagle_(module_lunaire)|Eagle]] a été posé manuellement par '''[[w:Neil_Armstrong|Armstrong]]''' à <math>\;7\;km\;</math> du site initialement prévu pour cause de terrain accidenté de ce dernier, juste après leur alunissage, les deux astronautes se préparèrent pendant <math>\;2\;h\;</math> pour un décollage immédiat avec programmation du rendez-vous éventuel avec '''[[w:Michæl_Collins_(astronaute)|Collins]]''' et le [[w:Module_de_commande_et_de_service_Apollo|module de commande]] Columbia avant de se permettre d'observer leur environnement<math>\big]\;</math> pendant lequel le 1^er pas de '''[[w:Neil_Armstrong|Neil Armstrong]]''' sur la Lune (☽) fut observé de partout sur Terre (♁) avec cette phrase célèbre « ''C'est un petit pas pour l'homme, un bond de géant pour l'humanité'' »<math>\big\}</math>. <br>{{Al|3}}Il y eut, entre <math>\;1969\;</math> et <math>\;1972</math>, six vols habités avec dépose d'astronautes sur la Lune (☽) ayant permis de ramener sur Terre (♁) des roches lunaires et ainsi d'améliorer grandement la connaissance sélénélogique de la Lune ; lancée le <math>\;6\;</math> janvier <math>\;1998\;</math> la sonde américaine « [[w:Lunar_Prospector|Lunar Prospector]] » <math>\;\big(</math>sans astronautes à bord<math>\big)\;</math> fut mise en orbite lunaire pour une durée de <math>\;1\;an\;7\;mois\;</math> à une altitude de <math>\;100\;km</math>, puis de <math>\;30\;km</math>, enfin de <math>\;10\;km</math>, confirmant la présence d'une quantité notable d'eau dans les régions polaires <math>\;\big(</math>toutefois son écrasement programmé dans un cratère situé au pôle Sud ne révéla aucune trace d'eau dans le panache qui s'en suivit<math>\big)\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}Enfin il existe, pour l'instant, un projet américain de [[w:Programme_spatial|programme spatial]] habité « le [[w:Programme_Artemis|programme Artemis]] » dont le but premier est de ramener un équipage sur le sol lunaire d'ici à <math>\;2024</math> <math>\;\big(</math>toutefois le délai est extrêmement court !<math>\big)\;\ldots</math> Quant à l'établissement de colonies cela reste du domaine de la fiction <math>\;\ldots</math></ref> en orbite basse dans le référentiel {{Nobr|« sélénocentrique »<ref name="sélénocentrique"> Référentiel lié au centre de la Lune (☽) et en translation par rapport au référentiel géocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 3\;j\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « sélénocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, (☽) dans }\mathcal{R}_{\text{géoc}}}}{100} \simeq 0,27\;j \simeq 6\;h\;</math> pour que le référentiel « sélénocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « géocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;6\;h\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;3\;j\big)</math>.</ref>}} en évaluant l'intensité du champ de gravitation de la Lune (☽) au niveau du sol «<math>\;G_{\text{(☽)},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{(☽)}}}{R_{\text{(☽)}}^{\,2}}\;</math>» sachant que la masse de la Lune vaut «<math>\;m_{\text{(☽)}} \simeq 7,35\;10^{22}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{81}\;</math>» et son rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «<math>\;R_{\text{(☽)}} \simeq 1740\;km \simeq 0,272\;R_{\text{(♁)}}\;</math>» <math>\;\big[</math>le volume de la Lune (☽) représente donc approximativement <math>\;2\;\%\;</math> de celui de la Terre (♁)<math>\big]</math>, par {{Nobr|«<math>\;G_{\text{(☽)},\,0} \simeq</math>}} <math>\dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;7,35\;10^{22}}{\left( 1,74\;10^6 \right)^2} \simeq 1,62\;m \cdot s^{-2} \simeq \dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{6}\;</math>» d'où «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde lun.}\,/ \mathcal{R}_{\text{sélénoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 1,62 \times 1,74\;10^6} \simeq 2370\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde lun.}\,/ \mathcal{R}_{\text{sélénoc}}} \simeq 2,4\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 21\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une photo de la Lune <math>\;\big(</math>phase de [[w:Pleine_lune|pleine lune]]<math>\big)\;</math> prise le <math>\;22\;</math> octobre <math>\;2010\;</math> à Madison <math>\;\big[</math>[[w:Alabama|Alabama]]<ref name="Alabama"> L'[[w:Alabama|Alabama]] est un état du sud des États-Unis d'Amérique du Nord.</ref><math>\big]</math>, <br />à l'aide d'un [[w:Télescope_Schmidt-Cassegrain|télescope Schmidt-Cassegrain]]<ref name="Schmidt"> '''[[w:Bernhard_Schmidt|Bernhard Schmidt]] (1879 - 1935)''' astronome et opticien estonien <math>\;\big[</math>l'[[w:Estonie|Estonie]] était membre de l'[[w:Empire_russe|empire russe]] à la naissance de '''[[w:Bernhard_Schmidt|Bernhard Schmidt]]''' jusqu'à son rattachement à l'[[w:Empire_allemand|empire allemand]] le <math>\;23\;</math> février <math>\;1918</math>, rattachement qui ne fut pas exécuté à cause de la défaite allemande du <math>\;11\;</math> novembre <math>\;1918</math>, l'indépendance de l'[[w:Estonie|Estonie]] étant reconnue internationalement en <math>\;1919\big]</math>, à qui on doit, en <math>\;1930</math>, le remplacement d'un miroir parabolique par un miroir sphérique dans un télescope ainsi que l'ajout d'une [[w:Lame_de_Schmidt|lame correctrice]] dont le but de diminuer, autant que faire se peut, l'[[w:Aberration_géométrique|aberration géométrique]] du télescope considéré, le télescope ainsi construit étant connu sous le nom de [[w:Chamabre_de_Schmidt|chambre de Schmidt]].</ref>{{,}}<ref name="Cassegrain"> '''[[w:Laurent_Cassegrain|Laurent Cassegrain]] (1629 - 1693)''' prête et physicien français à l'origine du [[w:Télescope_de_type_Cassegrain|télescope de type Cassegrain]] <math>\;\big(</math>comprenant un miroir primaire parabolique et un secondaire convexe hyperbolique<math>\big)\;</math> créé en <math>\;1672</math>, télescope qui fut amélioré par '''[[w:Bernhard_Schmidt|Bernhard Schmidt]]''' en remplaçant le miroir primaire par un miroir sphérique concave et par ajout d'une [[w:Lame_de_Schmidt|lame correctrice]], le télescope ainsi modifié fut appelé [[w:Télescope_Schmidt-Cassegrain|télescope Schmidt-Cassegrain]].</ref> [[w:Celestron|Célestron]] de diamètre d'ouverture <math>\;9,25\;''\;</math><ref name="pouce"> Le [[w:Pouce_(unité)|pouce]], de symbole <math>\;''</math>, étant une unité de mesure de longueur datant du Moyen-Âge encore utilisé dans les pays anglo-saxons valant, à l'heure actuelle, <math>\;1\;'' = 2,54\;cm</math>.</ref>, <br />photo prise avec un appareil photo [[w:Canon_EOS_Rebel_Ti|Canon EOS Rebel T1i]] <math>\;\big(</math>vendu en Europe sous le nom EOS 500D<math>\big)</math>, <br />en empilant <math>\;20\;</math> clichés <math>\bigg(200\; ISO,\; \dfrac{1}{640}\;s\bigg)\;</math><ref> Voir les articles [[w:Sensibilité_ISO|sensibilité ISO]] ainsi que [[w:Temps_de_pose|temps de pose]] de wikipédia <math>\;\bigg(\dfrac{1}{640}\;s\;</math> n'étant pas une valeur de temps de pose standard<math>\bigg)</math>.</ref> pour réduire le bruit.</center> {{Al|5}}Pour les éventuels satellites naturels de dimension notable des <math>\;7\;</math> autres planètes du Système solaire par ordre de dimension <math>\;\searrow</math> <math>\;\big[</math>la Lune (☽), satellite naturel de la Terre (♁), étant le 5^ème satellite naturel planétaire du Système solaire par ordre de dimension <math>\;\searrow</math>, les <math>\;4\;</math> plus gros que la Lune étant <math>\;3\;</math> satellites de Jupiter (♃) et <math>\;1\;</math> satellite de Saturne (♄)<math>\big]</math> : [[File:Ganymede-moon.jpg|thumb|300px|[[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] vue de la sonde [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] le <math>\;29\;</math> mars <math>\;1998\;</math> à une distance de <math>\;918000\;km\;</math> de la surface du satellite]] [[File:Titan globe.jpg|thumb|300px|[[w:Titan_(lune)|Titan]] vue de la sonde euro-américaine [[w:Cassini-Huygens|Cassini-Huygens]]<ref name="Cassini" />{{,}}<ref name="Huygens" /> le <math>\;26\;</math> octobre <math>\;2004</math>, les images ayant été prises d'une distance variant entre <math>\;650000\;</math> et <math>\;300000\;km\;</math> de la surface du satellite]] [[File:Callisto2.jpg|thumb|300px|Image de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]], satellite naturel de Jupiter, vue de la sonde américaine [[w:Voyager_2|Voyager 2]] prise à plus de <math>\;2\;</math> millions de <math>\;km\;</math> de Jupiter le <math>\;7\;</math> juillet <math>\;1979\;</math>]] [[File:Io highest resolution true color.jpg|thumb|300px|Image de [[w:Io_(lune)|Io]], satellite naturel de Jupiter, vue de la sonde [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] le <math>\;3\;</math> juillet <math>\;1999\;</math> pendant son passage au plus près du satellite depuis sa mise en orbite autour de Jupiter<ref> La sonde américaine [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] est toutefois passée plus près de [[w:Io_(lune)|Io]] <math>\;\big(</math>à une distance de <math>\;898\;km\;</math> de sa surface<math>\big)\;</math> avant qu'elle ne se mette en orbite autour de Jupiter mais, à cette distance, la sonde, en étant aussi proche du satellite, était également située à l'intérieur d'une des plus intenses ceintures de rayonnement de Jupiter dans laquelle baigne [[w:Io_(lune)|Io]] <math>\Rightarrow</math> la difficulté pour obtenir des images résistantes au rayonnement.</ref> <math>\;\big(</math>datant du <math>\;7\;</math> décembre <math>\;1995\big)\;</math>]] [[File:Europa-moon.jpg|thumb|300px|Image d'[[w:Europe_(lune)|Europe]], satellite naturel de Jupiter, vue de la sonde [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] le <math>\;7\;</math> septembre <math>\;1996\;</math> pendant la 2^ème orbite de la sonde autour de Jupiter à une distance de <math>\;677000\;km\;</math> du satellite]] [[File:Triton - August 25 1989 (17608829504).jpg|thumb|300px|Image de [[w:Triton|Triton]], satellite de Neptune, vue de la sonde [[w:Voyager_2|Voyager 2]] le <math>\;25\;</math> août <math>\;1989\;</math> passant à <math>\;39790\;km\;</math> de la surface du satellite]] * « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » satellite de Jupiter (♃), le plus gros satellite du Système solaire, de masse «<math>\;m_{\text{Ganymède}} \simeq 1,48\;10^{23}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{40} \simeq 7,8\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;</math>», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule «<math>\;R_{\text{Ganymède}} \simeq 2630\;km \simeq 0,41\;R_{\text{(♁)}} \simeq 0,0376\;R_{\text{(♃)}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'intensité du champ de gravitation de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] au niveau du sol «<math>\;G_{\text{Ganymède},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Ganymède}}}{R_{\text{Ganymède}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;1,48\;10^{23}}{\left( 2,63\;10^6 \right)^2} \simeq</math> <math>1,43\;m \cdot s^{-2} \simeq \dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{7}\;</math>» d'où la vitesse de libération d’une sonde de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]]<ref name="sonde de Ganymède"> Historiquement on dénombre quelques sondes ayant exploré [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] de plus près dans le cadre d'un survol de Jupiter (♃) ou d'une mise en orbite autour de cette dernière : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la 1^ère fut la sonde américaine « [[w:Pioneer_10|Pioneer 10]] » en décembre <math>\;1973</math> <math>\;\big[</math>ayant survolé Jupiter (♃) à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;130000\; km\big]</math>, puis la sonde américaine « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » en décembre <math>\;1974</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>avec}} un survol de Jupiter (♃) à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;34000\; km\big]</math>, les deux sondes fournissant, entre autres, les images de plusieurs satellites joviens dont celles de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] <math>\;\big[</math>avec une résolution des images du satellite fournies par [[w:Pioneer_10|Pioneer 10]] de <math>\;400\;km</math>, la sonde s'étant rapprochée jusqu'à une distance de <math>\;446,25\;km\;</math> de la surface de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>six ans plus tard les sondes américaines « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » en mars <math>\;1979\;</math> puis « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en juillet <math>\;1979\;</math> améliorèrent les connaissances des satellites de Jupiter (♃) dont celles de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] en précisant la taille de ce dernier <math>\;\big[</math>en révélant que celle-ci est <math>\;>\;</math> à celle de [[w:Titan_(lune)|Titan]], le satellite de Saturne (♄) que l'on croyait auparavant être le plus gros satellite des planètes du Système solaire<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde américaine « [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] » lancée en octobre <math>\;1989\;</math> est placée en orbite autour de Jupiter (♃) en décembre <math>\;1995</math>, elle a effectué six survols d'exploration rapprochés de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] entre <math>\;1996\;</math> et <math>\;2001\;</math> <math>\;\Big[</math>le 1^er survol, le <math>\;27\;</math> juin <math>\;1996</math> <math>\;\big(</math>avec une distance minimale séparant la sonde de la surface de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] de <math>\;835\;km\big)</math>, permit de découvrir l'existence d'un champ magnétique ganymédien, le 2^ème survol, le <math>\;6\;</math> septembre <math>\;1996</math> <math>\;\big(</math>en étant approximativement trois fois plus proche que lors du 1^er survol, la distance minimale séparant la sonde de la surface de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] étant de <math>\;261\;km\big)</math>, permit d'obtenir une résolution des images du sol ganymédien de <math>\;11\;m</math>, c'est lors d'un survol en <math>\;2001\;</math> que la découverte d'un océan sous la glace de surface existant sur [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] <math>\;\big(</math>océan qui pourrait contenir plus d'eau que tous les océans de la Terre réunis<math>\big)\;</math> a été annoncée<math>\Big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde <math>\;\big(</math>américaine<math>\big)\;</math> qui a exploré le plus récemment [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] de près était « [[w:New_Horizons|New Horizons]] » lancée le <math>\;19\;</math> janvier <math>\;2006\;</math> en direction de la [[w:Planète_naine|planète naine]] [[w:Pluton_(planète_naine)|Pluton]] qu'elle approcha au plus près le <math>\;14\;</math> juillet <math>\;2015</math> <math>\;\big(</math>à une distance minimale de <math>\;11095\;km\;</math> de la surface de [[w:Pluton_(planète_naine)|Pluton]]<math>\big)</math>, passant auparavant, en <math>\;2007</math>, à proximité de [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]], ce qui lui permit de réaliser les cartes topographiques et de composition de ce dernier malgré la grande vitesse de passage <math>\;\simeq 22\;km \cdot s^{-1}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>[[w:Jupiter_Icy_Moons_Explorer|JUICE]] est une mission spatiale européenne qui doit être lancée en <math>\;2022\;</math> vers <math>\;3\;</math> des satellites naturels de Jupiter (♃) <math>\;\big[</math>pour y parvenir, la sonde utilisera, à quatre reprises, l'[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) et de Vénus (♀)<math>\big]\;</math> la sonde spatiale doit alors étudier en les survolant à plusieurs reprises ces trois satellites naturels de Jupiter (♃), « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] », « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » et « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » avant de se placer en orbite autour de ce dernier en septembre <math>\;2032</math> <math>\;\big[</math>d'abord en orbite elliptique haute de péricentre à <math>\;200\;km\;</math> et d'apocentre à <math>\;10000\;km\;</math> d'altitude pendant <math>\;5\;mois\;</math> puis en orbite circulaire située à l'altitude de <math>\;500\;km\;</math> pendant <math>\;3\;mois\;</math> et enfin en orbite circulaire située à l'altitude de <math>\;100\;km\;</math> pendant <math>\;1\;mois\big]\;</math> pour une étude plus approfondie qui doit s'achever en juin <math>\;2033</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>signalons pour terminer un projet russe [[w:Laplace-P|Laplace-P]] de lancement d'une sonde avec présence d'un atterrisseur dont la mission serait de se poser sur [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]], le lancement en cas de sélection étant prévu pour <math>\;2024\;</math> pourrait être changé à cause des difficultés techniques et financières pesant encore lourdement sur ce projet.</ref> en orbite basse dans le référentiel « ganymédocentrique »<ref name="ganymédocentrique"> Référentiel lié au centre de Ganymède et en translation par rapport au référentiel jovocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 1,3\;mois\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « ganymédocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, Ganymède dans }\mathcal{R}_{\text{jovoc}}}}{100} \simeq 0,07\;j \simeq 1,5\;h\;</math> pour que le référentiel « ganymédocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « jovocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;1,5\;h\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1,3\;mois\big)</math>.</ref> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Ganymède}\,/ \mathcal{R}_{\text{ganymédoc}}} \simeq</math> <math>\sqrt{2 \times 1,43 \times 2,63\;10^6} \simeq 2740\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Ganymède}\,/ \mathcal{R}_{\text{ganymédoc}}} \simeq 2,75\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 25\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une photo de Ganymède prise le <math>\;29\;</math> mars <math>\;1998\;</math><ref> La résolution étant de <math>\;9\;km\;</math> par élément d’image.</ref>, par la sonde américaine [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]]<ref> Les photos ayant été réalisées grâce au système d’imagerie à semi-conducteurs <math>\;\big(</math>SSI<math>\big)\;</math> de la sonde spatiale [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]].</ref>, <br />quand celle-ci est passée à <math>\;918000\;km\;</math> de la surface du satellite <br /><math>\;\big[</math>la mise en valeur<ref> Dans cette vue globale du côté arrière de Ganymède, les couleurs sont améliorées pour souligner les différences de couleur.</ref> révèle des calottes polaires givrées en plus des deux terrains prédominants de Ganymède <br /><math>\;\big(</math>des terrains rayés lumineux et des zones plus anciennes et mal sillonnées<math>\big)</math>, <br />de nombreux cratères de diamètre allant jusqu’à plusieurs dizaines de <math>\;km</math>, <br />les teintes violettes observées aux pôles étant vraisemblablement le résultat de petites particules de gel<ref> Lesquelles disperseraient plus de lumière à des longueurs d’onde plus courtes correspondant à l’extrémité violette du spectre.</ref>, <br />le champ magnétique de Ganymède<ref> Lequel a été détecté par le magnétomètre de la sonde Galileo en <math>\;1996</math>.</ref> pouvant être en partie responsable de l’apparition du relief polaire <math>\;\big(</math>le Nord étant en haut de l’image<math>\big)\;</math><ref> Comparé aux calottes polaires de la Terre, le terrain polaire de Ganymède est relativement vaste, le gel sur Ganymède atteint des latitudes aussi basses que <math>\;40\;\text{°}\;</math> en moyenne et <math>\;25\;\text{°}\;</math> à certains endroits <math>\;\big[</math>pour la comparaison avec la Terre, [[w:Miami|Miami]] <math>\;\big(</math>[[w:Floride|Floride]] état des États-Unis d'Amérique du Nord<math>\big)\;</math> se trouve à <math>26\;\text{°}</math> de latitude nord et [[w:Berlin|Berlin]] <math>\;\big(</math>Allemagne<math>\big)\;</math> <math>52\;\text{°}</math> de latitude nord<math>\big]</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> * « [[w:Titan_(lune)|Titan]] » satellite de Saturne (♄), le 2^ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «<math>\;m_{\text{Titan}} \simeq 1,35\;10^{23}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{45} \simeq 2,4\;10^{-4}\;m_{\text{(♄)}}\;</math>», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule {{Nobr|«<math>\;R_{\text{Titan}}</math>}} <math>\simeq 2575\;km \simeq 0,40\;R_{\text{(♁)}} \simeq 0,0442\;R_{\text{(♄)}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'intensité du champ de gravitation de [[w:Titan_(lune)|Titan]] au niveau du sol «<math>\;G_{\text{Titan},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Titan}}}{R_{\text{Titan}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;1,35\;10^{23}}{\left( 2,575\;10^6 \right)^2} \simeq 1,36\;m \cdot s^{-2} \simeq</math> <math>\dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{7,25}\;</math>» d'où la vitesse de libération d’une sonde de {{Nobr|[[w:Titan_(lune)|Titan]]<ref name="sonde de Titan"> Historiquement on dénombre quelques sondes ayant exploré [[w:Titan_(lune)|Titan]] de plus près dans le cadre d'un survol de Saturne (♄) ou d'une mise en orbite autour de cette dernière : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la 1^ère fut la sonde américaine « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » le 1^er septembre <math>\;1979</math> <math>\;\big[</math>ayant survolé Saturne (♄) à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;200000\; km\big]</math>, la sonde prenant les 1^ères photos de quelques uns des satellites de Saturne (♄) dont [[w:Titan_(lune)|Titan]] le <math>\;2\;</math> septembre <math>\;1979\;</math> <math>\;\big(</math>mais de trop faible qualité pour distinguer les caractéristiques de la surface de [[w:Titan_(lune)|Titan]]<math>\big)\;</math> et établissant, entre autres, que la température sur le satellite [[w:Titan_(lune)|Titan]] est vraisemblablement trop basse <math>\;\big(\simeq -180\;\text{°C}\big)\;</math> pour imaginer le développement d'une forme de vie, malgré la présence de méthane et de molécules organiques ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>un an plus tard, le <math>\;10\;</math> novembre <math>\;1980</math>, la sonde américaine « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » pénètre dans le système planétaire de Saturne (♄) <math>\;\big(</math>en s'approchant à <math>\;124000\; km\;</math> de la planète<math>\big)\;</math> puis sa trajectoire est légèrement modifiée pour s'approcher à <math>\;6940\; km\;</math> de [[w:Titan_(lune)|Titan]] et espérer, sans succès, obtenir des détails sur la surface satellitaire <math>\;\big[</math>en effet l'atmosphère entourant [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>de pression au sol de <math>\;1,5\;bar\big)\;</math> composée à <math>\;98,4\;\%\;</math> de diazote et à <math>\;1,6\;\%\;</math> de méthane comporte des couches opaques de brouillard empêchant la pénétration des faibles rayons solaires parvenant jusqu'au système planétaire de Saturne (♄) d'où la difficulté pour observer le sol<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde euro-américaine « [[w:Cassini-Huygens|Cassini-Huygens]] » lancée le <math>\;15\;</math> octobre <math>\;1997\;</math> ayant pour mission l'étude du système planétaire de Saturne (♄) fut placée en orbite de Saturne (♄) le 1^er juillet <math>\;2004\;</math> et, lors d'un survol de [[w:Titan_(lune)|Titan]] le <math>\;16\;</math> décembre <math>\;2004</math>, l'orbiteur américain « [[w:Cassini_(sonde_spatiale)|Cassini]] » de la sonde [[w:Cassini-Huygens|Cassini-Huygens]] se positionna par rapport au satellite survolé pour larguer l'atterrisseur européen « [[w:Huygens_(sonde_spatiale)|Huygens]] » sur ce dernier, ce qui se fit avec succès le <math>\;14\;</math> janvier <math>\;2005\;</math> et permit de transmettre des informations en direction de l'orbiteur [[w:Cassini_(sonde_spatiale)|Cassini]] <math>\;\big(</math>servant de relais pour la Terre<math>\big)\;</math> pendant <math>\;1,5\;h\;</math> avant que ce dernier ne passe sous l'horizon de [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>mais une moitié des <math>\;1215\;</math> photos prises lors de la descente et au sol fut perdue par suite d'une erreur de programmation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>l'orbiteur américain « [[w:Cassini_(sonde_spatiale)|Cassini]] » poursuivant sa mission mis en évidence, en juillet <math>\;2006</math> <math>\;\big(</math>avec confirmation en janvier <math>\;2007\;</math> puis en mars <math>\;2007\big)</math>, la présence de mers d’hydrocarbure sur « [[w:Titan_(lune)|Titan]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>une mission américaine d'étude de [[w:Titan_(lune)|Titan]], le plus gros satellite naturel de Saturne (♄), « [[w:Dragonfly_(sonde_spatiale)|Dragonfly]] » prévoit, après largage d'un atterrisseur sur [[w:Titan_(lune)|Titan]], le déploiement d'un [[w:Aérobot|aérobot]] de type [[w:Aérogyre|aérogyre]] {{Nobr|<math>\;\big(</math>nommé}} « [[w:Dragonfly_(sonde_spatiale)|Dragonfly]] »<math>\big)</math>, effectuant de multiples vols de courte durée pour étudier la basse atmosphère et la surface de [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big[</math>la présence d'une atmosphère dense et d'une gravité relativement peu élevée sur [[w:Titan_(lune)|Titan]] rendant l'utilisation de ce type de drone envisageable<math>\big]</math>, le lancement étant prévu pour <math>\;2026\;</math> et l'atterrissage sur [[w:Titan_(lune)|Titan]] en <math>\;2034</math>.</ref>}} en orbite basse dans le référentiel « titanocentrique »<ref name="titanocentrique"> Référentiel lié au centre de Titan et en translation par rapport au référentiel saturnocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 3,6\;mois\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « titanocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, Titan dans }\mathcal{R}_{\text{saturnoc}}}}{100} \simeq 0,15\;j \simeq 3,5\;h\;</math> pour que le référentiel « titanocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « saturnocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;3,5\;h\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;3,6\;mois\big)</math>.</ref> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Titan}\,/ \mathcal{R}_{\text{titanoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 1,36 \times 2,575\;10^6} \simeq</math> <math>2647\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Titan}\,/ \mathcal{R}_{\text{titanoc}}} \simeq 2,65\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 24\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une image de Titan prise le <math>\;26\;</math> octobre <math>\;2004\;</math> par la sonde euro-américaine [[w:Cassini-Huygens|Cassini-Huygens]]<ref name="Cassini" />{{,}}<ref name="Huygens" /> <br />à une distance du sol de Titan comprise entre <math>\;650000\;km\;</math> et <math>\;300000\;km</math>, <br />la sonde étant alors en orbite autour de Saturne (♄) depuis le <math>\;1^{\text{er}}\;</math> janvier <math>\;2004</math>, <br /> <math>\;\big[</math>cette mosaïque de neuf images montre des variations d'éclat de la surface de Titan et ,{{Al|25}}<br />{{Transparent|cette mosaïque de neuf images montre }}des nuages lumineux près du pôle sud en bas de la photo<ref> Les images ont été traitées afin d'améliorer la netteté des détails de la surface ; malgré cela, plus on s'approche du limbe, plus l'image est floue car la ligne de visée traverse davantage d'atmosphère.</ref> <br />la surface semble jeune et il n'y a pas de cratère visible <math>\big]</math>.</center> * « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] » satellite de Jupiter (♃), le 3^ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «<math>\;m_{\text{Callisto}} \simeq 1,08\;10^{23}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{55} \simeq 5,7\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;</math>», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule {{Nobr|«<math>\;R_{\text{Callisto}}</math>}} <math>\simeq 2410\;km \simeq 0,38\;R_{\text{(♁)}} \simeq 0,0345\;R_{\text{(♃)}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'intensité du champ de gravitation de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] au niveau du sol «<math>\;G_{\text{Callisto},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Callisto}}}{R_{\text{Callisto}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;1,08\;10^{23}}{\left( 2,410\;10^6 \right)^2} \simeq 1,24\;m \cdot s^{-2} \simeq</math> <math>\dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{7,9}\;</math>» d'où la vitesse de libération d’une sonde de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]]<ref name="sonde de Callisto"> Historiquement on dénombre quelques sondes ayant exploré [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] de plus près dans le cadre d'un survol de Jupiter (♃) ou d'une mise en orbite autour de cette dernière : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la 1^ère fut la sonde américaine « [[w:Pioneer_10|Pioneer 10]] » approchant le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] » en décembre <math>\;1973\;</math> à une distance de <math>\;1,42\;10^6\;km</math> <math>\;\big[</math>avant de survoler <math>\;16\;h\;</math> plus tard Jupiter (♃) à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;130000\; km\;</math> et <math>\;20\;h\;</math> plus tard le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;440000\; km\big]</math>, puis la sonde américaine « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » en décembre <math>\;1974</math> {{Nobr|<math>\;\big[</math>avec}} un survol de Jupiter (♃) à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;34000\; km\big]</math>, les deux sondes n'apportant que peu de nouvelles informations sur [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] par rapport à celles faites depuis la Terre (♁) <math>\;\big[</math>à l'exception de l'évaluation de la masse de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] fournie par [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]]<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>six ans plus tard les sondes américaines « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » en mars <math>\;1979\;</math> puis « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en juillet <math>\;1979\;</math> améliorèrent les connaissances des satellites de Jupiter (♃) dont celles de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] en photographiant plus de la moitié de sa surface avec une résolution de <math>\;1\;</math> à <math>\;2\; km\;</math> et en mesurant précisément sa température, sa masse et sa forme <math>\;\big[</math>[[w:Voyager_1|Voyager 1]] est passé à <math>\;123950\;km\;</math> de la surface de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] et [[w:Voyager_2|Voyager 2]] à <math>\;214930\;km\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde américaine « [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] » lancée en octobre <math>\;1989\;</math> est placée en orbite autour de Jupiter (♃) en décembre <math>\;1995</math>, elle a effectué neuf survols d'exploration rapprochés de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] entre <math>\;1996\;</math> et <math>\;2001</math>, ces survols permirent de découvrir que le satellite est constituée d'un mélange de roches riches en fer et sulfate de fer <math>\;\big(60\; \%\big)\;</math> et de glace <math>\;\big(40\; \%\big)\;</math> sans noyau central identifiable en tant que tel <math>\;\Big\{</math>la raison étant que [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] situé à une distance plus grande de Jupiter que les autres satellites [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]], [[w:Europe_(lune)|Europe]] et [[w:Io_(lune)|Io]], n'a pas subi avec autant d'intensité l'échauffement découlant des forces de marée de la planète géante <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_«_force_des_marées_»|notion de force des marées]] » et « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Détermination_graphique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination graphique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] » <math>\;\big(</math>le Soleil <math>\;S\;</math> devant être remplacé par Jupiter, la Terre <math>\;T\;</math> par le satellite naturel de Jupiter étudié et la Lune <math>\;L\;</math> par le point générique de la surface du satellite étudié<math>\big)\big]\Big\}</math>, de terminer la cartographie de la surface de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] <math>\;\big[</math>en passant, lors du dernier survol de la sonde, à la distance de <math>\;138\;km\;</math> de la surface du sol, ce qui permit d'obtenir une résolution pouvant atteindre <math>\;15\;m\big]\;</math> et de détecter un faible champ magnétique <math>\;\big(</math>lequel pourrait être induit par un océan salé souterrain<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>six ans plus tard la sonde américaine « [[w:New_Horizons|New Horizons]] » lancée le <math>\;19\;</math> janvier <math>\;2006\;</math> en direction de la [[w:Planète_naine|planète naine]] [[w:Pluton_(planète_naine)|Pluton]] qu'elle approcha au plus près le <math>\;14\;</math> juillet <math>\;2015</math> <math>\;\big(</math>à une distance minimale de <math>\;11095\;km\;</math> de la surface de [[w:Pluton_(planète_naine)|Pluton]]<math>\big)</math>, passant auparavant, en février et mars <math>\;2007</math>, à proximité de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]], réalisa de nouvelles images et de nouveaux spectres du satellite ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>[[w:Jupiter_Icy_Moons_Explorer|JUICE]] est une mission spatiale européenne qui doit être lancée en <math>\;2022\;</math> vers <math>\;3\;</math> des satellites naturels de Jupiter (♃) <math>\;\big[</math>pour y parvenir, la sonde utilisera, à quatre reprises, l'[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) et de Vénus (♀)<math>\big]\;</math> la sonde spatiale doit alors étudier en les survolant à plusieurs reprises ces trois satellites naturels de Jupiter (♃), « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] », « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » et « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » <math>\;\big(</math>avant de se placer en orbite autour de ce dernier en septembre <math>\;2032\;</math> pour une étude plus approfondie qui doit s'achever en juin <math>\;2033\big)</math>, la mission de [[w:Jupiter_Icy_Moons_Explorer|JUICE]] lors de ses survols de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] est de déterminer les caractéristiques des couches externes et des éventuels océans souterrains du satellite survolé ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>signalons pour terminer une étude théorique américaine ''Human Outer Planets Exploration'' <math>\;\big(</math>ou HOPE<math>\big)\;</math> lancée en <math>\;2003\;</math> dont la finalité était de construire une base à la surface de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] dans le but de produire du combustible afin de mener l'exploration ultérieure du reste du Système solaire <math>\;\big[</math>le choix de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] ayant été proposé en fonction des faibles radiations qu'il subit ainsi que sa stabilité géologique<math>\big]\;</math> mais cette étude théorique semble à l'heure actuelle sans lendemain.</ref> en orbite basse dans le référentiel « callistocentrique »<ref name="callistocentrique"> Référentiel lié au centre de Callisto et en translation par rapport au référentiel jovocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 1,3\;mois\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « callistocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, Callisto dans }\mathcal{R}_{\text{jovoc}}}}{100} \simeq 0,165\;j \simeq 4,0\;h\;</math> pour que le référentiel « callistocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « jovocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;4,0\;h\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1,3\;mois\big)</math>.</ref> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Callisto}\,/ \mathcal{R}_{\text{callistoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 1,24 \times 2,410\;10^6} \simeq</math> <math>2445\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Callisto}\,/ \mathcal{R}_{\text{callistoc}}} \simeq 2,45\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 22\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une photo de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] vue de la sonde américaine [[w:Voyager_2|Voyager 2]] prise le <math>\;7\;</math> juillet <math>\;1979</math>, <br />la sonde étant alors à plus de <math>\;2\;</math> millions de <math>\;km\;</math> de Jupiter en phase d'approche de cette dernière, <br /><math>\;\big[</math>par la suite la sonde est passée à une distance minimale de <math>\;214300\;\;km\;</math> de la surface de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]]<math>\big]</math>, <br />on peut voir sur cette photo des taches brillantes parsemant la surface sombre du satellite, <br />{{Al|52}}correspondant à des cratères d’impact de [[w:Météorite|météorites]] sur la surface <br /><math>\;\big(</math>l'excavation de la surface sombre de [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] dégageant un matériau situé en sous-sol plus luninescent<math>\big)</math>.</center> * « [[w:Io_(lune)|Io]] » satellite de Jupiter (♃), le 4^ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «<math>\;m_{\text{Io}} \simeq 8,93\;10^{22}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{67} \simeq 4,7\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;</math>», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule {{Nobr|«<math>\;R_{\text{Io}} \simeq</math>}} <math>1821,5\;km \simeq 0,285\;R_{\text{(♁)}} \simeq 0,0260\;R_{\text{(♃)}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'intensité du champ de gravitation de [[w:Io_(lune)|Io]] au niveau du sol «<math>\;G_{\text{Io},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Io}}}{R_{\text{Io}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;8,93\;10^{22}}{\left( 1,8215\;10^6 \right)^2} \simeq 1,79\;m \cdot s^{-2} \simeq</math> <math>\dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{5,5}\;</math>» d'où la vitesse de libération d’une sonde de [[w:Io_(lune)|Io]]<ref name="sonde de Io"> Historiquement on dénombre quelques sondes ayant exploré [[w:Io_(lune)|Io]] de plus près dans le cadre d'un survol de Jupiter (♃) ou d'une mise en orbite autour de cette dernière : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la 1^ère fut la sonde américaine « [[w:Pioneer_10|Pioneer 10]] » laquelle, après s'être approchée le <math>\;3\;</math> décembre <math>\;1973\;</math> du satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] » <math>\;\big(</math>à une distance de <math>\;1,42\;10^6\;km\big)</math>, survola <math>\;16\;h\;</math> plus tard Jupiter (♃) <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;130000\; km\big)\;</math> puis <math>\;20\;h\;</math> plus tard le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;440000\; km\big)\;</math> et, peu de temps après, subit l'occultation programmée de la Terre (♁) par le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Io_(lune)|Io]] » durant près d'<math>1\;min</math> <math>\;\Big[</math>cette occultation de la Terre (♁) par [[w:Io_(lune)|Io]] permit de déterminer par l'analyse des perturbations du signal radio que [[w:Io_(lune)|Io]] a une atmosphère de très faible densité <math>\;\big(20000\;</math> fois plus faible que celle de la Terre<math>\big)\;</math> et une ionosphère culminant à <math>\;700\; km\;</math> de la surface du sol, le spectromètre ultraviolet détecta aussi un nuage d'hydrogène présent sur l'orbite de[[w:Io_(lune)|Io]] qui sera expliqué ultérieurement par l'existence d'un volcanisme sur le satellite naturel, ce qui représente un phénomène unique sur les satellites planétaires du Système solaire<math>\Big]</math>, ensuite la sonde américaine « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » après un survol de Jupiter (♃) <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;34000\; km\big)\;</math> prend la seule image de [[w:Io_(lune)|Io]] montrant sa région polaire nord en décembre <math>\;1974</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>six ans plus tard les sondes américaines « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » en s'approchant de [[w:Io_(lune)|Io]] à une distance de <math>\;20600\;km\;</math> de sa surface le <math>\;5\;</math> mars <math>\;1979\;</math> puis « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en survolant [[w:Io_(lune)|Io]] à une distance de <math>\;1130000\;km\;</math> le <math>\;9\;</math> juillet <math>\;1979\;</math> accumulèrent les images de [[w:Io_(lune)|Io]] montrant une surface jeune, multicolore, vierge de tout cratère d'impact, avec des montagnes hautes de plus de <math>\;8000\;m\;</math> et des zones ressemblant à des coulées de lave, de plus l'étude de certaines images montrèrent l'existence de plusieurs panaches dispersés sur la surface de [[w:Io_(lune)|Io]] prouvant l'activité volcanique sur le satellite <math>\;\big\{</math>la justification de cette activité peut s'expliquer par un réchauffement de l'intérieur du satellite dû à l'action des forces de marée de la planète géante <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_«_force_des_marées_»|notion de force des marées]] » et « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Détermination_graphique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination graphique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] » <math>\;\big(</math>le Soleil <math>\;S\;</math> devant être remplacé par Jupiter, la Terre <math>\;T\;</math> par le satellite naturel de Jupiter étudié et la Lune <math>\;L\;</math> par le point générique de la surface du satellite étudié<math>\big)\big]\big\}\;</math> et une quantité majoritaire de composés de soufre et de dioxyde de soufre dans le sol de [[w:Io_(lune)|Io]] ainsi que dans son atmosphère très ténue fut décelée ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde américaine « [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] » lancée en octobre <math>\;1989\;</math> est placée en orbite autour de Jupiter (♃) le <math>\;7\;</math> décembre <math>\;1995\;</math> après un survol rapide du satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Io_(lune)|Io]] » <math>\;\big[</math>ce satellite étant situé à l'intérieur d'une des plus intenses ceintures de rayonnement de Jupiter (♃), la durée de survol <math>\;\big(</math>à une courte distance de <math>\;898\;km\;</math> de la surface du satellite<math>\big)\;</math> ne doit pas se prolonger plus que nécessaire<math>\big]\;</math> pendant lequel la présence d'un noyau métallique dans [[w:Io_(lune)|Io]] semblable à celui des [[w:Planète_tellurique|planètes telluriques]] est découvert, elle a, par la suite, effectué plusieurs autres survols de [[w:Io_(lune)|Io]] <math>\;\big(</math>à plus grande distance de la surface du satellite<math>\big)\;</math> jusqu'en <math>\;2002\;</math> qui lui permirent de confirmer que les éruptions volcaniques du satellite sont constituées de [[w:Magma_(géologie)|magmas]] [[w:Silicate|silicates]] et de composés [[w:Mafique|mafiques]] et [[w:Ultramafique|ultramafiques]] riches en magnésium et de vérifier l'absence de champ magnétique sur [[w:Io_(lune)|Io]] ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde euro-américaine « [[w:Cassini-Huygens|Cassini-Huygens]] » lancée le <math>\;15\;</math> octobre <math>\;1997\;</math> en direction du système planétaire de Saturne (♄) effectue, lors de son passage près de Jupiter (♃), un survol lointain de [[w:Io_(lune)|Io]] en <math>\;2000\;</math> fournissant quelques informations supplémentaires puis la sonde américaine « [[w:New_Horizons|New Horizons]] » lancée le <math>\;19\;</math> janvier <math>\;2006\;</math> en direction de la [[w:Planète_naine|planète naine]] [[w:Pluton_(planète_naine)|Pluton]] qu'elle approcha au plus près le <math>\;14\;</math> juillet <math>\;2015</math> <math>\;\big(</math>à une distance minimale de <math>\;11095\;km\;</math> de la surface de [[w:Pluton_(planète_naine)|Pluton]]<math>\big)</math>, survola le système jovien le <math>\;28\;</math> février <math>\;2007\;</math> et observa un énorme panache ainsi qu'un volcan dans les premiers stades d'une éruption sur [[w:Io_(lune)|Io]].</ref> en orbite basse dans le référentiel « iocentrique »<ref name="iocentrique"> Référentiel lié au centre de Io et en translation par rapport au référentiel jovocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 1,3\;mois\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « iocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, Io dans }\mathcal{R}_{\text{jovoc}}}}{100} \simeq 0,0177\;j \simeq 25\;min\;</math> pour que le référentiel « iocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « jovocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;25\;min\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1,3\;mois\big)</math>.</ref> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Io}\,/ \mathcal{R}_{\text{ioc}}} \simeq \sqrt{2 \times 1,79 \times 1,8215\;10^6} \simeq 2553\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Io}\,/ \mathcal{R}_{\text{ioc}}} \simeq 2,55\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 23\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une image de [[w:Io_(lune)|Io]] vue de la sonde américaine [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] prise le <math>\;3\;</math> juillet <math>\;1999</math>, <br />pendant son passage au plus près du satellite depuis <br />sa mise en orbite autour de Jupiter <math>\;\big(</math>datant du <math>\;7\;</math> décembre <math>\;1995\big)</math>, <br />la sonde étant alors à une distance de <math>\;130000\;km\;</math> de la surface de [[w:Io_(lune)|Io]] <br /><math>\;\big[</math>auparavant la sonde était passée à une distance de <math>\;898\;\;km\;</math> de la surface de [[w:Io_(lune)|Io]] mais, à cette distance,<br /> la sonde, baignant comme [[w:Io_(lune)|Io]], dans l'une des plus intenses ceintures de rayonnement de Jupiter, <br />il aurait été difficile d'obtenir des images résistantes au rayonnement<math>\big]</math>, <br />la plus grande partie de la surface de [[w:Io_(lune)|Io]] a des couleurs pastel<ref name="couleurs pastel"> C.-à-d. des couleurs qui ont une forte proportion de blanc.</ref>, <br />ponctuées de noir, brun, vert, orange ou rouge<ref> En fait une version fausse couleur de la mosaïque d'images a été créée pour améliorer le contraste des variations de couleur, cette version fausse couleur de la mosaïque se rapprochant de ce que l’œil humain verrait.</ref> près des centres volcaniques actifs <br /><math>\;\big(</math>la résolution de l'image obtenue étant de <math>\;1,3\;km\;</math> par élément d'image<math>\big)</math>.</center> * « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » satellite de Jupiter (♃), le 6^ème plus gros satellite du Système solaire <math>\;\big[</math>la Lune (☽), satellite naturel de la Terre (♁), étant le 5^ème<math>\big]</math>, de masse {{Nobr|«<math>\;m_{\text{Europe}} \simeq</math>}} <math>4,8\;10^{22}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{125} \simeq</math> <math>2,5\;10^{-5}\;m_{\text{(♃)}}\;</math>», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule {{Nobr|«<math>\;R_{\text{Europe}} \simeq 1561\;km \simeq 0,245\;R_{\text{(♁)}}</math>}} <math>\simeq 0,0223\;R_{\text{(♃)}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'intensité du champ de gravitation d'[[w:Europe_(lune)|Europe]] au niveau du sol {{Nobr|«<math>\;G_{\text{Europe},\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Europe}}}{R_{\text{Europe}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;4,8\;10^{22}}{\left( 1,561\;10^6 \right)^2} \simeq</math>}} <math>1,31\;m \cdot s^{-2} \simeq \dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{7,5}\;</math>» d'où la vitesse de libération d’une sonde d'[[w:Europe_(lune)|Europe]]<ref name="sonde d'Europe"> Historiquement on dénombre quelques sondes ayant exploré [[w:Europe_(lune)|Europe]] de plus près dans le cadre d'un survol de Jupiter (♃) ou d'une mise en orbite autour de cette dernière : <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la 1^ère fut la sonde américaine « [[w:Pioneer_10|Pioneer 10]] » laquelle, après s'être approchée le <math>\;3\;</math> décembre <math>\;1973\;</math> du satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] » <math>\;\big(</math>à une distance de <math>\;1,42\;10^6\;km\big)</math>, survola <math>\;16\;h\;</math> plus tard Jupiter (♃) <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;130000\; km\big)\;</math> puis <math>\;20\;h\;</math> plus tard le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;440000\; km\big)\;</math> et enfin <math>\;26\;h\;</math> plus tard le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;330000\; km\big)</math> <math>\;\big[</math>les images obtenues de ces trois satellites naturels manquant indéniablement de résolution<math>\big]</math>, peu de temps avant de subir l'occultation programmée de la Terre (♁) par le satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Io_(lune)|Io]] » durant près d'<math>1\;min</math>, ensuite la sonde américaine « [[w:Pioneer_11|Pioneer 11]] » après un survol de Jupiter (♃) <math>\;\big(</math>à une distance <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;34000\; km\big)\;</math> met en évidence, en décembre <math>\;1974</math>, un [[w:Albédo|albédo]] élevé de la surface du satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » <math>\;\big(</math>l'un des plus élevés de ceux de tous les satellites planétaires su Système solaire<math>\big)\;</math> associé à un sol composé essentiellement de glace d'eau dont la surface lisse est striée de craquelures et de rayures comme on en trouve dans les banquises des régions polaires de la Terre (♁) ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>six ans plus tard les sondes américaines « [[w:Voyager_1|Voyager 1]] » en s'approchant d'[[w:Europe_(lune)|Europe]] à une distance de <math>\;732300\;km\;</math> de sa surface le <math>\;5\;</math> mars <math>\;1979\;</math> puis « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] » en survolant [[w:Europe_(lune)|Europe]] à une distance de <math>\;63130\;km\;</math> le <math>\;9\;</math> juillet <math>\;1979\;</math> accumulèrent des images d'[[w:Europe_(lune)|Europe]] montrant un réseau de lignes à la surface de ce satellite naturel <math>\;\big[</math>l'interprétation des images de [[w:Voyager_1|Voyager 1]] penchait vers une origine tectonique mais celle des images de [[w:Voyager_2|Voyager 2]] exclut cette origine en faveur d'une théorie d'océan gelé recouvrant l'ensemble du satellite<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>la sonde américaine « [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] » lancée en octobre <math>\;1989\;</math> est placée en orbite autour de Jupiter (♃) le <math>\;7\;</math> décembre <math>\;1995\;</math> et a effectué neuf survols à faible distance du satellite naturel de Jupiter (♃) « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » pendant lesquels ne furent déceler qu'une dizaine de cratères de <math>\;20\;km\;</math> de diamètre permettant d'affirmer que la surface du satellite est âgée de moins de <math>\;10\;10^6\;ans\;</math> d'existence <math>\;\big[</math>en effet on observe en moyenne dans le Système solaire un impact créant un cratère de <math>\;20\;km\;</math> de diamètre chaque million d'années<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>ce qui est plus jeune que tout ce qui peut être observé dans le Système solaire à l'exception de la Terre (♁)<math>\big\}</math>, l'observation de blocs de croûtes sur la surface laisse supposer que cette dernière se comporte comme une banquise à icebergs flottant sur un océan invisible, de plus la présence d'un champ magnétique dans le satellite peut aisément être interprété comme un champ magnétique induit par la magnétosphère de Jupiter (♃) dans l'océan invisible situé au-dessous de la glace <math>\;\big\{</math>on a en effet détecté, par spectroscopie infra-rouge, des concentrations de sels <math>\;\big(</math>sulfates et carbonates<math>\big)\;</math> dans les régions les plus jeunes, permettant de supposer que cet océan invisible serait conducteur, la présence d'eau liquide dans une région aussi froide résultant de l'énergie thermique générée par les forces de marée s'exerçant sur l'océan souterrain <math>\;\big[</math>voir les paragraphes « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Notion_de_«_force_des_marées_»|notion de force des marées]] » et « [[Mécanique_des_systèmes_de_points/Problème_à_deux_corps,_réduction_canonique#Détermination_graphique_dans_le_référentiel_lié_à_M1_en_translation_par_rapport_au_référentiel_barycentrique_du_champ_des_marées_pour_quelques_positions_particulières_de_M2|détermination graphique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_des_systèmes_de_points|Mécanique des systèmes de points]] » <math>\;\big(</math>le Soleil <math>\;S\;</math> devant être remplacé par Jupiter, la Terre <math>\;T\;</math> par le satellite naturel de Jupiter étudié et la Lune <math>\;L\;</math> par le point générique de l'océan souterrain supposé<math>\big)\big]\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}<math>\;\succ\;</math>[[w:Jupiter_Icy_Moons_Explorer|JUICE]] est une mission spatiale européenne qui doit être lancée en <math>\;2022\;</math> vers <math>\;3\;</math> des satellites naturels de Jupiter (♃) <math>\;\big[</math>pour y parvenir, la sonde utilisera, à quatre reprises, l'[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la Terre (♁) et de Vénus (♀)<math>\big]\;</math> la sonde spatiale doit alors étudier en les survolant à plusieurs reprises ces trois satellites naturels de Jupiter (♃), « [[w:Callisto_(lune)|Callisto]] », « [[w:Europe_(lune)|Europe]] » et « [[w:Ganymède_(lune)|Ganymède]] » <math>\;\big(</math>avant de se placer en orbite autour de ce dernier en septembre <math>\;2032\;</math> pour une étude plus approfondie qui doit s'achever en juin <math>\;2033\big)</math>, la mission de [[w:Jupiter_Icy_Moons_Explorer|JUICE]] lors des deux survols d'[[w:Europe_(lune)|Europe]] est, entre autres, de déterminer la composition des matériaux autres que la glace et de rechercher de l'eau sous forme liquide dans les régions les plus actives.</ref> en orbite basse dans le référentiel « europocentrique »<ref name="europocentrique"> Référentiel lié au centre de Europe et en translation par rapport au référentiel jovocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 1,3\;mois\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « europocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, Europe dans }\mathcal{R}_{\text{jovoc}}}}{100} \simeq 0,0355\;j \simeq 50\;min\;</math> pour que le référentiel « europocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « jovocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;50\;min\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1,3\;mois\big)</math>.</ref> {{Nobr|«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde d'Europe}\,/ \mathcal{R}_{\text{ioc}}} \simeq</math>}} <math>\sqrt{2 \times 1,31 \times 1,561\;10^6} \simeq 2022\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde d'Europe}\,/ \mathcal{R}_{\text{ioc}}} \simeq 2,02\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 18\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une image d'[[w:Europe_(lune)|Europe]] vue de la sonde américaine [[w:Galileo_(sonde_spatiale)|Galileo]] prise le <math>\;7\;</math> septembre <math>\;1996</math>, <br />pendant la 2^ème orbite de la sonde autour de Jupiter, <br />la sonde étant alors à <math>\;677000\;km\;</math> du satellite, <br />cette image montre un satellite couvert de glace, en couleur naturelle approximative, <br />avec de longues lignes sombres correspondant à des fractures dans la croûte <br />dont certaines mesurent plus de <math>\;3000\;km\;</math> de long, <br />on y observe aussi, dans le tiers inférieur droit de l'image, une zone lumineuse contenant{{Al|20}} <br />{{Transparent|on y observe aussi, dans le tiers inférieur droit de l'image, }}une tache sombre centrale correspondant à<br />{{Al|72}}un jeune cratère d’impact d’environ <math>\;50\;km\;</math> de diamètre.</center> * « [[w:Triton_(lune)|Triton]] » satellite de Neptune (♆), le 7^ème plus gros satellite du Système solaire, de masse «<math>\;m_{\text{Triton}} \simeq 2,14\;10^{22}\;kg \simeq \dfrac{m_{\text{(♁)}}}{280} \simeq</math> <math>2,09\;10^{-4}\;m_{\text{(♆)}}\;</math>», de rayon en assimilant le satellite naturel à une boule {{Nobr|«<math>\;R_{\text{Triton}} \simeq</math>}} <math>1353,5\;km \simeq 0,212\;R_{\text{(♁)}} \simeq 0,0550\;R_{\text{(♆)}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> l'intensité du champ de gravitation de [[w:Triton_(lune)|Triton]] au niveau du sol {{Nobr|«<math>\;G_{\text{Triton},\,0} =</math>}} <math>\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{Triton}}}{R_{\text{Triton}}^{\,2}} \simeq \dfrac{6,67\;10^{-11} \times \;2,14\;10^{22}}{\left( 1,3535\;10^6 \right)^2} \simeq 0,779\;m \cdot s^{-2} \simeq</math> <math>\dfrac{G_{\text{(♁)},\,0}}{12,5}\;</math>» d'où la vitesse de libération d’une sonde de [[w:Triton_(lune)|Triton]]<ref name="sonde de Triton"> Historiquement une seule sonde a survolé Neptune (♆) et le plus gros de ses satellites naturels « [[w:Triton_(lune)|Triton]] » c'est la sonde américaine « [[w:Voyager_2|Voyager 2]] », lancée le <math>\;20\;</math> août <math>\;1977</math>, survolant Jupiter (♃) en juillet <math>\;1979</math>, Saturne (♄) en août <math>\;1981</math>, Uranus (♅) en janvier <math>\;1986\;</math> et Neptune (♆) en août <math>\;1989</math> <math>\;\big\{</math>la trajectoire à travers le système planétaire de Neptune (♆) est calculée une fois le survol d'Uranus et de ses satellites naturels terminé, il est alors prévu un passage à la distance de <math>\;4950\;km\;</math> du pôle nord de Neptune (♆) ce qui permet d'utiliser l'[[w:Assistance_gravitationnelle|assistance gravitationnelle]] de la planète pour faire plonger la sonde sous l'[[w:Écliptique|écliptique]] pour un survol rapproché du principal satellite naturel de Neptune (♆) « [[w:Triton_(lune)|Triton]] »<math>\big\}</math> ; [[w:Voyager_2|Voyager 2]] passe à <math>\;39790\;km\;</math> de la surface de [[w:Triton_(lune)|Triton]] ce qui permet de recueillir des données très précises sur ce satellite : une détermination précise de sa taille, l'observation d'un faible nombre de cratères expliquée par l'existence d'un volcanisme dont les manifestations sont découvertes au pôle sous forme de traces laissées par des geysers, l'existence d'une atmosphère ténue <math>\;\big(</math>pression de <math>\;10\;</math> à <math>\;14\;\mu bar\big)\;</math> résultant sans doute de l'activité volcanique, une très faible température de surface <math>\;-235\;\text{°C}</math> <math>\;\big(</math>la plus basse détectée sur un corps céleste du Système solaire<math>\big)</math>.</ref> en orbite basse dans le référentiel « tritonocentrique »<ref name="tritonocentrique"> Référentiel lié au centre de Triton et en translation par rapport au référentiel neptunocentrique <math>\;\big[</math>lequel est supposé quasi-galiléen, voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-planétocentrique-7|⁷]] » plus haut dans ce chapitre, si la durée d'observation est <math>\;\lesssim 1,6\;an\big]</math> ;<br>{{Al|3}}la durée d'observation dans le référentiel « tritonocentrique » étant supposée <math>\;\lesssim \dfrac{T_{\text{révol, Triton dans }\mathcal{R}_{\text{neptunoc}}}}{100} \simeq 0,0588\;j \simeq 1,4\;h\;</math> pour que le référentiel « tritonocentrique » soit quasi-galiléen dans la mesure où le référentiel « neptunocentrique » l'est <math>\;\big(</math>ce qui est nécessairement vérifié puisque <math>\;1,4\;h\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;1,6\;an\big)</math> ;<br>{{Al|3}}[[w:Triton_(lune)|Triton]] est le seul satellite planétaire de taille notable du Système solaire à tourner autour de sa planète dans le sens rétrograde <math>\;\big(</math>en <math>\;5,88\;j\big)</math>, une conséquence de ceci est que le satellite se rapproche {{Nobr|<math>\;\big[</math>excessivement}} lentement <math>\;\big(</math>de l'ordre du <math>\;m \cdot \text{siècle}^{-1}\big)\big]\;</math> de la planète autour de laquelle il orbite.</ref> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Triton}\,/ \mathcal{R}_{\text{tritonoc}}} \simeq \sqrt{2 \times 0,779 \times 1,3535\;10^6} \simeq</math> <math>1452\;m \cdot s^{-1}\;</math>» soit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde de Triton}\,/ \mathcal{R}_{\text{tritonoc}}} \simeq 1,45\;km \cdot s^{-1}\;</math>» soit <math>\;\simeq 13\;\%\;</math> de <math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde terr.}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}</math>, <br />voir ci-contre une image de [[w:Triton_(lune)|Triton]], satellite de Neptune<ref name="découverte de Triton"> [[w:Triton_(lune)|Triton]] a été découvert le <math>\;10\;</math> octobre <math>\;1846\;</math> par l'astronome britannique '''[[w:William_Lassell|William Lassel]]''', <math>\;17\;</math> jours après la découverte de Neptune par l'astronome allemand '''[[w:Johann_Gottfried_Galle|Johann Gottfried Galle]]''', la position de cette dernière ayant été calculée à <math>\;1\;\%\;</math> près par l'astronome et mathématicien français '''[[w:Urbain_Le_Verrier|Urbain Le Verrier]]''' quelques mois plus tôt ; <br>{{Al|3}} '''[[w:William_Lassell|William Lassel]] (1799 - 1880)''' astronome britannique à qui on doit principalement la découverte de [[w:Triton_(lune)|Triton]], satellite de Neptune. <br>{{Al|3}}'''[[w:Johann_Gottfried_Galle|Johann Gottfried Galle]] (1812 – 1910)''' astronome allemand à qui on doit essentiellement l'observation de la planète Neptune (♆). <br>{{Al|3}}'''[[w:Urbain_Le_Verrier|Urbain Le Verrier]] (1811 – 1877)''' astronome et mathématicien français spécialisé en [[w:Mécanique_céleste|mécanique céleste]], un des [[w:Découverte_de_Neptune|découvreurs de la planète Neptune]], considéré comme le fondateur de la [[w:Météorologie|météorologie]] moderne française.</ref>, vue de la sonde américaine [[w:Voyager_2|Voyager 2]] prise le <math>\;25\;</math> août <math>\;1989</math>, <br />pendant le survol de Neptune <math>\;\big(</math>la sonde passant à <math>\;4950\;km\;</math> du pôle nord de la planète à partir duquel elle plonge sous l'[[w:Écliptique|écliptique]] et<br />se rapproche de [[w:Triton_(lune)|Triton]] à une distance de <math>\;39790\;km\;</math> de sa surface<math>\big)</math>, <br />sur cette image on observe très peu de cratères, ce qui s'explique par un volcanisme notable <br /><math>\;\big(</math>caractérisé, sur d'autres images, par des traces laissées par des geysers au pôle du satellite<math>\big)</math>, <br />ce volcanisme sur [[w:Triton_(lune)|Triton]] est vraisemblablement la raison de l'existence d'une atmosphère très ténue <br /><math>\;\bigg[</math>pression de <math>\;10\;</math> à <math>\;14\;\mu bar\;</math> soit <math>\;10^{-5}\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{70000}\;</math> de celle sur Terre <br />en considérant chacune des atmosphères à leur température propre mais <br />la température de la surface de [[w:Triton_(lune)|Triton]] étant <math>\;-235\;\text{°C}\;</math> et estimant celle de la surface terrestre à <math>\;15\;\text{°C}\;</math> en moyenne, <br />la pression de l'atmosphère de [[w:Triton_(lune)|Triton]] considérée à la même température que celle de la surface terrestre représente de <math>\;10^{-4}\;</math> à <math>\;\dfrac{1}{7000}\;</math> de la pression au niveau de la surface terrestre<math>\bigg]</math>.</center> == En complément, vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre == {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : La notion de vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse dans un référentiel terrestre n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. mais elle permet de comprendre pourquoi les satellites artificiels <math>\;\big(</math>ou sondes<math>\big)\;</math> sont préférentiellement lancé(e)s au niveau de l’équateur et vers l’Est <math>\;\big(</math>à condition toutefois que cela soit possible<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Développement</u> : Un référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> étant en mouvement de rotation autour de l'axe orienté «<math>\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math>» relativement au référentiel géocentrique <math>\;\mathcal{R}_{\text{géoc}}\;</math> avec une vitesse angulaire algébrique «<math>\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{T_{\text{rot. de }\mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{86164} \simeq 7,29\;10^{-5}\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="jour sidéral"> La période de rotation de la Terre (♁) dans le référentiel géocentrique «<math>\;T_{\text{rot. de }\mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» définissant le [[w:Jour_sidéral|jour sidéral]] égal à <math>\;23\;h\;56\;min\;4\;s = 86164\;s</math>.</ref>, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}on peut appliquer la « loi de composition newtonienne des vitesses d'un point en mouvement dans un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu<ref name="loi de composition des vitesses dans le cas d'un entraînement de rotation"> Bien que cette loi soit d'utilisation de la vie courante, on trouvera son énoncé et sa démonstration dans les paragraphes « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Énoncé_de_la_loi_de_composition_newtonienne_des_vitesses_lors_d'un_entraînement_de_rotation_autour_d'un_axe_fixe|énoncé de la loi de composition des vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe]] », « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Démonstration|démonstration]] (“ en apparence ” non intrinsèque) » et « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Démonstration_«_purement_»_non_intrinsèque|démonstration “ purement ” non intrinsèque]] » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref> » à un satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou à une sonde<math>\big)\;</math> en mouvement relatif par rapport au référentiel terrestre soit «<math>\;\vec{V}_{a,\,M}(t) = \vec{V}_{r,\,M}(t) + \vec{V}_{e,\,M}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;M\;</math> est le satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou à la sonde<math>\big)</math>, le référentiel absolu est le référentiel géocentrique <math>\;\mathcal{R}_{\text{géoc}}\;</math> et le référentiel d'entraînement « le référentiel terrestre » considéré <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, le mouvement d'entraînement de <math>\;M\;</math> étant le mouvement du « coïncident du satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou de la sonde<math>\big)</math> à l'instant considéré »<ref name="point coïncident"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Terminologie|terminologie]] (point coïncident de M à l'instant t dans le référentiel d'entraînement) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref> dans le référentiel géocentrique soit «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) = \vec{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \wedge \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans laquelle <math>\;O\;</math> est un point fixe de l'axe de rotation de la Terre (♁) dans le référentiel géocentrique c'est-à-dire <math>\;O\;\in\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math> par exemple le centre de la Terre<math>\big]\;</math> d'où la réécriture de la loi selon <center>«<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \wedge \overrightarrow{OM}(t),\;\;(\mathfrak{a})\;</math>» <br /> avec <math>\;M\;</math> le satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou à la sonde<math>\big)</math> et <math>\;O\;</math> le centre de la Terre ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}considérant un satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou une sonde<math>\big)\;</math> terrestre en orbite basse<ref name="sonde en orbite basse"> Considérer une sonde terrestre en orbite basse est évidemment un abus car, en principe, une sonde terrestre n'orbite pas autour de la Terre (♁), la signification de cet abus étant « la distance <math>\;r_0\;</math> séparant la sonde du centre de la Terre est telle que <math>\;r_{0}\simeq R_{\text{(♁)}}\;</math> avec <math>\;R_{\text{(♁)}}\;</math> le rayon de la Terre (♁) assimilée à une boule ».</ref> et utilisant son repérage cylindro-polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de la Terre<math>\big)\;</math> et d'axe <math>\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> son vecteur position à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant selon «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = R_{\text{(♁)}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_r + R_{\text{(♁)}}\;\sin\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\Delta\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta = \vec{u}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}} \right\rbrace\;</math> la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> et <math>\;\lambda(t)\;</math> la latitude de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, on en déduit l'explicitation du vecteur vitesse d'entraînement de <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>le satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou la sonde<math>\big)\big]\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) =</math> <math>\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\vec{u}_\Delta \wedge \left\lbrace R_{\text{(♁)}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_r + R_{\text{(♁)}}\;\sin\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace = R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\theta\;</math>» dont la direction est l'horizontale du lieu dirigée vers l'Est <math>\;\big(</math>ou encore tangente au [[w:Parallèle_(géographie)|parallèle]] du lieu et de sens dirigé vers l'Est<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}de <math>\;(\mathfrak{a})\;</math> on tire «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) - \vec{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \wedge \overrightarrow{OM}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\theta\;</math>» et sachant que, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}d'une part <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;</math> pour un mouvement circulaire <math>\;\big(</math>ou de libération de l'attraction terrestre<math>\big)\;</math> en orbite basse<ref name="sonde en orbite basse" /> est de valeur fixée et que, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}d'autre part, on souhaite obtenir <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert\;</math> pour le même mouvement circulaire <math>\;\big(</math>ou de libération de l'attraction terrestre<math>\big)\;</math> la plus faible possible<ref name="faible quantité d'ergols"> De façon à réduire la quantité d'ergols à utiliser.</ref>, on en déduit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}la nécessité que les deux vecteurs vitesse «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t)\;</math> et <math>\;R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\theta\;</math>» soient colinéaires et de même sens c'est-à-dire que «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t)\;</math> ait une direction horizontale du lieu considéré dirigée vers l'Est », ce qui, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}compte-tenu du fait que la trajectoire suivie par la sonde <math>\;\big(</math>ou par le satellite artificiel <math>\big)\;</math> dans le référentiel géocentrique est une conique dont <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de la Terre<math>\big)\;</math> est le <math>\;\big(</math>ou un des<math>\big)\;</math> foyer(s), implique que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}le mouvement géocentrique du satellite artificiel <math>\;\big(</math>ou de la sonde<math>\big)\;</math> doit se faire dans le plan équatorial de la Terre (♁) <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\lambda(t) = 0,\;\;\forall\;t</math>, en étant dirigé vers l'Est ; {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}finalement <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert\;</math> pour un mouvement circulaire <math>\;\big(</math>ou de libération de l'attraction terrestre<math>\big)\;</math> en orbite basse<ref name="sonde en orbite basse" /> la plus faible possible<ref name="faible quantité d'ergols" /> correspond à «<math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert\;\vec{u}_{\theta,\,M} =</math> <math>\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;\vec{u}_{\theta,\,M} - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math>» en notant <math>\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est en la position de <math>\;M\;</math> dans le plan équatorial, soit encore <center>«<math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert = \Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}en conclusion, la vitesse de libération d’une sonde terrestre en orbite basse<ref name="sonde en orbite basse" /> évaluée dans un référentiel terrestre «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}\;</math>» s'écrit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} = v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» soit encore <br /> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} \simeq \sqrt{2\;G_{\text{(♁)},\,0}\;R_{\text{(♁)}}} - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>»<ref name="vitesse de libération géocentrique d'une sonde terrestre en orbite basse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Ordre_de_grandeur_de_la_«_vitesse_de_libération_d'une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_»_dans_le_référentiel_géocentrique,_2ème_vitesse_cosmique_d'une_sonde_terrestre|ordre de grandeur de la vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 2^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}soit numériquement «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} \simeq 11,2 - 6380 \times 7,29\;10^{-5} \;</math> en <math>\;km \cdot s^{-1}\;</math>» ou «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} \simeq 10,75\;km \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\;\big(</math>à condition que le lancement se fasse dans le plan équatorial vers l'Est<math>\;\big)</math>. == En complément, vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic == {{Al|5}}<u>Remarques préliminaires</u> : La notion de vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse <math>\;\big[</math>c'est-à-dire telle que sa distance au centre du Soleil (☉) <math>\;r_0\;</math> est approximativement égale au rayon de l'orbite de la Terre (♁) <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}\big]\;</math> dans le référentiel de Copernic n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. car très peu utilisée <math>\;\big[</math>en effet les sondes spatiales font en général le tour des [[w:Planète_géante|planètes géantes]] du Système solaire avant de quitter ce dernier et ce n’est qu’à l'endroit associé à ce moment qu’il est intéressant de définir la vitesse de libération de l’attraction du Soleil dans le référentiel de Copernic et non à partir de l'orbite terrestre<math>\big]</math> ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarques préliminaires : }}toutefois, dans le futur lointain <math>\;\big(</math>quand nos connaissances sur les [[w:Planète_géante|planètes géantes]] seront jugées suffisantes<math>\big)</math>, rien n'empêchera d'envisager le lancement d'une sonde terrestre vers l'extérieur du Système solaire à partir de l'orbite terrestre d'où l'exposé de cette notion. {{Al|5}}{{Transparent|Remarques préliminaires : }}Nous admettrons que le lien entre la vitesse circulaire d'un satellite terrestre en orbite basse autour de la Terre (♁) et la vitesse de libération d'une sonde terrestre en orbite basse<ref name="sonde en orbite basse" /> de l'attraction de la Terre (♁), toutes deux définies dans le référentiel géocentrique<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#Lien_entre_les_deux_1ères_vitesses_cosmiques_d'une_sonde_terrestre|lien entre les deux 1^ères vitesses cosmiques d'une sonde terrestre]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, est encore applicable si nous remplaçons la source attractive « Terre (♁) » par le « Soleil (☉) » ainsi que le référentiel d'étude « référentiel géocentrique » par le « référentiel de Copernic », la sonde restant terrestre. {{Al|5}}<u>Développement</u> : Nous pouvons donc écrire, dans le référentiel de Copernic, «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} = v_{\text{orb. circul. basse autour du (☉)},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}\;\sqrt{2}\;</math>» ou, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}avec «<math>\;v_{\text{orb. circul. basse autour du (☉)},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}\;</math>» la vitesse d'un corps spatial en mouvement circulaire autour du Soleil (☉) de rayon égal à celui de l'orbite terrestre dans le référentiel de Copernic soit encore, le mouvement de la Terre (♁) dans ce dernier étant quasiment circulaire, la vitesse de révolution de la Terre (♁) autour du Soleil (☉) dans le référentiel de Copernic d'où <center>«<math>\;v_{\text{orb. circul. basse autour du (☉)},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} = v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;</math><ref name="vitesse orbitale de la Terre"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Cas_particulier_du_mouvement_circulaire,_satellites,_planètes#Mouvement_circulaire_d'une_planète_du_Système_solaire|mouvement circulaire d'une planète du Système solaire]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » et en particulier le sous paragraphe « dans le cas de la Terre (♁) ».</ref> »,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}soit numériquement, avec «<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;</math> la constante de gravitation universelle », «<math>\;m_{\text{☉}} \simeq 2,0\;10^{30}\;kg\;</math> la masse du Soleil (☉) » et «<math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}} = 1\;ua\;</math><ref name="ua"> C.-à-d. <math>\;1\;</math> unité astronomique <math>\;\big(</math>unité adaptée pour exprimer les distances du Système solaire choisie égale à la distance moyenne séparant les centres du Soleil et de la Terre<math>\big)\;</math> soit «<math>\;1\;ua \simeq 149,6\;10^6\;km \simeq 150\;10^6\;km\;</math>».</ref> le rayon de l'orbite terrestre c'est-à-dire <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}} \simeq 149,6\;10^9\;m\;</math>», «<math>\;v_{\text{orb. circul. basse autour du (☉)},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} \simeq \sqrt{\dfrac{6,67\; 10^{-11} \times 2,0\; 10^{30}}{149,6\; 10^9}} \simeq 29,86\; 10^3\; m \cdot s^{-1}\;</math>» ou <center>approximativement «<math>\;v_{\text{orb. circul. basse autour du (☉)},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} \simeq 30\; km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel de Copernic ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}nous en déduisons la vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic"> Considérer une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic est évidemment un abus car, en principe, une sonde terrestre n'orbite pas autour du Soleil (☉), la signification de cet abus étant « la distance <math>\;r_0\;</math> séparant la sonde du centre du Soleil est telle que <math>\;r_{0} \simeq r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}\;</math> avec <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}\;</math> le rayon de l'orbite circulaire décrite par la Terre (♁) autour du Soleil (☉) ».</ref> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} =</math> <math>v_{\text{orb. circul. basse autour du (☉)},\,\text{Satellite}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}\;\sqrt{2}\;</math>» ce qui donne <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} = \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}soit numériquement «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} \simeq 29,86\; km \cdot s^{-1} \times \sqrt{2} \simeq 42,23\;km \cdot s^{-1}\;</math>» ou <center>approximativement «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} \simeq 42,2\; km \cdot s^{-1}\;</math>» dans le référentiel de Copernic.</center> == En complément, vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 3^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre == {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : La notion de vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse <math>\;\big[</math>c'est-à-dire telle que sa distance au centre du Soleil (☉) <math>\;r_0\;</math> est approximativement égale au rayon de l'orbite de la Terre (♁) <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}\big]\;</math> dans le référentiel de Copernic n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. car très peu utilisée<ref name="notion de vitesse de libération de l'attraction du Soleil d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#En_complément,_vitesse_de_libération_de_l’attraction_du_Soleil_d’une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_dans_le_référentiel_de_Copernic|en complément, vitesse de libération de l'attraction du Soleil d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic]] (remarques préliminaires) » plus haut dans ce chapitre.</ref>, celle définie dans le référentiel géocentrique ne l'est évidemment pas plus, cette dernière s'obtenant simplement par changement de référentiel ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}toutefois, son introduction et évaluation dans le référentiel géocentrique permet de comprendre pourquoi, dans le futur lointain <math>\;\big[</math>quand nos connaissances sur les [[w:Planète_géante|planètes géantes]] seront jugées suffisantes pour envisager de quitter l'attraction solaire à partir de la Terre (♁)<math>\big]</math>, les sondes devront préférentiellement être lancées dans le plan de la trajectoire copernicienne de la Terre et dans le sens du mouvement de cette dernière <math>\;\big(</math>à condition toutefois que cela soit possible<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Développement</u> : Le référentiel géocentrique <math>\;\mathcal{R}_{\text{géoc}}\;</math> étant en mouvement de translation relativement au référentiel de Copernic <math>\;\mathcal{R}_{\text{Cop}}\;</math> de vecteur vitesse de translation à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{géoc}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) =</math> <math>\vec{V}_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;</math> de norme <math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;</math>»<ref name="vitesse orbitale de la Terre" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}on peut appliquer la « loi de composition newtonienne des vitesses d'un point en mouvement dans un référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu<ref name="loi de composition des vitesses dans le cas d'un entraînement de translation"> Bien que cette loi soit d'utilisation de la vie courante, on trouvera son énoncé et sa démonstration dans le paragraphe « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen/Changement_de_référentiel_en_cinématique_newtonienne_du_point#Lien_entre_vecteurs_vitesse_absolue_et_relative_(ou_loi_de_composition_newtonienne_des_vitesses)|lien entre vecteurs vitesse absolue et relative (ou loi de composition newtonienne des vitesses)]] dans le cas d'un référentiel d'entraînement en translation par rapport au référentiel absolu » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Mécanique_du_point_en_référentiel_non_galiléen|Mécanique du point en référentiel non galiléen]] ».</ref> » à une sonde en mouvement relatif par rapport au référentiel géocentrique soit «<math>\;\vec{V}_{a,\,M}(t) = \vec{V}_{r,\,M}(t) + \vec{V}_{e,\,M}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;M\;</math> est la sonde terrestre, le référentiel absolu est le référentiel de Copernic <math>\;\mathcal{R}_{\text{Cop}}\;</math> et le référentiel d'entraînement « le référentiel géocentrique » <math>\;\mathcal{R}_{\text{géoc}}</math>, le mouvement d'entraînement de <math>\;M\;</math> étant le mouvement du « coïncident de la sonde à l'instant considéré »<ref name="point coïncident" /> dans le référentiel de Copernic soit «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) = \vec{V}_{\mathcal{R}_{\text{géoc}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) = \vec{V}_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;</math>» d'où la réécriture de la loi selon <center>«<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) + \vec{V}_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t),\;\;(\mathfrak{b})\;</math>» avec <math>\;M\;</math> la sonde terrestre envisagée ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}considérant une sonde terrestre en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> et utilisant son repérage cylindro-polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de la Terre<math>\big)\;</math> et d'axe <math>\;\perp\;</math> au plan de l'orbite copernicienne de la {{Nobr|Terre (♁)<ref name="repérage cylindro-polaire" />,}} on en déduit l'explicitation du vecteur vitesse d'entraînement de <math>\;M</math> <math>\;\big[</math>la sonde terrestre<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) = v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math>» dont la direction est tangente à l'orbite de la Terre au lieu considéré, dirigée vers l'Est ; {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}de <math>\;(\mathfrak{b})\;</math> on tire «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) - v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;\vec{u}_\theta = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) - \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» et sachant que, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}d'une part <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) \Vert\;</math> pour un mouvement de libération de l'attraction solaire en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> est de valeur fixée et que, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}d'autre part, on souhaite obtenir <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;</math> pour le même mouvement de libération de l'attraction solaire la plus faible possible<ref name="faible quantité d'ergols" />, on en déduit <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}la nécessité que les deux vecteurs vitesse «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;</math> et <math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;\vec{u}_\theta\;</math>» soient colinéaires et de même sens c'est-à-dire que «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;</math> ait une direction tangente à l'orbite de la Terre au lieu considéré dirigée vers l'Est », ce qui implique que <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}le mouvement copernicien de la sonde terrestre doit démarrer tangentiellement au mouvement copernicien de la Terre (♁) sur son orbite dans le même sens ; {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}finalement <math>\;\Vert \vec{V}_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;</math> pour un mouvement de libération de l'attraction solaire en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> la plus faible possible<ref name="faible quantité d'ergols" /> correspond à {{Nobr|«<math>\;\Vert \vec{V}_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;\vec{u}_{\theta,\,M}</math>}} <math>= \Vert \vec{V}_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) \Vert\;\vec{u}_{\theta,\,M} - v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math>» en notant <math>\;\vec{u}_{\theta,\,M}\;</math> le vecteur unitaire tangent à l'orbite de la Terre (♁) dirigé vers l'Est en la position de <math>\;M</math>, soit encore <center>«<math>\;\Vert \vec{V}_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert = \Vert \vec{V}_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,M\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t) \Vert - v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}(t)\;</math>» ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}en conclusion, la vitesse de libération de l'attraction solaire d’une sonde terrestre en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> évaluée dans le référentiel géocentrique «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» s'écrit <center>«<math>\,v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} = v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} - v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}}\,</math>» soit encore <br /> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{\dfrac{2\;\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}} - \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;</math>»<ref name="vitesse de libération copernicienne de l'attraction solaire d'une sonde terrestre en orbite basse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#En_complément,_vitesse_de_libération_de_l’attraction_du_Soleil_d’une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_dans_le_référentiel_de_Copernic|en complément, vitesse de libération de l'attraction du Soleil d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel de Copernic]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou <br /> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \sqrt{\dfrac{\left( \sqrt{2} - 1 \right) \mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}soit numériquement, sachant que la vitesse de la Terre (♁) dans le référentiel de Copernic «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} = \sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}}\;</math>» a été évaluée à «<math>\;v_{\text{orbite},\,\text{(♁)}\,/ \mathcal{R}_{\text{Cop}}} \simeq 29,86\;km \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="vitesse orbitale de la Terre" />, «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq 29,86 \times \left( \sqrt{2} - 1 \right)\;</math> en <math>\;km \cdot s^{-1}\;</math>» ou <center><math>\;\big(</math>à condition que le lancement se fasse tangentiellement à l'orbite copernicienne de la Terre dans le sens du mouvement de celle-ci sur son orbite<math>\;\big)</math> <br /> «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq 12,37\;km \cdot s^{-1} \simeq 12,4\;km \cdot s^{-1}\;</math>» <br /> définissant la 3^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre <math>\;\big(</math>dans le référentiel géocentrique<ref name="géocentrique quasi-galiléen" /><math>\big)</math>.</center> == En complément, vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel terrestre == {{Al|5}}<u>Remarque préliminaire</u> : La notion de vitesse de libération de l’attraction du Soleil d’une sonde terrestre en orbite basse <math>\;\big[</math>c'est-à-dire telle que sa distance au centre du Soleil (☉) <math>\;r_0\;</math> est approximativement égale au rayon de l'orbite de la Terre (♁) <math>\;r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}\big]\;</math> dans le référentiel géocentrique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. car très peu utilisée<ref name="notion de vitesse de libération de l'attraction du Soleil d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#En_complément,_vitesse_de_libération_de_l’attraction_du_Soleil_d’une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_dans_le_référentiel_géocentrique,_3ème_vitesse_cosmique_d'une_sonde_terrestre|en complément, vitesse de libération de l'attraction du Soleil d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique …]] (remarque préliminaire) » plus haut dans ce chapitre et en particulier le paragraphe cité dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#cite_note-notion_de_vitesse_de_libération_de_l'attraction_du_Soleil_d'une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_dans_le_référentiel_de_Copernic-88|⁸⁸]] ».</ref>, celle définie dans un référentiel terrestre ne l'est évidemment pas plus, cette dernière s'obtenant simplement par changement de référentiel ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Remarque préliminaire : }}toutefois, son introduction et évaluation dans un référentiel terrestre permet de comprendre comment, dans le futur lointain <math>\;\big[</math>quand nos connaissances sur les [[w:Planète_géante|planètes géantes]] seront jugées suffisantes pour envisager de quitter l'attraction solaire à partir de la Terre (♁)<math>\big]</math>, les sondes devront préférentiellement être lancées <math>\;\big(</math>à condition toutefois que cela soit possible<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Développement</u> : Un référentiel terrestre <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}\;</math> étant en mouvement de rotation autour de l'axe orienté «<math>\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math>» relativement au référentiel géocentrique <math>\;\mathcal{R}_{\text{géoc}}\;</math> avec une vitesse angulaire algébrique «<math>\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{T_{\text{rot. de }\mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}} \simeq \dfrac{2\;\pi}{86164} \simeq 7,29\;10^{-5}\;rad \cdot s^{-1}\;</math>»<ref name="jour sidéral" />, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}on peut appliquer la « loi de composition newtonienne des vitesses d'un point en mouvement dans un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu<ref name="loi de composition des vitesses dans le cas d'un entraînement de rotation" /> » à une sonde en mouvement relatif par rapport au référentiel terrestre soit «<math>\;\vec{V}_{a,\,M}(t) = \vec{V}_{r,\,M}(t) + \vec{V}_{e,\,M}(t)\;</math>» dans laquelle <math>\;M\;</math> est la sonde, le référentiel absolu est le référentiel géocentrique <math>\;\mathcal{R}_{\text{géoc}}\;</math> et le référentiel d'entraînement « le référentiel terrestre » considéré <math>\;\mathcal{R}_{\text{terr}}</math>, le mouvement d'entraînement de <math>\;M\;</math> étant le mouvement du « coïncident de la sonde à l'instant considéré »<ref name="point coïncident" /> dans le référentiel géocentrique soit «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t) = \vec{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \wedge \overrightarrow{OM}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>dans laquelle <math>\;O\;</math> est un point fixe de <math>\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math> dans le référentiel géocentrique par exemple le centre de la Terre<math>\big]\;</math> d'où la réécriture de la loi selon <center>«<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) + \vec{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \wedge \overrightarrow{OM}(t),\;\;(\mathfrak{c})\;</math>» <br /> avec <math>\;M\;</math> la sonde étudiée et <math>\;O\;</math> le centre de la Terre ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}considérant une sonde terrestre en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> et utilisant son repérage cylindro-polaire de pôle <math>\;O</math> <math>\;\big(</math>le centre de la Terre<math>\big)\;</math> et d'axe <math>\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math><ref name="repérage cylindro-polaire" /> son vecteur position à l'instant <math>\;t\;</math> s'écrivant selon «<math>\;\overrightarrow{OM}(t) = R_{\text{(♁)}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_r + R_{\text{(♁)}}\;\sin\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\Delta\;</math>» avec <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta = \vec{u}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}} \right\rbrace\;</math> la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> et <math>\;\lambda(t)\;</math> la latitude de <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, on retrouve l'explicitation du vecteur vitesse d'entraînement de <math>\;M</math> <math>\;\big(</math>la sonde étudiée<math>\big)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans la base cylindro-polaire liée à <math>\;M\;</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#En_complément,_vitesse_de_libération_d’une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_évaluée_dans_un_référentiel_terrestre|en complément, vitesse de libération (de l'attraction terrestre) d'une sonde terrestre en orbite basse évaluée dans un référentiel terrestre]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big]\;</math> «<math>\;\vec{V}_{e,\,M}(t)\;\overset{\cdots}{\;=\;}\; R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\theta\;</math>» dont la direction est l'horizontale du lieu dirigée vers l'Est <math>\;\big(</math>ou encore tangente au [[w:Parallèle_(géographie)|parallèle]] du lieu et de sens dirigé vers l'Est<math>\big)</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}de <math>\;(\mathfrak{c})\;</math> on tire «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) - \vec{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}} \wedge \overrightarrow{OM}(t) = \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\theta\;</math>» et sachant que, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}d'une part <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;</math> pour un mouvement de libération de l'attraction solaire en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> est de valeur fixée à condition que le lancement se fasse tangentiellement à l'orbite copernicienne de la Terre dans le sens du mouvement de celle-ci sur son orbite et que, <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}d'autre part, on souhaite obtenir <math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert\;</math> pour le même mouvement de libération de l'attraction solaire la plus faible possible<ref name="faible quantité d'ergols" />, on en déduit [[File:Obliquite plan ecliptique.png|thumb|440px|Description de l'[[w:Inclinaison_de_l'axe|inclinaison de l'axe]] de rotation la Terre <math>\;\big(</math>obliquité<math>\big)\;</math> ainsi que son plan équatorial par rapport au plan de l'[[w:Écliptique|écliptique]]]] {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}la nécessité que les deux vecteurs vitesse «<math>\;\vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t)</math> <math>\;\big[\perp\;</math> au plan de la figure ci-contre et s'y enfonçant<math>\big]\;</math> et <math>\;R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos\! \left[ \lambda(t) \right]\;\vec{u}_\theta</math> <math>\;\big[\perp\;</math> à l'axe <math>\;\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\;</math> en un point du parallèle de latitude <math>\;\lambda\big]\;</math>» soient colinéaires et de même sens c'est-à-dire que « le point de lancement de la sonde de latitude <math>\;\lambda\;</math> doit être à l'opposé du Soleil<ref> À droite de la Terre sur la figure ci-contre <math>\Rightarrow</math> lancement de la sonde la nuit à minuit heure locale <math>\;\ldots</math></ref> » ; <br />{{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}le lancement de la sonde devant se faire horizontalement vers l'Est en une position opposée au Soleil du parallèle de latitude <math>\;\lambda\;</math> de la Terre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert = \Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos(\lambda)\;</math>» ou, {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}dans le but de minimaliser «<math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert\;</math>» l'obligation de choisir <math>\;\lambda = 0\;</math> de façon à maximaliser le terme à retrancher de «<math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert\;</math>» à savoir «<math>\;R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;\cos(\lambda)\;</math>» c'est-à-dire de prévoir un lancement en une position opposée au Soleil de l'équateur terrestre <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}(t) \Vert = \Vert \vec{V}_{M\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}}(t) \Vert - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}en conclusion, la vitesse de libération de l'attraction solaire d’une sonde terrestre en orbite basse<ref name="orbite basse d'une sonde terrestre dans le référentiel de Copernic" /> évaluée dans un référentiel terrestre «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}}\;</math>» s'écrit <center>«<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} = v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{géoc}}} - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>» <br /> ou «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} \simeq \sqrt{\dfrac{\left( \sqrt{2} - 1 \right) \mathcal{G}\;m_{\text{☉}}}{r_{\text{orbite},\,\text{(♁)}}}} - R_{\text{(♁)}}\;\overline{\Omega}_{\Delta_{\text{pôle Sud}\,\rightarrow\,\text{pôle Nord}}\, \mathcal{R}_{\text{terr}}\,/\,\mathcal{R}_{\text{géoc}}}\;</math>»<ref name="vitesse de libération géocentrique de l'attraction solaire d'une sonde terrestre en orbite basse"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Mouvement_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_central_conservatif_:_Vitesses_cosmiques#En_complément,_vitesse_de_libération_de_l’attraction_du_Soleil_d’une_sonde_terrestre_en_orbite_basse_dans_le_référentiel_géocentrique,_3ème_vitesse_cosmique_d'une_sonde_terrestre|en complément, vitesse de libération de l'attraction du Soleil d'une sonde terrestre en orbite basse dans le référentiel géocentrique, 3^ème vitesse cosmique d'une sonde terrestre]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Développement : }}soit numériquement «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} \simeq \left( 12,37 - 6380 \times 7,29\;10^{-5} \right)\;km \cdot s^{-1}\;</math>» ou «<math>\;v_{\text{lib. orbite basse de l'attract. du (☉)},\,\text{Sonde}\,/ \mathcal{R}_{\text{terr}}} \simeq 11,90\;km \cdot s^{-1}\;</math>» <math>\;\big(</math>à condition que le lancement se fasse dans le plan équatorial vers l'Est en une position opposée au Soleil<math>\;\big)</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne|Mouv. d'un pt dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du pt mat. soumis à une force newtonienne]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} 0y4n1ja7pnrr8u79kus687qk4c9aawk 4 80727 987241 986955 2026-10-10T22:05:12Z Alexis Jazz 61000 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 987241 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Les données suivantes sont en cache et ont été mises à jour pour la dernière fois le 2026-10-10T06:35:11Z. {{PLURAL:5000|1=Un seul résultat|5000 résultats}} au maximum {{PLURAL:5000|est disponible|sont disponibles}} dans le cache. {| class="sortable wikitable" ! Gadget !! data-sort-type="number" | Nombre d’utilisateurs !! data-sort-type="number" | Utilisateurs actifs |- |Accessibility || 27 || 1 |- |AdvancedContribs || 44 || 1 |- |AncreTitres || 32 || 3 |- |Barre de luxe || 46 || 2 |- |CoinsArrondis || 96 || 1 |- |DeluxeHistory || 121 || 4 |- |EditZeroth || 4 || 2 |- |FastRevert || 35 || 3 |- |FlecheHaut || 56 || 1 |- |HotCats || 94 || 3 |- |JavascriptHeadings || 18 || 1 |- |LeftPaneSwitch || 7 || 1 |- |LiveRC || 30 || 0 |- |OngletGoogle || 30 || 1 |- |OngletPurge || 100 || 6 |- |OptimizedSuivi || 16 || 0 |- |Popups || 39 || 1 |- |RenommageCategorie || 28 || 2 |- |ResizeGalleries || 81 || 1 |- |RestaurationDeluxe || 47 || 1 |- |ResumeDeluxe || 112 || 2 |- |RevertDiff || 32 || 2 |- |SisterProjects || 31 || 2 |- |Smart patrol || 5 || 2 |- |ZoomOnThumb || 31 || 1 |- |monBrouillon || 43 || 3 |- |recentchangesbox || 9 || 0 |- |searchFocus || 17 || 0 |- |searchbox || 31 || 3 |- |social-networks || 13 || 1 |} * [[Spécial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: Accessibility,27,1 AdvancedContribs,44,1 AncreTitres,32,3 Barre de luxe,46,2 CoinsArrondis,96,1 DeluxeHistory,121,4 EditZeroth,4,2 FastRevert,35,3 FlecheHaut,56,1 HotCats,94,3 JavascriptHeadings,18,1 LeftPaneSwitch,7,1 LiveRC,30,0 OngletGoogle,30,1 OngletPurge,100,6 OptimizedSuivi,16,0 Popups,39,1 RenommageCategorie,28,2 ResizeGalleries,81,1 RestaurationDeluxe,47,1 ResumeDeluxe,112,2 RevertDiff,32,2 SisterProjects,31,2 Smart patrol,5,2 ZoomOnThumb,31,1 monBrouillon,43,3 recentchangesbox,9,0 searchFocus,17,0 searchbox,31,3 social-networks,13,1 --> eofegytwltjdgbzvt2r8xv5pwbnywov 0 82789 987229 921406 2026-10-10T18:16:52Z ~2026-54703-47 81151 Ajout d'un espace et d'une virgule. 987229 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté= astronomie | numéro = 1 | précédent = [[../|sommaire]] | suivant = [[../Comment obtenir des informations sur Proxima du Centaure ?/]] | niveau = 10 }} == Proxima du Centaure est-elle identique au Soleil ? == === Étude des documents === ==== Objectifs de ce chapitre ==== * Maîtriser le vocabulaire du cours. * Savoir lire et comprendre des documents scientifiques. ==== Document 1 : Type spectral d'une étoile<ref>{{Chapitre-B|langue=fr|titre chapitre=Type spectral|titre ouvrage=Wikipédia|date=2023-03-15|lire en ligne=https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Type_spectral&oldid=202311488|consulté le=2023-10-09}}</ref> ==== En astronomie, les étoiles présentent quatre caractéristiques principales : température de couleur, gravité de surface, masse et luminosité. Ces caractéristiques ne sont ni indépendantes les unes des autres ni directement mesurables. Cependant, elles permettent d'associer un type spectral à chaque étoile. {| class="wikitable" !Type spectral !Température de surface !Couleur !Type d'astre !Exemple d'astre |- !O |> {{unité|25000|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Bleu |Étoiles bleues de la séquence principale, Géantes bleues, Supergéantes bleues |Delta Orionis (Mintaka), Zeta Puppis (Naos) |- !B |10 000–{{unité|25000|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Bleu-blanc |Étoiles bleu-blanc de la séquence principale, Géantes bleues, Supergéantes bleues, Hypergéantes bleues |Bêta Orionis (Rigel), Zeta1 Scorpii, Cygnus OB2-12 |- !A |7 500–{{unité|10000|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Blanc |Étoiles blanches de la séquence principale, Supergéantes blanches |Alpha Cygni (Deneb), Alpha Canis Majoris (Sirius) |- !F |6 000–{{unité|7500|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Jaune-blanc |Étoiles jaune-blanc de la séquence principale, Supergéantes jaunes |Upsilon Andromedae (Titawin), Alpha Carinae (Canopus), Alpha Ursae Minoris (Étoile polaire), Alpha Canis Minoris (Procyon) |- !G |5 000–{{unité|6000|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Jaune |Étoiles jaunes de la séquence principale, Supergéantes jaunes, Hypergéantes jaunes |Soleil, Alpha Centauri A, Rho Cassiopeiae, V382 Carinae |- !K |3 500–{{unité|5000|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Orange |Étoiles orange de la séquence principale, Hypergéantes jaunes |Alpha Centauri B, Alpha Bootis (Arcturus), HR 5171, RW Cephei |- !M |2 000–{{unité|3500|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Rouge |Étoiles rouges de la séquence principale, Géantes rouges, Supergéantes rouges, Hypergéantes rouges |Proxima Centauri, Alpha Orionis (Bételgeuse), Alpha Scorpii (Antarès), NML Cygni |- !L |1 200–{{unité|2000|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Rouge sombre |Naines brunes L |GD 165 B |- !T |750–{{unité|1200|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Brun |Naines brunes T |Gliese 229 B |- !Y |< {{unité|750|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} |Brun sombre |Naines brunes Y |WISE 0855–0714, WISE 1828+2650, CWISEP J193518.59−154620.3 |} ==== Document 2 : Des centaines de milliards d'étoiles<ref>{{Lien web|langue=fr|titre=Étoile - Vikidia, l’encyclopédie des 8-13 ans|url=https://fr.vikidia.org/wiki/%C3%89toile#:~:text=Des%20centaines%20de%20milliards%20d,plus%20grosse%20que%20le%20soleil.|site=fr.vikidia.org}}</ref> ==== Une étoile est une grosse boule de gaz chaud et incandescent, plus ou moins éloignée de la Terre et visible de nuit depuis celle-ci (à l'exception du Soleil). On dit qu'une étoile est un corps céleste qui émet sa propre lumière. En fait, le Soleil est une étoile. Il en existe de plusieurs tailles et de plusieurs couleurs. Par exemple, Antarès est une étoile géante rouge de la constellation du Scorpion, trois cents fois plus grosse que le soleil. Il existe aussi des étoiles naines. Les étoiles sont très nombreuses. Dans une galaxie, il y a des centaines de milliards d'étoiles, et comme il y a des centaines de milliards de galaxies, il y a des centaines de milliards de milliards d'étoiles ! ==== Document 3 : Les degrés Celsius et les degrés Kelvin<ref>{{Lien web|titre=Quelle est la différence entre les degrés Celsius et les Kelvin ?|url=http://www.quelleestladifference.fr/2012/02/quelle-est-la-difference-entre-les.html}}</ref> ==== Quelle est la différence entre les degrés Celsius et les Kelvin ? Les degrés Celsius et les Kelvin sont deux unités de mesure de la température. '''Pour passer d'une température en Celsius à une température en Kelvin, il faut ajouter 273,15.''' '''Et pour passer des Kelvin aux degrés Celsius, il faut bien sûr enlever 273,15.''' Exemple : 100 °C = {{unité|373.15|{{abréviation|K|degré kelvin}}}} La température la plus basse qui existe est - 273,15°C, soit {{unité|0|{{abréviation|K|degré kelvin}}}}. Le Kelvin est surtout utilisé dans le monde scientifique. ==== Document 4 : Proxima du Centaure<ref>{{Lien web|langue=fr|nom1=Futura|titre=Définition {{!}} Proxima du Centaure - Proxima Centauri - Alpha Centauri C - Proxima {{!}} Futura Sciences|url=https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/astronomie-proxima-centaure-6440/|site=Futura}}</ref> ==== Proxima est l'étoile la plus proche de nous. C'est une naine rouge, une catégorie d'étoiles peu massives et faiblement lumineuses très répandues dans la Voie lactée. Elle se situe à 4,22 années-lumière seulement, dans la constellation australe du Centaure. Avec sa magnitude apparente de 11,2 (elle est 20.000 fois moins lumineuse que le Soleil et 8 fois moins massive), il faut un télescope pour l'observer, ce qui explique qu'elle n'a été découverte qu'en 1915. En 2002 son diamètre a pu être mesuré grâce à l'interféromètre du ''Very Large Telescope'' : Proxima Centauri est 7 fois plus petite que le Soleil avec un diamètre de 200.000 kilomètres (1,5 fois celui de Jupiter). C'est également une étoile variable : son puissant champ magnétique est à l'origine de gigantesques éruptions stellaires (l'équivalent des éruptions solaires sur notre étoile) qui augmentent sa luminosité d'une magnitude. === Questions d'après les documents === 1. Qu'est-ce qu'une étoile ? {{solution|contenu=D'après le document 2, on sait qu'une étoile est une boule de gaz chaud et incandescent, qui produit sa propre lumière.}} 2. Réaliser un tableau comparatif du Soleil et de Proxima du Centaure à l'aide d'un tableau avec deux colonnes : points communs et différences. {{solution|contenu= {| class="wikitable" |+ !Points communs !Différences |- |<nowiki>- étoile </nowiki> - émettent leur propre lumière - gaz | - luminosité - taille - couleur - température - masse - gravité |} }} 3. Pourquoi dit-on que Proxima du Centaure est une naine rouge ? {{solution|contenu=D'après les documents 1 et 4, on dit que Proxima du Centaure est une naine rouge car c'est une étoile peu massive (de faible envergure) et de couleur rouge.}} 4. Conclusion : Proxima du Centaure est-elle identique au Soleil ? {{solution|contenu=Proxima du Centaure et le Soleil sont deux étoiles mais elles sont différentes. Le Soleil est plus grand, plus lumineux...}} {{Bas de page | idfaculté= astronomie | précédent = [[../|sommaire]] | suivant = [[../Comment obtenir des informations sur Proxima du Centaure ?/]] }} ====== Sources des documents ====== dkrofb87vi0axsxhile4eq9r0p9f0ei 0 82800 987238 951740 2026-10-10T18:31:40Z ~2026-54703-47 81151 Quelques corrections orthographiques. 987238 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = astronomie | niveau = 10 | numéro = 2 | précédent = [[../Comparaison de deux étoiles : le Soleil et Proxima du Centaure/]] | suivant = [[../Quels sont les atomes présents dans Proxima du Centaure ?/]] }} == Peut-on aller près de Proxima du Centaure pour l'observer ? == === Introduction === À partir des documents suivants, répondre, à l'aide d'une argumentation détaillée et contenant des calculs, à la question suivante : '''''Peut-on aller près de Proxima du Centaure pour l'observer ?''''' === Étude des documents === ==== Document 1 : Distances entre différents astres ==== {| class="wikitable" |+Distances entre différents astres !Distance entre la Terre et : !Valeur |- | - le Soleil |149,6 millions km |- | - la Lune |{{unité|384400|{{abréviation|km|kilomètre}}}} |- | - Proxima du Centaure |{{unité|4.243|années-lumière}} |- | - Pluton |5 766 millions km |} ==== Document 2 : La vitesse de la sonde Voyager<ref>{{Lien web|titre=Planetoscope - Statistiques : Distance parcourue par la sonde Voyager I dans l'espace|url=https://www.planetoscope.com/astronomie/1409-distance-parcourue-par-la-sonde-voyager-i-dans-l-espace.html|site=www.planetoscope.com}}</ref> ==== La sonde Voyager I est un des objets les plus rapides créés par l'homme. La sonde voyage à la vitesse de près de '''{{Unité|17km||s|-1}}''' (compteur), ce qui lui permet de parcourir 1,47 million de km par jour et 536,112 millions de km par an. Début 2012, Voyager I est arrivé dans la zone où les vents solaires ont perdu toute vitesse, c'est à dire à la frontière de '''l'héliosphère''' et de l'espace intersidéral. En fait, c'est depuis avril 2010 que la vitesse du vent solaire capté par Voyager est nulle dans la direction de l'espace. Cette zone à 18 milliards de km de la Terre marque le début de la frontière du territoire de notre soleil. Les scientifiques pensaient que la sonde passerait quasiment d'un seul coup de l'héliosphère à cet espace intergalactique, mais la NASA a constaté que la transition se faisait de manière progressive. En sortant de l'héliosphère, la sonde Voyager I sort véritablement de notre monde, car on considère que c'est la zone d'influence du soleil dont elle sort. On estime que la sonde n'aura plus d'énergie et cessera de fonctionner vers 2025. ==== Document 3 : Les principales unités de distance utilisées en astronomie ==== * Le mètre est à la fois un étalon de longueur et une unité de mesure du système métrique décimal. En tant qu'étalon, il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/299 792 458 de seconde. ==== Document 4 : La vitesse de la lumière<ref>{{Lien web|titre=Vitesse de la lumière|url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitesse_de_la_lumi%C3%A8re|site=www.wikipedia.com}}</ref> ==== La vitesse de la lumière dans le vide est une constante physique et un invariant relativiste. Elle est notée ''c'' pour "célérité", ce terme étant utilisé par les physiciens pour désigner la vitesse de propagation d'un phénomène ondulatoire tel que la lumière. Elle est exacte par définition : sa valeur a été fixée à {{Unité|299792458|m||s|-1}} en 1983 par le Bureau international des poids et mesures. Cette valeur équivaut à {{Unité|1079252848.8|km||h|-1}}. ==== Document 5 : Relation entre vitesse, temps et distance ==== La vitesse d'un objet est le rapport entre la distance parcourue par l'objet par le temps qu'il a mis à parcourir cette distance : ''v'' = ''d'' / ''t'' avec ''v'' la vitesse, ''d'' la distance et ''t'' la durée. ===== Rédaction du brouillon ===== Temps ? ''t sonde'' = ''d Terre'' - ''Proxima'' / ''v sonde'' Doc 1 : ''d Terre'' - ''Proxima'' = {{Unité|4.243|{{Abréviation|a. l.|années lumière}}}} Doc 2 : Sonde = {{Unité|536112000|km||an|-1}} Doc 3 : 1 a. l. = 9 461 000 000 000 km = 9,461 x 10 exposant 12 km (écriture scientifique) ''d Terre - Proxima'' = 4,243 x 1al = 4,243 x 9,461 x 10 exposant 12 = 4,01 x 10 exposant 13 km ''d Terre - Proxima'' = 4,01 x 10 exposant 13 km. ''t sonde'' = 4,01 x 10 exposant 13 / 536 112 000. '''''t sonde'' = {{Unité|74798|années}}'''. ===== Rédaction finale ===== '''Peut-on aller près de Proxima du Centaure pour l'observer ?''' Nous cherchons à savoir si nous pouvons aller près de Proxima pour l'observer. On pourrait par exemple envoyer une sonde non loin d'elle. Cependant, il est possible que cette étoile soit trop loin de nous et que la sonde envoyée mette trop de temps pour y aller. Nous allons donc estimer le temps que prendrait une sonde pour aller de la Terre jusqu'à Proxima. Afin d'estimer ce temps, nous allons utiliser la relation suivante (doc. 5) : ''t'' = ''d'' / ''v'' avec : * ''t'' la durée en années du voyage de la sonde entre la Terre et Proxima * ''d'' la distance en kilomètres entre la Terre et Proxima * ''v'' la vitesse en km/an de la sonde. D'après le document 1, la distance ''d'' entre la Terre et Proxima est de {{Unité|4.243|{{Abréviation|a. l.|années lumière}}}}. Or, d'après le document 4, une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année et est égale à 9 461 milliards de kilomètres. On peut donc convertir ''d'' en km : ''d'' = 4,243 ''al'' ''d'' = 4,243 x ''d'' (1al) ''d'' = 4,243 x 9 461 x 10 exposant 12 '''''d'' = 4,01 x 10 exposant 13 km''''' La distance entre la Terre et Proxima est donc de 4,01 x 10 exposant 13 km. D'autre part, d'après le document 2, la vitesse moyenne d'une sonde entre la Terre et Proxima : ''t'' = ''d'' / ''v'' ''t'' = 4,01 x 10 exposant 13 / 536 112 000 '''''t'' = {{Unité|74798|années}}''''' Le temps que mettrait une sonde pour aller sur Proxima du Centaure, {{Unité|74798|années}}, serait donc bien plus grand qu'une vie humaine ! Il n'est donc pas possible d'aller près de Proxima du Centaure pour l'observer. === Bilan === * La quasi-totalité de l'Univers est inaccessible à l'Homme car les distances sont trop importantes pour être parcourues en une vie. * L'Univers étant très grand, le mètre n'est pas une unité adaptée pour mesurer toutes les distances. * On utilise alors souvent l'année-lumière de symbole al qui est la distance parcourue par la lumière en une année. 1al = 10000 milliards de km = 10 exposant 13. * La vitesse d'un objet est le rapport entre la distance parcourue par l'objet par le temps qu'il a mis à parcourir cette distance : ''v'' = ''d'' / ''v'' avec ''v'' la vitesse en m/s, ''d'' la distance en m et ''t'' la durée en s. == Comment alors a-t-on obtenu tant d'informations sur Proxima du Centaure ? == === Étude des documents === ==== Document 1 ==== " Il y a des étoiles de toutes les couleurs. C'est une histoire de température à la surface de l'astre. Le fer dans la forge devient rouge quand sa température s'élève entre 700 et 1 000 degrés Celsius. Si on continue à le chauffer, son spectre initialement riche dans le domaine des radiations rouge-orange, s'enrichit dans les radiations bleues. Il passe par toutes les couleurs de l'arc en ciel. N'importe quel corps porté à une température donnée, indépendamment de sa composition, prend une teinte précise. La température fixe la couleur, quel que soit le corps : rouge jusqu'à 3 000 degrés, jaune comme le Soleil à 6 000 degrés, bleue comme Spica ou Rigel à 20 000 degrés Celsius. La masse d'une étoile détermine sa température. Les astres massifs, dont le champ de gravité est plus important, doivent pour se stabiliser avoir une température plus élevée. La pression thermique, en compensant la gravité, leur assure l'équilibre. Plus une étoile est massive, plus son noyau central est chaud et plus sa température superficielle grimpe. Par exemple, le cœur jaune du Soleil est à 15 millions de degrés Celsius tandis que celui de la bleue Sirius est à 40 millions de degrés Celsius environ. Les grosses étoiles sont bleues, les petites rouges ou jaunes. Du moins au début de leur vie. " ''D'après Hubert REEVES (Sciences et Avenir - Numéro 693bis - Novembre 2004)'' ==== Document 2 ==== Tout matériau, lorsqu'il est chaud, a tendance à émettre de la lumière. On peut facilement s'en rendre compte de nos jours avec l'élément d'une cuisinière, le filament de métal d'une ampoule électrique ou le Soleil, par exemple. Ainsi, chaque élément chimique chauffé émet une lumière caractéristique. En séparant les différentes lumières colorées émises par une étoile, on peut donc retrouver les éléments chimiques qui y sont présents. Chaque lumière colorée n'a pas forcément d'influence sur la couleur globale de l'étoile. === Questions d'après les documents === 1. Comment parvient-on à avoir des informations à propos d'une étoile ? {{solution|contenu=On parvient à avoir des informations à propos d'une étoile en analysant sa lumière.}} 2. Quels types d'informations peut-on obtenir ? {{solution|contenu=On peut obtenir des informations sur la taille, la masse, la couleur, la température, la luminosité, la composition chimique d'une étoile.}} 3. Pourquoi le Soleil est-il jaune ? {{solution|contenu=Le Soleil est jaune car sa température est proche de 6 000 degrés Celsius.}} === Bilan === * On peut obtenir des informations notamment sur la composition et la température d'une étoile, grâce à l'analyse de la lumière qu'elle émet. === Objectifs du chapitre === * Savoir différencier grandeur et unité * Savoir convertir des distances * Savoir rédiger des calculs * Savoir utiliser la formule de la vitesse * Savoir utiliser des documents pour répondre à un problème scientifique * Savoir que la lumière permet d'émettre, de transporter un signal donc une information. {{Bas de page | idfaculté = astronomie | précédent = [[../Comparaison de deux étoiles : le Soleil et Proxima du Centaure/]] | suivant = [[../Quels sont les atomes présents dans Proxima du Centaure ?/]] }} ====== Sources des documents ====== 88b6cfw88exap3cgp0kfnjcs5uhzms6 104 83528 987219 963997 2026-10-10T15:11:11Z Solstag 13856 /* Chronique du projet et comptes rendus */ 987219 wikitext text/x-wiki [[Fichier:Beautiful flowers with bees flying around.jpg|droite|sans_cadre]] « '''Vers un agenda pour la recherche participative co-construite avec les Suds''' » Modalité: Projet d'étude exploratoire Laboratoires porteurs: LISIS, Ceped Responsable d'animation: [[Utilisateur:Solstag|Alexandre Hannud Abdo]] Participants (A-Z): * Labos IFRIS: ** Ceped: [[Utilisateur:Qaysbousmah|Marwân-al-Qays Bousmah]], [[Utilisateur:Karna Coulibaly|Karna Coulibaly]], … ** LISIS: [[Utilisateur:Solstag|Alexandre Hannud Abdo]], [[Utilisateur:Lhoste Eléonore|Evelyne Lhoste]] … * Partenaires Suds: ** ✅ CindaLab-IBICT et INCC, Brésil ** ✅ CES-UNNE et CLACSO, Argentina == Activités == Icônes: ⬜ (non débuté) 🟨 (nécessite attention) 🟥 (bloqué) 🟩 (en cours) ✅ (fait) === 🟩 Cartographies === ''Voir la sous-page [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Cartographies|Cartographies]].'' * 🟩 Produire itérativement des cartographies adaptés aux questions identifiées au sein des problématiques « institutionnalisation » et « inégalités ». * 🟩 Formaliser des questions et travailler les mots-clés sur les cartes. * ✅ Obtenir une nouvelle base bibliographique à partir d'une nouvelle requête. === Chronique du projet et comptes rendus === * 16+17/12/2024: ✅ [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-12-16,17 Séminaire-atelier au LISIS|Séminaire-atelier]] (1,5 jours) au LISIS ** [https://sdrive.cnrs.fr/s/YF4nGJ4GJmMw46b Supports des présentations] de Sarita, Mercédes et Vanessa ** [https://docs.google.com/document/d/1oIPrQc0Oi7NDrEBOfidhwQVq4tbrgWetLS0dBo-O_HQ/edit?usp=sharing Compte rendu de l'atelier] (fait office de rapport final) * 04/12/2024: ✅ Rencontre préparatoire Argentine et Brésil, en ligne * 27/11/2024: ✅ [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-11-27 en ligne|Quatrième rencontre]], en ligne * 10/2024: ✅ [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-10 en ligne|Rencontres en ligne]] * 11/06/2024: ✅ [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-06-11 au LISIS|Seconde rencontre]] au LISIS * 30/03/2024: ✅ Discussion à Paris avec la directrice de l'INCT-CC (Brésil) * 26/03/2024: ✅ [[Recherche:Un agenda pour la recherche participative/Rencontres/2024-03-26 au Ceped|Première rencontre]] au Ceped * 27/02/2024: ✅ Page wiki crée sur Wikiversité * 23/02/2024: ✅ Financement accordé par l'IFRIS (€4k) == Ressources == === Code source === Les codes logiciels liés au projet se trouvent [https://gitlab.com/solstag/arps dans un dépôt Gitlab]. === Collection Zotero === Nous avons créé le groupe Zotero [https://www.zotero.org/groups/5372453/ifris_recherches_participatives IFRIS recherches participatives] à fin de réunir le matériel de nos travaux pour nous connaître mieux et alimenter la cartographie des recherches participatives. == A propos == [https://docs.google.com/document/d/1ToIdihaEwSp_tLQhgKPCKyprFSDGNESB-XrKKBJs_lg/edit?usp=sharing ''Lire le texte la proposition originale''] === Calendrier proposé === * '''Février''' : 1ère rencontre et présentations entre les deux laboratoires * '''Mars [extra, tous invités]''' : Rencontre avec la directrice de l'INCT-CC de visite à Paris * '''avril''' : 2ème rencontre, atelier Cortext et brouillon du bilan * '''Mai [extra, Ale]''' : Atelier Cortext et pré-discussion de l'agenda au Brésil * '''Juin''' : 3ème rencontre et début de construction de l'agenda * '''Septembre''' : 4ème rencontre, présentation du bilan, débat de l'agenda * '''Novembre''' : Symposium de restitution des activités, présentation de l'agenda === Objectifs === * Consolider un noyau de chercheurs du LISIS et du Ceped intéressés par la recherche participative ; * Tirer profit des approches des deux laboratoires et de l'INCT-CC pour initier une fertilisation croisée ; * S'intéresser aux pratiques, subjectivités, épistémologies, modes d'organisation et politiques publiques de la recherche participative dans les Suds ; * Stimuler l'échange de perspectives théoriques et méthodologiques entre les membres du projet ; * Valoriser l'expérience du LISIS dans l'évaluation de programmes de soutien à la recherche participative, dans le contexte de la planification des actions du INCT-CC ; * Évaluer la pertinence d'études comparatives et s'accorder sur les bases de leur réalisation ; * Intéresser le réseau international autour de l'institut brésilien aux apports des deux laboratoires français ; * Réfléchir aux enjeux de la recherche participative avec et sur des groupes de populations vulnérables ; * Décider de la construction d'un projet de recherche commun donnant suite à ce projet exploratoire, qui pourrait – en fonction des affinités – impliquer uniquement les laboratoires français, être bilatéral avec le Brésil ou d’autres pays des Suds, ou associer d'autres partenaires européens, par exemple ceux participant à l'INCT-CC. === Activités === * Mettre en place un cycle de séminaires autour de la recherche participative, entre le LISIS et le Ceped ; avec participation occasionnelle (à distance ou en présence) de membres de l'INCT-CC et d’autres partenaires, notamment en Amérique Latine, dont CindaLab, CES-UNNE et un GT du CLACSO ; * Produire un bilan permettant de situer nos études entre elles et par rapport à la littérature sur la recherche participative ; * Intégrer au bilan des analyses bibliographiques par méthodes mixtes, en formant les participants intéressés avec le soutien de la plateforme Cortext ; * Produire, en dialogue avec le bilan, un agenda de recherche commun et pluriel, qui profite des convergences et confronte les contradictions et limitations constatées ; * Un point possible de l'agenda serait la problématisation et des orientations pour la mise en place d'études comparatives. === Conditions === Logo du LabEx SITES, de l'UGE et de l'ANR pour la communication et remerciement « Projet soutenu par le LabEx SITES dans le cadre du financement de l’I-Site FUTURE ANR-16-IDEX-0003 ». a1qgzfzwgsavdn5nxkhpxprdp04xbiy 0 87389 987226 2026-10-10T17:39:08Z Phl7605 31541 Phl7605 a déplacé la page [[Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique]] vers [[Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] : diminution du contenu 987226 wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Mécanique 2 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] b0v6o8yvk7n1k0e1orqu8pu3446jdeo 0 87390 987227 2026-10-10T17:56:30Z Phl7605 31541 Page créée avec « {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique... » 987227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 12 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie/]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>photographié ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie par application du théorème du moment cinétique scalaire au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_(non_amorti)|mise en équation différentielle du mouvement du pendule de torsion (non amorti)]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le pendule de torsion étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> avec deux fils de torsion identiques de même constante de torsion «<math>\;C\;</math>» et positionnement de masselottes apparemment identiques <math>\;\big(</math>sauf pour la couleur<math>\big)\;</math> de part et d'autre du point <math>\;C\;</math><ref name="distinction entre point d'attache des fils sur la tige et constante de torsion des fils"> On accepte la même notation pour le point d'attache des deux fils sur la tige et la constante de torsion de ces derniers tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté <math>\;\big(</math>ce qui ne devrait jamais arriver compte-tenu du fait qu'elles sont de nature différente<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(</math>point d’attache des deux fils de torsion sur la tige<math>\big)</math> ; {{Al|5}}contrairement à ce qui est exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] (remarque 3) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », seule l'extrémité <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur est fixe <math>\;\big(</math>position servant de référence<math>\big)</math>, l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> pouvant être fixée avec la torsion d'un certain angle «<math>\;2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big(</math>repéré sur le cercle gradué supérieur par rapport à <math>\;O_{\text{inf}}</math>, position de référence du cercle {{Nobr|gradué<math>\big)</math>,}} la conséquence de ce choix étant que {{Al|5}}le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » adopte, après quelques oscillations, <center>une position d’équilibre repérée par l'angle «<math>\;\theta_1\;</math>»</center> {{Al|5}} en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, le fil de torsion supérieur étant tordu suivant une hélice droite <ref name="hélice droite ou gauche"> Une hélice est « droite » si le point tourne sur la gauche <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique direct ou encore dans le sens antihoraire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée et <br>{{Al|31}}elle est « gauche » si le point tourne sur la droite <math>\;\big(</math>c.-à-d. dans le sens trigonométrique indirect ou encore dans le sens horaire<math>\big)\;</math> quand il subit une translation dans le sens <math>\;+\;</math> de l’axe du cylindre sur lequel l’hélice est tracée <br>{{Al|3}}<math>\;\big[</math>revoir aussi la distinction « hélices gauche ou droite » dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Mouvement_de_particules_chargées_dans_des_champs_électrique_et_magnétique_:_Cas_particulier_d'un_champ_magnétostatique_uniforme#Nature_hélicoïdale_uniforme_du_mouvement_de_la_particule|nature hélicoïdale uniforme du mouvement de la particule]] » du chap.<math>24</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref> d'un angle «<math>\;\theta_1 - 2\;\theta_1 = -\theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis"> L'angle de torsion du fil qui intervient dans le vecteur moment du couple de torsion est l'angle que fait l'extrémité mobile relativement à l'extrémité maintenue fixe même si cette extrémité est fixée avec torsion initiale comme c'est le cas pour le fil supérieur <math>\;\big\{</math>on peut vérifier que cette définition correspond bien au schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » car {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{A_0B_0}\;</math>»}} est lié à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}\;</math> du fil supérieur et «<math>\;\overrightarrow{AB}\;</math>» à l’extrémité mobile <math>\;C\;</math> et il en est de même pour l'éventuel fil de torsion inférieur<math>\big\}</math>.</ref> par rapport à l'extrémité <math>\;O_{\text{sup}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} = -C \left( -\theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» et</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, si on oriente les deux fils de torsion du bas vers le haut, pour cette position, }}le fil de torsion inférieur étant également tordu suivant une hélice {{Nobr|droite <ref name="hélice droite ou gauche"/>}} d’un angle «<math>\;\theta_1 - 0 = \theta_1\;</math>» <ref name="angle de torsion d'un fil - bis" /> par rapport à l’extrémité <math>\;O_{\text{inf}}</math>, exerce un couple de torsion sur le solide de vecteur moment <center>«<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = -C \left( \theta_1 \right) \vec{u}_{CO_{\text{sup}}} = -C\;\theta_1\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>»,</center> {{Al|5}}{{Transparent| en effet, }}la somme des vecteurs moments des actions extérieures non nuls s'exerçant sur le solide vérifiant «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{tors. sup.}} + \vec{\Gamma}_{\text{tors. inf.}} = \vec{0}\;</math>» le solide est effectivement en équilibre dans cette position <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}Considérant le solide défini par l'ensemble constitué de « la tige et des masselottes » en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta_C</math> <math>\;\big(</math>support des fils de torsion<math>\big)\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le solide étant, à l'instant <math>\;t</math>, d'abscisse angulaire <math>\;\theta(t)</math> <math>\;\big(</math>repérée par rapport à la position de l'extrémité inférieure <math>\;O_{\text{inf}}\;</math> du fil de torsion inférieur<math>\big)</math>, on rappelle ci-dessous le bilan des actions extérieures s'exerçant sur le solide dont le moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math> est non nul en explicitant la puissance développée par ces actions à l'instant <math>\;t</math>, le solide étant, à cet instant, de vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\theta}(t)</math> : * l'action que le fil de torsion supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur"> L'angle de torsion du fil supérieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 2\;\theta_1\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil supérieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * {{Al|2}} celle que le fil de torsion inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> exerce sur le solide modélisée par un couple de torsion de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur"> L'angle de torsion du fil inférieur étant égal à «<math>\;\theta(t) - 0 = \theta(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la règle d'algébrisation des angles de torsion donnée en note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_de_torsion#cite_note-angle_de_torsion_d'un_fil_-_bis-14|¹⁴]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;</math> à l'instant <math>\;t</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le couple de torsion du fil inférieur étant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)</math>, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Conséquence_«_le_pendule_de_torsion_(non_amorti)_est_un_oscillateur_harmonique_non_amorti_de_rotation_»|conséquence : le pendule de torsion (non amorti) est un oscillateur harmonique non amorti de rotation]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». [[File:Pendule de torsion amorti - vue de dessus.png|thumb|300px|Vue de dessus d'un pendule de torsion amorti par substitution d'ailettes planes aux masselottes fixées sur la tige (les fils de torsion supérieur et inférieur perpendiculaires au plan de la figure ne peuvent y être représentés)]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti <math>\;\big(</math>voir vue de dessus partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}aux deux couples de torsion des fils supérieur et inférieur s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » il faut ajouter le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]</math>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du solide « tige + ailettes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + ailettes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\overline{\Omega}^2(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{tige + masselottes}}(t) = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t) + \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;\dot{\theta}(t) - C\; \theta(t)\;\dot{\theta}(t) - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-C \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right] - C\; \theta(t) - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\ddot{\theta}(t) = -2\;C\; \theta(t) - 2\;C\;\theta_1 - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule de torsion amorti suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta(t) = \dfrac{2\;C}{J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})}\;\theta_1\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}Pour la résolution de l'équation différentielle du pendule de torsion amorti, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Loi_horaire_de_position_angulaire_du_pendule_de_torsion_amorti|loi horaire de position angulaire du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». == Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique == [[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures]] {{Al|5}}L’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant non amorti à un degré de liberté <math>\;\big(</math>schématisé ci-contre<math>\big)\;</math> a été établie dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_non_amorti_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; on se propose ici de retrouver l’équation différentielle par utilisation du théorème de la puissance cinétique. {{Al|5}}Ci-contre le schéma de face du pendule pesant étudié <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> en considérant une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] idéale <ref name="liaison idéale"> C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.</ref> du solide en rotation autour de l’axe horizontal <math>\;\Delta_O\;</math><ref name="liaison pivot du pendule"> Pour plus de détails voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) P.P.(N.A.)]] (liaison pivot avec le point O) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A."> Pendule Pesant Non Amorti.</ref> à un degré de liberté ayant un mouvement de rotation tel que son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> a une trajectoire circulaire de centre <math>\;O</math>, d'axe <math>\;\Delta_O\;</math> orienté par le vecteur unitaire «<math>\;\vec{u}_{\Delta_O}\;</math>» et de rayon «<math>\;\mathfrak{a}\;</math>», <math>\;G\;</math> étant repéré, à l'instant <math>\;t</math>, par son abscisse angulaire «<math>\;\theta_G(t) = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG}(t) \right\rbrace} = \widehat{\left\lbrace \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r(t) \right\rbrace}\;</math>» <math>\;\big[</math>noté «<math>\;\theta(t)\;</math>» par la suite en absence d'ambiguïté<math>\big]</math>, la détermination de l'équation différentielle en «<math>\;\theta(t)\;</math>» du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> nécessite de rappeler les actions extérieures s'exerçant sur lui ainsi que la puissance développée par chacune d'elles dans le but d'utiliser le théorème de la puissance cinétique, ce sont : * son poids «<math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» de moment scalaire par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math>» <ref name="moment scalaire du poids"> Le moment vectoriel du poids par rapport à <math>\;O\;</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;</math>» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », soit «<math>\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;</math>» avec <math>\;\vec{u}_{\varphi_G}\;</math> s'identifiant à <math>\;\vec{u}_{\Delta_O}</math>. <br>{{Al|3}}On pouvait aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » étant fait avec le paramètre de position angulaire <math>\;\theta > 0</math>, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;-\;</math> avec un bras de levier <math>\;\big(</math>distance orthogonale séparant l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> du support de <math>\;m\;\vec{g}\big)\;</math> égal à <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où, dans le cas où <math>\;\theta\;</math> est <math>\;> 0</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)</math>}} <math>= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>» <math>\;\Big\{</math>le résultat est indépendant du signe de <math>\;\theta\;</math> mais si le schéma était fait avec <math>\;\theta < 0</math>, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens <math>\;+\;</math> avec un bras de levier <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;</math> d'où «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;</math>», soit effectivement le même résultat <math>\;\big[</math>avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que <math>\;\theta < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}</math>.</ref>, la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par le poids étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t)\;</math>» et * la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. <ref name="C.I."> Conditions Initiales.</ref> compatibles avec la liaison, «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» <ref name="réaction en O"> On a établi dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cin%C3%A9tique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_r%C3%A9action-14|¹⁴]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la réaction du point <math>\;O\;</math> dans l'hypothèse d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;</math> ou <math>\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;</math> s'écrirait <math>\;\vec{R}(t) =</math> <math>R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z</math>, c.-à-d. que la réaction serait dans le plan vertical de lancement soit encore «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «<math>\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;</math>», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel <math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O\;</math> donc de moment scalaire «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>».</ref> de moment scalaire «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]</math> <math>= 0\;</math>» <ref name="moment scalaire nul"> En effet la force étant <math>\;\perp\;</math> à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.</ref> auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel «<math>\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;</math>» <ref name="réaction en O" />{{,}} <ref name="moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe"> Le couple étant de moment vectoriel <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta_O</math>.</ref> et par suite de moment scalaire relativement à <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;</math>», la puissance instantanée développée à l'instant <math>\;t\;</math> par la réaction du pivot et de son couple de réaction étant «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t) + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O}\!(t)\;\dot{\theta}(t) = 0\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie cinétique du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre nous conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.N.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t)\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) =</math> <math>-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;</math> soit finalement, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique"> On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique <math>\;\big(</math>souvent dite « formule explicite »<math>\big)\;</math> pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] <math>\;\big(</math>c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence<math>\big)</math>, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.</ref> dans le cas général, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Approche_numérique_:_présentation_du_tracé_des_lois_horaires_du_mouvement_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_suivant_les_conditions_de_lancement,_non_isochronisme_des_oscillations,_formule_de_de_Borda|approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math> [[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|Schéma d'un pendule pesant amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <math>\;G\;</math> et représentation des forces extérieures, <math>\;I\;</math> étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]] {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On peut également, par utilisation du théorème de la puissance cinétique, retrouver l’équation différentielle en élongation angulaire <math>\;\theta(t)\;</math> du pendule pesant amorti <math>\;\big(</math>voir coupe partielle représentée ci-contre<math>\big)\;</math> établie par utilisation du théorème du moment cinétique scalaire dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}au poids du solide, seule action extérieure à moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> non nul dans un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> il faut, dans un P.P.A. <ref name="P.P.A."> Pendule Pesant Amorti.</ref>, ajouter les forces de frottement fluide linéaire dont le moment résultant scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le paragraphe précité <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]</math>, la puissance des forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}l'énergie cinétique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.A.}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» avec «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, l'application du « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique à un solide en rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen]] » établi plus haut dans ce chapitre conduit à <center>«<math>\;\dot{K}_{\text{P.P.A.}}(t) = \mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{R} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \right]\!(t) + \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» soit,</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}<math>\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;2\;\dot{\theta}(t)\;\ddot{\theta}(t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;\dot{\theta}(t) + 0 - H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math> ou, en simplifiant par <math>\;\dot{\theta}(t)\;</math> non identiquement nulle, l'équation différentielle <math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)</math> <math>= -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] - H\;\dot{\theta}(t)\;</math> soit, en normalisant, l'équation différentielle en <math>\;\theta(t)\;</math> du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> suivante <center>«<math>\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) = 0\;</math>».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}L'équation différentielle n'ayant pas de solution analytique <ref name="analytique" />, il est nécessaire de procéder à une résolution numérique, revoir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big(</math>une solution analytique <ref name="analytique" /> approchée existant dans le cas d'amplitudes initiales petites<math>\big)</math>. == « En complément », caractère conservatif du couple de torsion, énergie potentielle de torsion et conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti) dans le champ de torsion du fil == {{Al|5}}Le caractère « conservatif » du couple de torsion ainsi que l’expression de l’énergie potentielle « dont il dérive » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il me semble souhaitable de le retenir <math>\;\big(</math>et bien sûr d’être capable de le retrouver<math>\big)</math>. === Caractère conservatif du couple de torsion === {{Al|5}}Le travail élémentaire d’un couple de torsion s’exerçant sur un solide, de vecteur moment «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_\Delta\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Expression_du_vecteur_moment_du_couple_de_torsion_exercé_par_le_fil_en_fonction_de_l'angle_de_torsion_«_α(t)_»,_notion_de_constante_de_torsion_«_C_»_du_fil_de_torsion|expression du vecteur moment du couple de torsion exercé par le fil de torsion α(t), notion de constante de torsion C du fil de torsion]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> lors d’une torsion élémentaire «<math>\;d \alpha\;</math>» <math>\;\big[</math>dans lequel <math>\;\Delta\;</math> est la direction du fil de torsion orienté par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_\Delta\;</math> et «<math>\;\alpha\;</math>» l'angle de torsion algébrisé, défini au niveau de la liaison au solide dans le plan <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> et orienté par <math>\;\vec{u}_\Delta\big]\;</math> étant défini selon «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = \mathcal{P}_{\text{tors}}\;dt =</math> <math>\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;\overline{\Omega}(t)\;dt\;</math>» <ref> <math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> étant la composante de <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> sur <math>\;\vec{u}_\Delta</math>.</ref>, <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> étant la vitesse angulaire instantanée du solide à 'linstant <math>\;t\;</math> liée à l'angle de torsion algébrisé par «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \dot{\alpha}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \alpha\;</math>» et par suite «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -C\;\alpha\; d \alpha\;</math>» <ref> Usuellement, pour montrer qu’une force est conservative, on évalue son travail élémentaire en prenant un vecteur déplacement élémentaire quelconque <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> à partir du point d'application <math>\;M\;</math> de la force ; lorsqu'il s’agit d'un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, il faut évaluer son travail élémentaire en envisageant une rotation élémentaire quelconque autour de n'importe quelle direction, le couple est alors conservatif si ce travail élémentaire est une différentielle de fonction <math>\;\ldots\;</math> mais dans le cas d’un couple de torsion de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}</math>, la seule direction autour de laquelle peut s’effectuer une rotation élémentaire est celle du fil c.-à-d. celle de <math>\;\vec{\Gamma}\;</math> d'où <math>\;\ldots\;</math> et par suite la seule condition pour que le couple de torsion soit conservatif est que son travail élémentaire en considérant une rotation élémentaire autour de la direction du fil de torsion soit une différentielle de fonction ou encore que « le moment scalaire du couple de torsion par rapport au fil ne dépende que de l'angle de torsion <math>\;\alpha\;</math>» C.Q.E.R. <math>\;\big(</math>Ce Qui Est Réalisé<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}le travail élémentaire d’un couple de torsion étant une différentielle de fonction <ref> Car, dans le travail élémentaire, le cœfficient de <math>\;d \alpha\;</math> ne dépend que de <math>\;\alpha</math>.</ref>, on en déduit le <u>caractère conservatif du couple de torsion</u>. === Énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion === {{Al|5}}L’énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math> dont « dérive » le couple de torsion de vecteur moment <math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}}\;</math> est définie par «<math>\;\delta W_{\text{tors}} = -dU_{\text{tors}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> c.-à-d. «<math>\;-C\;\alpha\; d \alpha = -dU_{\text{tors}}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{tors}}}{d \alpha} = C\;\alpha\;</math>» soit, en intégrant «<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2 + cste\;</math>» ; {{Al|5}}choisissant la référence de l’énergie potentielle de torsion <math>\;U_{\text{tors}}\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.</ref> quand le fil n’est pas tordu c.-à-d. <math>\;\alpha = 0\;</math> on en déduit <math>\;cste = 0\;</math> d'où l'énergie potentielle de torsion du solide relié au fil de torsion <center>«<math>\;U_{\text{tors}} = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d’un fil et sa conservation en absence de frottement === [[File:Pendule de torsion sans masselottes - actions exercées.png|thumb|500px|Schéma d'un pendule de torsion représenté sans masselottes additives et avec fil inférieur sans torsion avec ajout des actions exercées sur la tige à l'instant <math>\;t</math>]] {{Al|5}}Si on considère le pendule de torsion <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\;</math> présenté au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Actions_d’un_fil_de_torsion_sur_le_solide_auquel_il_est_fixé_:_tension_du_fil_définie_par_la_«_résultante_des_actions_de_translation_exercées_par_le_fil_»_et_couple_de_torsion_du_fil_défini_par_le_«_moment_vectoriel_des_actions_de_rotation_exercées_par_le_fil_»|actions d'un fil de torsion sur le solide auquel il est fixé : tension du fil définie par la résultante des actions de translation exercées par le fil et couple de torsion du fil défini par le moment vectoriel des actions de rotation exercées par le fil]] » du chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la seule action extérieure de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune du fil de torsion et du fil sans torsion {{Nobr|<math>\;\big(</math>orientée}} par le vecteur unitaire <math>\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\big)\;</math> étant le couple de torsion de moment vectoriel «<math>\;\overrightarrow{\Gamma_{\text{tors}}} = -C\;\alpha\;\vec{u}_{CO_{\text{sup}}}\;</math>» <ref name="expression du moment vectoriel du couple de torsion />, on définit l'énergie potentielle de torsion du pendule de torsion à l'instant <math>\;t\;</math> par «<math>\;U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» <math>\;\big(</math>référence : fil non tordu <ref name="référence de l'énergie potentielle" /><math>\big)</math>, l'énergie cinétique du pendule au même instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{pend. tors.}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2\;</math>», <math>\;J_{CO_{\text{sup}}}\;</math> étant le moment d'inertie du pendule relativement à la direction du fil de torsion et du fil sans torsion <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /> on en déduit <center>l'énergie mécanique du pendule de torsion <math>\;\big(</math>non amorti<math>\big)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> selon <br>«<math>\;E_m(t) = K_{\text{pend. tors.}}(t) + U_{\text{tors}}(t) = \dfrac{1}{2}\; J_{CO_{\text{sup}}}\,\left[ \dot{\alpha}(t) \right]^2 + \dfrac{1}{2}\; C\,\left[ \alpha(t) \right]^2\;</math>» ;</center> {{Al|5}}or le couple de torsion étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement et le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_(indéformable)_en_rotation_autour_d'un_axe_Δ_fixe_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système (indéformable) en rotation autour d'un axe Δ fixe dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» avec «<math>\;W_{\text{tors},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u>. [[File:Pendule Torsion photo.jpg|thumb|300px|Photographie d'un pendule de torsion]] {{Al|5}}Si nous considérons de nouveau le pendule de torsion non amorti <math>\;\big(</math>dont la photographe est ci-contre<math>\big)\;</math> étudié au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre pour lequel il y a deux actions extérieures s'exerçant sur le solide « tige + masselottes » de moment scalaire non nul par rapport à la direction commune <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils de torsion : * le couple de torsion du fil supérieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{sup}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;</math>» <ref name="fil supérieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. sup.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. sup.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil supérieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}\;</math>» du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. sup.}} = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> soit <math>\;-C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;d \theta = -d U_{\text{tors. sup.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. sup.}}}{d \theta} = C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. sup.}} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre"> Revoir l'explication rappelée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans le chapitre.</ref>, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil supérieur «<math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. sup.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_1 - 2\;\theta_1 \right]^2 + cste_1 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_1 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion"> Symboliquement l'énergie potentielle d'un solide dans le champ de torsion d'un fil de torsion s'obtient, à une constante additive près, par la moitié du produit de la constante de torsion du fil et du carré de l'angle de torsion, à l'instant <math>\;t</math>, du fil au point d'attache du solide.</ref> et * le couple de torsion du fil inférieur <math>\;\left\lbrace CO_{\text{inf}} \right\rbrace\;</math> de moment scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t) = -C\; \theta(t)\;</math>» <ref name="fil inférieur" /> dont le travail élémentaire, lors d'une rotation élémentaire du solide d'angle <math>\;\overline{\Omega}(t)\;dt = d \theta</math>, s'écrivant «<math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} = \mathcal{P}_{\text{tors. inf.}}(t)\;dt = \overline{\Gamma_{\text{tors. inf.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t)\;dt =</math> <math>-C\; \theta(t)\;d \theta\;</math>» <math>\;\big(</math>c.-à-d. une différentielle de fonction<math>\big)\;</math> prouve le <u>caractère conservatif du couple de torsion du fil inférieur</u>, lequel « dérive » de l'énergie potentielle {{Nobr|«<math>\;U_{\text{tors. inf.}}\;</math>»}} du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur définie, à une constante additive près, par <math>\;\delta W_{\text{tors. inf.}} =</math> <math>-d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> soit <math>\;-C\;\theta\;d \theta = -d U_{\text{tors. inf.}}\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{tors. inf.}}}{d \theta} = C\; \theta;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{tors. inf.}} = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} + cste_2\;</math> soit, en prenant pour référence de <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta)\;</math><ref name="référence de l'énergie potentielle" /> « la position du solide à l'équilibre » c.-à-d. <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" />, l'énergie potentielle du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion du fil inférieur «<math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> En effet <math>\;U_{\text{tors. inf.}}(\theta_1) = 0\;</math> se réécrit <math>\;\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2} + cste_2 = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste_2 = -\dfrac{1}{2}\;C\; \theta_1^{\,2}</math>.</ref>{{,}} <ref name="expression symbolique de l'énergie potentielle de torsion" /> ; {{Al|5}}finalement l'énergie potentielle globale du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils s'écrit <center>«<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = U_{\text{tors. sup.}}(\theta) + U_{\text{tors. inf.}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)</math> ;</center> {{Al|5}}l'énergie cinétique du solide « tige + masselottes » à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{tige + masselottes}}(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t)\;</math>» dans laquelle {{Nobr|«<math>\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;</math>}} est le moment d'inertie du solide « tige + masselottes » par rapport à <math>\;\Delta_C\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des deux fils «<math>E_m(t) = K_{\text{tige + masselottes}}(t) + U_{\text{tors}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» ; {{Al|5}}les couples de torsion étant les seules actions extérieures travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au pendule de torsion <math>\;\big(</math>c.-à-d. le solide « tige + masselottes » dans le champ de torsion des fils<math>\big)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{pend. tors.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel {{Nobr|«<math>\;W_{\text{tors. sup.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{tors. inf.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{tors}} = - \left[ U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{tors}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{pend. tors.}} = -\Delta U_{\text{tors}}\;</math>» ou encore {{Nobr|«<math>\;\Delta \left[ K_{\text{pend. tors.}} + U_{\text{tors}} \right] = 0\;</math>»}} s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule de torsion (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule de torsion non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + masselottes})\;\dot{\theta}^2(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» et <br>«<math>E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta_0 - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta_0^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{tors}}(\alpha) = \dfrac{1}{2}\; C\;\alpha^2\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\alpha\;</math> dans le 1^er exemple de pendule de torsion du paragraphe précédent ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|Constatant}}que celui <math>\;U_{\text{tors}}(\theta) = \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> du 2^ème exemple de pendule de torsion du même paragraphe <br>{{Al|11}}est parabolique, nous retrouvons la <u>2^ème définition d’un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>de rotation<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Le portrait de phase d’un pendule de torsion ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement est donc une <u>ellipse décrite dans le sens horaire</u> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Propriétés_des_portraits_de_phase_de_la_charge_du_condensateur_d'un_R_L_C_série_soumis_à_un_échelon_de_tension_suivant_le_cœfficient_d'amortissement|propriétés des portraits de phase de la charge du condensateur d'un RLC série soumis à un échelon de tension suivant le cœfficient d'amortissement]] (cas d'un circuit oscillant non amorti en vert) » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> == Conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le champ de pesanteur uniforme == === Énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant === {{Al|5}}Dans le cas d'un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dont le schéma est présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la seule action extérieure travaillant étant le poids du solide et ce dernier étant conservatif, on définit une énergie potentielle de pesanteur «<math>\;U_{\text{pes}}\;</math>» du solide constituant le pendule pesant telle que le travail élémentaire du poids lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta = \dot{\theta}(t)\;dt\;</math> autour de l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> soit «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle" /> avec «<math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) =</math> <math>\mathcal{P}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;dt = \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right]\!(t)\;\dot{\theta}(t)\;dt = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;d \theta\;</math>» d’où <math>\;-dU_{\text{pes}} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;d \theta\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{d \theta}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left( \theta \right)\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right) + cste\;</math>» soit finalement, en choisissant comme référence de l'énergie potentielle <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> « la position d'équilibre stable de ce dernier <ref name="équilibre stable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessous de ce dernier.</ref> <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math>», l'énergie potentielle de pesanteur du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> selon <center>«<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta \right) \right]\;</math>» <ref> Pour trouver l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur on peut aussi utiliser <math>\;\delta W\!\left( m\;\vec{g} \right) = m\;g\;dz_G = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}} = -m\;g\;z_G + cste\;</math> sachant que <math>\;z_G = \mathfrak{a}\; \cos\! \left( \theta \right)\;</math> avec pour position d'équilibre stable <math>\;z_{G,\,\text{éq. stable}} = \mathfrak{a}</math> <math>\;\ldots</math></ref> <math>\;\big(</math>référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : la position d'équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)</math>.</center> === Énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement === {{Al|5}}L'énergie cinétique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> à l'instant <math>\;t\;</math> étant «<math>\;K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;J_{\Delta_O}\;</math> est le moment d'inertie du solide par rapport à <math>\;\Delta_O\;</math>» <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" />, on en déduit l'expression, à l'instant <math>\;t</math>, de l'énergie mécanique du solide constituant le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le champ de pesanteur «<math>E_m\!(t) = K_{\text{P.P.N.A.}}\!(t) + U_{\text{pes}}\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace</math>» ; {{Al|5}}le poids du solide constituant le pendule pesant étant la seule action extérieure travaillant en absence de frottement, le théorème de l’énergie cinétique appliqué au P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide en rotation" /> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) - K_{\text{P.P.N.A.}}(t_{\mathcal{F}}) = W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right)\;</math>» dans lequel «<math>\;W_{\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\!\left( m\;\vec{g} \right) = -\Delta U_{\text{pes}} = - \left[ U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{F}}) - U_{\text{pes}}(t_{\mathcal{I}}) \right]\;</math>» soit «<math>\;\Delta K_{\text{P.P.N.A.}} = -\Delta U_{\text{pes}}\;</math>» ou encore «<math>\;\Delta \left[ K_{\text{P.P.N.A.}} + U_{\text{pes}} \right] = 0\;</math>» s'exprimant finalement selon «<math>\;\Delta E_m = 0\;</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;E_m(t_{\mathcal{F}}) = E_m(t_{\mathcal{I}})\;</math>» c.-à-d. la <u>conservation de l’énergie mécanique du pendule pesant (non amorti)</u> ; {{Al|5}}finalement on peut écrire l'intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> du mouvement de ce pendule pesant non amorti selon «<math>\;E_m(t) = E_{m,\,0}\;</math>» avec <center>«<math>\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» et <br>«<math>\;E_{m,\,0} = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;</math>» si les C.I. <ref name="C.I." /> sont «<math>\;\theta(0) = \theta_0\;</math> et <math>\,\dot{\theta}(0) = 0\;</math>».</center> === Quelques commentaires === {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Constatant que le diagramme d’énergie potentielle <math>\;U_{\text{pes}}(\theta) = m\;g\;\mathfrak{a}\,\left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> en fonction du paramètre de position angulaire <math>\;\theta\;</math> n'est pas parabolique <math>\;\big(</math>mais sinusoïdal<math>\big)</math>, nous pouvons affirmer que <u>le P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> n'est pas un oscillateur harmonique</u> <math>\;\big(</math>quand il est en situation d'osciller<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_(équivalente)_énergétique_d'un_oscillateur_harmonique|définition (équivalente) énergétique d'un oscillateur harmonique]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »<math>\big]</math> ; : {{Al|5}}une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet d’établir que la nature du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« oscillatoire quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» et <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>« révolutive quand quand <math>\;E_{m,\,0}\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;2\; m\;g\; \mathfrak{a}\;</math>» puis <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}de démontrer, avec utilisation simultanée de l'intégrale 1^ère énergétique, la nature « périodique <math>\;\big(</math>oscillatoire ou révolutive<math>\big)\;</math>» ainsi que <br>{{Al|5}}{{Transparent|une étude par diagrammes d’énergies mécanique et potentielle permet }}d’établir l’expression de la période sous forme intégrale <br>{{Al|5}}<math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>Les portraits de phase d’un P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ayant pour équation implicite l’intégrale 1^ère <math>\;\big(</math>énergétique<math>\big)\;</math> de son mouvement et ce dernier dépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale <math>\;E_{m,\,0}</math>, diffèrent suivant <math>\;E_{m,\,0}</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Différents_portraits_de_phase_du_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté),_«_bifurcation_»_entre_mouvement_«_pendulaire_»_et_révolutif|différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), bifurcation entre mouvement pendulaire et révolutif]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »<math>\big]</math> : : {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} < 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>pendulaire</u> <ref name="pendulaire"> Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».</ref>, son portrait de phase est <u>fermé</u>, décrit dans le « <u>sens horaire</u> » <ref name="justification du sens horaire"> Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand <math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;> 0</math>, <math>\;\theta \nearrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \nearrow\;</math> puis <math>\;\searrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «<math>\;\dot{\theta}\;</math> est <math>\;< 0</math>, correspondant à <math>\;\theta \searrow\;</math> et <math>\;\dot{\theta} \searrow\;</math> puis <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » <math>\;\ldots</math></ref>, avec le point «<math>\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;</math>» comme « <u>centre de </u>{{Nobr|<u>symétrie</u> » <ref name="justification du centre de symétrie"> Invariance de l’équation en changeant «<math>\;\theta\;</math> en <math>\;-\theta\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires <math>\;\big(</math>en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>» et <br>{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}de l’équation en changeant «<math>\;\dot{\theta}\;</math> en <math>\;-\dot{\theta}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires <math>\;\big(</math>là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée<math>\big)\;</math>», <br>{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales <math>\;\big(</math>ou plutôt des deux antisymétries axiales<math>\big)\;</math> donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes <math>\;\big[</math>le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale <math>\;\big(</math>et non une antisymétrie centrale<math>\big)</math>.</ref>}} lequel correspond à la position d’équilibre stable <ref name="équilibre stable du P.P." /> du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> ; <br>{{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math>pour <math>\;E_{m,\,0} > 2\;m\;g\;\mathfrak{a}</math>, le mouvement du P.P.N.A. <ref name="P.P.N.A." /> est <u>révolutif</u>, son portrait de phase est <u>ouvert</u>, constitué de la <u>répétition du motif de l'intervalle</u> <math>\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]</math>, répété <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \nearrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} > 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 > 0\;</math>» ou <br>{{Al|10}}<math>\;\bullet\;</math> « vers les <math>\;\theta \searrow\;</math> en restant dans le domaine des <math>\;\dot{\theta} < 0\;</math> si <math>\;\dot{\theta}_0 < 0\;</math>», <br>{{Al|10}}le portrait de phase avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 < 0 \right)\;</math>» étant l’<u>antisymétrique</u> de celui avec C.I. <ref name="C.I." /> «<math>\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 > 0 \right)\;</math>», <br>{{Al|10}}les <u>maxima de valeur absolue de vitesse angulaire</u> «<math>\;\vert \dot{\theta} \vert\;</math>» étant <u>obtenus pour les positions d’équilibre stable</u> <ref name="équilibre stable du P.P." /> «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres stables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 > 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;</math>»<math>\big)\;</math> alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0\;</math> et <math>\;\theta_0 < 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;</math>» <math>\;\big(</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big)</math>.</ref> et <br>{{Al|10}}les <u>minima</u> {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} <u>obtenus pour les positions d’équilibre instable</u> <ref name="équilibre instable du P.P."> C.-à-d. le C.D.I. <math>\;G\;</math> sur la verticale passant par <math>\;O\;</math> et au-dessus de ce dernier.</ref> «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;</math>» <ref name="précision sur l'accessibilité des équilibres instables"> Plus précisément si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;> 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;</math>» alors que <br>{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si <math>\;\dot{\theta}_0\;</math> est <math>\;< 0</math>, «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;</math>»<math>\big]\;</math>.</ref>. == « Généralisation » à tout « solide » : « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et la forme locale associée « le théorème de la puissance mécanique », application au cas d’un solide amorti == {{Al|5}}Nous nous limitons, dans ce paragraphe, à la généralisation à tout système de points matériels ou continu de matière « indéformable » <ref name="solide au sens de la mécanique" />, celle correspondant aux systèmes de points matériels ou continus de matière « déformables » sera effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»_:_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_appliqué_à_un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives_et_sa_forme_locale_«_le_théorème_de_la_puissance_mécanique_»|en complément : théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale “ le théorème de la puissance mécanique ”]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ». === Théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> sur une durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> s’écrivant «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <ref> Le travail des forces intérieures étant nul pour tout système indéformable et sur toute durée.</ref>, on distingue alors, parmi les forces extérieures appliquées, * celles qui sont conservatives <math>\;\big(</math>lesquelles « dérivent » d’une énergie potentielle<math>\big)\;</math> dont le travail pendant cette durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * celles qui sont non conservatives <ref name="non conservatives"> Ou, si elles sont conservatives, dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref> dont le travail pendant cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> est noté «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» {{Al|5}}d'où «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» ou, en introduisant l’énergie potentielle «<math>\;U_{\text{ext}}\;</math>» dont dérivent les forces conservatives définie, à une constante additive près, selon {{Nobr|«<math>\;W_{\text{ext},\, \text{cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>}} <math>= -\Delta U_{\text{ext}} = -\left[ U_{\text{ext},\,\mathcal{F}} - U_{\text{ext},\,\mathcal{I}} \right]\;</math>» dont on déduit «<math>W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}</math>» d’où la réécriture du théorème de l’énergie cinétique appliqué au « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta U_{\text{ext}} + W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}en basculant «<math>\;\Delta U_{\text{ext}}\;</math>» dans le membre de gauche et <br>{{Al|5}}en définissant l’énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>», à l'instant <math>\;t</math>, dans le champ des forces conservatives par «<math>\;E_m(t) = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) + U_{\text{ext}}\!(t)\;</math>», <br>{{Al|5}}le lien entre la variation de l'énergie mécanique du « solide <math>\;\mathcal{S}\;</math>» sur la durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;\Delta E_m = E_{m,\,\mathcal{F}} - E_{m,\,\mathcal{I}}\;</math>» et le travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> sur cette même durée finie <math>\;\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\;</math> soit «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» à savoir <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» applicable à un solide dans le référentiel d’étude galiléen</center> {{Al|5}}d'où l'énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie dans un référentiel galiléen <math>\;\big[</math>ce théorème n'est pas explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme où il existe des forces extérieures non conservatives dissipatives mais, comme le cas où toutes les forces extérieures travaillant sont conservatives est clairement explicité <math>\;\big(</math>sous la forme de la conservation de l’énergie mécanique du solide<math>\big)</math>, le cas où il existe des forces extérieures travaillant et non conservatives <math>\;\big(</math>comme des forces de frottement<math>\big)\;</math> s’appliquant à un solide peut difficilement être ignoré d'où l'ajout du théorème sous sa forme la plus générale<math>\big]</math> : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> «<math>\;\Delta E_m = E_m\!(t_{\mathcal{F}}) - E_m\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale au travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_m = W_{\text{ext},\, \text{non cons.},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}La forme du théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire dans un référentiel galiléen se déduit aisément de sa forme sur une durée finie soit {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la variation élémentaire d'énergie mécanique <math>\;E_m\;</math> d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)\;</math> entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt\;</math> «<math>\;dE_m\;</math>» est égale au travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> sur une durée élémentaire ou finie est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un solide sur une durée finie ou élémentaire se réduit à « la conservation de l’énergie mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>». === Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » === {{Al|5}}Le théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide » est la forme locale associée à la forme intégrée “ théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « solide » sur une durée finie ou élémentaire ” ; {{Al|5}}pour obtenir cette forme locale on écrit le théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un solide dans le champ des forces extérieures conservatives entre les instants <math>\;t\;</math> et <math>\;t + dt</math> <math>\big(</math>c.-à-d. la forme élémentaire du théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un solide<math>\big)</math>, ce qui donne, dans un référentiel galiléen «<math>\;dE_m = \delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\;</math>» puis, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour obtenir cette forme locale }}on divise les deux membres par <math>\;dt\;</math> soit «<math>\;\dfrac{dE_m}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext},\, \text{non cons.}}}{dt}\;</math>» ; <br>{{Al|5}}le 1^er membre étant la puissance mécanique du solide dans le champ des forces extérieures conservatives définie comme la dérivée temporelle de l’énergie mécanique notée, à l'instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}le 2^ème membre {{Transparent|étant }}la puissance instantanée développée, à l'instant <math>\;t</math>, par les forces extérieures non conservatives «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» <br>{{Al|5}}nous obtenons «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» applicable à un solide dans un référentiel d'étude galiléen d'où l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « solide »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d’un solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives <math>\;\big(</math>dérivant de l'énergie potentielle <math>\;U_{\text{ext}}\;</math> d'où la définition de l'énergie mécanique «<math>\;E_m = K + U_{\text{ext}}\;</math>», <math>\;K\;</math> étant l'énergie cinétique du solide<math>\big)</math>, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_m(t)\;</math>» est égale à la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au solide <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière indéformable <ref name="solide au sens de la mécanique" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. {{Al|5}}<u>Cas particulier</u> : En absence de forces extérieures non conservatives travaillant <math>\;\big(</math>par exemple absence de frottements solide ou fluide<math>\big)</math>, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide à un instant <math>\;t\;</math> quelconque se réduit à « la nullité, pour tout <math>\;t</math>, de la puissance mécanique d'un solide dans le champ des forces extérieures toutes conservatives <math>\;\big(</math>ou ne travaillant pas<math>\big)\;</math>» ceci donnant, après intégration, « la conservation de l’énergie mécanique du solide précédemment défini ». === Application au cas d’un solide amorti === {{Al|5}}Parmi les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à un solide et travaillant, « les plus fréquentes sont dissipatives » <ref> Mais elles peuvent aussi être motrices par exemple, si nous souhaitons que les oscillations d’un pendule de torsion ou d'un pendule pesant perdurent alors qu’existent naturellement des frottements {{Nobr|<math>\;\big(</math>même}} minimes<math>\big)</math>, il est nécessaire de les entretenir à l’aide d’une force extérieure motrice compensant les forces de frottement, cette force motrice étant alors non conservative tout comme le sont les forces de frottement.</ref> comme les forces de frottement fluide <math>\;\big(</math>ou solide<math>\big)</math> ; {{Al|5}}en supposant que les seules forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> travaillant soient les forces de frottement, le théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide amorti dans le champ des forces extérieures conservatives <ref name="théorème de la puissance mécanique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Théorème_de_la_puissance_mécanique_appliqué_à_un_«_solide_»|théorème de la puissance mécanique appliqué à un solide]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> s’écrivant «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}_{\text{ext},\, \text{frott}}\!(t) < 0\;</math>» dans un référentiel d'étude galiléen, nous en déduisons que l'énergie mécanique du solide amorti «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math> au sens strict » au cours du temps dans ce référentiel d'étude. ==== Cas particulier du pendule de torsion amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule de torsion du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_de_torsion_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule de torsion par application du théorème de la puissance cinétique]] (photographie) » plus haut dans ce chapitre mais avec les masselottes remplacées par des ailettes comme présenté dans la vue de dessus de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}aux deux couples extérieurs de torsion conservatifs s'exerçant sur le solide « tige + ailettes » et « dérivant » de l'énergie potentielle de ce dernier dans le champ de torsion des deux fils, à savoir «<math>\;U_{\text{tors}}(\theta) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2} - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre du solide <math>\;\theta_{\text{éq}} = \theta_1\;</math><ref name="justification équilibre" /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}le « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Couple_de_frottement_fluide_linéaire_agissant_sur_le_pendule_par_l’intermédiaire_des_ailettes|couple de frottement fluide linéaire agissant sur le pendule par l'intermédiaire des ailettes]] » dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_C\;</math> «<math>\;\overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C} = - H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» établi au chap.<math>7</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau des ailettes, de la disposition de celles-ci par rapport à l'axe et du fluide sur lequel frottent les ailettes<math>\big]\;</math> montre qu'il est non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif"> En effet pour que ce couple soit conservatif il faudrait que son moment scalaire ne dépende que de <math>\;\theta\;</math> ou soit constant mais en aucun cas dépendant de <math>\;\dot{\theta}</math>.</ref>, la puissance du couple de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right] = \overline{\Gamma_{\text{flui.}}}_{\Delta_C}(t)\;\overline{\Omega}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du solide « tige + ailettes » étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{tors}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;\dot{\theta}^2\!(t) + \dfrac{1}{2}\;C\, \left[ \theta(t) - 2\;\theta_1 \right]^2 + \dfrac{1}{2}\;C\; \theta^{\,2}\!(t) - C\; \theta_1^{\,2}\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_solide_dans_le_champ_de_torsion_d’un_fil_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du solide dans le champ de torsion d'un fil et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre en remplaçant « solide + masselottes » par « solide + ailettes ».</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_C}\!(\text{tige + ailettes})\;</math> étant le moment d'inertie du solide « tige + ailettes » relativement à l'axe commun <math>\;\Delta_C\;</math> des deux fils <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du solide « tige + ailettes » dans le champ de torsion des fils en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au pendule de torsion amorti <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\Gamma_{\text{flui.}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule de torsion amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_de_torsion#Mise_en_équation_différentielle_du_pendule_de_torsion_amorti|mise en équation différentielle du pendule de torsion amorti]] » du chap.<math>7</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_C}\!\left( \text{tige} + \text{ailettes} \right)\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + 2\;C\;\theta(t) = 2\;C\;\theta_1\;</math>».</center> ==== Cas particulier du pendule pesant à un degré de liberté amorti par frottement fluide linéaire ==== {{Al|5}}Reprenant le pendule pesant à un degré de liberté du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_pendule_pesant_(à_un_degré_de_liberté)_par_application_du_théorème_de_la_puissance_cinétique|établissement de l'équation différentielle du mouvement du pendule pesant (à un degré de liberté) par application du théorème de la puissance cinétique]] » plus haut dans ce chapitre avec des frottements fluides linéaires comme présenté dans la vue de profil de la remarque du paragraphe précité, {{Al|5}}à la force extérieure «<math>\;m\;\vec{g}\;</math>», conservative, s'exerçant sur le P.P.A. <ref name="P.P.A." /> et « dérivant » de l'énergie potentielle de pesanteur de ce dernier, à savoir «<math>\;U_{\text{pes}}(\theta) =</math> <math>m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta) \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>avec référence <ref name="référence de l'énergie potentielle" /> : position d'équilibre stable du solide <math>\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;</math><ref name="équilibre stable du P.P." /><math>\big)\;</math><ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » plus haut dans ce chapitre.</ref>, il convient d'ajouter {{Al|5}}les forces de frottement fluide linéaire dont le moment scalaire relativement à l'axe <math>\;\Delta_O\;</math> «<math>\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;</math>» a été établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\;\big[H\;</math> étant une constante positive exprimée en «<math>\;N \cdot m \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s\;</math>» dépendant de la nature du matériau du pendule, de la forme de ce dernier par rapport à l'axe et du fluide sur lequel il frotte<math>\big]\;</math> montre que ces forces de frottement est un système non conservatif <ref name="raison du caractère non conservatif" />, la puissance de ces forces de frottement fluide s'exprimant, à l'instant <math>\;t</math>, selon «<math>\;\mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right] =</math> <math>\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t)\;\dot{\theta}(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t)\;</math>» ; {{Al|5}}l'énergie mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> étant «<math>\;E_m(t) = K(t) + U_{\text{pes}}\!\left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, <math>\;\big[J_{\Delta_O}\;</math> étant le moment d'inertie du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> relativement à son axe <math>\;\Delta_O\;</math> de rotation <ref name="moment d'inertie relativement à un axe" /><math>\big]\;</math> on en déduit aisément, dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> et à l'instant <math>\;t</math>, la puissance mécanique du P.P.A. <ref name="P.P.A." /> en formant <math>\;\dot{E}_m(t) = \dfrac{d E_m}{dt}(t)\;</math> puis {{Al|5}}l’application du théorème de la puissance mécanique au P.P.A. <ref name="P.P.A." />{{,}} <ref name="théorème de la puissance mécanique" /> nous conduit à «<math>\;\dot{E}_m(t) = \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{\mathcal{M}_{\!O,\,\text{flu}}}(t) \right]\;</math>» ou «<math>\;\dot{E}_m(t) = -H\;\dot{\theta}^2\!(t) < 0\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(t) \searrow\;</math>» soit encore, {{Al|5}}en explicitant la dérivée temporelle de l’énergie mécanique puis en divisant par «<math>\;\dot{\theta}\!(t)\;</math>», l’équation différentielle en élongation angulaire du pendule pesant amorti trouvée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Établissement_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|établissement de l'équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » du chap.<math>8</math> de la leçon «Mécanique 2 (PCSI)» à savoir <center>«<math>\;J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t) + H\;\dot{\theta}(t) + m\;g\;\mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;</math>».</center> == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 1ère partie]] | suivant = [[../Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels|Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] }} jqp0tkgg6ganbz36m28ah8w68h5exxl